До теорії товщинних коливань пружних шарів з викривленими граничними поверхнями
Рiвняння пружних радiальних коливань у сферичних координатах подано в операторнiй гамiльтоновiй формi за радiальною координатою. Вихiдна система записана в єдинiй для сферичних, цилiндричних i прямокутних координат формi. Проаналiзовано випадок гармонiчних коливань. Equations for elastic radial vibr...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29691 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | До теорії товщинних коливань пружних шарів з викривленими граничними поверхнями / М.О. Шульга // Доп. НАН України. — 2010. — № 5. — С. 72-75. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859951705184010240 |
|---|---|
| author | Шульга, М.О. |
| author_facet | Шульга, М.О. |
| citation_txt | До теорії товщинних коливань пружних шарів з викривленими граничними поверхнями / М.О. Шульга // Доп. НАН України. — 2010. — № 5. — С. 72-75. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Рiвняння пружних радiальних коливань у сферичних координатах подано в операторнiй гамiльтоновiй формi за радiальною координатою. Вихiдна система записана в єдинiй для сферичних, цилiндричних i прямокутних координат формi. Проаналiзовано випадок гармонiчних коливань.
Equations for elastic radial vibrations in spherical coordinates are represented in the operator Hamilton form on a radial coordinate. The initial system is written down in a form single for spherical, cylindrical, and rectangular coordinates. The case of harmonic vibrations is analyzed.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:17:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 534.1
© 2010
Член-кореспондент НАН України М. О. Шульга
До теорiї товщинних коливань пружних шарiв
з викривленими граничними поверхнями
Рiвняння пружних радiальних коливань у сферичних координатах подано в операторнiй
гамiльтоновiй формi за радiальною координатою. Вихiдна система записана в єдинiй
для сферичних, цилiндричних i прямокутних координат формi. Проаналiзовано випадок
гармонiчних коливань.
У роботах [1, 2] (та iнших роботах автора) система рiвнянь пружних коливань у декартових
прямокутних координатах вперше була приведена до операторної системи гамiльтонового
типу за просторовою координатою вiдносно вiдповiдним чином вибраних умовно кажучи
канонiчних змiнних. Це питання знайшло подальший розвиток у статтях [3, 4], в яких склад-
нiшими перетвореннями до операторної гамiльтонової системи за радiальною координатою
зведена система пружних рiвнянь коливань в цилiндричних координатах. У нашiй роботi
аналогiчний результат одержано для випадку сферичних координат.
Будемо виходити з рiвняння коливань
∂σrr
∂r
+
N
r
(σrr − σθθ) = ρ
∂2ur
∂t2
(1)
i матерiальних залежностей
σrr = c33
∂ur
∂r
+Nc13
ur
r
,
σθθ = c13
∂ur
∂r
+N
[
c11 −
1
2
(N − 1)(c11 − c12)
]
ur
r
,
(2)
якi є спiльними для прямокутних, цилiндричних i сферичних координат. При N = 1, r ∼ z
рiвняння (1), (2) вiдповiдають прямокутним координатам, при N = 1 — цилiндричним, при
N = 2 — сферичним.
З першого рiвняння системи (2) знаходимо
∂ur
∂r
=
σrr
c33
−N
c13
c33
ur
r
. (3)
Це дає можливiсть одержати такий вираз для σθθ:
σθθ =
c13
c33
σrr −
1
2
N [2c11∗∗ − (N − 1)(c11 − c12)]
ur
r
, (4)
в якому стала c11∗∗ = c11 − c213c
−1
33
.
Пiдставляючи формулу (4) в рiвняння (1), одержимо
∂rNσrr
∂r
=
N
r
c13
c33
rNσrr + rN
[
ρ
∂2ur
∂t2
+
N2
r2
(
c11∗∗ −
N − 1
2
(c11 − c12)
)
ur
]
. (5)
72 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №5
Таким чином, одержали систему двох рiвнянь
∂rNσrr
∂r
=
N
r
c13
c33
rNσrr + rN
[
ρ
∂2ur
∂t2
+
N2
r2
(
c11∗∗ −
N − 1
2
(c11 − c12)
)
ur
]
,
∂ur
∂r
=
σrr
c33
−N
c13
c33
ur
r
(6)
вiдносно функцiй rNσrr та ur. Пiсля їх визначення напруження σθθ знаходяться за фор-
мулою (4).
Звернемо увагу на те, що система (6), як i вихiднi спiввiдношення (1), (2), справедлива
i у тому випадку, коли механiчнi параметри ρ, cij будуть кусково-неперервними функцiями
координати r з розривами першого роду. В точках розриву r = r∗ повиннi виконуватись
умови неперервностi функцiй σrr та ur.
На граничних поверхнях r = r0 та r = r1 (r0 < r∗ < r1) необхiдно задавати граничнi
умови за однiєю з альтернативних пар
ur(r0, t) =
0
u
r
(t) ∨ σrr(r0, t) =
0
σ
rr
(t),
ur(r1, t) =
1
u
r
(t) ∨ σrr(r1, t) =
1
σ
rr
(t).
(7)
Якщо ввести канонiчнi змiннi rNσrr = q̂1 та ur = p̂1, то систему (6) можна записати
в операторнiй гамiльтоновiй формi [1] за просторовою координатою r
∂q̂1
∂r
=
∂Ĥ
∂p̂1
,
∂p̂1
∂r
= −
∂Ĥ
∂q̂1
(8)
з операторною функцiєю Гамiльтона
Ĥ(q̂1, p̂1) = −
1
2
1
c33rN
q̂2
1
+
N
r
c13
c33
p̂1q̂1 +
+
1
2
rN
[
ρ∂2
t +
N2
r2
(
c11∗∗ −
N − 1
2
(c11 − c12)
)]
p̂2
1
. (9)
Розглянемо випадок гармонiчних коливань f(r, t) = Re fa(r) exp iωt, використовуючи
безрозмiрнi величини c00σrr = σrr, c00σθθ = σθθ, hur = ur, ρ00ρ = ρ, ω = ωh
√
ρ00/c00
i безрозмiрну координату hx = r−R. В цьому випадку система рiвнянь (6) набуває вигляду
(безрозмiрнi позначення збереженi тiльки для частоти)
d
dx
(1 + εx)Nσa
rr =
Nε
1 + εx
c13
c33
(1 + εx)Nσa
rr +
+ (1 + εx)N
{
N2ε2
(1 + εx)2
[
c11∗∗ −
N − 1
2
(c11 − c12)
]
− ρω2
}
uar ,
duar
dx
=
1
c33(1 + εx)N
(1 + εx)Nσa
rr −
Nε
1 + εx
c13
c33
uar .
(10)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №5 73
Система (10) є гамiльтоновою системою [5] за координатою x
dq1
dx
=
∂H
∂p1
,
dp1
dx
= −
∂H
∂q1
(11)
з канонiчними змiнними q1 = (1 + εx)Nσa
rr, p1 = uar . Функцiя Гамiльтона
H(q1, p1) = −
1
2
1
c33(1 + εx)N
q21 +
Nε
1 + εx
c13
c33
q1p1 +
+
1
2
(1 + εx)N
{
N2ε2
(1 + εx)2
[
c11∗∗ −
N − 1
2
(c11 − c12)− ρω2
]}
p21. (12)
Систему (10) можна одержати з умови стацiонарностi функцiонала
Φ =
x2∫
x1
{
uar
d
dx
(1 + εx)Nσa
rr +
1
2
1
c33(1 + εx)N
((1 + εx)Nσa
rr)
2
−
Nε
1 + εx
c13
c33
rNσa
rru
a
r −
−
1
2
(1 + εx)N
[
N2ε2
(1 + εx)2
(
c11∗∗ −
N − 1
2
(c11 − c12)− ρω2
)]
uaru
a
r
}
dx (13)
при “iзохронних” варiацiях.
Для дослiдження усталених резонансних гармонiчних коливань треба скористатися кон-
цепцiєю комплексних модулiв [6–8].
У випадку плоского шару задача про власнi значення i власнi форми має простий розв’я-
зок:
при uax(−h) = 0, uax(+h) = 0 — власнi частоти ωn =
πn
2h
√
c33
ρ
, а вiдповiднi власнi форми —
sinnπ
x
2h
, n = 1, 2, . . .;
при uax(−h) = 0, σa
xx(+h) = 0 — власнi частоти ωn =
(2n− 1)π
4h
√
c33
ρ
, а вiдповiднi власнi
форми — sin
2n− 1
2
π
x
2h
, n = 1, 2, . . . ;
при σa
xx(−h) = 0, σa
xx(+h) = 0 — власнi частоти ωn =
(n− 1)π
2h
√
c33
ρ
, а вiдповiднi власнi
форми — cos(n − 1)π
x
2h
, n = 1, 2, . . ..
Цей розв’язок може слугувати як контрольний при розв’язаннi системи (9) у випадках
N = 1 (цилiндричнi координати) та N = 2 (сферичнi координати).
1. Шульга Н.А. Основы механики слоистых сред периодической структуры. – Киев: Наук. думка, 1981. –
200 с.
2. Shulga N.A. Propagation of elastic waves in periodic nonhomogeneous space // Int. Appl. Mech. – 2003. –
39, No 7. – P. 763–796.
3. Шульга В.М. До розв’язку рiвнянь теорiї пружностi в цилiндричних координатах // Доп. НАН
України. – 1998. – № 6. – С. 80–82.
4. Шульга В.М. О распространении упругих волн в ортотропных цилиндрах // Прикл. механика. –
1998. – 34, № 7. – С. 34–41.
74 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №5
5. Кильчевский Н.А. Курс теоретической механики. В 2-х т. Т 2. – Москва: Наука, 1977. – 439 с.
6. Савiн Г.М., Рущицький Я.Я. Елементи механiки спадкових середовищ. – Київ: Вища шк., 1976. –
252 с.
7. Шульга Н.А., Болкисев А.М. Колебания пьезоэлектрических тел. – Киев: Наук. думка, 1990. – 228 с.
8. Шульга М.О., Карлаш В.Л. Резонанснi електромеханiчнi коливання п’єзоелектричних пластин. –
Київ: Наук. думка, 2008. – 270 с.
Надiйшло до редакцiї 25.08.2009Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка
НАН України, Київ
Corresponding Member of the NAS of Ukraine M. O. Shulga
To the theory of thickness vibrations of elastic layers with curved
boundary surfaces
Equations for elastic radial vibrations in spherical coordinates are represented in the operator Ha-
milton form on a radial coordinate. The initial system is written down in a form single for spherical,
cylindrical, and rectangular coordinates. The case of harmonic vibrations is analyzed.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №5 75
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-29691 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:17:33Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шульга, М.О. 2011-12-26T12:56:58Z 2011-12-26T12:56:58Z 2010 До теорії товщинних коливань пружних шарів з викривленими граничними поверхнями / М.О. Шульга // Доп. НАН України. — 2010. — № 5. — С. 72-75. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29691 534.1 Рiвняння пружних радiальних коливань у сферичних координатах подано в операторнiй гамiльтоновiй формi за радiальною координатою. Вихiдна система записана в єдинiй для сферичних, цилiндричних i прямокутних координат формi. Проаналiзовано випадок гармонiчних коливань. Equations for elastic radial vibrations in spherical coordinates are represented in the operator Hamilton form on a radial coordinate. The initial system is written down in a form single for spherical, cylindrical, and rectangular coordinates. The case of harmonic vibrations is analyzed. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка До теорії товщинних коливань пружних шарів з викривленими граничними поверхнями To the theory of thickness vibrations of elastic layers with curved boundary surfaces Article published earlier |
| spellingShingle | До теорії товщинних коливань пружних шарів з викривленими граничними поверхнями Шульга, М.О. Механіка |
| title | До теорії товщинних коливань пружних шарів з викривленими граничними поверхнями |
| title_alt | To the theory of thickness vibrations of elastic layers with curved boundary surfaces |
| title_full | До теорії товщинних коливань пружних шарів з викривленими граничними поверхнями |
| title_fullStr | До теорії товщинних коливань пружних шарів з викривленими граничними поверхнями |
| title_full_unstemmed | До теорії товщинних коливань пружних шарів з викривленими граничними поверхнями |
| title_short | До теорії товщинних коливань пружних шарів з викривленими граничними поверхнями |
| title_sort | до теорії товщинних коливань пружних шарів з викривленими граничними поверхнями |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29691 |
| work_keys_str_mv | AT šulʹgamo doteoríítovŝinnihkolivanʹpružnihšarívzvikrivlenimigraničnimipoverhnâmi AT šulʹgamo tothetheoryofthicknessvibrationsofelasticlayerswithcurvedboundarysurfaces |