Приближенный анализ стационарной конвективной задачи Стефана
Дослiджено стацiонарну задачу Стефана з урахуванням конвективних рухiв у рiдиннiй фазi на площинi. Отримано рiвняння вiльної границi в залежностi вiд iнтенсивностi вихору. Побудовано наближений розв’язок задачi....
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29697 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Приближенный анализ стационарной конвективной задачи Стефана / А.И. Шевченко, А.С. Миненко // Доп. НАН України. — 2010. — № 5. — С. 36-40. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-29697 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-296972025-02-23T19:42:52Z Приближенный анализ стационарной конвективной задачи Стефана Approximation analysis of a stationary Stefan problem with convection Шевченко, А.И. Миненко, А.С. Математика Дослiджено стацiонарну задачу Стефана з урахуванням конвективних рухiв у рiдиннiй фазi на площинi. Отримано рiвняння вiльної границi в залежностi вiд iнтенсивностi вихору. Побудовано наближений розв’язок задачi. The two-dimensional stationary Stefan problem with the liquid phase convection is investigated. The free boundary equation depending on the vortex intensity is obtained. The approximate solution is constructed. 2010 Article Приближенный анализ стационарной конвективной задачи Стефана / А.И. Шевченко, А.С. Миненко // Доп. НАН України. — 2010. — № 5. — С. 36-40. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29697 517.988 ru Доповіді НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Шевченко, А.И. Миненко, А.С. Приближенный анализ стационарной конвективной задачи Стефана Доповіді НАН України |
| description |
Дослiджено стацiонарну задачу Стефана з урахуванням конвективних рухiв у рiдиннiй фазi на площинi. Отримано рiвняння вiльної границi в залежностi вiд iнтенсивностi вихору. Побудовано наближений розв’язок задачi. |
| format |
Article |
| author |
Шевченко, А.И. Миненко, А.С. |
| author_facet |
Шевченко, А.И. Миненко, А.С. |
| author_sort |
Шевченко, А.И. |
| title |
Приближенный анализ стационарной конвективной задачи Стефана |
| title_short |
Приближенный анализ стационарной конвективной задачи Стефана |
| title_full |
Приближенный анализ стационарной конвективной задачи Стефана |
| title_fullStr |
Приближенный анализ стационарной конвективной задачи Стефана |
| title_full_unstemmed |
Приближенный анализ стационарной конвективной задачи Стефана |
| title_sort |
приближенный анализ стационарной конвективной задачи стефана |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29697 |
| citation_txt |
Приближенный анализ стационарной конвективной задачи Стефана / А.И. Шевченко, А.С. Миненко // Доп. НАН України. — 2010. — № 5. — С. 36-40. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT ševčenkoai približennyjanalizstacionarnojkonvektivnojzadačistefana AT minenkoas približennyjanalizstacionarnojkonvektivnojzadačistefana AT ševčenkoai approximationanalysisofastationarystefanproblemwithconvection AT minenkoas approximationanalysisofastationarystefanproblemwithconvection |
| first_indexed |
2025-11-24T16:57:28Z |
| last_indexed |
2025-11-24T16:57:28Z |
| _version_ |
1849691679505776640 |
| fulltext |
УДК 517.988
© 2010
Член-корреспондент НАН Украины А.И. Шевченко, А. С. Миненко
Приближенный анализ стационарной конвективной
задачи Стефана
Дослiджено стацiонарну задачу Стефана з урахуванням конвективних рухiв у рiдиннiй
фазi на площинi. Отримано рiвняння вiльної границi в залежностi вiд iнтенсивностi
вихору. Побудовано наближений розв’язок задачi.
1. Постановка задачи. Теплофизические процессы в кристаллизаторе, сопровождающие-
ся фазовыми переходами вещества, описываются математической моделью, в которой тем-
пература каждой из фаз удовлетворяет уравнению переноса тепла со своими теплофизи-
ческими коэффициентами. На границе раздела фаз обе температуры постоянны и равны
температуре фазового перехода (для химической однородной среды), а на заданных частях
границы — стенках кристаллизатора, поддоне — поддерживается определенный режим (те-
плоотвод, теплоизоляция и др.). Поверхность раздела фаз (фронт кристаллизации) являе-
тся неизвестной, или “свободной”, границей, и для ее определения дополнительно задается
“условие Стефана”, означающее, что тепловой поток через фронт кристаллизации в сторо-
ну твердой фазы равен тепловому потоку со стороны жидкой фазы плюс скрытая теплота
фазового перехода. Жидкая фаза рассматриваемого процесса заслуживает специального
исследования ввиду априорной возможности существования поля скоростей, вызывающе-
го интенсивную теплопередачу путем конвекции. Усиленная циркуляция в расплавленной
шлаковой ванночке была обнаружена в исследованиях академика Б.Е. Патона и его со-
трудников [1].
Наша цель состоит в изучении гидродинамических явлений в жидкой фазе, так как
здесь экспериментальные исследования, насколько известно, отсутствуют.
Изучается стационарный случай в полосе D = {−1 < x < 1, H < y < 0}. Обозначим
через γ кривую, отделяющую жидкую фазу D+
γ от твердой D−
γ , при этом концы γ лежат на
вертикалях x = ±1. Обе области D+
γ иD−
γ предполагаются односвязными и симметричными
относительно оси y. Пусть ψ(x, y) — функция тока, удовлетворяющая условиям: ∆ψ =
= µ, (x, y) ∈ D+
γ , µ = const > 0, ψ = 0, (x, y) ∈ ∂D+
γ . Здесь µ считается достаточно
малым численным параметром. Требуется определить, кроме функции тока ψ(x, y), тройку
(u±(x, y), γ) по следующим условиям:
λ+∆u
+ − ψyu
+
x + ψxu
+
y = 0, (x, y) ∈ D+
γ , λ+ = const > 0;
u+(x, 0) = υ, −1 6 x 6 1, υ = const > 1;
u±x ± ω+
0 u
± = 0, x = ±1, (x, y) ∈ ∂D+
γ ;
∆u− = 0, (x, y) ∈ D−
γ ;
u−(x,H) = 0, −1 6 x 6 1, u−(x, y) = u+(x, y) = 1;
(1)
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №5
|∇u−|2 − κ2|∇u+|2 = 0, (x, y) ∈ γ,
где κ = const, 0 < κ 6 1; ω±
0 — числа Нуссельта.
2. Приближенное решение задачи. Предложен метод изучения нелинейной зада-
чи (1), состоящий в разложении решения в ряд по степеням малого параметра µ [2]:
ψ(x, y;µ) =
∞∑
κ=0
µκψκ(x, y), u+(x, y;µ) =
∞∑
κ=0
µκu+κ (x, y);
y(x, µ) =
∞∑
κ=0
µκyκ(x), γ : y = y(x, µ), −1 6 x 6 1.
Нулевое приближение u0(x, y) ищем как минимум функционала
I(u+, u−, γ0) =
∫∫
D−
γ0
[u−x
2
+ u−y
2
] dxdy + κ2
∫∫
D+
γ0
[u+x
2
+ u+y
2
] dxdy +
+ κ2ω+
0
∫
Γ
+
γ
[u+
2
− 1] dy + ω−
0
∫
Γ
−
γ
[u−
2
− 1] dy (2)
на соответствующем множестве допустимых функций; здесь Γ+
γ = ∂D+
γ
⋂
{x = ±1}, Γ−
γ =
= ∂D−
γ
⋂
{x = ±1}. Функционал (2) в классе функций u±y > 0 в D±
γ представим следующим
образом:
I1(y1, y2) =
∫∫
∆1
1 + y21x
y1u
dxdu+ κ2
∫∫
∆2
1 + y22x
y2u
dxdu+
+ ω+
0 κ
2
υ∫
1
(u2 − 1)[y2u(1, u) + y2u(−1, u)] du+
+ ω−
0
1∫
0
(u2 − 1)[y1u(1, u) + y1u(−1, u)] du,
где ∆1 = (−1 < x < 1, 0 < u < 1), ∆2 = (−1 < x < 1, 1 < u < υ), y1(x, u) и y2(x, u) —
решения уравнений u1(x, y) − u1 = 0, u2(x, y) − u2 = 0.
Будем минимизировать функционал I1(y1, y2) при помощи сумм
y1n(x, u) =
L∑
j=0
Tj∑
κ=1
aκjx
2juκ +H, (x, u) ∈ ∆1;
y2n(x, u) =
υ − u
υ − 1
L∑
j=0
Θj∑
κ=0
bκjx
2juκ, (x, u) ∈ ∆2,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №5 37
применяя при этом метод Ритца [3]:
∂I2(aκj, bκj)
∂apq
+ λq = 0, p = 1, 2, . . . , Tq; q = 0, 1, . . . , L,
∂I2(aκj, bκj)
∂bst
− λt = 0, s = 0, 1, . . . ,Θt; t = 0, 1, . . . , L,
T0∑
κ=1
aκ0 −
Θ0∑
κ=0
bκ0 +H = 0,
Tj∑
κ=1
aκj −
Θj∑
κ=0
bκj = 0, j = 1, 2, . . . , L,
I2(aκj, bκj) = I1
(
L∑
j=0
Tj∑
κ=1
aκjx
2juκ +H;
υ − u
υ − 1
L∑
j=0
Θj∑
κ=0
bκjx
2juκ
)
.
(3)
Лемма. Пусть система Ритца (3) имеет решение при некоторых значениях параме-
тров ω+
0 = ω̃+
0 , ω−
0 = ω̃−
0 , κ = κ̃. Тогда решения этой системы aκj(ω
+
0 , ω
−
0 , κ), bκj(ω
+
0 , ω
−
0 , κ)
непрерывно зависят от параметров ω+
0 , ω−
0 , κ в некоторой окрестности точки (ω̃+
0 , ω̃
−
0 , κ̃).
Проблема сходимости приближенных решений исследована в [3, 4].
Теорема. Пусть µ — достаточно малая величина. Тогда справедлива формула
γ : y(x, µ) = y0(x)− µ
u1(x, y)
u0y(x, y)
+ o(µ), (x, y) ∈ γ0, (4)
где y0(x) — решение уравнения u0(x, y)−1 = 0 в классе функций u0y(x, y) > 0 в D; u1(x, y) —
решение краевой задачи:
∆u = f(x, y), (x, y) ∈ D; u(x, 0) = 0, u(x,H) = 0, 0 6 x 6 1;
ux(0, y) = 0, H 6 y 6 0; ux ± ω±
0 u = 0; x = 1, (x, y) ∈ ∂D±
γ \ γ;
f(x, y) = ψ1yu0x − ψ1xu0y при (x, y) ∈ D+
γ0
и f(x, y) = 0 при (x, y) ∈ D−
γ0
.
3. Приближенный анализ влияния конвекции на фронт кристаллизации. Чи-
сленный анализ осуществлялся на основании формулы (4). В качестве функции u0(x, y)
берется решение проблемы минимума функционала (2), которое может быть построено ме-
тодом Фурье при k = 1, ω+
0 = ω−
0 = ω0. Функции ψ1(x, y) и u1(x, y) находятся из условий
минимума функционалов
I1(ψ) =
∫∫
D
(ψ2
x + ψ2
y + 2ψ) dxdy,
I2(u) =
∫∫
D
(u2x + u2y + 2fu) dxdy + ω0
0∫
H
u2(1, y) dy
на множествах
T1 = {ψ : ψ ∈ C1(D), ψ = 0, (x, y) ∈ ∂D+
γ0
},
T2 = {u : u ∈ C1(D), u(x, 0) = 0, u(x,H) = 0}.
38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №5
Рис. 1. Линии кристаллизации
Проблема минимума эффективно решается при помощи метода Ритца. При этом при-
ближения Ритца ψn и un строятся следующим образом:
ψn = y(y −H)(y − y0(x))(x− 1)
m∑
k=0
mk∑
j=1
ckjx
2jyk, un = y(y −H)
m∑
k=0
mk∑
j=1
akjx
2jyk,
n = sup
06k6m
(m+ 2mk),
где y0(x) — решение уравнения u0(x, y)−1 = 0, (x, y) ∈ D в классе функций u0y(x, y) > 0 вD.
Сходимость приближенных решений к точным решениям соответствующих краевых за-
дач изучена в [5]. Неизвестные коэффициенты akj и ckj определяются из условий минимума
функций I1(ψn) = Ĩ1(ckj), I2(un) = Ĩ2(akj).
Численный эксперимент осуществлялся при определенных значениях теплофизических
значений параметров. На рис. 1 изображен график линий кристаллизации y(x, µ) при раз-
личных значениях µ: −0,5; 0; 0,1; 0,5. Кривые y(x, µ) строились в виде многочленов
y(x, µ) = α3(µ)x
3 + α2(µ)x
2 + α1(µ)x+ α0(µ).
Вычисления производились при H = −10, v = 1,25, ω0 = 3,5, при этом y1 = y(x, 0,5);
y2 = y(x, 0,1); y3 = y0(x) и y4 = y(x,−0,5).
Проделанный численный эксперимент подтверждает влияние конвективного теплообме-
на на процесс кристаллизации. Эксперимент сохранит свой смысл, если параметры ω+
0 и ω−
0
брать в некоторой малой окрестности чисел ω0 = 3,5, а k = 1.
1. Патон Б. Е. Избранные труды. – Киев: ИЭС им. Е.О. Патона НАН Украины, 2008. – 893 с.
2. Миненко А.С. Вариационные задачи со свободной границей. – Киев: Наук. думка, 2005. – 341 с.
3. Миненко А.С. Исследование одной конвективной задачи Стефана методом Ритца // Укр. мат. журн. –
2007. – 59, № 11. – С. 1546–1556.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №5 39
4. Миненко А.С. О минимизации одного интегрального функционала методом Ритца // Там же. –
2006. – 58, № 10. – С. 1385–1394.
5. Харик И.Ю. О проблеме аппроксимации функций, связанной с исследованием сходимости вариа-
ционных процессов // Докл. АН СССР. – 1951. – 81, № 2. – С. 157–160.
Поступило в редакцию 30.10.2009Государственный университет информатики
и искусственного интеллекта, Донецк
Corresponding Member of the NAS of Ukraine A. I. Shevchenko, A. S. Minenko
Approximation analysis of a stationary Stefan problem with convection
The two-dimensional stationary Stefan problem with the liquid phase convection is investigated. The
free boundary equation depending on the vortex intensity is obtained. The approximate solution is
constructed.
40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №5
|