Про товщинні пружноелектричні коливання п'єзокерамічних шарів з викривленими граничними поверхнями

Про товщинні пружноелектричні коливання п'єзокерамічних шарів з викривленими граничними поверхнями

Рiвняння пружноелектричних центральносиметричних коливань у сферичних координатах наведенi в операторнiй гамiльтоновiй формi за радiальною координатою. Використовується єдина форма спiввiдношень для сферичних, цилiндричних i прямокутних координат....

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2010
Автор: Шульга, М.О.
Формат: Стаття
Мова:Ukrainian
Опубліковано: Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2010
Назва видання:Доповіді НАН України
Теми:
Механіка
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29825
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Про товщинні пружноелектричні коливання п'єзокерамічних шарів з викривленими граничними поверхнями / М.О. Шульга // Доп. НАН України. — 2010. — № 6. — С. 59-62. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-29825
record_format dspace
spelling nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-298252025-02-09T09:36:11Z Про товщинні пружноелектричні коливання п'єзокерамічних шарів з викривленими граничними поверхнями About thickness elastic electric vibrations of piezoceramic layers with curved boundary surfaces Шульга, М.О. Механіка Рiвняння пружноелектричних центральносиметричних коливань у сферичних координатах наведенi в операторнiй гамiльтоновiй формi за радiальною координатою. Використовується єдина форма спiввiдношень для сферичних, цилiндричних i прямокутних координат. Equations of elastic electric centrally symmetric vibrations in spherical coordinates are represented in an operator Hamilton form by the radial coordinate. The single form of relations for spherical, cylindrical, and rectangular coordinates is used. 2010 Article Про товщинні пружноелектричні коливання п'єзокерамічних шарів з викривленими граничними поверхнями / М.О. Шульга // Доп. НАН України. — 2010. — № 6. — С. 59-62. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29825 539.3:537.228.1:538.6 uk Доповіді НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
topic Механіка
Механіка
spellingShingle Механіка
Механіка
Шульга, М.О.
Про товщинні пружноелектричні коливання п'єзокерамічних шарів з викривленими граничними поверхнями
Доповіді НАН України
description Рiвняння пружноелектричних центральносиметричних коливань у сферичних координатах наведенi в операторнiй гамiльтоновiй формi за радiальною координатою. Використовується єдина форма спiввiдношень для сферичних, цилiндричних i прямокутних координат.
format Article
author Шульга, М.О.
author_facet Шульга, М.О.
author_sort Шульга, М.О.
title Про товщинні пружноелектричні коливання п'єзокерамічних шарів з викривленими граничними поверхнями
title_short Про товщинні пружноелектричні коливання п'єзокерамічних шарів з викривленими граничними поверхнями
title_full Про товщинні пружноелектричні коливання п'єзокерамічних шарів з викривленими граничними поверхнями
title_fullStr Про товщинні пружноелектричні коливання п'єзокерамічних шарів з викривленими граничними поверхнями
title_full_unstemmed Про товщинні пружноелектричні коливання п'єзокерамічних шарів з викривленими граничними поверхнями
title_sort про товщинні пружноелектричні коливання п'єзокерамічних шарів з викривленими граничними поверхнями
publisher Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate 2010
topic_facet Механіка
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29825
citation_txt Про товщинні пружноелектричні коливання п'єзокерамічних шарів з викривленими граничними поверхнями / М.О. Шульга // Доп. НАН України. — 2010. — № 6. — С. 59-62. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.
series Доповіді НАН України
work_keys_str_mv AT šulʹgamo protovŝinnípružnoelektričníkolivannâpêzokeramíčnihšarívzvikrivlenimigraničnimipoverhnâmi
AT šulʹgamo aboutthicknesselasticelectricvibrationsofpiezoceramiclayerswithcurvedboundarysurfaces
first_indexed 2025-11-25T08:31:04Z
last_indexed 2025-11-25T08:31:04Z
_version_ 1849750434953035776
fulltext УДК 539.3:537.228.1:538.6 © 2010 Член-кореспондент НАН України М. О. Шульга Про товщиннi пружноелектричнi коливання п’єзокерамiчних шарiв з викривленими граничними поверхнями Рiвняння пружноелектричних центральносиметричних коливань у сферичних коорди- натах наведенi в операторнiй гамiльтоновiй формi за радiальною координатою. Вико- ристовується єдина форма спiввiдношень для сферичних, цилiндричних i прямокутних координат. В роботах автора [1–3 та iн.] система рiвнянь пружностi i електропружностi в декарто- вих прямокутних координатах приводиться до операторної системи гамiльтонового типу за просторовою координатою вiдносно вiдповiдним чином вибраних умовно кажучи канонiч- них змiнних. Для системи рiвнянь електропружностi в цилiндричних координатах гамiльто- нiв формалiзм вперше був реалiзований у [4, 5 та iн.]. У данiй роботi аналогiчний результат одержано для рiвнянь електропружностi в сферичних координатах при центрально-симет- ричних деформацiях. Будемо виходити з системи одновимiрних рiвнянь електропружностi ∂σrr ∂r + N r (σrr − σθθ) = ρ ∂2ur ∂t2 , ∂Dr ∂r + N r Dr = 0 (1) та матерiальних залежностей σrr = cE33 ∂ur ∂r +NcE13 ur r + e33 ∂ϕ ∂r , σθθ = cE 13 ∂ur ∂r +N [ cE 11 − 1 2 (N − 1)(cE 11 − cE 12 ) ] ur r + e31 ∂ϕ ∂r , Dr = −εS33 ∂ϕ ∂r +Ne31 ur r + e33 ∂ur ∂r . (2) У виразах (2) врахованi формули Кошi для деформацiй 2K = ∇u+u∇ i градiєнтний розв’я- зок E = −∇ϕ рiвняння ∇×E = 0 для напруженостi електричного поля в квазiстатичному наближеннi [6, 7]. Як i в пружному випадку [8] при N = 0, r = z рiвняння (1), (2) вiдпо- вiдають прямокутним декартовим координатам, при N = 1 — цилiндричним координатам, при N = 2 — сферичним координатам. З першого i третього рiвнянь системи (2) знаходимо ∂ur ∂r = 1 c33∗ σrr + e33 εS 33 c33∗ Dr −N c13∗ c33∗ ur r , ∂ϕ ∂r = e33 εS 33 c33∗ σrr − cE 33 εS 33 c33∗ Dr +N e31∗ ε33∗ ur r . (3) ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №6 59 Тут використанi позначення c13∗ = cE 13 + e13e33 εS 33 , c33∗ = cE 33 + e33e33 εS 33 , e13∗ = e13 − c13e33 cE 33 , ε33∗ = εS 33 + e33e33 cE 33 . (4) Для напруження σθθ одержимо формулу σθθ = c13∗ c33∗ σrr − e31∗ ε33∗ Dr +N [ e13 e13∗ ε33∗ − cE 13 c13∗ c33∗ + cE 11 − N − 1 2 (cE 11 − cE 12 ) ] ur r . (5) Шляхом подальших перетворень залежностей (1) разом з (3) одержимо систему чотирьох рiвнянь ∂rNσrr ∂r = c13∗ c33∗ N r rNσrr − e31∗ ε33∗ N r rNDr + + rN [ ρ ∂2ur ∂t2 + N2 r2 ( e13 e13∗ ε33∗ − cE 13 c13∗ c33∗ + cE 11 − N − 1 2 (cE 11 − cE 12 ) ) ur ] , ∂rNDr ∂r = 0, ∂ur ∂r = 1 c33∗rN rNσrr +− e33 εS 33 c33∗rN rNDr − c31∗N c33∗r ur, ∂ϕ ∂r = e33 εS 33 c33∗rN rNσrr − cE 33 εS 33 c33∗rN rNDr + e31∗N ε33∗r ur. (6) вiдносно функцiй rNσrr, r NDr, ur, ϕ. Пiсля їх визначення напруження σθθ знаходимо за формулою (5). Якщо ввести канонiчнi змiннi rNσrr = q̂1, r NDr = q̂2, ur = p̂1, ϕ = p̂2, то систему (6) можна записати в операторнiй гамiльтоновiй формi [9] за просторовою координатою r ∂q̂i ∂r = ∂Ĥ ∂p̂i , ∂p̂i ∂r = − ∂Ĥ ∂q̂i (7) з операторною функцiєю Гамiльтона Ĥ(q̂k, p̂k) = − 1 2 1 c33∗rN q̂21 − e33 εS 33 c33∗ q̂1q̂2 + 1 2 cE 33 εS 33 c33∗rN q̂22 + + 1 2 rN { ρ∂2 t + N2 r2 [ e13 e13∗ c33∗ − cE 13 c13∗ c33∗ + cE 11 − N − 1 2 (cE 11 − cE 12 ) ]} p̂2 1 + + c13∗N c33∗r q̂1p̂1 − e13∗N ε33∗r q̂2p̂1. (8) Система (6) має ту особливiсть, що узагальнений iмпульс p̂2 = ϕ не входить в функцiю Гамiльтона i похiдна вiд вiдповiдної узагальненої координати q̂2 = rNDr дорiвнює нулю. 60 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №6 Звiдси випливає: функцiя rDr залежить тiльки вiд часу, перше i третє рiвняння iнтегрую- ться незалежно вiд iнших; потенцiал ϕ визначається через rDr та ur. Звичайно, рiвняння системи (6) можуть бути зв’язанi через граничнi умови на поверхнях r = r0 та r = r1, r0 < r1, якi вибираються по двi з альтернативних пар σrr(r0, t) = 0 σrr(t) ∨ ur(r0, t) = 0 u r (t), σrr(r1, t) = 1 σrr(t) ∨ ur(r1, t) = 1 u r (t); Dr(r0, t) = 0 D r (t) ∨ ϕ(r0, t) = 0 ϕ(t), Dr(r1, t) = 1 D r (t) ∨ ϕ(r1, t) = 1 ϕ(t) (9) при r = r0 i r = r1. Звернемо також увагу на те, що система (6), як i вихiднi спiввiдношення (1), (2), спра- ведливi i у випадку, коли фiзико-механiчнi параметри ρ, cij , eij , εij будуть кусково-непе- рервними функцiями координати r з розривами першого роду. В точках розриву r = r∗, r0 < r∗ < r1 повиннi виконуватися умови неперервностi функцiй σrr, Dr, ur, ϕ. Розглянемо гармонiчнi коливання f(r, t) = Re fa(r) exp iωt. Рiвняння (6) в цьому разi набудуть вигляду ∂rNσa rr ∂r = c13∗ c33∗ N r rNσa rr − e31∗ ε33∗ N r rNDa r + + rN [ −ρω2 + N2 r2 ( e13 e13∗ ε33∗ − cE13 c13∗ c33∗ + cE11 − N − 1 2 (cE11 − cE12) )] uar , ∂rNDa r ∂r = 0, ∂uar ∂r = 1 c33∗rN rNσa rr − e33 εS 33 c33∗rN rNDa r − c31∗N c33∗r uar , ∂ϕa ∂r = e33 εS 33 c33∗rN rNσa rr − c33 εS 33 c33∗rN rNDa r + e31∗N ε33∗r uar . (10) Система (10) є гамiльтоновою системою [8] за координатою r dqk dx = ∂H ∂pk , dpk dx = − ∂H ∂qk . (11) Функцiя Гамiльтона буде така: H(qk, pk) = − 1 2 1 c33∗rN q21 − e33 εS 33 c33∗ q1q2 + 1 2 cE 33 εS 33 c33∗rN q22 + + 1 2 rN { −ρω2 + N2 r2 [ e13 e13∗ c33∗ − cE 13 c13∗ c33∗ + cE 11 − N − 1 2 (cE 11 − cE 12 ) ]} p2 1 + + c13∗N c33∗r q1p1 − e13∗N ε33∗r q2p1. (12) ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №6 61 Систему рiвнянь (10) можна одержати з умови стацiонарностi функцiонала Φ = r2∫ r1 [ p1 dq1 dr + p2 dq2 dr + 1 2 1 c33∗rN q2 1 + e33 εS 33 c33∗ q1q2 − 1 2 cE 33 εS 33 c33∗rN q2 2 − − 1 2 rN { −ρω2 + N2 r2 [ e13 e13∗ c33∗ − cE13 c13∗ c33∗ + cE11 − N − 1 2 (cE11 − cE12) ]} p21 − − c13∗N c33∗r q1p1 + e13∗N ε33∗r q2p1 ] dr (13) при “iзохронних” варiацiях. Для аналiзу резонансних усталених коливань в системi (10) треба скористатися комп- лексними фiзико-механiчними параметрами [6, 7]. 1. Шульга Н.А. Основы механики слоистых сред периодической структуры. – Киев: Наук. думка, 1981. – 200 с. 2. Shulga N.A. Propagation of elastic waves in periodic-nonhomogeneous space // Int. Appl. Mech. – 2003. – 39, No 7. – P. 763–796. 3. Shulga N.A. Propagation of coupled waves in layered-periodic continua for interaction with an electromag- netic field // Ibid. – 2003. – 39, No 10. – P. 1146–1172. 4. Шульга В.М. До розв’язку рiвнянь електропружностi в цилiндричних координатах // Доп. НАН України. – 1999. – № 3. – С. 71–74. 5. Шульга В.М. Поширення акустоелектричних хвиль в п’єзоелектричних цилiндрах. – Автореф. дис. . . . канд. фiз.-мат. наук. – Київ: Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка, 1999. – 16 с. 6. Шульга Н.А., Болкисев А.М. Колебания пьезоэлектрических тел. – Киев: Наук. думка, 1990. – 228 с. 7. Шульга М.О., Карлаш В.Л. Резонанснi електромеханiчнi коливання п’єзоелектричних пластин. – Київ: Наук. думка, 2008. – 270 с. 8. Шульга М.О. До теорiї товщинних коливань пружних шарiв з викривленими граничними поверхня- ми // Доп. НАН України. – 2010. – № 5. – С. 72–75. 9. Кильчевский Н.А. Курс теоретической механики. В 2-х т. – Москва: Наука, 1977. – Т. 2. – 439 с. Надiйшло до редакцiї 06.10.2009Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка НАН України, Київ Corresponding Member of the NAS of Ukraine M. O. Shulga About thickness elastic electric vibrations of piezoceramic layers with curved boundary surfaces Equations of elastic electric centrally symmetric vibrations in spherical coordinates are represented in an operator Hamilton form by the radial coordinate. The single form of relations for spherical, cylindrical, and rectangular coordinates is used. 62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №6

Схожі ресурси