Осветление суспензии фильтрованием с убывающим расходом
Отримано ефективний розв’язок математичної задачi фiльтрування малоконцентрованої суспензiї крiзь однорiдне завантаження з убуваючою в часi витратою i лiнiйною кiнетикою масообмiну. Його обгрунтування виконано шляхом зiставлення з частинним строгим розв’язком аналогiчної задачi на типових прикладах....
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29690 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Осветление суспензии фильтрованием с убывающим расходом / В.Л. Поляков // Доп. НАН України. — 2010. — № 5. — С. 57-63. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859727612118564864 |
|---|---|
| author | Поляков, В.Л. |
| author_facet | Поляков, В.Л. |
| citation_txt | Осветление суспензии фильтрованием с убывающим расходом / В.Л. Поляков // Доп. НАН України. — 2010. — № 5. — С. 57-63. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Отримано ефективний розв’язок математичної задачi фiльтрування малоконцентрованої суспензiї крiзь однорiдне завантаження з убуваючою в часi витратою i лiнiйною кiнетикою масообмiну. Його обгрунтування виконано шляхом зiставлення з частинним строгим розв’язком аналогiчної задачi на типових прикладах. Помiтне розходження мiж наближеними i точними розрахунковими кривими для основних характеристик фiльтрування спостерiгається за межами фiльтроциклiв.
An effective solution to the mathematical task of low-content suspension filtration through a uniform filter medium has been obtained at a declining rate and the linear mass-exchange kinetics. It has been substantiated by comparison with a particular exact solution to the same task at a number of typical examples. The noticeable discrepancy between approximate and exact curves for the main filtration characteristics is observed out of the filter action period.
|
| first_indexed | 2025-12-01T11:43:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 532.546:626.862.9
© 2010
В.Л. Поляков
Осветление суспензии фильтрованием с убывающим
расходом
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.Я. Олейником)
Отримано ефективний розв’язок математичної задачi фiльтрування малоконцентро-
ваної суспензiї крiзь однорiдне завантаження з убуваючою в часi витратою i лiнiйною
кiнетикою масообмiну. Його обгрунтування виконано шляхом зiставлення з частинним
строгим розв’язком аналогiчної задачi на типових прикладах. Помiтне розходження
мiж наближеними i точними розрахунковими кривими для основних характеристик
фiльтрування спостерiгається за межами фiльтроциклiв.
Наряду с широко практикуемым на водоочистных сооружениях режимом фильтрования
при постоянном расходе суспензии также нередко реализуется и другой режим — с убыва-
ющим расходом, имеющий ряд серьезных преимуществ [1, 2]. Постепенное снижение про-
изводительности фильтра в последнем случае обусловлено постоянством напоров на его
входе и выходе (подводящих и отводящих коммуникациях), а также прогрессирующим на-
коплением осадка в пористой (зернистой) загрузке. Теоретические исследования действия
фильтров во втором режиме существенно осложняются ввиду переменности скорости филь-
трования V и массообменных коэффициентов α, β [3–6]
α = αV V
r, β = βV V
q. (1)
Таким образом, два блока (деформационный и гидродинамический), образующие об-
щую математическую модель фильтрования малоконцентрированной суспензии [7], ока-
зываются тесно взаимосвязанными, что и препятствует применению аналитических мето-
дов. Исключение составила работа [8], в которой удалось найти частное точное решение
задачи фильтрования при V = V (t) для единственной (линейной) формы зависимости ко-
эффициентов α, β от V . Как раз указанное решение и используется в качестве эталонного
для оценки построенного в данной работе приближенного решения. Более продуктивными
в практическом отношении являются численные решения вышеупомянутой задачи и ее бо-
лее сложных аналогов [9, 10]. Однако применять их в инженерной практике, как правило,
способны только сами разработчики. Построенное же здесь эффективное аналитическое
решение задачи фильтрования с убывающим расходом суспензии, а также расчетные зави-
симости на его базе послужат надежным инструментом при прогнозе развития комплекс-
ного процесса фильтрования, обосновании технологических и конструктивных параметров
фильтров, действующих при заданном перепаде напоров.
Рассматриваемая математическая задача включает уравнение массопереноса
V (t)
∂C
∂z
+
∂S
∂t
= 0, (2)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №5 57
уравнение линейной кинетики массообмена между твердой и жидкой фазами загрузки,
в котором связь его коэффициентов со скоростью V учитывается, согласно (1),
∂S
∂t
= αV V
r(t)− βV V
q(t)S, (3)
уравнение движения
V (t) = −k(Sd)
∂h
∂z
, (4)
выражение для коэффициента фильтрации [11, 12]
k = k0
[
1−
(
Sd
n0
)m1
]m2
, (5)
соотношение между содержанием осадка и частиц суспензии в нем
Sd = γS. (6)
Краевой оператор имеет следующий вид:
z = 0, C = C0; h = Hu; (7)
z = L, h = Hd; (8)
t = 0, S = 0. (9)
Здесь C, S, Sd — объемные концентрации взвеси, иммобилизованных частиц и осадка; αV ,
βV — приведенные коэффициенты скорости прилипания взвешенных частиц и отрыва при-
липших; h — напор; k0, n0 — коэффициенты фильтрации и пористость чистой загрузки;
m1, m2, γ — эмпирические коэффициенты; C0 — исходная объемная концентрация взвеси;
Hu, Hd — фиксированные входной и выходной напоры; L — высота загрузки.
Некоторое упрощение задачи (2)–(9) достигается введением относительных переменных
и параметров C = C/C0, S = S/(n0C0), V = V/V 0, αV = αV LV
0r−1
, βV = βV n0LV
0q−1
;
k = k/k0, z = z/L, t = V 0t/(n0L), h̃ = (h − Hd)/(Hu − Hd), V 0 — начальная скорость
фильтрования, выражаемая через другие параметры задачи
V 0 = k0
Hu −Hd
L
,
а, кроме того, заменой переменных
τ =
t∫
0
V (ξ)dξ. (10)
Тогда постановка математической задачи трансформируется таким образом:
∂C
∂z
+
∂S
∂τ
= 0, (11)
∂S
∂τ
= αV V
r−1C − βV V
q−1S, (12)
58 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №5
V = −k(S)
∂h̃
∂z
, (13)
k = [1− (γC0S)
m1 ]m2 , (14)
z = 0, C = 1; h̃ = 1; (15)
z = 1, h̃ = 0; (16)
t = 0, S = 0. (17)
Решается система уравнений (10)–(13) совместно с помощью осреднения V , V r−1, V q−1
по расчетному периоду [0, T ], причем
V c(T ) =
1
T
T∫
0
V (t) dt. (18)
Что касается V r−1, V q−1, то принимаются их средние значения
[V r−1]c = V r−1
c , [V q−1]c = V q−1
c . (19)
Обоснование равенств (18) выполняется согласно данным о поведении функции нерегулиру-
емой скорости V (t) в реальных условиях. Принимая во внимание почти линейный характер
изменения V со временем и сравнительную малость ее изменения в течение фильтроцикла,
оправдано функцию V (t) разложить в ряд Тейлора в окрестности точки t = 0 и сохранить
его первые два члена. Тогда
V (t) ≃ 1− at,
где a = −dV /dt(0) > 0. В соответствии с (17) значение V c в промежутке времени от 0 до T
приближенно будет
V c(T ) ≃ 1−
a
2
T. (20)
Разложение в ряд Тейлора по T функции V α
c (T ) с учетом (19) дает
V α
c (T ) ≃ 1−
αa
2
T. (21)
В результате аналогичного разложения по t функции V α(t) получено
V α(t) ≃ 1− αat. (22)
Осреднение (21) по тому же периоду приводит к приближенному выражению
[V α(t)]c ≃ 1−
αa
2
T. (23)
Равенство выражений для [V c(T )]
α и [V α(t)]c может служить основанием для представле-
ния кинетического уравнения (11) в упрощенной форме
∂S
∂τ
= αV V
r−1
c C − βV V
q−1
c S. (24)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №5 59
Следует подчеркнуть, что величина T в ходе решения задачи играет роль параметра и толь-
ко в расчетных формулах она отождествляется со временем t.
Решение уравнений (10), (23) при постоянных коэффициентах и условиях (14), (16) из-
вестно и в данном случае выражается зависимостями
C(z, τ) = e−αV V r−1
c z
[
e−βV V
q−1
c τI0
(
2
√
αV βV V
r+q−2
c zτ
)
+
+ βV V
q−1
c
τ∫
0
e−βV V
q−1
c ηI0
(
2
√
αV βV V
r+q−2
c zη
)
dη
]
, (25)
S(z, τ) = αV V
r−1
c e−αV V r−1
c z
τ∫
0
e−βV V
q−1
c ηI0
(
2
√
αV βV V
r+q−2
c zη
)
dη, (26)
где I0 означает функцию Бесселя мнимого аргумента первого рода нулевого порядка. Из
формул (24), (25) вытекают важные следствия, а именно, рост содержания взвеси в филь-
трате и накопление осадка во входном сечении загрузки при t ≫ 0 будут происходить
следующим образом:
Ce(t;V c) = C(1, t;V c) = e−αV V r−1
c
[
e−βV V
q
ctI0
(
2
√
αV βV V
r+q−1
c t
)
+
+ βV V
q−1
c
V ct∫
0
e−βV V
q−1
c ηI0
(
2
√
αV βV V
r+q−2
c zη
)
dη
]
, (27)
S0(t;V c) = S(0, t, V c) =
αV
βV
V r−q
c (1− e−βV V
q
ct). (28)
Для установления связи между V c и t прежде всего уравнение (12) интегрируется в пре-
делах от 0 до z, так что с учетом условия (15) приведенный напор будет иметь вид
h̃(z, t;V c) = V (t)
1∫
z
dξ
k(S(ξ, t;V c))
. (29)
Выражение для относительной скорости фильтрования следует из (28) и с использованием
второго условия (14) принимает вид
V (t;V c) =
( 1∫
0
dz
k(S(z, t;V c))
)
−1
. (30)
Путем осреднения обеих частей равенства (29) в соответствии с (17) выводится недостающее
уравнение относительно V c в неявной форме
t∫
0
( 1∫
0
dz
k(S(z, λ;V c))
)
−1
dλ− V ct = 0. (31)
60 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №5
Для оценки точности приближенного решения, выраженного зависимостями (24)–(29)
и уравнением (30), оно сопоставляется с известным строгим [6] на типичных примерах.
Упомянутое эталонное решение является частным, так как отвечает только определенным
значениям r, q (r = q = 1). Исходя из него, относительные концентрации при t ≫ 1 пред-
ставляются в следующем виде:
C(z, τ) = e−αz
[
e−βτ I0
(
2
√
αβzτ
)
+ β
τ∫
0
e−βηI0
(
2
√
αβzη
)
dη
]
, (32)
S(z, τ) = αe−αz
τ∫
0
e−βηI0
(
2
√
αβzη
)
dη. (33)
Время поступления на единицу поверхности загрузки объема суспензии τ , согласно этому
решению, составляет
t =
τ∫
0
1∫
0
dz
k(S(z, ξ))
dξ. (34)
Точная формула для расчета скорости V как функция от t имеет близкую к (29) форму
V (τ) =
( 1∫
0
dz
k(S(z, τ))
)
−1
, (35)
а τ играет роль параметра, связанного с переменной t посредством (33).
Для проверки правомочности приема осреднения скорости фильтрования применитель-
но к реальным условиям водоочистки рассчитан ряд примеров с характерными исходными
данными. В частности, приняты для α значения 4, 6, 8; для β — 0,005, для γ — 20, а так-
же высокая для доочистки мутных вод входная концентрация (C0 = 5 · 10−5). Предметом
расчетов по точным и приближенным формулам стало изменение со временем трех ключе-
вых относительных характеристик — выходной концентрации Ce, скорости V и удельного
объема осветленной суспензии τ . На рис. 1 показаны кривые Ce(t), рассчитанные по фор-
мулам (26), (31). Малое расхождение между соответствующими кривыми (1, 2 ; 3, 4 ; 5, 6 )
наблюдается лишь в конце расчетного периода, длительность которого заметно превосхо-
дит длительность фильтроцикла. В основном указанные кривые располагаются настоль-
ко близко друг к другу, что почти сливаются. Принятие весьма большого значения C0
объясняется стремлением добиться резкого снижения величины V в ходе работы фильтра,
что, судя по рис. 2, и происходит в действительности. И здесь заметное отличие между
результатами точных расчетов V по формулам (32), (34) и приближенных по (25), (29)
отмечается только после сокращения расхода суспензии на 60%. На практике подобное
уменьшение производительности фильтра не оправдано по экономическим соображениям.
Поэтому уже на основании рис. 1, 2 можно утверждать, что рекомендуемые для прило-
жений формулы обеспечивают прогноз изменения характеристик фильтрования с высо-
кой точностью. Наконец, данный вывод подтверждается и рис. 3, на котором изображены
кривые нарастания объемов профильтрованной суспензии со временем для двух значений
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №5 61
Рис. 1. Изменение относительной выходной объем-
ной концентрации взвеси со временем:
1, 3, 5 — приближенные значения; 2, 4, 6 — точные;
1, 2 — α = 4; 3, 4 — α = 6; 5, 6 — α = 8
Рис. 2. Изменение скорости фильтрования со вре-
менем:
1, 3, 5 — точные значения; 2, 4, 6 — приближенные;
1, 2 — α = 4; 3, 4 — α = 6; 5, 6 — α = 8
Рис. 3. Изменение удельного объема профильтрованной суспензии со временем:
1, 3 — приближенные значения; 2, 4 — точные; 1, 2 — α = 4; 3, 4 — α = 8
α (4, 8). Точные и приближенные значения τ слабо различаются в случае сильносорби-
рующей загрузки. Вместе с тем при умеренной сорбционной способности фильтрующего
материала обе кривые практически совпадают до момента времени, которому соответст-
вует t = 250. Например, при n0 = 0,4, L = 1 м, V 0 = 5 м/ч указанное время составит
20 часов.
В заключение следует подчеркнуть, что полученное выше аналитическое решение мате-
матической задачи фильтрования с убывающим расходом суспензии может служить наде-
жным инструментом в теоретических исследованиях работы фильтровальных сооружений
в соответствующем режиме, для обоснования их конструктивных и технологических па-
раметров.
1. Akgiray O., Saatci A.M. An algorithm for bank operation of declining rate filters // Water Res. – 1998. –
32, No 7. – P. 2095. – 2105.
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №5
2. Cleasby J. L. Status of declining rate filtration design // Water Sci. Technol. – 1993. – 27, No 10. –
P. 151–164.
3. Jegatheesan V., Vigneswaran S. The effect of concentration on the early stages of deep-bed filtration of
submicron particles // Water Res. – 1997. – 31, No 11. – P. 2910–2913.
4. McDowell L.M., Hunt J. R., Sitar N. Particle transport through porous media // Water Resour. Res. –
1986. – 22, No 13. – P. 1901. – 1921.
5. O’Melia C.R. Particles, pretreatment and performance in water filtration // J. Envir. Engng. – 1985. –
111. – P. 874–890.
6. Rajagopalan R., Tien C. Trajectory analysis of deep-bed filtration with the sphere-in-a-cell porous media
model // AIChE J. – 1976. – 2(3). – P. 523–533.
7. Олейник А.Я., Тугай А.М. Моделирование процессов кольматажа и суффозии в прифильтровой зоне
скважины // Доп. НАН України. – 2001. – № 9. – С. 190–194.
8. Поляков В.Л. О фильтровании суспензий при заданном напоре // Там само. – 2005. – № 4. – С. 48–54.
9. Грабовський П.О., Гурiнчик Н.О. Чисельна реалiзацiя математичної моделi фiльтрування // Пробл.
водопостачання, водовiдведення та гiдравлiки. – 2006. – Вип. 6. – С. 4–13.
10. Chaundry F.H. Theory of declining rate filtration. I. Continuous operation // J. Environ. Eng. Din.
ASCE. – 1987. – 113(4). – P. 834–851.
11. Аюкаев Р.И., Мельцер В. З. Производство и применение фильтрующих материалов для очистки воды.
Справ. пос. – Ленинград: Стройиздат, 1985. – 118 с.
12. Минц Д.М. Теоретические основы технологии очистки воды. – Москва: Стройиздат, 1961. – 155 с.
Поступило в редакцию 16.09.2009Институт гидромеханики НАН Украины, Киев
V.L. Polyakov
Clarification of a suspension by filtration at a decreasing discharge
An effective solution to the mathematical task of low-content suspension filtration through a uniform
filter medium has been obtained at a declining rate and the linear mass-exchange kinetics. It has
been substantiated by comparison with a particular exact solution to the same task at a number of
typical examples. The noticeable discrepancy between approximate and exact curves for the main
filtration characteristics is observed out of the filter action period.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №5 63
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-29690 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T11:43:53Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Поляков, В.Л. 2011-12-26T12:55:56Z 2011-12-26T12:55:56Z 2010 Осветление суспензии фильтрованием с убывающим расходом / В.Л. Поляков // Доп. НАН України. — 2010. — № 5. — С. 57-63. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29690 532.546:626.862.9 Отримано ефективний розв’язок математичної задачi фiльтрування малоконцентрованої суспензiї крiзь однорiдне завантаження з убуваючою в часi витратою i лiнiйною кiнетикою масообмiну. Його обгрунтування виконано шляхом зiставлення з частинним строгим розв’язком аналогiчної задачi на типових прикладах. Помiтне розходження мiж наближеними i точними розрахунковими кривими для основних характеристик фiльтрування спостерiгається за межами фiльтроциклiв. An effective solution to the mathematical task of low-content suspension filtration through a uniform filter medium has been obtained at a declining rate and the linear mass-exchange kinetics. It has been substantiated by comparison with a particular exact solution to the same task at a number of typical examples. The noticeable discrepancy between approximate and exact curves for the main filtration characteristics is observed out of the filter action period. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Осветление суспензии фильтрованием с убывающим расходом Clarification of a suspension by filtration at a decreasing discharge Article published earlier |
| spellingShingle | Осветление суспензии фильтрованием с убывающим расходом Поляков, В.Л. Механіка |
| title | Осветление суспензии фильтрованием с убывающим расходом |
| title_alt | Clarification of a suspension by filtration at a decreasing discharge |
| title_full | Осветление суспензии фильтрованием с убывающим расходом |
| title_fullStr | Осветление суспензии фильтрованием с убывающим расходом |
| title_full_unstemmed | Осветление суспензии фильтрованием с убывающим расходом |
| title_short | Осветление суспензии фильтрованием с убывающим расходом |
| title_sort | осветление суспензии фильтрованием с убывающим расходом |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29690 |
| work_keys_str_mv | AT polâkovvl osvetleniesuspenziifilʹtrovaniemsubyvaûŝimrashodom AT polâkovvl clarificationofasuspensionbyfiltrationatadecreasingdischarge |