Тригонометрические формулы полных сопротивлений RL, RC, RLC электроцепей
Пропонуються адекватнi класичним тригонометричнi формули повних опорiв RL, RC, RLC електричних кiл. The trigonometric formulae for complete resistances of RL, RC, RLC electric circuits are offered. These formulae are adequate to the classical ones....
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29705 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Тригонометрические формулы полных сопротивлений RL, RC, RLC электроцепей / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2010. — № 5. — С. 89-94. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860242891283103744 |
|---|---|
| author | Божко, А.Е. |
| author_facet | Божко, А.Е. |
| citation_txt | Тригонометрические формулы полных сопротивлений RL, RC, RLC электроцепей / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2010. — № 5. — С. 89-94. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Пропонуються адекватнi класичним тригонометричнi формули повних опорiв RL, RC, RLC електричних кiл.
The trigonometric formulae for complete resistances of RL, RC, RLC electric circuits are offered. These formulae are adequate to the classical ones.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:32:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
5 • 2010
ЕНЕРГЕТИКА
УДК 621.3(075.8)
© 2010
Член-корреспондент НАН Украины А.Е. Божко
Тригонометрические формулы полных сопротивлений
RL, RC, RLC электроцепей
Пропонуються адекватнi класичним тригонометричнi формули повних опорiв RL, RC,
RLC електричних кiл.
В теоретических основах электротехники, например в [1], законсервировались формулы
полных сопротивлений RL, RC, RLC электроцепей в соответствующем виде
zL =
√
R2 + (ωL)2, zC =
√
R2 +
(
1
ωC
)2
, zRLC =
√
R2 +
(
ωL−
1
ωC
)2
. (1)
Однако при проведении экспериментов с указанными электроцепями, используя осцил-
лограф, омметр, измеряющий активное сопротивление, при синусоидальном входном на-
пряжении U(t) = Ua sinωt, где Ua — амплитуда; ω — круговая частота; t — время, зная Ua,
R и сдвиг фаз ϕ между U(t) и током i(t) в цепи, задаваясь любым значением угла ωt не-
зависимо от частоты, можно определить полное сопротивление этой цепи. Поясним наше
утверждение.
Возьмем цепь RL. Уравнение этой цепи следующее:
Ua sinωt = Ri(t) + L
di(t)
dt
= RIa sin(ωt− ϕ) + ωL cos(ωt− ϕ), (2)
где Ia — амплитуда тока.
Из (2) получаем полное сопротивление
zRL =
Ua
Ia
=
R sin(ωt− ϕ) + ωL cos(ωt− ϕ)
sinωt
. (3)
В (3) введем тригонометрические преобразования [2] sin(ωt±ϕ)= sinωt cosϕ±cosωt sinϕ,
cos(ωt ± ϕ) = cosωt cosϕ ∓ sinωt sinϕ и tgϕ = ωL/R. С учетом этих преобразований (3)
принимает вид
zRL = R
(sinωt cosϕ− cosωt sinϕ) + tgϕ(cosωt cosϕ+ sinωt sinϕ)
sinωt
. (4)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №5 89
Формула (4) представляет собой тригонометрическую форму полного сопротивления
в RL цепи. Проверим соответствие этой формулы формуле (1) для RL цепи. При этом будем
учитывать, что sinϕ = ωL/
√
R2 + (ωL)2; cosϕ = R/
√
R2 + (ωL)2. Зададимся несколькими
значениями углов ωt, например, пока 0, π/4, π/2, π. Тогда из (4) получим zRL0 = R
2 sinϕ
0
=
= ∞, что, в принципе, является неопределенностью. Для четкого выяснения применим
правило Лопиталя [2], продифференцировав по t числитель и знаменатель (4) и подставив
затем ωt = 0. В результате находим
zL0 = R(cosϕ+ tgϕ sinϕ) = R
(
R
√
R2 + (ωL)2
+
(ωL)2
R
√
R2 + (ωL)2
)
=
√
R2 + (ωL)2,
zLπ/4 = R
[
cosϕ− sinϕ+
ωL
R
(cosϕ+ sinϕ)
]
=
√
R2 + (ωL)2,
zLπ/2 = R cosϕ+ ωL sinϕ =
√
R2 + (ωL)2,
zLπ =
R sinϕ+ ωL cosϕ
0
= ∞,
что также является неопределенностью. Применяя правило Лопиталя к (4) и подставляя
ωt = π, получим
zLπ = R(cosϕ+ tgϕ sinϕ) =
√
R2 + (ωL)2.
Итак, в результате проведенной проверки убеждаемся, что формула (4) адекватна клас-
сической формуле полного сопротивления RL цепи.
Перейдем теперь к исследованию RC цепи. Уравнение этой цепи такое:
Ua sinωt = RIa sin(ωt+ ϕ) +
Ia
c
∫
sin(ωt+ ϕ) dt = Ria sin(ωt+ ϕ)−
Ia
ωc
cos(ωt+ ϕ). (5)
Из (5) получаем выражение полного сопротивления в виде
zRC =
Ua
Ia
=
R sin(ωt+ ϕC)−
1
ωc
cos(ωt+ ϕ)
sinωt
, (6)
где ϕC = arctg(1/(Rωc)). Здесь также можно задаться любым углом ωt и определить со-
ответствие (6) классической формуле полного сопротивления для RC цепи. Для краткости
возьмем ωt = π/4. Применим также к (6) те же тригонометрические преобразования. То-
гда (6) будет следующим:
zRC = R
(sinωt cosϕC + cosωt sinϕC)− tgϕC(cosωt cosϕC − sinωt sinϕC)
sinωt
. (7)
Подставив в (7) ωt = π/2, получим
zRCπ/2 = R cosϕC +
1
ωc
sinϕC =
R2 +
(
1
ωc
)2
√
R2 +
(
1
ωc
)2
.
90 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №5
Здесь также видна адекватность (6) или (7) классической формуле полного сопротивления
в RC цепи. Другие значения ωt = 0, π/4, π подставлять не будем, так как в этих случаях
также видна рассматриваемая адекватность формул.
Далее рассмотрим RLC цепь (последовательное соединение R, L, C)
U(t) = Ri(t) + L
di(t)
dt
+
1
c
∫
i(t) dt
или при U(t) = Ua sinωt, i(t) = Ia sin(ωt ± ϕ) это уравнение принимает вид
Ua sinωt = RIa sin(ωt± ϕC) + ωL cos(ωt± ϕC)−
1
ωc
sin(ωt± ϕC),
откуда полное сопротивление
zRLC =
Ua
Ia
=
1
sinωt
[
R sin(ωt± ϕ) + ωL cos(ωt± ϕ) −
1
ωc
sin(ωt± ϕ)
]
, (8)
где
ϕ = arctg
ωL−
1
ωc
R
, sinϕRLC =
ωL−
1
ωc
√
R2 +
(
ωL−
1
ωc
)2
,
cosϕRLC =
R
√
R2 +
(
ωL−
1
ωc
)2
.
Применяя к (8) те же тригонометрические преобразования, находим
zRLC =
1
sinωt
R[sinωt cosϕ± cosωt sinϕ+ tgϕ(cosωt cosϕ∓ sinωt sinϕ)]. (9)
Подставив в (9) ωt = π/2, получим
zRLCπ/2 = R(cosϕ∓ tgϕ sinϕ). (10)
При ωL > 1/ωc, ϕ < 0. Тогда (10) имеет вид
zRLCπ/2 = R(cosϕ+ tgϕ sinϕ) =
R2
√
R2 +
(
ωL−
1
ωc
)2
+
(
ωL−
1
ωc
)2
√
R2 +
(
ωL−
1
ωc
)2
=
=
√
R2 +
(
ωL−
1
ωc
)2
,
т. е. и в этом случае тригонометрические формулы (8), (9) соответствуют классической.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №5 91
Далее при ωL < 1/ωc, ϕ > 0. ωt = π/2 (9) имеет вид
zRLCπ/2 = R(cosϕ+ tgϕ sinϕ) =
R2
√
R2 +
(
ωL−
1
ωc
)2
+
(
ωL−
1
ωc
)2
√
R2 +
(
ωL−
1
ωc
)2
=
=
√
R2 +
(
ωL−
1
ωc
)2
.
Здесь также видна полная адекватность тригонометрической формулы полного сопротив-
ления zRLC классической формуле.
Теперь рассмотрим RLC цепь при параллельном соединении L и C и L ‖ C соединены
последовательно с R. Уравнения такой цепи следующие:
U(t) = Ri(t) + L
diL(t)
dt
,
U(t) = Ri(t) +
1
c
∫
iC(t) dt,
i(t) = iL(t) + iC(t).
(11)
Для этой цепи можно применить правило определения токов iL(t) и iC(t)
iL(t) = i(t)
−
1
ωc
ωL−
1
ωc
;
iC(t) = i(t)
ωL
ωL−
1
ωc
.
(12)
Здесь также U(t) = Ua sinωt, i(t) = Ia sin(ωt ± ϕ) и тогда (11) с учетом (12) записывается
выражениями
Ua sinωt = RIa sin(ωt± ϕ)− IaωL
cos(ωt± ϕ)
ω2Lc− 1
. (13)
Уравнение (13) соответствует двум уравнениям (11). Из (13) получаем полное сопро-
тивление рассматриваемой цепи
zRL‖C =
Ua
Ia
=
1
sinωt
[
R sin(ωt± ϕ)−
ωL cos(ωt± ϕ)
ω2Lc− 1
]
. (14)
Здесь arctgϕ = −
ωL
(ω2Lc− 1)R
. Формулу (14) можно представить в виде
zRL‖C =
1
sinωt
R[sin(ωt± ϕ) + tgϕ cos(ωt± ϕ)]. (15)
92 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №5
Применяя к (15), как и ранее, тригонометрические преобразования, получим выраже-
ние, подобное (9). Далее повторяем такую же процедуру, как для цепи RLC при последо-
вательном соединении элементов. Здесь также zRL‖C =
√
R2 + (ωL− 1/ωc)2, т. е. полное
соответствие классической формуле.
Заметим, что, приравнивая тригонометрическое формулы полных сопротивлений к клас-
сическим в соответствующих электроцепях, можно при известных R и ω определять вели-
чины L и C в RL, RC цепях соответственно. В RLC — для определения L и C необходимо
иметь два уравнения, так как имеются два неизвестных параметра. Поэтому предлагается
в эксперименте измерить в электроцепи угол ϕ = ϕ1 при RLC1, а затем изменить частоту
с ω1 на ω2 и опять измерить угол ϕ = ϕ2. Для цепи RL ‖ C процедура подобная.
Активное сопротивление в исследуемой электроцепи можно определить следующим ме-
тодом: дважды подключить последовательно с электроцепью известные активные сопро-
тивления R1 и R2. Затем измерить углы ϕ1 и ϕ2 соответственно. Тогда получим, например,
в RL цепи tgϕ1 = ωL/(R +R1) и tgϕ2 = ωL/(R+R2), где R — неизвестное активное
сопротивление.
Из этих формул получаем
(R+R1) tgϕ1 = (R +R2) tgϕ2,
откуда находим активное сопротивление, описываемое выражением
R =
R2 tgϕ2 −R1 tgϕ1
tgϕ1 − tgϕ2
.
Если же необходимо вычислить частоту ω, то в цепь с активным сопротивлением R
следует последовательно включить известную емкость C и тогда получим tgϕ = 1/(ωcR),
откуда ω = 1/(Rctgϕ).
Итак, приведем формулы, определяющие L и C в рассматриваемых электроцепях. Для
RL, RC цепей L = (R/ω) tgϕL, C = 1/(ωR tgϕC). Для цепи RLC индуктивность L и ем-
кость C выражается формулами
L =
1
ω1
(
R tgϕ1 +
ω2 tgϕ1 − ω1 tgϕ2
ω2
2
− ω2
1
)
;
C =
ω2
2
− ω2
1
Rω1ω2(ω2 tgϕ1 − ω1 tgϕ2)
.
Для цепи RL ‖ C L и C имеют вид
L =
R tgϕ1 tgϕ2(ω
2
1
+ ω2
2
)
ω1[ω1 tgϕ1(ω2 tgϕ1 − ω1 tgϕ2) + (ω2
1
+ ω2
2
) tgϕ2]
;
C =
ω2 tgϕ1 − ω1 tgϕ2
R tgϕ1 tgϕ2(ω
2
2
+ ω2
1
)
.
Таким образом, в результате данного исследования выведены тригонометрические фор-
мулы полных сопротивлений в RL, RC, RLC, RL ‖ C электроцепях, которые полностью
адекватны классическим формулам [1]. Полученные тригонометрические формулы при эк-
сперименте облегчают нахождение полных сопротивлений рассматриваемых электроцепей.
В эксперименте определяются активное сопротивление R и угол ϕ между U(t) и i(t). Для
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №5 93
определения L и C в RLC и RL ‖ C цепях следует варьировать один раз частотой ω,
т. е. иметь в распоряжении значения углов ϕ1 и ϕ2 при ω1 и ω2 соответственно.
По нашему мнению, представленные тригонометрические формулы полных сопротив-
лений электроцепей могут войти в справочники по электротехнике.
1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. – Москва: Высш. шк., 1978. – 528 с.
2. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. – Москва: ГИТТЛ, 1956. – 608 с.
Поступило в редакцию 17.01.2008Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
Corresponding Member of the NAS of Ukraine A.E. Bozhko
Trigonometric formulae for complete resistances of RL, RC, and RLC
electric circuits
The trigonometric formulae for complete resistances of RL, RC, RLC electric circuits are offered.
These formulae are adequate to the classical ones.
94 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №5
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-29705 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:32:13Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Божко, А.Е. 2011-12-26T13:25:56Z 2011-12-26T13:25:56Z 2010 Тригонометрические формулы полных сопротивлений RL, RC, RLC электроцепей / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2010. — № 5. — С. 89-94. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29705 621.3(075.8) Пропонуються адекватнi класичним тригонометричнi формули повних опорiв RL, RC, RLC електричних кiл. The trigonometric formulae for complete resistances of RL, RC, RLC electric circuits are offered. These formulae are adequate to the classical ones. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Енергетика Тригонометрические формулы полных сопротивлений RL, RC, RLC электроцепей Trigonometric formulae for complete resistances of RL, RC, and RLC electric circuits Article published earlier |
| spellingShingle | Тригонометрические формулы полных сопротивлений RL, RC, RLC электроцепей Божко, А.Е. Енергетика |
| title | Тригонометрические формулы полных сопротивлений RL, RC, RLC электроцепей |
| title_alt | Trigonometric formulae for complete resistances of RL, RC, and RLC electric circuits |
| title_full | Тригонометрические формулы полных сопротивлений RL, RC, RLC электроцепей |
| title_fullStr | Тригонометрические формулы полных сопротивлений RL, RC, RLC электроцепей |
| title_full_unstemmed | Тригонометрические формулы полных сопротивлений RL, RC, RLC электроцепей |
| title_short | Тригонометрические формулы полных сопротивлений RL, RC, RLC электроцепей |
| title_sort | тригонометрические формулы полных сопротивлений rl, rc, rlc электроцепей |
| topic | Енергетика |
| topic_facet | Енергетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29705 |
| work_keys_str_mv | AT božkoae trigonometričeskieformulypolnyhsoprotivleniirlrcrlcélektrocepei AT božkoae trigonometricformulaeforcompleteresistancesofrlrcandrlcelectriccircuits |