Использование симметрии для построения решений уравнений Максвелла в среде
Методом групової редукцiї отримано аналiтичний розв’язок рiвнянь Максвелла в середовищi. Знайдено класи неоднорiдних середовищ, для яких розв’язки рiвнянь Максвелла генеруються з розв’язкiв для однорiдного середовища. Отриманi результати можна використовувати для тестування числових методiв розв’яза...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29683 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Использование симметрии для построения решений уравнений Максвелла в среде / И.М. Цифра // Доп. НАН України. — 2010. — № 5. — С. 130-134. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859661375142363136 |
|---|---|
| author | Цифра, И.М. |
| author_facet | Цифра, И.М. |
| citation_txt | Использование симметрии для построения решений уравнений Максвелла в среде / И.М. Цифра // Доп. НАН України. — 2010. — № 5. — С. 130-134. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Методом групової редукцiї отримано аналiтичний розв’язок рiвнянь Максвелла в середовищi. Знайдено класи неоднорiдних середовищ, для яких розв’язки рiвнянь Максвелла генеруються з розв’язкiв для однорiдного середовища. Отриманi результати можна використовувати для тестування числових методiв розв’язання тривимiрних задач геоелектрики в неоднорiдних середовищах.
An analytic solution of the Maxwell equations in a medium has been obtained with the help of the group reduction method. A class of heterogeneous media, for which the solution of the Maxwell equations can be obtained from the solution for a homogeneous medium is found. The results obtained can be used for testing the numerical methods of solving the three-dimensional geoelectric problems in heterogeneous media.
|
| first_indexed | 2025-11-30T09:49:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 533.9;517.9
© 2010
И.М. Цифра
Использование симметрии для построения решений
уравнений Максвелла в среде
(Представлено академиком НАН Украины В. И. Старостенко)
Методом групової редукцiї отримано аналiтичний розв’язок рiвнянь Максвелла в сере-
довищi. Знайдено класи неоднорiдних середовищ, для яких розв’язки рiвнянь Максвелла
генеруються з розв’язкiв для однорiдного середовища. Отриманi результати можна ви-
користовувати для тестування числових методiв розв’язання тривимiрних задач гео-
електрики в неоднорiдних середовищах.
Как известно, решение трехмерных электродинамических задач является одной из актуаль-
ных проблем современной геоэлектрики [1]. В частности, в настоящее время общеизвестен
существенно трехмерный характер магнитотеллурики. Большинство существующих алго-
ритмов решения обратных задач основано на более или менее точных конечно-разностных
методах решения прямой задачи и оптимизационных алгоритмах инверсии. Однако в случае
сложных моделей среды с использованием разностных сеток с десятками тысяч ячеек да-
же решение одной прямой задачи требует огромных вычислительных ресурсов [1]. В связи
с этим мы хотим обратить внимание на возможность использования симметрии уравнений
Максвелла в материальных средах для построения их аналитических решений.
Симметрии и построение решений системы уравнений Максвелла и мате-
риальных уравнений. Известно, что уравнения Максвелла в среде (без материальных
уравнений)
∂ ~D
∂t
= rot ~H −~j,
∂ ~B
∂t
= − rot ~E, (1)
div ~D = ρ, div ~B = 0 (2)
инвариантны относительно бесконечной группы Ли преобразований зависимых и незави-
симых переменных [2, 3]. Этот факт доказывается с помощью инфинитезимального мето-
да [4, 5]. Элементы соответствующей алгебры Ли задаются формулами
X = ξµ(k)
∂
∂kµ
+ ηE
a ∂
∂Ea
+ ηB
a ∂
∂Ba
+ ηD
a ∂
∂Da
+ ηH
a ∂
∂Ha
+ ηj
a ∂
∂ja
+ ηρ
a ∂
∂ρa
, (3)
где
ηE
a
= −ξ00E
a
− ξbaE
b
− εabcξ
b
0B
c, ηB
a
= (ξ00 + d)Ba + ξabB
b + εabcξ
0
bE
c,
ηD
a
= (ξ00 + d)Da + ξabD
b
− εabcξ
0
bH
c, ηB
a
= −ξ00H
a
− ξbaH
b
− εabcξ
b
0D
c,
ηj
a
= −dja + ξab j
b + ξa
0
ρ, ηρ = −dρ+ ξ0
0
ρ+ ξ0b j
b, d = −(ξ0
0
+ ξ1
1
+ ξ2
2
+ ξ3
3
),
(4)
ξµ(x) — произвольные гладкие функции, t ≡ x0 ξµν = ∂ξµ/∂xν , µ, ν = 0, 3. Таким образом,
уравнения (1), (2) инвариантны относительно произвольных преобразований t, ~x, обра-
зующих группу Ли. В то же время векторы ~D, ~B, ~E, ~H, ~j и плотность ρ, изменяются
130 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №5
в соответствии с линейным представлением этой группы. Система уравнений (1), (2) — не-
доопределенная. Для описания электромагнитого поля в среде необходимо рассматривать
также материальные уравнения, явный вид которых зависит от свойств среды. Если в урав-
нения (3), (4) положить ξµ = 2(cx)xµ − x2cµ + aµνx
ν + bµ, где cµ, aµν , bµ — произвольные
действительные константы, то получаем алгебру Ли группы Ли конформных преобразова-
ний зависимых и независимых переменных. Следовательно, уравнения Максвелла в среде,
так же как уравнения Максвелла в вакууме — конформно-инвариантны.
Оказывается, что существуют и материальные уравнения вида
~D = M ~E +N ~B, ~H = M ~B −N ~E, (5)
где M и N — произвольные функции от I1 = ~B2
−
~E2, I2 = ~B ·
~E такие, что совместно с урав-
нениями (1), (2) они образуют пуанкаре-инвариантную систему. Если же M ≡ M(I1/I2),
N ≡ N(I1/I2), то уравнения (1), (2), (5) инвариантны относительно конформной группы.
Более того, уравнения Максвелла с материальными уравнениями Минковского в движу-
щейся среде [2]
~D + ~u×
~H = ε( ~E + ~u×
~B), ~B + ~E × ~u = µ( ~H + ~D × ~u), (6)
где ~u — скорость движения среды; ε — диэлектрическая и µ — магнитная проницаемость
неподвижной среды также конформно-инвариантны. При этом ~D, ~B, ~E, ~H, ~j и ρ преобра-
зуются по линейному закону, в то время как скорость ~u изменяется нелинейным образом.
С помощью операторов симметрии можно построить специальные подстановки (анзацы)
для полей ~D, ~B, ~E, ~H, которые редуцируют систему уравнений Максвелла, и материальных
уравнений к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Проиллюстрируем этот
метод на примере трехмерной подалгебры с базисными элементами
J0a = x0∂xa
+ xa∂x0
+ S0a, P1 = ∂x1
, P2 = ∂x2
, a = 1, 3,
где
S01 = E2∂B3 − E3∂B2 −B2∂E3 +B3∂E2 +D2∂H3 −D3∂H2 −H2∂D3 +H3∂D2 ;
S03 = E1∂B2 − E2∂B1 −B1∂E2 +B2∂E1 +D1∂H2 −D2∂H1 −H1∂D2 +H2∂D1 —
алгебры инвариантности уравнений (1), (2), (5). Рассмотрим случай, когда ~j = 0, ρ = 0.
Этой алгебре, согласно общей теории инвариантных решений [4, 5], ставится в соответствие
анзац
E1 =
1
2
(
1
ξ
+ ξ
)
Ẽ1 +
1
2
(
1
ξ
− ξ
)
B̃2 −
x1
ξ
Ẽ3 +
x2
1
2ξ
(B̃2 − Ẽ1),
E2 =
1
2
(
1
ξ
+ ξ
)
Ẽ2 −
1
2
(
1
ξ
− ξ
)
B̃1 +
x1
ξ
B̃3 +
x2
1
2ξ
(Ẽ2 − B̃1),
E3 = Ẽ3 − x1(B̃2 − Ẽ1),
(7)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №5 131
B1 =
1
2
(
1
ξ
+ ξ
)
B̃1 −
1
2
(
1
ξ
− ξ
)
Ẽ2 −
x1
ξ
B̃3 −
x2
1
2ξ
(Ẽ2 − B̃1),
B2 =
1
2
(
1
ξ
+ ξ
)
B̃2 +
1
2
(
1
ξ
− ξ
)
Ẽ1 −
x1
ξ
Ẽ3 +
x2
1
2ξ
(B̃2 − Ẽ1),
B3 = B̃3 − x1(Ẽ2 + B̃1),
(8)
D1 =
1
2
(
1
ξ
+ ξ
)
D̃1 +
1
2
(
1
ξ
− ξ
)
H̃2 −
x1
ξ
D̃3 +
x2
1
2ξ
(H̃2 − D̃1),
D2 =
1
2
(
1
ξ
+ ξ
)
D̃2 −
1
2
(
1
ξ
− ξ
)
H̃1 +
x1
ξ
H̃3 +
x2
1
2ξ
(D̃2 − H̃1),
D3 = D̃3 − x1(H̃2 − D̃1),
(9)
H1 =
1
2
(
1
ξ
+ ξ
)
H̃1 −
1
2
(
1
ξ
− ξ
)
D̃2 −
x1
ξ
H̃3 −
x2
1
2ξ
(D̃2 − H̃1),
H2 =
1
2
(
1
ξ
+ ξ
)
H̃2 +
1
2
(
1
ξ
− ξ
)
D̃1 −
x1
ξ
D̃3 +
x2
1
2ξ
(H̃2 − D̃1),
H3 = H̃3 − x1(D̃2 − H̃1),
(10)
где Ẽa B̃a, D̃a, H̃a — неизвестные функции от переменной ω = x20 − x21 − x23, а ξ = x0 −
−x3. Подставляя равенства (7)–(10) в выражения (1), (2), получаем систему обыкновенных
дифференциальных уравнений вида:
(B̃′
1 + Ẽ′
2)ω + B̃′
1 − Ẽ′
2 + B̃1 + Ẽ2 = 0,
(B̃′
2 − Ẽ′
1)ω + B̃′
2 + Ẽ′
1 + 2(B̃2 − Ẽ1) = 0,
B̃′
3
= 0, B̃3 = 0,
(11)
(H̃ ′
1 + D̃′
2)ω − H̃ ′
1 + D̃′
2 + 2(H̃1 + D̃2) = 0,
(H̃ ′
2 − D̃′
1)ω − (H̃ ′
2 + D̃′
1) + H̃2 − D̃1 = 0,
D̃′
3
= 0, D̃3 = 0.
(12)
Материальные уравнения (5) сводятся к таким соотношениям:
~̃
D = M
~̃
E +N
~̃
B,
~̃
H = M
~̃
B −N
~̃
E, (13)
где M , N — функции от Ĩ1 =
~̃
E2
−
~̃
B2, Ĩ2 =
~̃
B
~̃
E. Таким образом, задача построения инва-
риантного решения сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных
уравнений (11), (12), (13). Рассмотрим частный случай, когда N = 0. Решая эту систему
и используя равенства (7)–(10), получаем решения уравнений Максвелла (1), (2) с мате-
риальными уравнениями (5) при N = 0 в таком виде:
E1 =
2C1x3
(x2
0
− x2
1
− x2
3
)3/2
, B1 = −
2C1x3
(x2
0
− x2
1
− x2
3
)3/2
,
132 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №5
E2 =
2C1x0
(x2
0
− x2
1
− x2
3
)3/2
, B2 =
2C1x0
(x2
0
− x2
1
− x2
3
)3/2
, (14)
E3 = −
2C1x1
(x2
0
− x2
1
− x2
3
)3/2
, B3 =
2C1x1
(x2
0
− x2
1
− x2
3
)3/2
,
где C1 = const. Решения для ~D, ~H строятся из материальных уравнений
~D = m~E, ~H = m~B, (15)
где m = M(0).
Как известно, преобразования из группы симметрии переводят произвольное решение
в решение того же уравнения. Используя это свойство, мы построили формулы для ге-
нерирования новых решений уравнений Максвелла из известных решений ~D(t, ~x), ~B(t, ~x),
~E(t, ~x), ~H(t, ~x) такого вида:
~En =
1
σ2
{
~E(t′, ~x′)−
2θ(θ − 1)
σ
~x×
~B(t′, ~x′) +
2θ2
σ
[ ~E(t′, ~x′)~x2 − ~x(~x~E(t′, ~x′))]
}
, (16)
~Bn =
1
σ2
{
~B(t′, ~x′) +
2θ(θ − 1)
σ
~x×
~E(t′, ~x′) +
2θ2
σ
[ ~B(t′, ~x′)~x2 − ~x(~x ~B(t′, ~x′))]
}
, (17)
~Dn =
1
σ2
{
~D(t′, ~x′)−
2θ(θ − 1)
σ
~x×
~H(t′, ~x′) +
2θ2
σ
[ ~D(t′, ~x′)~x2 − ~x(~x~D(t′, ~x′))]
}
, (18)
~Hn =
1
σ2
{
~H(t′, ~x′)−
2θ(θ − 1)
σ
~x×
~D(t′, ~x′) +
2θ2
σ
[ ~H(t′, ~x′)~x2 − ~x(~x ~H(t′, ~x′))]
}
, (19)
t′ =
t− θ(t2 − ~x2)
σ
, ~x′ =
~x
σ
, σ = 1− 2θt+ θ2(t2 − ~x2),
где θ — групповой параметр. Подобным образом строятся решения уравнений Максвелла
в неоднородной среде из решений для однородной среды. Рассмотрим простейший слу-
чай, относящийся к магнитостатике. Выбирая ξa = fa(xa), fa(xa) — произвольные гладкие
функции своих аргументов и интегрируя соответствующую систему Ли, находим группо-
вые преобразования для ~D, ~B, ~E, ~H:
~E′ = ~E, ~B′ = ~B
f1(x1)f2(x2)f3(x3)
f1(x′1)f2(x
′
2
)f3(x′3)
,
~H ′ = ~H, ~D′ = ~D
f1(x1)f2(x2)f3(x3)
f1(x′1)f2(x
′
2
)f3(x′3)
,
(20)
где x′a — решения задачи Коши системы уравнений Ли
dxa
dθ
= fa(x
′
a), x′a(θ = 0) = xa. (21)
В рамках этого подхода строятся решения уравнений Максвелла с неоднородностью
µ′ = µ
f1(x
′
1
)f2(x
′
2
)f ′
3
(x′
3
)
f1(x1)f2(x2)f3(x3)
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №5 133
Аналогично можно построить решения для неоднородной среды в случае электростати-
ки. Подобная идея используется для построения решений уравнения диффузии тепловых
нейтронов в неоднородной среде [6].
Таким образом, в работе показано, что знание трехмерной алгебры Ли группы инва-
риантности позволяет свести задачу построения решений уравнений Максвелла в трехмер-
ном случае к одномерному с помощью метода групповой редукции. Построено аналитичес-
кое решение уравнений Максвелла в среде. Используя конформную инвариантность систе-
мы (1), (5), получены формулы генерирования новых решений ~En, ~Bn, ~Dn, ~Hn из известных
~E(t, ~x), ~B(t, ~x), ~D(t, ~x), ~H(t, ~x). В рамках этого подхода установлен класс эквивалентности
неоднородных сред, для которых решения уравнений Максвелла связаны соответствую-
щими групповыми преобразованиями. Полученные результаты представляют полезную ин-
формацию, необходимую для тестирования численных методов решения трехмерных задач
геоэлектрики в неоднородных средах.
1. Жданов М.С. Быстрые методы решения обратных электромагнитных задач // Электромагнитные
исследования земных недр / Под ред. В.В. Спичака. – Москва: Науч. мир, 2005. – С. 76–90.
2. Tsyfra I. Symmetry of the Maxwell and Minkowski equations system // J. Geom. Symm. Phys. – 2007. –
9. – P. 75–81.
3. Цифра И., Мессина А., Чижицкий Т. Свойства симметрии и их использование при решении уравне-
ний Максвелла в неоднородных средах // Геофиз. журн. – 2008. – 30, № 1. – P. 111–117.
4. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. – Москва: Наука, 1978. – 400 с.
5. Олвер П. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям. – Москва: Мир, 1989. – 639 с.
6. Козачок И.А., Цифра И.М. Теоретико-групповой анализ физических полей в градиентно-неоднород-
ных средах и его применение в проблеме диффузии тепловых нейтронов // Геофиз. журн. – 2004. –
26, № 2. – С. 122–127.
Поступило в редакцию 30.09.2009Институт геофизики им. С.И. Субботина
НАН Украины, Киев
Институт математики, Университет
в Белостоке, Польша
I.M. Tsyfra
Using the symmetry for constructing solutions of the Maxwell equations
in a medium
An analytic solution of the Maxwell equations in a medium has been obtained with the help of the
group reduction method. A class of heterogeneous media, for which the solution of the Maxwell
equations can be obtained from the solution for a homogeneous medium is found. The results obtai-
ned can be used for testing the numerical methods of solving the three-dimensional geoelectric
problems in heterogeneous media.
134 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №5
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-29683 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T09:49:17Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Цифра, И.М. 2011-12-26T12:43:53Z 2011-12-26T12:43:53Z 2010 Использование симметрии для построения решений уравнений Максвелла в среде / И.М. Цифра // Доп. НАН України. — 2010. — № 5. — С. 130-134. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29683 533.9;517.9 Методом групової редукцiї отримано аналiтичний розв’язок рiвнянь Максвелла в середовищi. Знайдено класи неоднорiдних середовищ, для яких розв’язки рiвнянь Максвелла генеруються з розв’язкiв для однорiдного середовища. Отриманi результати можна використовувати для тестування числових методiв розв’язання тривимiрних задач геоелектрики в неоднорiдних середовищах. An analytic solution of the Maxwell equations in a medium has been obtained with the help of the group reduction method. A class of heterogeneous media, for which the solution of the Maxwell equations can be obtained from the solution for a homogeneous medium is found. The results obtained can be used for testing the numerical methods of solving the three-dimensional geoelectric problems in heterogeneous media. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Науки про Землю Использование симметрии для построения решений уравнений Максвелла в среде Using the symmetry for constructing solutions of the Maxwell equations in a medium Article published earlier |
| spellingShingle | Использование симметрии для построения решений уравнений Максвелла в среде Цифра, И.М. Науки про Землю |
| title | Использование симметрии для построения решений уравнений Максвелла в среде |
| title_alt | Using the symmetry for constructing solutions of the Maxwell equations in a medium |
| title_full | Использование симметрии для построения решений уравнений Максвелла в среде |
| title_fullStr | Использование симметрии для построения решений уравнений Максвелла в среде |
| title_full_unstemmed | Использование симметрии для построения решений уравнений Максвелла в среде |
| title_short | Использование симметрии для построения решений уравнений Максвелла в среде |
| title_sort | использование симметрии для построения решений уравнений максвелла в среде |
| topic | Науки про Землю |
| topic_facet | Науки про Землю |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29683 |
| work_keys_str_mv | AT cifraim ispolʹzovaniesimmetriidlâpostroeniârešeniiuravneniimaksvellavsrede AT cifraim usingthesymmetryforconstructingsolutionsofthemaxwellequationsinamedium |