Решение проблемы построения подмногообразия по заданному грассманову образу
Доведенi достатнi умови розв’язання проблеми побудови пiдмноговиду за заданим грассмановим образом. We present conditions sufficient for a submanifold in the Grassmann manifold to be the Grassmann image of a submanifold in the Euclidean space....
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2010 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29686 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Решение проблемы построения подмногообразия по заданному грассманову образу / Ю.А. Аминов // Доп. НАН України. — 2010. — № 5. — С. 7-10. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859830332260352000 |
|---|---|
| author | Аминов, Ю.А. |
| author_facet | Аминов, Ю.А. |
| citation_txt | Решение проблемы построения подмногообразия по заданному грассманову образу / Ю.А. Аминов // Доп. НАН України. — 2010. — № 5. — С. 7-10. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Доведенi достатнi умови розв’язання проблеми побудови пiдмноговиду за заданим грассмановим образом.
We present conditions sufficient for a submanifold in the Grassmann manifold to be the Grassmann image of a submanifold in the Euclidean space.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:32:01Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
5 • 2010
МАТЕМАТИКА
УДК 514.9
© 2010
Ю.А. Аминов
Решение проблемы построения подмногообразия
по заданному грассманову образу
(Представлено академиком НАН Украины Е.Я. Хрусловым)
Доведенi достатнi умови розв’язання проблеми побудови пiдмноговиду за заданим грас-
смановим образом.
1. Грассманов образ подмногообразия является обобщением гауссова образа двумерной по-
верхности в трехмерном евклидовом пространстве на подмногообразия произвольной ра-
змерности и коразмерности. Его определение следующее. Пусть в (n + p)-мерном евкли-
довом пространстве En+p задано регулярное n-мерное подмногообразие Fn. Пусть Np
x —
нормальное пространство в точке x ∈ Fn и Np — пространство, размерности p, в En+p,
параллельное Np
x и проходящее через фиксированную точку O. Пространство Np рассма-
триваем как точку P грассманова многообразия Gp,n+p. Отображение ψ : Fn → Gp,n+p,
сопоставляющее точке x точку P , называется грассмановым отображением, а его образ —
грассмановым образом.
2. Грассманов образ несет важную полезную информацию о поведении подмногообра-
зия Fn.
В работе рассматривается следующая задача:
По заданному регулярному n-мерному подмногообразию Γn, лежащему в Gp,n+p, по-
строить регулярное n-мерное подмногообразие Fn в En+p, имеющее Γn своим грассмано-
вым образом.
Ясно, что эта задача не всегда имеет решение. Для двумерных поверхностей проблема
решена автором в работах [1–3], где доказаны теоремы существования и единственности
для произвольной коразмерности. Изложение этих результатов дано также в [4]. Несколько
позже появились работы Вайнера [5, 6].
В работе А.А. Борисенко [7] доказана теорема единственности при произвольной раз-
мерности и некотором ограничении на коразмерность. В работах В.А. Горькавого [8–10]
рассматривалась задача восстановления многомерного подмногообразия, но с вырожден-
ным грассмановым образом, а в его же работе [11] даны необходимые и достаточные усло-
вия для восстановления подмногообразия в случае n = 3. Эти условия выглядят довольно
сложно.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №5 7
3. Задание подмногообразия Γn может производиться различными способами. Один из
них — это задание с помощью плюккеровых координат пространства Np. Если в En+p
выбран фиксированный ортонормированный базис e1, . . . , en+p и в Np выбран ортонорми-
рованный базис n1, . . . , np так, что вектор nα имеет координаты {ξiα} относительно базиса
e1, . . . , en+p, то плюккеровы координаты Np определяются в виде
pk1...kp =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
ξk11 . . . ξ
kp
1
. . . . . . . . .
ξk1p . . . ξ
kp
p
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
.
Плюккеровы координаты не являются независимыми. Они связаны между собой некото-
рыми соотношениями, которые выпишем ниже.
Подмногообразие Γn определено заданием плюккеровых координат в виде функций от n
координат
pk1...kp = pk1...kp(x1, . . . , xn). (1)
Орты e1, . . . , en назовем горизонтальными, а орты en+1, . . . , en+p — вертикальными.
Будем решать проблему в следующей постановке: найти подмногообразие Fn в явном ви-
де, определенное над пространством En с декартовыми координатами x1, . . . , xn так, чтобы
в точке x ∈ Fn, проектирующейся на En в точку x с координатами x1, . . . , xn, нормальное
пространство Np
x имело плюккеровы координаты (1).
Далее предполагается, что pn+1...n+p 6= 0 в некоторой области G ⊂ En.
Введем два набора индексов I1 = (1, . . . , n) и I2 = (n + 1, . . . , n + p).
Сформулируем следующую теорему.
Теорема. При выполнении условий совместности
(
pij1...jp−1
pn+1...n+p
)
xk
=
(
pkj1...jp−1
pn+1...n+p
)
xi
, (2)
где i, k ∈ I1, jα ∈ I2, существует и единственно с точностью до параллельного переноса
в направлении вертикальных ортов подмногообразие Fn ⊂ En+p, имеющее в точке x ∈ Fn
с координатами x1, . . . , xn заданные плюккеровы координаты
pk1...kp(x1, . . . , xn)
нормального пространства Np
x , т. е. имеющее заданный грассманов образ.
4. Пусть радиус-вектор r(x1, . . . , xn) подмногообразия Fn записывается в виде
r(x1, . . . , xn) =
x1
. . .
xn
zn+1
. . .
zn+p
,
где zj = zj(x1, . . . , xn) — регулярные функции класса C2, j = n+ 1, . . . , n + p.
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №5
Для доказательства используем несколько лемм. Леммы 1 и 2 устанавливают связь
плюккеровых координат с производными функций zj .
Лемма 1. Пусть 1 6 k < p, наборы индексов j1, . . . , jp−k и jp−k+1, . . . , jp дополняют
друг друга до набора n + 1, . . . , n + p. Тогда
pi1...ikj1...jp−k = pn+1...n+p(−1)pkǫ(α)[grad zjp−k+1 , . . . , grad zjp ]i1...ik , (3)
где квадратные скобки обозначают поливектор в En, индексы i1 . . . ik сверху при квадра-
тных скобках обозначают компоненту этого поливектора и α есть подстановка
α =
(
j1 . . . jp
n+ 1 . . . n+ p
)
.
В частности, при k = 1 имеем
pi1j1...jp−1 = pn+1...n+p(−1)pz
jp
i1
ǫ(α). (4)
Эту систему уравнений используем в дальнейшем как начальный этап индукции. Введем
величины
Aρσ = δρσ + (grad zρ grad zσ).
Здесь δρσ — символ Кронекера,
Лемма 2. Имеет место выражение
(pn+1...n+p)2 =
1
det ‖Aρσ‖
. (5)
Итак, все плюккеровы координаты нормального пространства подмногообразия Fn вы-
ражены через производные функций zj .
Лемма 3. Система уравнений
pi1...[ippn+1...n+p] = 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
pj1...jki1...[ip−kpn+1...n+p] = 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
pj1...jp−2i1[i2pn+1...n+p] = 0,
n+p
∑
16k1<...<kp
(pk1...kp)2 = 1
(6)
является полной системой независимых уравнений, определяющих вложение грассманова
многообразия Gp,n+p в евклидово пространство EN , где N = C
p
n+p.
Эта лемма доказана в монографии [4, с. 302–303].
Для доказательства теоремы рассмотрим систему уравнений (4). Эти уравнения опре-
деляют производные всех функций zj по координатам xi. Очевидно, для определения фун-
кций zj необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия совместности (2). С помощью
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №5 9
леммы 3 доказывается, что остальные выражения плюккеровых координат (3) и (5) явля-
ются следствием принадлежности подмногообразия Γn грассманову многообразию Gp,n+p.
Указанные достаточные условия разрешимости (2) являются и необходимыми в сле-
дующем смысле. Так как каждое регулярное подмногообразие может быть представлено
в явном виде, то это означает, что на каждом подмногообразии Γn, являющемся грассма-
новым образом, должна найтись система координат, в которой (2) будет выполнено.
1. Аминов Ю.А. О грассмановом образе двумерной поверхности в четырехмерном евклидовом про-
странстве // Укр. геом. сб. – 1980. – 23. – С. 3–16.
2. Аминов Ю.А. Определение поверхности в E
4 по заданному грассманову образу // Мат. сб. – 1982. –
117, № 2. – С. 147–160.
3. Аминов Ю.А. Восстановление двумерной поверхности в n-мерном евклидовом пространстве по ее
грассманову образу // Мат. заметки. – 1984. – 36, № 2. – С. 223–228.
4. Аминов Ю.А. Геометрия подмногообразий. – Киев: Наук. думка, 2002. – 467 с.
5. Weiner J. L. The Gauss map for surfaces in 4-spaces // Math. Ann. – 1984. – 269, No 4. – P. 541–560.
6. Weiner J. L. The Gauss map for surfaces. The affine case. Part I // Trans. AMS. – 1986. – 293, No 2. –
P. 431–446; Part II. The Euclidean case // Ibid. – 1986. – 293, No 2. – P. 447–466.
7. Борисенко А.А. Об однозначной определенности многомерных подмногообразий в евклидовом про-
странстве по грассманову образу // Мат. заметки. – 1992. – 51, № 1. – С. 8–15.
8. Горькавый В.А. О восстановлении 3-мерного подмногообразия 5-мерного евклидова пространства по
вырожденному 2-мерному грассманову образу // Мат. физика. Анализ. Геометрия. – 1995. – 2. –
С. 25–41.
9. Горькавый В.А. О восстановлении подмногообразия в евклидовом пространстве по вырожденному в
линию грассманову образу // Мат. заметки. – 1996. – 59. – С. 681–691.
10. Горькавый В.А. Теорема редукции в проблеме восстановления подмногообразия в евклидовом про-
странстве по заданному грассманову образу // Мат. физика. Анализ. Геометрия. – 1996. – 4. –
С. 309–333.
11. Горькавый В.А. Восстановление трехмерных подмногообразий евклидова пространства с большой
коразмерностью по грассманову образу // Мат. заметки. – 1997. – 62. – С. 694–699.
Поступило в редакцию 06.10.2009Физико-технический институт низких температур
им. Б.И. Веркина НАН Украины, Харьков
Yu.A. Aminov
A solution of the problem on the construction of a submanifold with
given Grassmann image
We present conditions sufficient for a submanifold in the Grassmann manifold to be the Grassmann
image of a submanifold in the Euclidean space.
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №5
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-29686 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:32:01Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Аминов, Ю.А. 2011-12-26T12:50:17Z 2011-12-26T12:50:17Z 2010 Решение проблемы построения подмногообразия по заданному грассманову образу / Ю.А. Аминов // Доп. НАН України. — 2010. — № 5. — С. 7-10. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29686 514.9 Доведенi достатнi умови розв’язання проблеми побудови пiдмноговиду за заданим грассмановим образом. We present conditions sufficient for a submanifold in the Grassmann manifold to be the Grassmann image of a submanifold in the Euclidean space. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Решение проблемы построения подмногообразия по заданному грассманову образу A solution of the problem on the construction of a submanifold with given Grassmann image Article published earlier |
| spellingShingle | Решение проблемы построения подмногообразия по заданному грассманову образу Аминов, Ю.А. Математика |
| title | Решение проблемы построения подмногообразия по заданному грассманову образу |
| title_alt | A solution of the problem on the construction of a submanifold with given Grassmann image |
| title_full | Решение проблемы построения подмногообразия по заданному грассманову образу |
| title_fullStr | Решение проблемы построения подмногообразия по заданному грассманову образу |
| title_full_unstemmed | Решение проблемы построения подмногообразия по заданному грассманову образу |
| title_short | Решение проблемы построения подмногообразия по заданному грассманову образу |
| title_sort | решение проблемы построения подмногообразия по заданному грассманову образу |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29686 |
| work_keys_str_mv | AT aminovûa rešenieproblemypostroeniâpodmnogoobraziâpozadannomugrassmanovuobrazu AT aminovûa asolutionoftheproblemontheconstructionofasubmanifoldwithgivengrassmannimage |