Аналіз стійкості циліндричних оболонок при взаємодії з рухомою рідиною
Розглядається задача про стiйкiсть тонких цилiндричних оболонок при взаємодiї з протiкаючою рiдиною. Дослiджуються двi рiзнi форми втрати стiйкостi: квазiстатична (дивергентна) та динамiчна (типу флатер). Вивчається вплив демпфiрування на значення критичних швидкостей дивергенцiї та флатеру. The pro...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29689 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Аналіз стійкості циліндричних оболонок при взаємодії з рухомою рідиною / В.Д. Кубенко, П.С. Ковальчук, М.П. Подчасов // Доп. НАН України. — 2010. — № 5. — С. 50-56. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860105854870618112 |
|---|---|
| author | Кубенко, В.Д. Ковальчук, П.С. Подчасов, М.П. |
| author_facet | Кубенко, В.Д. Ковальчук, П.С. Подчасов, М.П. |
| citation_txt | Аналіз стійкості циліндричних оболонок при взаємодії з рухомою рідиною / В.Д. Кубенко, П.С. Ковальчук, М.П. Подчасов // Доп. НАН України. — 2010. — № 5. — С. 50-56. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Розглядається задача про стiйкiсть тонких цилiндричних оболонок при взаємодiї з протiкаючою рiдиною. Дослiджуються двi рiзнi форми втрати стiйкостi: квазiстатична (дивергентна) та динамiчна (типу флатер). Вивчається вплив демпфiрування на значення критичних швидкостей дивергенцiї та флатеру.
The problem of the stability of thin cylindrical shells interacting with a flowing fluid is considered. Two different types of instability, quasistatic (divergence) and dynamic (flutter) ones, are investigated. Influence of a damping on the critical velocity of the divergence and flutter instabilities is studied.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:31:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
5 • 2010
МЕХАНIКА
УДК 539.3
© 2010
Академiк НАН України В.Д. Кубенко, П. С. Ковальчук,
М. П. Подчасов
Аналiз стiйкостi цилiндричних оболонок при взаємодiї
з рухомою рiдиною
Розглядається задача про стiйкiсть тонких цилiндричних оболонок при взаємодiї з про-
тiкаючою рiдиною. Дослiджуються двi рiзнi форми втрати стiйкостi: квазiстатична
(дивергентна) та динамiчна (типу флатер). Вивчається вплив демпфiрування на зна-
чення критичних швидкостей дивергенцiї та флатеру.
Проблемам динамiчної взаємодiї тонких цилiндричних оболонок iз внутрiшнiм потоком рi-
дини присвяченi роботи [1–4 та iн.]. Головну увагу в них було зосереджено на визначеннi
критичних значень швидкостей руху рiдини, при яких має мiсце квазiстатична (дивергент-
на) або динамiчна (типу флатер) втрата стiйкостi вказаних оболонок, а також на дослiд-
женнi впливу граничних умов, нелiнiйних та iнших факторiв (зокрема ефекту стисливостi
рiдини) на нестiйкiсть та динамiчне деформування оболонок в закритичних областях. При
розрахунках в бiльшостi випадкiв використовувалась апроксимацiя прогину за формами
з фiксованими параметрами хвилеутворення.
У данiй роботi розглядається задача про втрату стiйкостi цилiндричних оболонок, зу-
мовленої взаємодiєю iз рухомою рiдиною, при врахуваннi в процесi деформування оболонок
згинних форм з будь-якими параметрами хвилеутворення в поздовжньому i в коловому на-
прямках. Дослiджується вплив демпфiрування на динамiчну нестiйкiсть несучих оболонок.
1. Розглядається замкнена, пружна, iзотропна оболонка цилiндричної форми, повнiстю
заповнена рiдиною, що рухається з деякою постiйною швидкiстю U . Вiдповiднi геометричнi
розмiри оболонки показанi на рис. 1. Вважається, що рiдина в оболонцi є iдеальною та
нестисливою, рух рiдини — потенцiальний.
Для опису динамiчного деформування оболонки виберемо лiнеаризованi рiвняння кла-
сичної теорiї, поданi в змiшанiй формi [1, 2]
D
h
∇4w =
1
R
∂2Φ
∂x2
− ρ
∂2w
∂t2
− ε0ρ
∂w
∂t
− Pг
h
;
1
E
∇4Φ = − 1
R
∂2w
∂x2
.
(1)
50 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №5
Рис. 1. Геометрiя оболонки та координатна система
Тут використано традицiйнi в теорiї оболонок позначення [5], крiм того, ε0 — коефiцiєнт
конструкцiйного демпфiрування; Pг — гiдродинамiчний тиск, який визначатимемо iз вiдо-
мого спiввiдношення [1, 2, 4]
Pг = −ρ0
(
∂ϕ
∂t
+ U
∂ϕ
∂x
)
r=R
, (2)
де ρ0 — густина рiдини; ϕ = ϕ(x, r, θ, t) — потенцiал збурених швидкостей рiдини (x, r, θ —
цилiндричнi координати).
За умов вiльного обпирання на торцевих перерiзах оболонки (при x = 0, x = l) [5]
динамiчний прогин w можна навести у виглядi двопараметричного розкладу
w =
∞
∑
n=0
∞
∑
m=1
(fnm
1 cos sny + fnm
2 sin sny) sinλmx, (3)
де fnm
1,2 — невiдомi функцiї часу (що мають сенс узагальнених координат); sn = n/R, λm =
= mπ/l — параметри хвилеутворення в коловому та поздовжньому напрямках вiдповiдно.
Крайову задачу для знаходження потенцiалу ϕ сформулюємо так [2, 4]:
∂2ϕ
∂x2
+
∂2ϕ
∂r2
+
1
r
∂ϕ
∂r
+
1
r2
∂2ϕ
∂θ2
= 0 (0 6 r 6 R, 0 6 x 6 l, 0 6 θ 6 2π);
∂ϕ
∂r
∣
∣
∣
∣
r=R
= −
(
∂w
∂t
+ U
∂w
∂x
)
;
∂ϕ
∂r
∣
∣
∣
∣
r=0
< ∞.
(4)
Використовуючи метод Бубнова–Гальоркiна для визначення невiдомих функцiй fnm
1,2 ,
отримаємо таку систему рiвнянь:
f̈nm
1 + (ω2
nm − αnmU2)fnm
1 + εnmḟnm
1 +
∞
∑
q=1
βnq
m Uḟnq
1 = 0;
f̈nm
2 + (ω2
nm − αnmU2)fnm
2 + εnmḟnm
2 +
∞
∑
q=1
βnq
m Uḟnq
2 = 0
(n = 0, 1, 2 . . . ; m = 1, 2, . . .),
(5)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №5 51
в якiй позначено
ω2
nm =
1
ρMnm
[
D
h
∆(λm, sn) +
Eλ4
m
R2∆(λm, sn)
]
; Mnm = 1 +
ρ0
ρ
Knm
hλm
;
αnm =
ρ0
ρh
λm
Mnm
Knm; εnm =
ε0
Mnm
; βnq
m =
4ρ0
ρhl
λm[1− (−1)m−q]
(λ2
m − λ2
q)Mnm
Knq;
Knm =
2In(λmR)
In−1(λmR) + In+1(λmR)
; ∆(λm, sn) = (λ2
m + s2n)
2.
(6)
Для знаходження критичних швидкостей руху рiдини, при яких вiдбуватиметься втрата
стiйкостi оболонки, пiдставимо в рiвняння (5) вирази
fnm
k = Cnm
k eΩt, Cnm
k = const (k = 1, 2) (7)
i розглянемо визначник
‖(ω2
nm − αnmU2 +Ω2 + εnmΩ)δmq + βnq
m UΩ‖ = 0 (n = 0, 1, . . . ; m = 1, 2, . . .). (8)
Незбурена форма несучої оболонки залишатиметься стiйкою, поки всi показники Ω знахо-
дитимуться в лiвiй пiвплощинi комплексної змiнної [1]. Найменше значення швидкостi U ,
при якому один iз показникiв Ω переходить на праву пiвплощину, залишаючись при цьо-
му комплексним, вiдповiдатиме критичнiй швидкостi флатеру U = Uф. Якщо перехiд по-
казника Ω на праву пiвплощину вiдбуватиметься через початок координат (тобто, в мо-
мент переходу Ω = 0), то втрата стiйкостi оболонки характеризуватиметься дивергентною
формою (монотонним випинанням). Критичну швидкiсть в даному випадку позначимо че-
рез U = U (1)
д .
2. Для з’ясування принципової сторони питання про втрату стiйкостi несучої оболонки
розглянемо чотиримодову апроксимацiю прогину, в якому врахованi спряженi форми [6, 7],
а також форми з рiзними параметрами хвилеутворення
w = (f1 cos sny + f2 sin sny) sinλ1x+ (f3 cos sny + f4 sin sny) sinλ2x. (9)
Тут sn = n/R, λ1 = m1π/l, λ2 = m2π/l, причому хвильовi параметри n, m1, m2 можуть на-
бувати будь-яких цiлочисельних значень (m1 6= m2). Характеристичне рiвняння (8) матиме
тодi вигляд
Ω4 + c1Ω
3 + c2Ω
2 + c3Ω+ c4 = 0, (10)
де
c1 = ε1 + ε2; c2 = q − α0U
2;
c3 = ε1(ω
2
2 − α2U
2) + ε2(ω
2
1 − α1U
2); c4 = (ω2
1 − α1U
2)(ω2
2 − α2U
2);
α0 = α1 + α2 − β1β2; q = ω2
1 + ω2
2 + ε1ε2,
(11)
з урахуванням замiн ωi = ωnmi
, αi = αnmi
, β1 = βnm2
m1
, β2 = βnm1
m2
, εi = ε0/Mnmi
(i = 1, 2).
Нехай ε0 = 0. Тодi iз рiвняння (10) отримаємо такi розв’язки:
Ω2
1,2 = −c2
2
±
√
c22
4
− c4. (12)
52 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №5
Рис. 2. Залежнiсть квадрата характеристичного показника Ω вiд швидкостi руху рiдини U при рiзних
значеннях хвильового параметра n
Звiдси випливає, що для стiйкостi оболонки необхiдно виконання двох умов:
c4 ≻ 0, c2 ≻ 2
√
c4. (13)
Невиконання першої з них зумовлює нестiйкiсть дивергентного типу, другої — типу
флатер. Критичнi швидкостi руху рiдини, при яких настане динамiчна нестiйкiсть, визна-
чатимуться в свою чергу iз спiввiдношення
U2
ф = U2
1,2 = − d2
2d1
±
√
d22
4d21
− d3
d1
, (14)
де
d1 = α2
0 − 4α1α2; d2 = −2(ω2
1 + ω2
2)α0 + 4(ω2
1α2 + ω2
2α1); d3 = (ω2
1 − ω2
2)
2. (15)
Частота автоколивань оболонки p виражатиметься вiдповiдно так:
p =
√
ω2
1 + ω2
2 − α0U2
ф
2
. (16)
На рис. 2 наведено графiки залежностi безрозмiрних величин Ω2 вiд швидкостей руху
рiдини U , побудованi для оболонки з параметрами E = 0,67 · 1011 Па; ρ = 2,7ρ0; ρ0 =
= 103 кг/м3; l/R = 5; h = 6,4 · 10−4 м; R = 0,16 м; µ = 0,32 з використанням формули (12)
при m1 = 1, m2 = 2 та рiзних значеннях колового параметра n: n = 4, 5, 6. При отриманнi
результатiв було прийнято [4] U = U/k0, Ω = Ωl/k0, де k0 = π2/l
√
D/(ρh) (D — цилiндрична
жорсткiсть оболонки).
З цих графiкiв видно, що дивергентна втрата стiйкостi оболонки передусiм наступить
при збудженнi в нiй колової форми з числом хвиль n = 4. Швидкiсть руху рiдини при
цьому U (1)
д = 4,32. Нестiйкiсть типу флатер, яка буде реалiзована при появi кратних ко-
ренiв рiвняння (10), матиме мiсце при збудженнi iншої колової форми, а саме n = 5.
У табл. 1 наведенi числовi значення знайдених iз спiввiдношення (14) безрозмiрних швид-
костей Uф, що вiдповiдають рiзним комбiнацiям колових (n) та осьових (m1, m2) хвильо-
вих параметрiв. Жирним позначенi величини мiнiмальних швидкостей Uф, при яких ви-
никнуть неосесиметричнi коливання оболонки з прогресуючими амплiтудами для кожної
iз серiй параметрiв m1, m2. Вiдзначимо, що цi швидкостi вiдповiдають взаємодiї сусiднiх
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №5 53
осьових форм, тобто форм з параметрами m1 та m2 = m1 + 1. Врахування в апрокси-
мацiї (9) форм з будь-якими iншими комбiнацiями параметрiв m1, m2 призведе до вини-
кнення флатеру при бiльших значеннях швидкостей U . Зауважимо також, що вiдсутнiсть
у деяких випадках додатних розв’язкiв U означає, що рiвняння (10) не має кратних ко-
ренiв, внаслiдок чого втрата стiйкостi оболонки за типом флатер в данiй ситуацiї взагалi
неможлива.
Величини безрозмiрних частот p (p = pl/k0) флатерних коливань оболонки, отриманi
на пiдставi формули (16), наведенi в табл. 2.
Були проведенi також дослiдження швидкостей Uф та частот p флатеру при iнших зна-
ченнях параметрiв m1, m2, n. На основi отриманих результатiв зроблено такi висновки.
Залежно вiд того, якi згиннi форми оболонки збуджуються при динамiчнiй втратi стiйко-
стi, коливання, якi при цьому виникають, можуть характеризуватись як близькими, так
i кратними частотами. Наприклад, близькими можна вважати видiленi в табл. 2 частоти
коливань p1 = 14,44 i p2 = 14,82, що реалiзуються за комбiнованими формами m1 = 2,
m2 = 3, n = 5 i m1 = 2, m2 = 3, n = 6. Швидкiсть руху рiдини при цьому U ≈ 6. Фiзично
це означає, що динамiчна втрата стiйкостi оболонки при данiй швидкостi може вiдбуватись
шляхом одночасного збудження в нiй згинних форм з рiзними коловими параметрами n.
Вiдзначимо, що ця особливiсть (наявнiсть внутрiшнiх резонансiв [6–8]) повинна обов’язково
враховуватися при побудовi нелiнiйних розрахункових моделей оболонок, що взаємодiють
з протiкаючою рiдиною.
Таблиця 1
m1 m2
n
2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 16,12 10,08 7,17 6,34 7,82 11,06 15,36 20,60
3 36,85 25,70 18,32 13,18 — — — —
4 23,82 18,21 13,85 10,66 — — — —
2 3 17,55 12,11 8,80 6,16 6,00 6,40 8,23 10,97
4 38,54 30,86 23,76 18,41 14,31 10,56 — —
5 23,79 20,20 16,36 13,22 10,75 8,64 — —
3 4 18,29 13,73 10,48 8,28 6,89 6,23 6,47 7,79
5 35,56 32,32 26,87 21,90 17,85 14,50 11,34 —
6 21,79 20,53 17,73 14,95 12,58 10,60 8,84 —
Таблиця 2
m1 m2
n
2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 42,01 25,99 18,31 15,04 11,92 2,70 15,47 24,74
3 183,45 127,86 90,06 61,68 — — — —
4 114,89 89,20 67,04 48,14 — — — —
2 3 43,18 25,84 17,36 14,44 14,82 12,30 17,06 34,29
4 305,41 248,95 191,70 147,15 111,05 72,75 — —
5 167,10 154,42 127,36 102,17 79,36 52,83 — —
3 4 46,35 23,66 3,42 7,92 5,97 13,83 13,77 20,21
5 369,80 350,84 294,44 239,67 193,35 152,60 108,81 —
6 171,29 199,78 181,48 155,10 129,19 103,85 73,45 —
54 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №5
3. Якщо ε0 6= 0, то стiйкiсть несучої оболонки була дослiджена на основi критерiїв
Рауса–Гурвiца, якi в даному випадку матимуть вигляд [9]
c2 ≻ 0, c3 ≻ 0, c4 ≻ 0, c1c2c3 − c23 − c4c
2
1 ≻ 0. (17)
Аналiзуючи цi критерiї, встановлюємо, що демпфiрування не змiнюватиме величини
критичної швидкостi руху рiдини U (1)
д , при якiй настане дивергенцiя (нагадаємо, що U (1)
д =
= ω1/
√
α1). Що стосується втрати стiйкостi оболонки типу флатер, то вона вiдбудеться при
деякiй швидкостi U = U
(1)
ф , яка при вiдносно малих значеннях параметра демпфiрування
ε0 на незначну величину перевищуватиме швидкiсть U (2)
д = ω2/
√
α2. При цьому в вузькiй
зонi U (2)
д ≺ U ≺ U
(1)
ф оболонка також знаходитиметься в зонi нестiйкостi дивергентного
типу, оскiльки в цiй зонi ImΩ = 0.
Таким чином, при наявностi демпфiрування в рiвняннях (1) квазiстатична нестiйкiсть
оболонки плавно перейде в динамiчну нестiйкiсть. У формуваннi флатерної нестiйкостi
на початковому етапi братиме участь лише одна осьова форма m = 1. Iнша форма m =
= 2 продовжує деякий час бути стiйкою. При бiльш високiй швидкостi U , коли уяв-
нi частини коренiв Ω рiвняння (10) стають максимально наближеними одна до iншої,
наступить так званий “класичний” флатер [1, 5], що реалiзується за одночасною уча-
стю в динамiчному процесi обох згаданих форм. Вiн характеризується бiльш iстотним
(“бурхливим”) зростанням в часi амплiтуд коливань оболонки порiвняно з “одномодовим”
флатером.
Таким чином, демпфiрування є в даному випадку “дестабiлiзуючим” фактором, зумов-
леним неконсервативнiстю системи [1]. При його врахуваннi в розрахунковiй моделi флатер
може наступити при менших швидкостях руху рiдини, нiж при ε0 = 0.
Робота виконана при частковiй фiнансовiй пiдтримцi ДФФД Мiнiстерства освiти та науки
України (проект Ф28/257-2009).
1. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. – Москва: Физматгиз, 1961. –
339 с.
2. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи гидроупругости. – Москва: Наука, 1979. –
416 с.
3. Горачек Я., Золотарев И.А. Собственные колебания и устойчивость цилиндрических оболочек при
взаимодействии с протекающей жидкостью // Динамика тел, взаимодействующих со средой / Под
ред. академика АН УССР А.Н. Гузя. – Киев: Наук. думка, 1991. – С. 215–272.
4. Amabili M., Pellicano F., Paїdoussis M.P. Non-linear dynamics and stability of circular cylindrical
shells containing flowing fluid. Part I: Stability // J. of Sound and Vibration. – 1999. – 225, No 4. –
P. 655–699.
5. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. – Москва: Наука, 1972. – 432 с.
6. Кубенко В.Д., Ковальчук П.С., Краснопольская Т.С. Нелинейное взаимодействие форм изгибных
колебаний цилиндрических оболочек. – Киев: Наук. думка, 1984. – 220 с.
7. Кубенко В.Д., Ковальчук П.С., Подчасов Н.П. Нелинейные колебания цилиндрических оболочек. –
Киев: Вища шк., 1989. – 208 с.
8. Kubenko V.D., Kovalchuk P. S., Kruk L.A. On free non-linear vibrations of fluid-filled cylindrical shells
with multiple natural frequencies // Прикл. механика. – 2005. – 41, No 10. – С. 127–138.
9. Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения. – Москва: Наука, 1976. – 320 с.
Надiйшло до редакцiї 02.09.2009Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка
НАН України, Київ
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №5 55
Academician of the NAS of Ukraine V.D. Kubenko, P. S. Koval’chuk,
M.P. Podchasov
Analysis of stability of cylindrical shells interacting with a flowing fluid
The problem of the stability of thin cylindrical shells interacting with a flowing fluid is considered.
Two different types of instability, quasistatic (divergence) and dynamic (flutter) ones, are investi-
gated. Influence of a damping on the critical velocity of the divergence and flutter instabilities is
studied.
56 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №5
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-29689 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:31:24Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кубенко, В.Д. Ковальчук, П.С. Подчасов, М.П. 2011-12-26T12:54:05Z 2011-12-26T12:54:05Z 2010 Аналіз стійкості циліндричних оболонок при взаємодії з рухомою рідиною / В.Д. Кубенко, П.С. Ковальчук, М.П. Подчасов // Доп. НАН України. — 2010. — № 5. — С. 50-56. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29689 539.3 Розглядається задача про стiйкiсть тонких цилiндричних оболонок при взаємодiї з протiкаючою рiдиною. Дослiджуються двi рiзнi форми втрати стiйкостi: квазiстатична (дивергентна) та динамiчна (типу флатер). Вивчається вплив демпфiрування на значення критичних швидкостей дивергенцiї та флатеру. The problem of the stability of thin cylindrical shells interacting with a flowing fluid is considered. Two different types of instability, quasistatic (divergence) and dynamic (flutter) ones, are investigated. Influence of a damping on the critical velocity of the divergence and flutter instabilities is studied. Робота виконана при частковiй фiнансовiй пiдтримцi ДФФД Мiнiстерства освiти та науки України (проект Ф28/257-2009). uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Аналіз стійкості циліндричних оболонок при взаємодії з рухомою рідиною Analysis of stability of cylindrical shells interacting with a flowing fluid Article published earlier |
| spellingShingle | Аналіз стійкості циліндричних оболонок при взаємодії з рухомою рідиною Кубенко, В.Д. Ковальчук, П.С. Подчасов, М.П. Механіка |
| title | Аналіз стійкості циліндричних оболонок при взаємодії з рухомою рідиною |
| title_alt | Analysis of stability of cylindrical shells interacting with a flowing fluid |
| title_full | Аналіз стійкості циліндричних оболонок при взаємодії з рухомою рідиною |
| title_fullStr | Аналіз стійкості циліндричних оболонок при взаємодії з рухомою рідиною |
| title_full_unstemmed | Аналіз стійкості циліндричних оболонок при взаємодії з рухомою рідиною |
| title_short | Аналіз стійкості циліндричних оболонок при взаємодії з рухомою рідиною |
| title_sort | аналіз стійкості циліндричних оболонок при взаємодії з рухомою рідиною |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29689 |
| work_keys_str_mv | AT kubenkovd analízstíikostícilíndričnihobolonokprivzaêmodíízruhomoûrídinoû AT kovalʹčukps analízstíikostícilíndričnihobolonokprivzaêmodíízruhomoûrídinoû AT podčasovmp analízstíikostícilíndričnihobolonokprivzaêmodíízruhomoûrídinoû AT kubenkovd analysisofstabilityofcylindricalshellsinteractingwithaflowingfluid AT kovalʹčukps analysisofstabilityofcylindricalshellsinteractingwithaflowingfluid AT podčasovmp analysisofstabilityofcylindricalshellsinteractingwithaflowingfluid |