О Фурье-комбинированном сингуларисном процессе зарядки аккумулятора
Розв’язується задача з визначення напруги на акумуляторi при його зарядженнi вiд Фур’є-комбiнованої сингуларисної напруги. The problem of determination of the accumulator voltage at its charging with the help of the Fourier-combined singularisnal voltage is solved....
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29896 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О Фурье-комбинированном сингуларисном процессе зарядки аккумулятора / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2010. — № 7. — С. 78-81. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860263150586167296 |
|---|---|
| author | Божко, А.Е. |
| author_facet | Божко, А.Е. |
| citation_txt | О Фурье-комбинированном сингуларисном процессе зарядки аккумулятора / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2010. — № 7. — С. 78-81. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Розв’язується задача з визначення напруги на акумуляторi при його зарядженнi вiд Фур’є-комбiнованої сингуларисної напруги.
The problem of determination of the accumulator voltage at its charging with the help of the Fourier-combined singularisnal voltage is solved.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:57:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
7 • 2010
ЕНЕРГЕТИКА
УДК 621.3(0758)
© 2010
Член-корреспондент НАН Украины А.Е. Божко
О Фурье-комбинированном сингуларисном процессе
зарядки аккумулятора
Розв’язується задача з визначення напруги на акумуляторi при його зарядженнi вiд
Фур’є-комбiнованої сингуларисної напруги.
В работах [1–3] представлены новые виды устройств заряда аккумуляторов. Этот заряд осу-
ществляется под действием выпрямленного в двух полупериодах синусоидального напряже-
ния U(t). Графическое изображение выпрямленного напряжения U приведено на рис. 1, где
Ua — амплитуда синусоидального напряжения U(t) sin ωt; ω — круговая частота; t — время.
Напряжение U уже не является синусоидальным [4]. Оно может быть выражено в виде
ряда Фурье [4]
U =
4Ua
π
(
1
2
+
1
1 · 3
cos 2ωt−
1
3 · 5
cos 4ωt+
1
5 · 7
cos 6ωt− · · ·
)
. (1)
Известно [4, 5], что периодические функции с периодом 2π, удовлетворяющие условиям
Дирихле, разлагаются в ряд Фурье общего вида
f(ωt) = A0 +
∞
∑
s=1
As sin(sωt+ ϕs). (2)
Рис. 1
78 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №7
Приведем (1) к виду (2). Для этого воспользуемся тригонометрическим преобразова-
нием [5] cos x = sin(π/2 − x) = − sin(x − π/2) и тогда (1) запишем в виде
U =
4Ua
π
[
1
2
−
1
1 · 3
sin
(
2ωt−
π
2
)
+
1
3 · 5
sin
(
4ωt−
π
2
)
−
1
5 · 7
sin
(
6ωt−
π
2
)
+ · · ·
]
. (3)
Как видим, (2) и (3) подобны по форме. Сигнал, описываемый выражением (2), является
полигармоническим с постоянной составляющей A0. При подаче сигнала (2) на вход объекта
(электроцепи) в момент t = 0
f(0) = A0 +
∞
∑
s=1
As sinϕs,
где A0 и As sinϕs, s = 1,∞, являются скачкообразными сигналами, которые могут быть
записаны в виде
f(0) = A01(t) +
∞
∑
s=1
As1(t) sinϕs, (4)
где 1(t) =
{
1 при t > 0
0 при t < 0
}
.
Применяя к (4) Фурье-разложение (2), получим
f(ωt) = A01(t) +
∞
∑
s=1
As1(t) sin(sωt+ ϕs). (5)
На основе работ [6, 7] к выражению (5) можно применить сингуларисные разложения
U1(t) = U
(
1− e−αt + e−αt
n
∑
k=1
Uak cosωkt
)
, (6)
Ua sin(ωt± ϕ) = Ua(1− e−αt) sin(ωt± ϕ) + Uae
−αt sin(±ϕ)
n
∑
k=1
Uak cosωkt, (7)
соответственно, к A01(t) — выражение (6), а к As1(t) sin(sωt+ϕs) — выражение (7), где α —
коэффициент затухания; Ua1 = 1/π, Uak = Ua1/k, k = ωk/ω1,
n
∑
k=1
Uak = 1, n ≈ 12. Тогда (5)
с учетом (6) и (7) будет следующим:
f(ωt) = A0
(
1− e−αt + e−αt
n
∑
k=1
Uak cosωkt
)
+
+
∞
∑
s=1
[
As(1− e−αt) sin(sωt+ ϕs) +Ase
−αt sinϕs
n
∑
k=1
Uak cosωkt
]
. (8)
После группирования в (8) однородных членов получим
f(ωt) = (1− e−αt)
[
A0 +
∞
∑
s=1
As sin(sωt+ ϕs)
]
+
+
(
e−αt
n
∑
k=1
Uak cosωkt
)(
A0 +
∞
∑
s=1
As sinϕs
)
. (9)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №7 79
Выражение (9) является Фурье-комбинированным сингуларисным разложением перио-
дической несинусоидальной функции f(ωt). Далее применим выведенное выражение (9)
к выражению (3), но при этом из-за малости в (3) слагаемых после второго будем (3)
рассматривать в виде
U =
4Ua
π
[
1
2
−
1
3
sin
(
2ωt−
π
2
)]
. (10)
В виде (9) выражение (10) принимает вид
U =
4Ua
π
{
(1− e−αt)
[
1
2
−
1
3
sin
(
2ωt−
π
2
)]
+
5
6
e−αt
n
∑
k=1
Uak cosωkt
}
. (11)
Именно напряжение U = (11) подается на пластины аккумулятора, который заряжается
под действием тока i(t), полученного от действия напряжения (11). Определим напряжение
на аккумуляторе (Ак) под действием тока заряда i(t) с помощью операционного метода [8],
используя преобразование Карсона. Дифференциальное уравнение цепи заряда Ак следую-
щее:
4Ua
π
{
(1− e−αt)
[
1
2
−
1
3
sin
(
2ωt−
π
2
)]
+
5
6
e−αt
n
∑
k=1
Uak cosωkt
}
= rC
dUC
dt
+ UC , (12)
где r — активное сопротивление цепи заряда Ак; C — емкость Ак; UC — напряжение на Ак.
В (12) запишем sin(2ωt − π/2) = cos 2ωt. Тогда изображение Карсона, соответствую-
щее (12), имеет вид
4Ua
π
{
α
p+ α
(
1
2
−
1
3
p2
p2 + 4ω2
)
+
5
6
n
∑
k=1
Uak
p(p+ α)
(p + α)2 + ω2
k
}
=
1
δ
(p+ δ)UC(p), (13)
где p = d/dt — оператор; UC(p) — изображение Карсона оригинала UC(t); δ = 1/(rC) —
коэффициент затухания цепи заряда Ак.
Из (13) получаем
UC(p) =
4δUa
π
1
p+ δ
{
α
p+ α
(
1
2
−
1
3
p2
p2 + 4ω2
)
+
5
6
n
∑
k=1
Uak
p(p+ α)
(p+ α)2 + ω2
k
}
. (14)
Используя таблицы [8] на основе (14), определим оригинал UC(t) в виде
UC(t) =
4δUa
π
〈
α
2
[
1
αδ
+
1
α− δ
(
1
α
e−αt
−
1
δ
e−δt
)]
−
−
1
3
[
1
δ2 + 4ω2
(−δe−δt + δ cos 2ωt+ 2ω sin 2ωt)
]
+
+
5
6
n
∑
k=1
Uak
α
(α− δ)2 + ω2
k
{
e−δt +
e−αt
ωk
[−ωk cosωkt− (α− δ) sinωkt]
}
+
+
5
6
n
∑
k=1
Uak
α
(α−δ)2 + ω2
k
{
−δe−δt+
e−αt
ωk
[ωkδ cosωkt+ (ω2
k+α2
−αδ) sinωkt]
}
. (15)
80 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №7
В (15) сгруппируем однородные члены. Тогда получим
UC(t) =
2Ua
π
−
4δUa
π · 3
1
δ2 + ω2
(δ cos 2ωt+ 2ω sin 2ωt) +
+
4δUa
π
e−δt
[
−
1
(α− δ)δ
+
1
3
1
δ2 + 4ω2
+
5
6
n
∑
k=1
α
(α− δ)2 + ω2
k
(1− αδ)
]
+
+
4δUa
π
e−αt
n
∑
k=1
1
ωk
[
ωk
(
δ
α
− 1
)
cosk t+ (ω2
k + α2
− αδ − α+ δ) sinωkt
]
×
× Uak
α
(α− δ)2 + ω2
k
. (16)
Как видно из (16), слагаемые с e−δt и e−αt затухают, причем так как α → ∞, то слагае-
мое с e−αt затухает очень быстро. Гармонические составляющие с cos 2ωt и sin 2ωt, проходя
через Ак, заряжают и разряжают его, обеспечивая деполяризацию в Ак, что, в принци-
пе, необходимо. Постоянная составляющая 2Ua/π равна среднему значению двухполупе-
риодного выпрямленного однофазного напряжения, что обусловливает заряд Ак до этого
напряжения.
Таким образом, видим, что данное исследование, использующее Фурье-комбинированное
сингуларисное разложение несинусоидальных функций, полностью соответствует в своем
результате по заряду аккумулятора классическому решению подобной задачи.
1. Божко О.Є., Личкатий Є.А., Тертишний I.С. Пристрiй для заряду акумуляторної батареї / Патент
України № 14869А, GH 02 J 7/10. Бюл. № 3. – 30.06.97. – 5 с.
2. Божко О.Є., Личкатий Є.А., Тертишний I.С. Пристрiй для заряду акумуляторної батареї / Патент
України № 14882А, GH 02 J 7/10. Бюл. № 4. – 18.02.97. – 5 с.
3. Божко А.Е., Личкатый Е.А., Попов С. Г. Основные принципы построения устройств для заряда ак-
кумуляторов и их реализация // Компрессорное и энергетическое машиностроение. – 2007. – № 3(9). –
С. 59–63.
4. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. – Москва: Высш. шк., 1978. – 528 с.
5. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. – Москва: ГИТТЛ, 1956. – 608 с.
6. Божко А.Е. О новой трактовке переходных процессов в электроцепях переменного тока // Доп. НАН
України. – 2005. – № 4. – С. 81–86.
7. Божко А. Е. О сингуларисном разложении скачкообразной функции // Там само. – 2008. – № 2. –
С. 42–47.
8. Гинзбург С. Г. Методы решения задач по переходным процессам в электрических цепях. – Москва:
Сов. радио, 1959. – 404 с.
Поступило в редакцию 22.07.2008Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
Corresponding Member of the NAS of Ukraine A.E. Bozhko
On the Fourier combined singularisnal process for charging an
accumulator
The problem of determination of the accumulator voltage at its charging with the help of the Fourier-
combined singularisnal voltage is solved.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №7 81
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-29896 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:57:21Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Божко, А.Е. 2012-01-11T16:50:52Z 2012-01-11T16:50:52Z 2010 О Фурье-комбинированном сингуларисном процессе зарядки аккумулятора / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2010. — № 7. — С. 78-81. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29896 621.3(0758) Розв’язується задача з визначення напруги на акумуляторi при його зарядженнi вiд Фур’є-комбiнованої сингуларисної напруги. The problem of determination of the accumulator voltage at its charging with the help of the Fourier-combined singularisnal voltage is solved. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Енергетика О Фурье-комбинированном сингуларисном процессе зарядки аккумулятора On the Fourier combined singularisnal process for charging an accumulator Article published earlier |
| spellingShingle | О Фурье-комбинированном сингуларисном процессе зарядки аккумулятора Божко, А.Е. Енергетика |
| title | О Фурье-комбинированном сингуларисном процессе зарядки аккумулятора |
| title_alt | On the Fourier combined singularisnal process for charging an accumulator |
| title_full | О Фурье-комбинированном сингуларисном процессе зарядки аккумулятора |
| title_fullStr | О Фурье-комбинированном сингуларисном процессе зарядки аккумулятора |
| title_full_unstemmed | О Фурье-комбинированном сингуларисном процессе зарядки аккумулятора |
| title_short | О Фурье-комбинированном сингуларисном процессе зарядки аккумулятора |
| title_sort | о фурье-комбинированном сингуларисном процессе зарядки аккумулятора |
| topic | Енергетика |
| topic_facet | Енергетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29896 |
| work_keys_str_mv | AT božkoae ofurʹekombinirovannomsingularisnomprocessezarâdkiakkumulâtora AT božkoae onthefouriercombinedsingularisnalprocessforcharginganaccumulator |