Условия абсолютной параметрической устойчивости систем Лурье
В роботi концепцiя параметричної стiйкостi використовується для отримання достатнiх умов глобальної параметричної стiйкостi систем Лур’є. Знайдено область такої стiйкостi у просторi параметрiв. The concept of parametric stability is used to obtain sufficient conditions for global parametric stabilit...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29698 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Условия абсолютной параметрической устойчивости систем Лурье / А.С. Хорошун // Доп. НАН України. — 2010. — № 5. — С. 64-71. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859826281967779840 |
|---|---|
| author | Хорошун, А.С. |
| author_facet | Хорошун, А.С. |
| citation_txt | Условия абсолютной параметрической устойчивости систем Лурье / А.С. Хорошун // Доп. НАН України. — 2010. — № 5. — С. 64-71. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | В роботi концепцiя параметричної стiйкостi використовується для отримання достатнiх умов глобальної параметричної стiйкостi систем Лур’є. Знайдено область такої стiйкостi у просторi параметрiв.
The concept of parametric stability is used to obtain sufficient conditions for global parametric stability of Lur’e systems. A region with such a stability in the space of parameters is found.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:29:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.36
© 2010
А.С. Хорошун
Условия абсолютной параметрической устойчивости
систем Лурье
(Представлено академиком НАН Украины А.А. Мартынюком)
В роботi концепцiя параметричної стiйкостi використовується для отримання дос-
татнiх умов глобальної параметричної стiйкостi систем Лур’є. Знайдено область та-
кої стiйкостi у просторi параметрiв.
1. Постановка задачи. Рассмотрим нелинейную систему дифференциальных уравнений
с управлением, относящуюся к системам типа Лурье
ẋ = A(p)x+B(p)ϕ(u). (1)
Здесь x(t) ∈ R
n — состояние системы в момент t ∈ R+, а u(t) ∈ R
m — управление в мо-
мент времени t ∈ R+, ϕ : Rm → R
m — нелинейная непрерывная функция. Управление u
предполагается линейным относительно состояния x = 0, т. е. u = r − C(p)x, где r ∈ R
m —
корректирующий вектор, A(p) ∈ R
n×n, B(p) ∈ R
n×m, C(p) ∈ R
m×n — матрицы, элементы
которых являются непрерывными функциями вектора-параметра p ∈ R
l. Предполагаем,
что при любом заданном начальном состоянии x0 = x(t0), t0 ∈ R
+, фиксированном значе-
нии параметра p и непрерывном управлении u система уравнений (1) имеет единственное
решение x(t;x0, p, u) при всех t > t0.
Относительно системы (1) сделаем следующие предположения.
Предположение 1. Система уравнений (1) такова, что:
1) функция ϕ(u) = (ϕ1(u), . . . , ϕm(u))T определена и непрерывна на некотором откры-
том множестве Γ ⊆ R
m вместе с частными производными
∂ϕi
∂uj
, i, j = 1, . . . ,m;
2) точка u = 0 принадлежит множеству Γ, причем
ϕ(0) = 0 и
∂ϕ(u)
∂u
∣∣∣∣
u=0
6= 0;
3) существует значение параметра p∗ ∈ R
l такое, что матрица
K(p) = A(p)−B(p)
∂ϕ(u)
∂u
∣∣∣∣
u=0
C(p)
устойчива в точке p = p∗.
Отметим, что при выполнении условий предположения 1 система (1) имеет неподвижное
состояние равновесия в начале координат для всех значений параметра p, если значение
корректирующего вектора равно 0. Кроме того, это состояние равновесия асимптотически
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №5
устойчиво, если p = p∗. Однако, если r 6= 0, то состояние равновесия становится подвижным
из-за изменения значений параметров p и r. Свойства устойчивости системы (1) также
зависят от значений параметров матриц A и B.
Согласно работам [1, 2], введем определение абсолютной параметрической устойчивости.
Определение 1. Система Лурье вида (1) называется абсолютно параметрически устой-
чивой относительно области P × R ⊆ R
l × R
m, если для всех (p, r) ∈ P × R выполняются
следующие условия:
1) существует единственное состояние равновесия xe(p, r) системы (1);
2) xe(p, r) глобально асимптотически устойчиво.
В данной работе установлены достаточные условия абсолютной параметрической устой-
чивости системы (1) и указан подход для оценки области, относительно которой такая
устойчивость имеет место. В случае, когда функция ϕ(u) известна, получены конкретные
оценки в пространстве параметров. Если же функция ϕ(u) неизвестна, но удовлетворяет
некоторым секторным условиям, то установлена такая область P ⊆ R
l, что система (1)
будет абсолютно параметрически устойчивой относительно области P ×R
m, т. е. изменения
параметра r не будут влиять на существование состояния равновесия системы (1) и его
глобальную асимптотическую устойчивость.
2. Вспомогательные результаты. Пусть функция ϕ(u) известна и r = (r1, . . . , rs)
T ,
где ri, i = 1, . . . , s, — некоторые субвекторы вектора r с размерностями ni, соответственно.
Определим область
Π =
{
(x, p, r) | Ωx : ‖x‖ 6 a,Ωp : ‖p− p∗‖ 6 b,Ωr =
s∏
i=1
Ωri ,Ωri : ‖ri‖ 6 ci, i = 1, . . . , s
}
такую, что для всех (p, r) из Ωp × Ωr существует xe(p, r) — единственное состояние равно-
весия системы (1), которое принадлежит Ωx.
Для этого уравнение
A(p)x+B(p)ϕ(r − C(p)x) = 0, (2)
из которого определяется искомое состояние равновесия, представим в виде
x = (K(p∗))−1(K(p)x− [A(p)x+B(p)ϕ(r − C(p)x)])− (K(p∗))−1(K(p)−K(p∗))x
и рассмотрим итерационный процесс
xn+1 = (K(p∗))−1(K(p)xn − [A(p)xn +B(p)ϕ(r − C(p)xn)])−
− (K(p∗))−1(K(p)−K(p∗))xn. (3)
Применим к (3) теорему о неподвижной точке в случае метрического пространства с чи-
словым множителем в качестве оператора (см. [3]). Известно, что если итерационный про-
цесс (3) сходится, то уравнение (2) имеет единственное решение. Достаточным условием
сходимости, согласно указанной теореме, является выполнение условий
max
p∈Ωp
(‖B(p)‖‖C(p)‖) max
u∈Ωu
∥∥∥∥
∂ϕ(u)
∂u
∣∣∣∣
u
−
∂ϕ(u)
∂u
∣∣∣∣
u=0
∥∥∥∥+max
p∈Ωp
‖K(p)−K(p∗)‖ 6
6
1
2‖(K(p∗))−1‖
(4)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №5 65
для всех u ∈ Ωu, где Ωu = {u ∈ R
m | ‖Ui‖ 6 di, i = 1, . . . , s}, Ui, i = 1, . . . , s, — субвекторы
вектора u, и
‖ϕ(r)‖ 6
a
2‖(K(p∗))−1‖max
p∈Ωp
‖B(p)‖
(5)
для всех r ∈ Ωr.
Так как
Ui = ri −
Cn1+...+ni−1+1(p)
. . .
Cn1+...+ni
(p)
x,
где Cj(p) — j-я строка матрицы C(p), i = 1, . . . , s, j = 1, . . . ,m, то с помощью неравенств
max
p∈Ωp
∥∥∥∥∥∥
Cn1+...+ni−1+1(p)
. . .
Cn1+...+ni
(p)
∥∥∥∥∥∥
a+ ci 6 di, i = 1, . . . , s, (6)
и оценки (5) можем оценить границу области Π. Отметим, что в данной работе используется
спектральная норма матрицы.
3. Основные теоремы. Пусть функция ϕ(u) известна и область
Π =
{
(x, p, r) | Ωx : ‖x‖ 6 a,Ωp1: ‖p− p∗‖ 6 b1,Ωr =
s∏
i=1
Ωri ,Ωri : ‖ri‖ 6 ci, i = 1, . . . , s
}
определена.
Введем обозначения: λmin(·), λmax(·) — наименьшее и наибольшее собственные значения
соответствующей матрицы; Q — произвольная симметрическая положительно определенная
матрица размерности n × n; P ∗ — симметрическая положительно определенная матрица,
являющаяся решением матричного уравнения
(K(p∗))TP ∗ + P ∗(K(p∗)) = −Q,
M(p, p∗) = (K(p)−K(p∗))TP ∗ + P ∗(K(p)−K(p∗)).
(7)
Имеет место теорема.
Теорема 1. Пусть функция ϕ(u), входящая в систему (1), удовлетворяет условию
∥∥∥∥
∂ϕ(u)
∂u
∣∣∣∣
u
−
∂ϕ(u)
∂u
∣∣∣∣
u=0
∥∥∥∥ <
λmin(Q)− max
p∈Ωp2
(λmax(M(p, p∗)))
2‖P ∗‖ max
p∈Ωp2
(‖B(p)‖‖C(p)‖)
(8)
для всех u ∈ R
m, где область Ωp2 = {p ∈ R
l | ‖p − p∗‖ 6 b2} такова, что
max
p∈Ωp2
(λmax(M(p, p∗))) < λmin(Q). (9)
Тогда система Лурье вида (1) абсолютно параметрически устойчива относительно об-
ласти Ωp × Ωr, Ωp = Ωp1
⋂
Ωp2.
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №5
Замечание. Поскольку элементы матрицы M(p, p∗) являются непрерывными функция-
ми переменной p и в точке p = p∗ неравенство (9) выполняется, то область Ωp2 сущест-
вует. Аналогично обосновывается существование области Ωp1. Таким образом, Ωp = {p ∈
∈ R
m | ‖p − p∗‖ 6 min(b1, b2)}.
Доказательство. Воспользовавшись подходом, предложенным в п. 2 этой работы, опре-
делим область Ωp1× Ωr, для каждого значения параметра из которой уравнение (2) имеет
единственное решение xe(p, r), и область Ωx, которой оно принадлежит. Из неравенства (9)
оценим область Ωp2 и выберем областью изменения параметров системы (1) область (Ωp1∩
∩ Ωp2) × Ωr. Относительно нее условие (1) определения 1 выполнено.
Пусть функция ϕ(u) удовлетворяет условие (8). Заменой переменной
z = x− xe(p, r)
систему (1) приведем к виду
ż = A(p)(z + xe(p, r)) +B(p)ϕ(r − C(p)(z + xe(p, r)). (10)
Покажем, что производная функции
V (z) = zTP ∗z, (11)
где P ∗ определяется из уравнения (7), вдоль решений системы (10), отрицательно опреде-
ленная для всех (p, r) ∈ Ωp2× Ωr и всех x ∈ R
n. То есть, функция (11) является функцией
Ляпунова, которая позволяет, в силу теоремы Барбашина–Красовского [4], установить гло-
бальную асимптотическую устойчивость нулевого состояния равновесия системы (9), суть
состояния равновесия xe(p, r) системы (1)
V̇ (z)|(10) = zTP ∗
(
A(p)−B(p)
∂ϕ(u)
∂u
∣∣∣∣
ũ
C(p)
)
z + zT
(
A(p)−B(p)
∂ϕ(u)
∂u
∣∣∣∣
ũ
C(p)
)T
P ∗z =
= zT ((K(p∗))TP ∗ + P ∗K(p∗))z + zT [(K(p)−K(p∗))TP ∗ + P ∗(K(p)−K(p∗))]z −
− zTP ∗
[
B(p)
(
∂ϕ(u)
∂u
∣∣∣∣
ũ
−
∂ϕ(u)
∂u
∣∣∣∣
u=0
)
C(p)
]
z −
− zT
[
B(p)
(
∂ϕ(u)
∂u
∣∣∣∣
ũ
−
∂ϕ(u)
∂u
∣∣∣∣
u=0
)
C(p)
]T
P ∗z, (12)
где ũ — некоторая точка пространства R
m.
Продолжим оценку (12)
V̇ (z)|(10) 6 −λmin(Q)‖z‖2 + max
p∈Ωp2
(λmax(M(p, p∗)))‖z‖2 +
+ 2‖P ∗‖ max
p∈Ωp2
‖B(p)‖‖C(p)‖
∥∥∥∥
∂ϕ(u)
∂u
∣∣∣∣
ũ
−
∂ϕ(u)
∂u
∣∣∣∣
u=0
∥∥∥∥‖z‖
2 = α(ũ)‖z‖2.
Учитывая неравенство (7), получим, что
α(ũ) < 0
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №5 67
для всех p ∈ Ωp2 и всех ũ ∈ R
m, т. е. условие (2) определения 1 выполняется относительно
области Ωp2 × R
m.
Окончательно получим, что относительно области (Ωp1
⋂
Ωp2)×Ωr выполняются усло-
вия (1), (2) определения 1 и система (1) абсолютно параметрически устойчива относительно
этой области.
Теорема доказана.
Предположим теперь, что функция ϕ(u) неизвестна, но известно значение ее произво-
дной в точке u = 0. Считаем его равным единичной матрице соответствующей размерности,
т. е.
∂ϕ(u)
∂u
∣∣∣∣
u=0
= I.
Теорема 2. Пусть функция ϕ(u), входящая в систему (1), удовлетворяет условию
∥∥∥∥
∂ϕ(u)
∂u
∣∣∣∣
u
− I
∥∥∥∥ 6
λmin(Q)−max
p∈Ωp
(λmax(M(p, p∗)))
4‖P ∗‖‖K(p∗)‖‖(K(p∗))−1‖max
p∈Ωp
(‖B(p)‖‖C(p)‖)
(13)
для всех u ∈ R
m, где область Ωp = {p ∈ R
l | ‖p − p∗‖ 6 b} такова, что выполняется
система неравенств
λmin(Q)−max
p∈Ωp
(λmax(M(p, p∗)))
4‖P ∗‖‖K(p∗)‖‖(K(p∗))−1‖
+max
p∈Ωp
‖K(p)−K(p∗)‖ 6
1
2‖(K(p∗))−1‖
, (14)
max
p∈Ωp
(λmax(M(p, p∗))) < λmin(Q). (15)
Тогда система Лурье вида (1) абсолютно параметрически устойчива относительно об-
ласти Ωp × Ωr, Ωr = {r ∈ R
m | ‖r‖ 6 c}, где c — произвольное как угодно большое наперед
заданное положительное число.
Замечание. Поскольку элементы матриц M(p, p∗) и K(p) являются непрерывными фун-
кциями переменной p и в точке p = p∗ неравенства (14) и (15) выполняются, то область
Ωp существует.
Доказательство. Согласно доказательству теоремы 1, если функция ϕ(u) удовлетво-
ряет условию (8) относительно области Ωp, которая определяется из условия (15), то усло-
вие (2) определения 1 для системы (1) выполняется относительно области Ωp × R
m. Так
как ‖K(p∗)‖‖(K(p∗))−1‖ > 1 и для всех p из Ωp неравенство (15) выполняется, то неравен-
ство (13) обеспечивает выполнение условия (2) определения 1 для системы (1) относительно
области Ωp × R
m. Покажем, что условие (1) определения 1 выполняется относительно об-
ласти Ωp × Ωr, где Ωr указано в условии теоремы 2.
Пусть c — произвольное положительное число и область
Π = {(x, p, r) | Ωx : ‖x‖ 6 a,Ωp : ‖p− p∗‖ 6 b, Ωr : ‖r‖ 6 c},
где
a = 2‖(K(p∗))−1‖max
p∈Ωp
‖B(p)‖
( λmin(Q)−max
p∈Ωp
(λmax(M(p, P ∗)))
4‖P ∗‖‖K(p∗)‖‖(K(p∗))−1‖max
Ωp
(‖B(p)‖‖C(p)‖)
+ 1
)
c.
68 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №5
Согласно подходу, используемому для нахождения области Π, при всех (p, r) ∈ Ωp×Ωr усло-
вием существования единственного решения уравнения (2), принадлежащего Ωx, являются
неравенства
max
p∈Ωp
(‖B(p)‖‖C(p)‖)
∥∥∥∥
∂ϕ(u)
∂u
∣∣∣∣
u
−
∂ϕ(u)
∂u
∣∣∣∣
u=0
∥∥∥∥+max
p∈Ωp
‖K(p)−K(p∗)‖ 6
1
2‖(K(p∗))−1‖
(16)
для всех u ∈ Ωu = {u ∈ R
m | ‖u‖ 6 d};
‖ϕ(r)‖ 6
a
2‖(K(p∗))−1‖max
p∈Ωp
‖B(p)‖
— (17)
для всех r ∈ Ωr.
Определив d и Ωp из неравенства (16), с помощью неравенства
max
p∈Ωp
‖C(p)‖a+ c 6 d (18)
и (17) можем оценить область Π.
Из неравенств (16) и (13) получим, что для всех p из области Ωp, которая определяется
из неравенств (14) и (15), неравенство (16) выполняется для всех u ∈ R
m, т. е. d можно
выбирать произвольным положительным числом. Значит, при выбранных нами a и c не-
равенство (18) выполняется.
Покажем, что условие (17) относительно области Ωp, которая выбирается так, как ука-
зано в условии теоремы 2, выполняется для всех r ∈ Ωr
‖ϕ(r)‖ =
∥∥∥∥ϕ(0) +
∂ϕ(u)
∂u
∣∣∣∣
u=r̃
r
∥∥∥∥ 6
∥∥∥∥
∂ϕ(u)
∂u
∣∣∣∣
u=r̃
∥∥∥∥c 6
6
(∥∥∥∥
∂ϕ(u)
∂u
∣∣∣∣
u=r̃
−
∂ϕ(u)
∂u
∣∣∣∣
u=0
∥∥∥∥+
∥∥∥∥
∂ϕ(u)
∂u
∣∣∣∣
u=0
∥∥∥∥
)
c 6
6
( λmin(Q)−max
p∈Ωp
(λmax(M(p, p∗))
4‖P ∗‖‖K(p∗)‖‖(K(p∗))−1‖max
p∈Ωp
(‖B(p)‖‖C(p)‖)
+ 1
)
c =
=
a
2‖(K(p∗))−1‖max
p∈Ωp
(‖B(p)‖)
.
Значит, условие (17) относительно области Ωp выполняется для всех r ∈ Ωr. Для всех зна-
чений параметра из области Ωp ×Ωr существует единственное решение уравнения (2), при-
надлежащее области Ωx, суть условие (1) определения 1 выполняется относительно области
Ωp × Ωr. Окончательно получим, что относительно области Ωp × Ωr, которая определяется
так, как указано в условии теоремы 2, выполняются условия (1) и (2) определения 1, т. е. сис-
тема Лурье вида (1) абсолютно параметрически устойчива относительно этой области.
Теорема доказана.
4. Пример. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
ẋ = A(p)x+B(p)f(r − C(p)x), (19)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №5 69
где x = (x1, x2, x3)
T , p ∈ R
1, r ∈ R
1, A(p) =
0 1 + p 0
7,3 + p −12,6− p2 −2,5 + p
0 5 + p3 0
, B(p) =
=
0
−2,5− p2
1
, C(p) =
(
−8− p2 −0,1 0,1
)
, f(u) =
1
270
arctan(u).
Покажем, что система Лурье (19) абсолютно параметрически устойчива и определим
область Π = {(x, p, r) | Ωx : ‖x‖ 6 a, Ωp : ‖p−p∗‖ 6 b, Ωr : ‖r‖ 6 c} такую, что относительно
области Ωp × Ωr такая устойчивость имеет место.
Определим матрицу
K(p) =
0 1 + p 0
−p4 − 10,5p2 + p− 12,7 −1,1p2 − 12,85 0,1p2 + p− 2,25
8 + p2 p3 + 5,1 −0,1
и выбрав p∗ = 0, получим
K(p∗) =
0 1 0
−12,7 −12,85 −2,25
8 5, 1 −0,1
—
устойчивую матрицу. Из уравнения (7) для матрицы Q =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
матрица P ∗ имеет
вид P ∗ =
2,776 0,446 0,646
0,446 0,154 0,202
0,646 0,202 0,454
. Применяя подход, указанный в п. 2, вычислим область
Π = {(x, p, r) | Ωx : ‖x‖ 6 0,035, Ωp1: |p| 6 0,07, Ωr : |r| 6 0,729}
и, используя неравенство (9), область Ωp2 = {p ∈ R
1 | |p| 6 0,221}. Неравенство (8) относи-
тельно области Ωp2 выполняется для всех u ∈ R
1. Значит, согласно теореме 1, система (19)
абсолютно параметрически устойчива относительно области
Ωp × Ωr = {(p, r) | |p| 6 0,07, |r| 6 0,729}.
Пусть функция ϕ(u) неизвестна, но известно, что
∂ϕ(u)
∂u
∣∣∣∣
u=0
= 1. Тогда, используя тео-
рему 2, получим, что если функция ϕ(u) удовлетворяет условию
∥∥∥∥
∂ϕ(u)
∂u
∣∣∣∣
u
− 1
∥∥∥∥ 6 6,385 × 10−5,
то система (19) абсолютно параметрически устойчива относительно области Ωp × R
1, где
Ωp = {p ∈ R
1 | |p| 6 0,085}.
Отметим, что полученные результаты можно использовать для применения в теории
управления (см. [5–7]) и смежных областях.
70 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №5
1. Wada T., Ikeda M., Ohta Y., Šiljak D.D. Parametric absolute stability of multivariable Lur’e systems:
a Popov-type condition and application of polygon interval arithmetic // Nonlinear Analysis, Theory,
Methods, Applications – 1997. – 30, No 6. – P. 3713–3723.
2. Ikeda M., Ohta Y., Šiljak D.D. Parametric stability // Proceedings of the Univ. di Genova – The Ohio
State University Joint Conference. – Boston; Basel; Berlin: Birkhäuser, 1991.
3. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. – Москва: Мир, 1969. – 447 с.
4. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения: Собр. соч. в 5-ти т. – Москва: Изд-во АН
СССР, 1956. – Т. 2. – С. 7–264.
5. Larin V.B. On static output-feedback stabilization of a periodic system // Int. Appl. Mech. – 2006. – 42,
No 3. – P. 357–364.
6. Larin V. B., Tunik A.A. Dynamic output feedback compensation of external disturbances // Ibid. – 2006. –
42, No 5. – P. 606–614.
7. Martynyuk A.A., Nikitina N.V. On oscillations of a frictional pendulum // Ibid. – 2006. – 42, No 2. –
P. 214–221.
Поступило в редакцию 08.10.2009Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
A. S. Khoroshun
The conditions for absolute parametric stability of Lur’e systems
The concept of parametric stability is used to obtain sufficient conditions for global parametric
stability of Lur’e systems. A region with such a stability in the space of parameters is found.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №5 71
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-29698 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:29:14Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Хорошун, А.С. 2011-12-26T13:13:10Z 2011-12-26T13:13:10Z 2010 Условия абсолютной параметрической устойчивости систем Лурье / А.С. Хорошун // Доп. НАН України. — 2010. — № 5. — С. 64-71. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29698 517.36 В роботi концепцiя параметричної стiйкостi використовується для отримання достатнiх умов глобальної параметричної стiйкостi систем Лур’є. Знайдено область такої стiйкостi у просторi параметрiв. The concept of parametric stability is used to obtain sufficient conditions for global parametric stability of Lur’e systems. A region with such a stability in the space of parameters is found. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Условия абсолютной параметрической устойчивости систем Лурье The conditions for absolute parametric stability of Lur’e systems Article published earlier |
| spellingShingle | Условия абсолютной параметрической устойчивости систем Лурье Хорошун, А.С. Механіка |
| title | Условия абсолютной параметрической устойчивости систем Лурье |
| title_alt | The conditions for absolute parametric stability of Lur’e systems |
| title_full | Условия абсолютной параметрической устойчивости систем Лурье |
| title_fullStr | Условия абсолютной параметрической устойчивости систем Лурье |
| title_full_unstemmed | Условия абсолютной параметрической устойчивости систем Лурье |
| title_short | Условия абсолютной параметрической устойчивости систем Лурье |
| title_sort | условия абсолютной параметрической устойчивости систем лурье |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29698 |
| work_keys_str_mv | AT horošunas usloviâabsolûtnoiparametričeskoiustoičivostisistemlurʹe AT horošunas theconditionsforabsoluteparametricstabilityofluresystems |