Метод исследования динамических контактных задач с нелинейным демпфированием
Розглянуто клас динамiчних контактних задач нелiнеаризованої теорiї в’язкопружностi, якi зводяться до диференцiально-операторних включень другого порядку в спецiальних класах нескiнченновимiрних просторiв. Дослiджено властивостi розв’язуючого оператора. Одержано новi апрiорнi оцiнки розв’язкiв. We c...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2010 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29687 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Метод исследования динамических контактных задач с нелинейным демпфированием / Н.В. Задоянчук, П.О. Касьянов // Доп. НАН України. — 2010. — № 5. — С. 18-22. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860107167539920896 |
|---|---|
| author | Задоянчук, Н.В. Касьянов, П.О. |
| author_facet | Задоянчук, Н.В. Касьянов, П.О. |
| citation_txt | Метод исследования динамических контактных задач с нелинейным демпфированием / Н.В. Задоянчук, П.О. Касьянов // Доп. НАН України. — 2010. — № 5. — С. 18-22. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Розглянуто клас динамiчних контактних задач нелiнеаризованої теорiї в’язкопружностi, якi зводяться до диференцiально-операторних включень другого порядку в спецiальних класах нескiнченновимiрних просторiв. Дослiджено властивостi розв’язуючого оператора. Одержано новi апрiорнi оцiнки розв’язкiв.
We consider a class of dynamical contact problems of nonlinearized viscoelasticity theory which can be reduced to the second-order differential-operator inclusions in special classes of infinitedimensional spaces. We investigate properties of a resolving operator and obtain new a priori estimations.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:31:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
© 2010
Н.В. Задоянчук, П.О. Касьянов
Метод исследования динамических контактных задач
с нелинейным демпфированием
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.В. Скопецким)
Розглянуто клас динамiчних контактних задач нелiнеаризованої теорiї в’язкопружно-
стi, якi зводяться до диференцiально-операторних включень другого порядку в спецi-
альних класах нескiнченновимiрних просторiв. Дослiджено властивостi розв’язуючого
оператора. Одержано новi апрiорнi оцiнки розв’язкiв.
1. Постановка задачи. В данной работе рассматриваются задачи анализа и управления
дифференциально-операторными включениями второго порядка с отображениями квази-
монотонного типа. Такие задачи часто возникают при исследовании математических моде-
лей нелинейных процессов и полей нелинеаризированной теории вязкоупругости и пьезо-
электрики [1–3]. Для мотивации рассмотрим пример динамической контактной задачи, ко-
торая сводится к упомянутому включению в бесконечномерном пространстве.
Рассмотрим вязкоупругое тело, которое в недеформированном состоянии заполняет
ограниченную область Ω ⊂ Rd, d = 2, 3. Предположим, что граница Γ = ∂Ω регулярна [4]
и Γ разделена на три попарно непересекающиеся измеримые части ΓD, ΓN и ΓC так, что
meas(ΓC) > 0 [1]. Тело зажато на ΓD так, что поле перемещений обращается там в ноль.
Предположим также, что заданный вектор объемной силы f1 распределен в Ω, а поверхно-
стная сила f2 распределена на ΓD. Тело может войти в контакт с основанием по потенци-
альной контактной поверхности ΓC . Положим Q = Ω × S, S = [τ, T ], −∞ < τ < T < +∞.
В качестве u : Q → Rd обозначим поле перемещений, в качестве σ : Q → Sd — тензор на-
пряжения, а в качестве ε(u) = (εij(u)), εij(u) = (ui,j + uj,i)/2 — тензор деформации, где
i, j = 1, d, Sd — пространство Rd×d
s симметричных матриц порядка d. В качестве uN и uT
обозначим нормальную и тангенциальную компоненты перемещения u на Γ, uN = u · n,
uT = u − uNn, где n — единичный вектор внешней нормали к Γ. Аналогично, нормаль-
ная и тангенциальная компонента поля напряжения на Γ задается через σN = (σn) · n
и σT = σn − σNn соответственно. В качестве u0 и u1 обозначим начальное перемещение
и начальную скорость. Классическая формулировка контактной задачи имеет вид [1, 3]:
найти такие u : Q → Rd и σ : Q → Sd, что
u′′ − div σ = f1 в Q,
σ ∈ ℵ(ε(u′)) + ℑ(ε(u)) в Q,
u = 0 на ΓD × (0, T ),
σn = f2 на ΓN × (0, T ),
−σN ∈ ∂jN (x, t, uN , ς), −σT ∈ ∂jT (x, t, uT , ξ) на ΓC × (0, T ),
u(0) = u0, u′(0) = u1 в Ω.
(1)
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №5
Здесь jN (·, ·, ·, ς) : ΓC × (0, T ) × Rd → R и jT (·, ·, ·, ξ) : ΓC × (0, T ) × Rd → R — локально
липшицевы по последним переменным функции, ∂jN , ∂jT — субдифференциалы Кларка
соответствующих функционалов jN (x, t, ·, ς), jT (x, t, ·, ξ) [5].
Для вариационной постановки такой задачи положим
H0 = L2(Ω;R
d), H0 = L2(Ω;Sd),
H1 = {u ∈ H0 | ε(u) ∈ H0} = H1(Ω;Rd), V0 = {v ∈ H1 | v = 0 на ΓD}.
Используя формулу Грина, определение субдифференциала Кларка [5, 6] при соответству-
ющей гладкости начальных данных можно получить (детально см. [1, 7]) вариационную
постановку задачи (1) на поиск таких u : [0, T ] → V и σ : [0, T ] → H0, что
〈u′′(t), v〉V0
+ (σ(t), ε(v))H0
+
∫
ΓC
(j0N (x, t, uN ; vN ; ς) + j0T (x, t, uT ; vT ; ξ)) dΓ(x) >
> 〈f(t), v〉V0
для всех v ∈ V0 и п.в. t ∈ [0, T ],
u(0) = u0, u′(0) = u1,
где
〈f(t), v〉V0
= (f1(t), v)H0
+ (f2(t), v)L2(ΓN ;Rd) для всех v ∈ V0 и п.в. t.
Пусть V = L2(0, T ;V0), W = {w ∈ V | w′ ∈ V ∗} и γ : Hδ(Ω;Rd) =: Z0 → H1/2(Γ;Rd) ⊂
⊂ L2(Γ;R
d) — оператор следа, δ ∈ (1/2; 1). Заметим, что V0, Z0 — действительные сепара-
бельные банаховы пространства, H0 — действительное гильбертово пространство, отожде-
ствленное со своим сопряженным H∗
0 . Вложение H0 ⊂ Z0 компактное и плотное [4], а вло-
жение Z0 ⊂ H0 непрерывное и плотное. Получим такую цепочку непрерывных и плотных
вложений [4, 8] V0 ⊂ Z0 ⊂ H0 ⊂ Z∗
0 ⊂ V ∗
0 , где Z∗
0 и V ∗
0 — соответствующие топологически
сопряженные пространства с Z0 и V0. Заметим, что вложения V ⊂ Z ⊂ H ⊂ Z∗ ⊂ V ∗
непрерывные и плотные. Более того, вложение W ⊂ Z компактное [9, 10], а вложение
W ⊂ C(S;H0) непрерывное [4, 10].
Введем многозначные отображения A : V → Cv(V
∗), B0 : V0 → V ∗
0 и C : Z ×K → Cv(Z
∗)
с непустыми выпуклыми слабо компактными значениями в соответствующих пространс-
твах:
A(u) = {d ∈ V ∗ | d(t) ∈ A0(t, y(t)) для п.в. t ∈ S}, u ∈ V,
〈B0u, v〉V0
= (ℑ(x, ε(u)), ε(v))H0
∀u, v ∈ V0, t ∈ [0, T ],
C(u, η) = {d ∈ Z∗ | d(t) ∈ γ∗(∂J(t, γu(t), η)) для п.в. t ∈ [0, T ]},
где для п. в. t ∈ S; A0(t, ·) : V0 → Cv(V
∗
0 ),
sup
d∈A0(t,u)
〈d, v〉V0
= sup{(d, ε(v))H0
| d ∈ V ∗
0 , d(·) ∈ ℵ(·, t, ε(u(·)))}, t ∈ S, u, v ∈ V0,
J : [0, T ] × L2(ΓC ;R
d) ×K → R — функционал, который определяется так:
J(t, v, η) =
∫
ΓC
(jN (x, t, vN (x), ς) + jT (x, t, vT (x), ξ)) dΓ(x),
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №5 19
для t ∈ S, v ∈ L2(ΓC ;R
d) и η = (ς, ξ) ∈ K ⊂ K̂, где K̂ — сопряженное пространство
к некоторому рефлексивному или сепарабельному банаховому пространству, K — непустое
выпуклое замкнутое множество, а γ∗ — сопряженный оператор к γ. Таким образом, получи-
ли задачу относительно изучения функционально-топологических свойств разрешающего
оператора K(η, u1, u0, f) следующей задачи:
{
u′′ +A(u′) +Bu+ C(u, η) ∋ f,
u(0) = u0, u′(0) = u1.
(2)
Здесь K(η, u1, u0, f) = {(u, u′) ∈ C(S;V0)×W | u — решение (2)}, производная u′ элемента u
понимается в смысле пространства распределений D∗(S;V ∗
0 ). Решение задачи (2) такое, что
u ∈ C(S;V0), u
′ ∈ W ⊂ C(S;H0) называется обобщенным решением задачи (1).
Следует отметить, что в существующих подходах к исследованию такого рода задач
[1, 3, 7] предлагается накладывать достаточно жесткие условия на порождающие отобра-
жения, в частности, требуется выполнение условий “−”-коэрцитивности, ограниченности
и обобщенной псевдомонотонности A. По сравнению с упомянутыми подходами, предло-
женная в данной работе схема исследования позволяет существенно ослабить вышеука-
занные свойства дифференциальных операторов, например, техническое условие равно-
мерной “−”-коэрцитивности на “+”-коэрцитивность, обобщенной псевдомонотонности на
wλ0
-псевдомонотонность и т. п. При таком ослаблении свойств дифференциальных операто-
ров можно исследовать функционально-топологические свойства разрешающего оператора
для дифференциально-операторного включения, которые описывают более широкие классы
нелинейных процессов и полей. Стоит отметить, что конкретные классы дифференциаль-
ных операторов псевдомонотонного типа, возникающих в задаче (1), детально рассмотрены
в работах [1–14] (см. также приведенную там библиогр.).
2. Классы многозначных отображений. Пусть Y — некоторое рефлексивное бана-
хово пространство, Y ∗ — его топологически сопряженное, 〈·, ·〉Y : Y ∗×Y → R — спаривание,
A : Y → Cv(Y
∗) — многозначное отображение с непустыми выпуклыми слабо компактными
значениями. Для него определим верхнюю [A(y), ω]+ = sup
d∈A(y)
〈d, ω〉Y и нижнюю [A(y), ω]
_
=
= inf
d∈A(y)
〈d, ω〉Y опорные функции, где y, ω ∈ Y , а также верхнюю ‖A(y)‖+ = sup
d∈A(y)
‖d‖Y ∗
и нижнюю ‖A(y)‖
_
= inf
d∈A(y)
‖d‖Y ∗ нормы [8, 11]. Пусть Ŵ — некоторое нормированное
пространство непрерывно вложенное в Y , X̂ — некоторое отделимое ЛТП, X ⊂ X̂ — не-
которое непустое множество. Рассмотрим параметризированное многозначное отображение
A : Y × X → Cv(Y
∗).
Определение 1. Многозначное отображение A : Y × X → Cv(Y
∗) называется деми-
замкнутым, если для произвольной последовательности {yn, un}n>0 ⊂ Y × X такой, что
yn → y в Y , un → u0 в X̂, dn
w
−→ d0 в Y ∗, где dn ∈ A(yn, un) ∀n > 1, следует, что
d0 ∈ A(y0, u0).
Определение 2. Многозначное отображение A : Y → Cv(Y
∗) называется:
λ0-псевдомонотонным на Ŵ (wλ0
-псевдомонотонным), если для любой последователь-
ности {yn, dn}n>0 ⊂ Ŵ ×Y ∗ такой, что dn ∈ A(yn) ∀n > 1, yn
w
−→ y0 в Ŵ , dn
w
−→ d0 в Y ∗ при
n → +∞, из неравенства lim
n→∞
〈dn, yn − y0〉Y 6 0 следует, что существует такая подпоследо-
вательность {ynk
, dnk
}k>1 ⊂ {yn, dn}n>1, что lim
k→∞
〈dnk
, ynk
− w〉Y > [A(y0), y0 − w] ∀w ∈ Y ;
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №5
ограниченным, если для каждого L > 0 существует такое l > 0, что ‖A(y)‖+ 6 l ∀ y ∈ Y :
‖y‖Y 6 L.
3. Основные результаты. В обозначениях пункта 1 изучим функционально-тополо-
гические свойства разрешающего оператора задачи (2).
Теорема 1. Пусть A : V → Cv(V
∗) — λ0-псевдомонотонное на W ограниченное ото-
бражение, B : V → V ∗ — линейный непрерывный оператор, а мультиотображение C : Z×
× K → Cv(Z
∗) ограниченное и демизамкнутое. Дополнительно рассмотрим последова-
тельность {fm, am, bm, vm}m>1 ⊂ V ∗ ×H0 × V0 ×K. Предположим также, что для всех
m > 1 (ym, y′m) ∈ K(vm, am, bm, fm), fm → f0 в V ∗, am → a0 в H0, bm → b0 в V0, vm → v0
в K̂, y′m
w
−→ g в V , m → +∞. Тогда существует y ∈ C(S;V0) такое, что y′ ∈ W ,
y′ = g и (y, y′) ∈ K(v0, a0, b0, f0). Более того, ym → y в C(S;V0), y′m
w
−→ y′ в W , ∀ t ∈ S
y′m(t)
w
−→ y′(t) в H0, m → +∞.
Теперь дополнительно предположим, что существуют действительные гильбертовы про-
странства Vσ, Vσ1
такие, что вложения Vσ ⊂ V0 ⊂ Vσ1
⊂ H0 непрерывные и плотные [8, 9].
Тогда вложение Vσ ⊂ H0 компактное. Положим Wσ = {y ∈ V | y′ ∈ Lq(S;V
∗
σ )}, где V ∗
σ —
топологически сопряженное с Vσ пространство, y′ — производная элемента y ∈ V в смысле
D∗(S;V ∗
σ ) [4].
Теорема 2. Если отображение A : V → Cv(V
∗) является λ0-псевдомонотонным на Wσ,
∃ c1, c2, c3 > 0: ∀ y ∈ V [A(y), y]+ > c1‖y‖
p
V − c2, ‖A(y)‖+ 6 c3(1 + ‖y‖p−1
V );
отображение B : L2(S;Vσ1
) → L2(S;V
∗
σ1
) удовлетворяет такое свойство:
∀u ∈ V (Bu)(t) = B0u(t) для п.в. t ∈ S,
где B0 : Vσ1
→ V ∗
σ1
— линейный ограниченный самосопряженный монотонный оператор;
а отображение C : Z ×K → Cv(Z
∗) демизамкнутое и для некоторого v ∈ K
∃ ε∗ > 0: ∀ y ∈ Z sup
d∈C(y,v)
‖d‖Z∗ 6 (c1γ
−p(T − τ)−p/q − ε∗)(1 + ‖y‖p−1
Z ),
где γ ≡ const из неравенства ‖ · ‖Z0
6 γ‖ · ‖V0
, то для произвольных f ∈ V ∗, a ∈ H0, b ∈ V0,
K(v, a, b, f) 6= ∅.
Зафиксируем теперь произвольные f ∈ V ∗, a ∈ H0, b ∈ V0. Положим Gad = {(y, y′, v) ∈
∈ C(S;V0) × W × K | (y, y′) ∈ K(v, a, b, f)}.
Теорема 3. Пусть L : C(S;V0)× (W ;σ(W ∗;W ))× (X;σ(X∗;X)) → R — полунепрерыв-
ный снизу функционал такой, что
∀u ∈ C(S;V0), v ∈ W, w ∈ X∗ L(u, v, w) > ϕ1(‖v‖V ) + ϕ2(‖w‖X∗),
где ϕi : R+ → R такие, что ϕi(s) → +∞, s → +∞, i = 1, 2. Предположим также, что
A : V → Cv(V
∗), B : V → V ∗, C : Z × K → Cv(Z
∗) удовлетворяют условиям теорем 1, 2.
Тогда задача
{
L(y, y′, v) → inf,
(y, y′, v) ∈ Gad
имеет решение.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №5 21
1. Denkowski Z., Migorski S. Existence of solutions to evolution second order hemivariational inequalities with
multivalued damping // System Modeling and Optimization / Ed. by J. Cagnol, J.-P. Zolesio. – Dordrecht:
Kluwer, 2005. – P. 203–215.
2. Задоянчук Н.В., Касьянов П.О. Метод Фаедо–Гальоркiна для еволюцiйних включень II порядку з
wλ0
-псевдомонотонними вiдображеннями // Укр. мат. журн. – 2009. – № 2. – С. 153–172.
3. Panagiotopoulos P.D. Hemivariational inequalities. – New York: Springer, 1993. – 451 p.
4. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифферен-
циальные уравнения. – Москва: Мир, 1978. – 337 с.
5. Clarke F.H. Optimization and nonsmooth analysis. – Philadelphia: SIAM, 1990. – 308 p.
6. Чикрий А.А. Конфликтно управляемые процессы. – Киев: Наук. думка, 1992. – 381 с.
7. Migorski S. Boundary hemivariational inequalities of hyperbolic type and applications // J. Global Optim. –
2005. – 31, No 3. – P. 505–533.
8. Згуровский М.З., Касьянов П.О., Мельник В.С. Дифференциально-операторные включения и вари-
ационные неравенства в бесконечномерных пространствах. – Киев: Наук. думка, 2008. – 464 с.
9. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – Москва: Мир, 1972. – 587 с.
10. Kasyanov P.O., Mel’nik V. S., Piccirillo A.M. On some approximations and main topological descriptions
for special classes of Banach spaces with integrable derivatives // Meth. Funct. Anal. and Topol. – 2008. –
14, No 3. – P. 255–270.
11. Згуровский М.З., Мельник В.С. Метод штрафа для вариационных неравенств с многозначными
отображениями. I // Кибернетика и систем. анализ. – 2000. – № 4. – С. 57–69.
12. Zgurovsky M.Z., Melnik V. S. Nonlinear analysis and control of physical processes and fields. – Berlin:
Springer, 2004. – 508 p.
13. Дейнека В. С., Сергиенко И.В., Скопецкий В. В. Модели и методы решения задач с условиями со-
пряжения. – Киев: Наук. думка, 1998. – 614 с.
14. Kapustyan O.V., Mel’nik V. S., Valero J., Yasinsky V.V. Global attractors for multivalued dynamical
systems. – Киев: Наук. думка, 2008. – 208 с.
Поступило в редакцию 09.10.2009Киевский национальный университет
им. Тараса Шевченко
Учебно-научный комплекс “Институт прикладного
системного анализа” НТУ Украины
“Киевский политехнический институт”
МОН Украины и НАН Украины, Киев
N.V. Zadoyanchuk, P.O. Kasyanov
The method of investigation of dynamical contact problems with
nonlinear damping
We consider a class of dynamical contact problems of nonlinearized viscoelasticity theory which
can be reduced to the second-order differential-operator inclusions in special classes of infinite-
dimensional spaces. We investigate properties of a resolving operator and obtain new a priori
estimations.
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №5
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-29687 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:31:46Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Задоянчук, Н.В. Касьянов, П.О. 2011-12-26T12:51:17Z 2011-12-26T12:51:17Z 2010 Метод исследования динамических контактных задач с нелинейным демпфированием / Н.В. Задоянчук, П.О. Касьянов // Доп. НАН України. — 2010. — № 5. — С. 18-22. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29687 517.9 Розглянуто клас динамiчних контактних задач нелiнеаризованої теорiї в’язкопружностi, якi зводяться до диференцiально-операторних включень другого порядку в спецiальних класах нескiнченновимiрних просторiв. Дослiджено властивостi розв’язуючого оператора. Одержано новi апрiорнi оцiнки розв’язкiв. We consider a class of dynamical contact problems of nonlinearized viscoelasticity theory which can be reduced to the second-order differential-operator inclusions in special classes of infinitedimensional spaces. We investigate properties of a resolving operator and obtain new a priori estimations. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Метод исследования динамических контактных задач с нелинейным демпфированием The method of investigation of dynamical contact problems with nonlinear damping Article published earlier |
| spellingShingle | Метод исследования динамических контактных задач с нелинейным демпфированием Задоянчук, Н.В. Касьянов, П.О. Математика |
| title | Метод исследования динамических контактных задач с нелинейным демпфированием |
| title_alt | The method of investigation of dynamical contact problems with nonlinear damping |
| title_full | Метод исследования динамических контактных задач с нелинейным демпфированием |
| title_fullStr | Метод исследования динамических контактных задач с нелинейным демпфированием |
| title_full_unstemmed | Метод исследования динамических контактных задач с нелинейным демпфированием |
| title_short | Метод исследования динамических контактных задач с нелинейным демпфированием |
| title_sort | метод исследования динамических контактных задач с нелинейным демпфированием |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29687 |
| work_keys_str_mv | AT zadoânčuknv metodissledovaniâdinamičeskihkontaktnyhzadačsnelineinymdempfirovaniem AT kasʹânovpo metodissledovaniâdinamičeskihkontaktnyhzadačsnelineinymdempfirovaniem AT zadoânčuknv themethodofinvestigationofdynamicalcontactproblemswithnonlineardamping AT kasʹânovpo themethodofinvestigationofdynamicalcontactproblemswithnonlineardamping |