О двумерных псевдосферических поверхностях в E4 с вырожденным преобразованием Бианки
Класифiковано псевдосферичнi поверхнi в чотиривимiрному евклiдовому просторi з виродженим перетворенням Бiанкi. We classify pseudospherical surfaces in a four-dimensional Euclidean space, whose Bianchi transformations are degenerate....
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2010 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29821 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О двумерных псевдосферических поверхностях в E4 с вырожденным преобразованием Бианки / В.А. Горькавый, Е.Н. Невмержицкая // Доп. НАН України. — 2010. — № 6. — С. 13-18. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859723089497030656 |
|---|---|
| author | Горькавый, В.А. Невмержицкая, Е.Н. |
| author_facet | Горькавый, В.А. Невмержицкая, Е.Н. |
| citation_txt | О двумерных псевдосферических поверхностях в E4 с вырожденным преобразованием Бианки / В.А. Горькавый, Е.Н. Невмержицкая // Доп. НАН України. — 2010. — № 6. — С. 13-18. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Класифiковано псевдосферичнi поверхнi в чотиривимiрному евклiдовому просторi з виродженим перетворенням Бiанкi.
We classify pseudospherical surfaces in a four-dimensional Euclidean space, whose Bianchi transformations are degenerate.
|
| first_indexed | 2025-12-01T10:57:57Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 514
© 2010
В.А. Горькавый, Е.Н. Невмержицкая
О двумерных псевдосферических поверхностях в E
4
с вырожденным преобразованием Бианки
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.А. Борисенко)
Класифiковано псевдосферичнi поверхнi в чотиривимiрному евклiдовому просторi з ви-
родженим перетворенням Бiанкi.
Целью данной работы является описание вырожденного преобразования Бианки двумерных
псевдосферических поверхностей F 2 в четырехмерном евклидовом пространстве E4.
Напомним классическое определение преобразования Бианки (см. [1, 2]). Пусть F 2 —
псевдосферическая поверхность в E3, т. е. поверхность с постоянной отрицательной гауссо-
вой кривизной K ≡ −1. Зададим F 2 радиус-вектором r = r(x, y) в орициклических коор-
динатах (x, y), когда метрика поверхности имеет вид
ds2 = dx2 + e−2xdy2. (1)
Преобразование Бианки переводит поверхность F 2 в новую поверхность F̃ 2 ⊂ E3 с ради-
ус-вектором
r̃(x, y) = r + rx. (2)
Данное преобразование обладает рядом интересных свойств, основным среди которых
является следующее (ср. [1, 2]).
Теорема 1. Преобразованная поверхность F̃ 2 ⊂ E3 является псевдосферической и име-
ет ту же гауссову кривизну, что и F 2, т. е. K̃ ≡ K ≡ −1.
Таким образом, преобразование Бианки позволяет по заданной псевдосферической по-
верхности строить новые псевдосферические поверхности, причем реализация этой кон-
струкции является легко выполнимой при условии, что на исходной поверхности задана
орициклическая система координат.
В общем случае преобразование Бианки является регулярным. Но, вообще говоря, на
преобразованной поверхности F̃ могут возникать особенности (в теореме 1 речь идет, коне-
чно же, о регулярной части поверхности F̃ ). Более того, иногда преобразованная поверх-
ность F̃ может вырождаться в кривую — в этом случае преобразование Бианки называют
вырожденным.
В качестве примера рассмотрим поверхность Бельтрами, которая получается вращением
трактрисы. Ее радиус-вектор имеет вид
r = (e−x cos y, e−x sin y,Φ(x)),
где функция Φ(x) такова, что Φ′ =
√
1− e−2x [3]. Легко проверить, что координаты (x, y)
являются орициклическими, а ее гауссова кривизна K ≡ −1. Применяя преобразование
Бианки по формуле (2), получим вектор-функцию
r̃ = (0, 0,Φ +Φ′),
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №6 13
которая описывает прямую — ось вращения поверхности Бельтрами. Указанный пример
является исключительным — других псевдосферических поверхностей в E3 с вырожденным
преобразованием Бианки не существует.
Преобразование Бианки было обобщено Ю.А. Аминовым на случай Fn ⊂ E2n−1
(см. [1, 4]). Псевдосферическое подмногообразие Fn задавалось радиус-вектором r =
= r(x, y1, . . . , yn−1) в орисферических координатах (x, y1, . . . , yn−1), соответственно, метрика
подмногообразия записывалась в стандартном виде: ds2 = dx2+ e−2x
(
n−1∑
i=1
dy2i
)
. Преобразо-
вание Бианки строилось по формуле (2), при этом оказалось, что имеет место аналог тео-
ремы 1: преобразование Бианки переводит псевдосферическое подмногообразие Fn ⊂ E2n−1
в псевдосферическое подмногообразие F̃n ⊂ E2n−1 той же постоянной отрицательной
кривизны. Интересно было бы выяснить, для каких псевдосферических подмногообразий
Fn ⊂ E2n−1 преобразование Бианки будет вырожденным.
Актуальным является вопрос о построении теории преобразования Бианки и более об-
щего преобразования Беклунда для псевдосферических поверхностей в евклидовых про-
странствах произвольной размерности. Ю.А. Аминов и А. Сым [5] решали эту задачу
для двумерных псевдосферических поверхностей в четырехмерном евклидовом пространс-
тве E4. На поверхности F 2 с кривизной K ≡ −1 выбирались орициклические координаты,
и преобразование Бианки поверхности F 2 строилось по стандартной формуле (2). Оказа-
лось, что преобразованная поверхность уже не будет псевдосферической, т. е. теорема 1
в случае F 2 ⊂ E4 не верна. С другой стороны, было показано, что при некоторых дополни-
тельных требованиях преобразование Бианки переводит псевдосферическую поверхность
в псевдосферическую. Иначе говоря, был выделен класс специальных псевдосферических
поверхностей в E4, для которых теорема 1 верна [5]. Локальное описание этих поверхно-
стей представлено в [6].
Теорема 2. Пусть F 2 ⊂ E4 — псевдосферическая поверхность, r(x, y) — ее радиус-век-
тор в орициклической системе координат. Преобразование Бианки (2) переводит F 2 в по-
верхность F̃ 2 с той же гауссовой кривизной K̃ ≡ −1 тогда и только тогда, когда на F 2
можно ввести сопряженную систему координат x = ϕ(u, v), y = v, в которой фундамен-
тальные формы F 2 имеют следующий вид: g = (dϕ(u, v))2 + e−2ϕdv2, L1 = ∂uϕe
ϕdu2 −
− ∂uϕe
−3ϕdv2, L2 = e−ϕP (u, v)dv2, µ21 = Q(u, v)du.
Функции ϕ(u, v), P (u, v) и Q(u, v) в теореме 2 не могут быть произвольными, они обяза-
ны удовлетворять уравнениям Гаусса–Кодацци–Риччи, которые в рассматриваемом случае
сводятся к системе дифференциальных соотношений
∂2
uuϕe
−2ϕ − 2(ϕu)
2e−2ϕ − ∂2
vvϕe
2ϕ − 2(ϕv)
2e2ϕ − PQ− 1 = 0, (3)
∂uP − ∂uϕe
−2ϕQ = 0, (4)
∂vQ+ ∂vϕe
2ϕP = 0. (5)
Таким образом, специальные псевдосферические поверхности в E4 описываются реше-
ниями ϕ, P , Q системы (3)–(5). Более того, как показано в [6], если к специальной псев-
досферической поверхности F 2 применить преобразование Бианки, то преобразованная по-
верхность F̃ 2 также будет специальной псевдосферической, а само преобразование Бианки
может интерпретироваться как инволютивное преобразование решений системы (3)–(5) ви-
да {ϕ(u, v), P (u, v), Q(u, v)} → {−ϕ(v, u), Q(v, u), P (v, u)}.
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №6
Важно отметить, что на функцию ϕ накладываются ограничения, связанные с регуляр-
ностью рассматриваемых поверхностей. А именно: регулярность F 2 обеспечивается выпол-
нением условия ∂uϕ 6= 0, а регулярность F̃ 2 гарантируется выполнением условия ∂vϕ 6= 0.
Цель нашей работы состоит в описании специальных псевдосферических поверхностей
в E4, для которых преобразование Бианки является вырожденным. Доказана следующая
теорема.
Теорема 3. Пусть F 2 — специальная псевдосферическая поверхность. Ее преобразова-
ние Бианки будет вырожденным тогда и только тогда, когда либо
I) фундаментальные формы поверхности F 2 в соответствующей орициклической си-
стеме координат (x, y) имеют вид
g = dx2 + e−2xdy2, (6)
L1 =
e−x
√
1− e−2x cosα
dx2 − e−x
√
1− e−2x cosαdy2, L2 = e−x
√
1− e−2x sinαdy2, (7)
µ21 =
(
α′ + tg α
e−2x
1− e−2x
)
dx, (8)
где α = α(x) — произвольная функция, либо
II) фундаментальные формы поверхности F 2 в соответствующей орициклической си-
стеме координат (x, y) имеют вид
g = dx2 + e−2xdy2, (9)
L1 =
e−x
√
1− e−2x
dx2 − e−x
√
1− e−2xdy2, L2 = e−xf(y)dy2, (10)
µ21 = 0, (11)
где f = f(y) — произвольная функция.
Схема доказательства. Ввиду теоремы 2 специальная псевдосферическая поверх-
ность F 2 в E4 описывается решением ϕ, P , Q(u, v) системы (3)–(5). Как отмечалось выше,
регулярность преобразованной поверхности F̃ 2 эквивалентна выполнению условия ∂vϕ 6= 0,
поэтому вырождение преобразования Бианки означает, что функция ϕ не зависит от v,
т. е. ϕ = ϕ(u). Тогда из (5) вытекает, что Q = Q(u). Если Q 6= 0, то из (3) следует, что
P = P (u) — дальнейшее интегрирование системы обыкновенных дифференциальных урав-
нений (3)–(5) приводит к формулам (6)–(8). Если же Q ≡ 0, то из (4) вытекает, что P = P (v),
а уравнение (3) представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение второго
порядка для ϕ = ϕ(u) — его интегрирование приводит к формулам (9)–(11).
Отметим, что специальные псевдосферические поверхности, описанные в теореме 3,
обладают следующим свойством: соответствующая орициклическая сеть на каждой такой
поверхности образована линиями кривизны.
Специальные псевдосферические поверхности типа II, представленные формулами (9)–
(11), имеют более простое описание. А именно: в этом случае удается проинтегрировать
уравнения Вейнгартена и восстановить радиус-вектор поверхности F 2:
r = e−xp(y) + Φ(x)q0 + q1, (12)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №6 15
здесь q0 и q1 — постоянные векторы, а вектор-функция p(y) удовлетворяет условиям
(p, q0) = 0, |p| = |q0| ≡ 1, |p′| ≡ 1.
Легко проверить, применяя (2), что r̃ = (Φ + Φ′)q0 + q1, т. е. преобразованная поверхность
F̃ 2 вырождается в прямую с направляющим вектором q0.
Очевидно, что вектор-функция p(y) описывает некоторую кривую Γ на единичной сфе-
ре S2 в гиперплоскости E3 ⊂ E4 с нормалью q0, при этом y — натуральный параметр на Γ.
Вектор q1 соответствует параллельному переносу в E4.
Рассмотрим конкретные примеры. Пусть q0 = (0, 0, 1, 0), q1 = 0, а p(y) описывает боль-
шую окружность на единичной сфере S2, т. е. p(y) = (cos y, sin y, 0, 0). Тогда радиус-век-
тор (12) примет вид
r = (e−x cos y, e−x sin y,Φ, 0)
и будет, очевидно, описывать стандартную поверхность Бельтрами в E3.
Пусть теперь p(y) описывает окружность радиуса a на сфере S2 ∈ E3, т. е. p(y) =
=
(
a cos
y
a
, a sin
y
a
, 0,
√
1− a2
)
. Тогда радиус-вектор (12) принимает вид
r =
(
e−xa cos
y
a
, e−xa sin
y
a
,Φ, e−x
√
1− a2
)
.
Его можно записать следующим образом:
rt =
cos
y
a
− sin
y
a
0 0
sin
y
a
cos
y
a
0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
·
a 0 0 −
√
1− a2
0 1 0 0
0 0 1 0√
1− a2 0 0 a
·
e−x
0
Φ
0
.
Мы видим, что эта поверхность получается сложным вращением трактрисы.
Рассматривая другие кривые Γ с радиус-вектором p(y) на единичной сфере S2, c помо-
щью формулы (12) получим другие более сложные примеры специальных псевдосфериче-
ских поверхностей типа II, при этом функция f = f(y), фигурирующая в (10), является
геодезической кривизной сферической кривой Γ. Указанные поверхности естественно на-
звать обобщенными поверхностями Бельтрами.
Класс специальных псевдосферических поверхностей типа I, представленных формула-
ми (6)–(8), является более интересным. Прежде всего, удается проанализировать вид кри-
вых в E4, которые могут получиться в результате вырожденного преобразования Бианки
специальных псевдосферических поверхностей типа I.
Теорема 4. Пусть специальная псевдосферическая поверхность F 2 ⊂ E4 с K ≡ −1 та-
кова, что ее фундаментальные формы имеют вид (6)–(8). Тогда кривая γ, которая получа-
ется в результате преобразования Бианки поверхности F 2, является регулярной плоской
кривой. При этом для натурального параметра σ = σ(x) на γ имеет место формула
dσ
dx
=
√
1 + e−2x tg2 α
1− e−2x
, (13)
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №6
а первая кривизна кривой γ вычисляется по формуле
k1 =
√
1− e−2xe−x
cos2 α(1 + e−2x tg2 α)3/2
(
e−2x tgα
1− e−2x
+ α′
)
. (14)
Эскиз доказательства. Записывая радиус-вектор (2) кривой γ и вычисляя его про-
изводные, воспользовавшись выражениями (6)–(8) и формулами Вейенгартена, находим
выражения для натурального параметра и для кривизн кривой γ c помощью стандартных
формул теории кривых (см., например, [1, гл. 1]).
Оказывается, что любая плоская кривая локально может быть получена с помощью
вырожденного преобразования Бианки некоторой специальной псевдосферической поверх-
ности типа I в E4.
Теорема 5. Пусть γ — регулярная плоская кривая. Тогда локально существует специ-
альная псевдосферическая поверхность F 2 ∈ E4 с K ≡ −1, преобразование Бианки которой
будет вырожденным и преобразует F 2 в γ.
Доказательство. Пусть регулярная плоская кривая γ задана натуральным уравнением
k1 = k1(σ). Формулы (13) и (14) можно переписать в виде системы дифференциальных
уравнений:
dx
dσ
=
√
1− e−2x
1 + e−2x tg2 β
, (15)
dβ
dσ
= k1
cos2 β(1 + e−2x tg2 β)
e−x
− e−2x tg β√
1− e−2x
√
1 + e−2x tg2 β
(16)
для функций x = x(σ) и β(σ) = α(x(σ)). Задавая начальные условия x(σ0) = x0, β(σ0) = β0,
восстанавливаем решение x = x(σ), β = β(σ). Поскольку dx/dσ > 0 ввиду (15), мы можем
обратить функцию x(σ) и найти функции σ = σ(x), α = β(σ). Подставив α = α(x) в (6)–(8),
получим дифференциальные формы, коэффициенты которых удовлетворяют уравнениям
Гаусса, Кодацци, Риччи. По теореме Бонне, в E4 существует единственная с точностью до
движения поверхность F 2 c указанными фундаментальными формами. Эта поверхность бу-
дет специальной псевдосферической, а ее преобразование Бианки переводит F 2 в заданную
кривую γ, что и требовалось доказать.
Доказательство теоремы 5 содержит метод построения специальной псевдосферической
поверхности F 2 с вырожденным преобразованием Бианки: по заданной кривизне k1(σ) с по-
мощью (15), (16) восстанавливаем функцию α(x), подставляем ее в выражения (6)–(8),
интегрируем уравнения Вейнгартена и находим радиус-вектор искомой поверхности. Пос-
кольку системы дифференциальных уравнений, возникающие на этом пути, достаточно
сложные, нахождение радиус-вектора в явном виде является трудной задачей. Но иногда
в некоторых частных случаях это удается сделать. Например, в случае, когда γ — прямая,
т. е. k1 ≡ 0. Оказывается, в этом случае поверхность F 2 описывается радиус-вектором (12),
где p(y) представляет сферическую кривую постоянной геодезической кривизны.
1. Аминов Ю.А. Геометрия подмногообразий. – Киев: Наук. думка, 2002. – 467 с.
2. Tenenblat K. Transformations of manifolds and applications to differential equations. – New York: Wiley,
1998. – 209 p.
3. Борисенко О.А. Диференцiальна геометрiя i топологiя. – Харкiв: Основа, 1995. – 304 с.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №6 17
4. Масальцев Л.А. Псевдосферическая конгруэнция Бианки в E
2n−1 // Мат. физика, анализ, геомет-
рия. – 1994. – 1, № 3/4. – С. 505–512.
5. Aminov Yu., Sym A. On Bianchi and Bäcklund transformations of two-dimensional surfaces in E
4 // Math.
Phys., Anal., Geom. – 2000. – 3, No 1. – P. 75–89.
6. Горькавый В.А. Конгруэнции Бианки двумерных поверхностей в E
4 // Мат. сб. – 2005. – 196, № 10. –
С. 79–102.
Поступило в редакцию 16.11.2009Физико-технический институт низких температур
им. Б.И. Веркина НАН Украины, Харьков
V.O. Gorkavyy, O.M. Nevmerzhytska
On two-dimensional pseudospherical surfaces in E
4 with degenerate
Bianchi transformation
We classify pseudospherical surfaces in a four-dimensional Euclidean space, whose Bianchi trans-
formations are degenerate.
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №6
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-29821 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T10:57:57Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Горькавый, В.А. Невмержицкая, Е.Н. 2012-01-06T10:26:58Z 2012-01-06T10:26:58Z 2010 О двумерных псевдосферических поверхностях в E4 с вырожденным преобразованием Бианки / В.А. Горькавый, Е.Н. Невмержицкая // Доп. НАН України. — 2010. — № 6. — С. 13-18. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29821 514 Класифiковано псевдосферичнi поверхнi в чотиривимiрному евклiдовому просторi з виродженим перетворенням Бiанкi. We classify pseudospherical surfaces in a four-dimensional Euclidean space, whose Bianchi transformations are degenerate. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика О двумерных псевдосферических поверхностях в E4 с вырожденным преобразованием Бианки On two-dimensional pseudospherical surfaces in E4 with degenerate Bianchi transformation Article published earlier |
| spellingShingle | О двумерных псевдосферических поверхностях в E4 с вырожденным преобразованием Бианки Горькавый, В.А. Невмержицкая, Е.Н. Математика |
| title | О двумерных псевдосферических поверхностях в E4 с вырожденным преобразованием Бианки |
| title_alt | On two-dimensional pseudospherical surfaces in E4 with degenerate Bianchi transformation |
| title_full | О двумерных псевдосферических поверхностях в E4 с вырожденным преобразованием Бианки |
| title_fullStr | О двумерных псевдосферических поверхностях в E4 с вырожденным преобразованием Бианки |
| title_full_unstemmed | О двумерных псевдосферических поверхностях в E4 с вырожденным преобразованием Бианки |
| title_short | О двумерных псевдосферических поверхностях в E4 с вырожденным преобразованием Бианки |
| title_sort | о двумерных псевдосферических поверхностях в e4 с вырожденным преобразованием бианки |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29821 |
| work_keys_str_mv | AT gorʹkavyiva odvumernyhpsevdosferičeskihpoverhnostâhve4svyroždennympreobrazovaniembianki AT nevmeržickaâen odvumernyhpsevdosferičeskihpoverhnostâhve4svyroždennympreobrazovaniembianki AT gorʹkavyiva ontwodimensionalpseudosphericalsurfacesine4withdegeneratebianchitransformation AT nevmeržickaâen ontwodimensionalpseudosphericalsurfacesine4withdegeneratebianchitransformation |