Об одной математической модели мировой динамики и устойчивости развития
Викладено одну модифiкацiю моделi Форрестера свiтової динамiки. У запропонованiй моделi введено фактор невдоволення на кожному системному рiвнi моделi. Встановлено умови стiйкого розвитку вiдносно двох мiр у межах даної моделi. The paper is devoted to the discussion of a modification of Forrester’s...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29913 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об одной математической модели мировой динамики и устойчивости развития / А.А. Мартынюк // Доп. НАН України. — 2010. — № 7. — С. 16-21. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859675279178334208 |
|---|---|
| author | Мартынюк, А.А. |
| author_facet | Мартынюк, А.А. |
| citation_txt | Об одной математической модели мировой динамики и устойчивости развития / А.А. Мартынюк // Доп. НАН України. — 2010. — № 7. — С. 16-21. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Викладено одну модифiкацiю моделi Форрестера свiтової динамiки. У запропонованiй моделi введено фактор невдоволення на кожному системному рiвнi моделi. Встановлено умови стiйкого розвитку вiдносно двох мiр у межах даної моделi.
The paper is devoted to the discussion of a modification of Forrester’s model of the world dynamics. In the model, the “factor of discontent” is taken into account via the dynamics of public opinion on the development of separate system levels. We also established the conditions of sustainable development with respect to two measures.
|
| first_indexed | 2025-11-30T15:44:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.36
© 2010
Академик НАН Украины А.А. Мартынюк
Об одной математической модели мировой динамики
и устойчивости развития
Викладено одну модифiкацiю моделi Форрестера свiтової динамiки. У запропонованiй
моделi введено фактор невдоволення на кожному системному рiвнi моделi. Встановлено
умови стiйкого розвитку вiдносно двох мiр у межах даної моделi.
Целью данной работы является обсуждение одной модификации модели Форрестера, учи-
тывающей фактор недовольства развитием на отдельных уровнях модели, и получение
условий устойчивого развития относительно двух мер.
Модель мировой динамики Форрестера (см. [1, 2]) построена на основе подхода, развито-
го при изучении сложных систем с нелинейными обратными связями. При моделировании
мировой динамики были приняты во внимание следующие глобальные процессы:
(i) быстрый рост населения планеты;
(ii) индустриализация и связанный с нею рост промышленного производства;
(iii) ограниченность пищевых ресурсов;
(vi) увеличение отходов производства;
(v) нехватка природных ресурсов.
Основными переменными в модели Форрестера приняты:
1) население P (далее используется обозначение X1);
2) основные фонды K (X2);
3) доля фондов в сельском хозяйстве X (X3);
4) уровень загрязнения окружающей среды Z (X4);
5) количество невозобновляемых природных ресурсов R (X5).
Факторами, через которые осуществляется взаимовлияние переменных X1, . . . ,X5, при-
няты следующие:
относительная численность населения Pp (население, нормированное к его численности
в 1970 г.);
удельный капитал Kp;
материальный уровень жизни C;
относительный уровень питания F ;
нормированная величина удельного капитала в сельском хозяйстве Xp;
относительное загрязнение Zs;
доля остающихся ресурсов RR.
Кроме перечисленных факторов, Форрестер рассмотрел еще понятие “качество жиз-
ни” Q. Этот фактор зависит от переменных Pp, C, F и Zs: Q = QCQFQPQZ .
Для переменных P , K, X, Z, R, которые интерпретируются как системные уровни,
пишутся уравнения типа
dy
dt
= y+ − y−, (1)
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №7
где y+ — положительный темп роста скорости переменной; y− — отрицательный темп ско-
рости убывания переменной y. В упрощенном виде уравнения мировой динамики имеют
вид
dP
dt
= P (B −D),
dK
dt
= K+ − T−1
K K,
dX
dt
= X+ − T−1
X X,
dZ
dt
= Z+ − T−1
Z Z,
dR
dt
= −R−,
(2)
где B — темп рождаемости; D — темп смертности; K+ — скорость производства основных
фондов; X+ — прирост доли сельскохозяйственных фондов; Z+ — скорость генерации за-
грязнения; TZ — характерное время естественного разложения загрязнения; R− — скорость
потребления ресурсов.
Математический анализ модели (2) обнаружил существование стационарных и квази-
стационарных решений, которые интерпретируются как “глобальное равновесие” и “устой-
чивое общество”.
Пусть “нация” N (совокупность международных организаций) формирует общественное
мнение о глобальных процессах, происходящих на определенном системном уровне. Измене-
ние меры общественного мнения предлагается моделировать на каждом системном уровне
уравнением
d2χ
dt2
+m2χ = 0, χ′(t0) = χ′
0, χ(t0) = χ0. (3)
Здесь величина m является функцией значения переменных 1–5 в момент t = t0. При этом
для системных уровней пишутся уравнения типа (1)
dy
dt
= y+ − y− + b(t), (4)
где функция “недовольства” b(t) конкретизируется так (ср. [3]):
b(t) = ge±α|χ(t)|, α = const > 0. (5)
Здесь g — фактор “недовольства”, отражающий изменение “качества жизни” стран, вовле-
ченных в мировую динамику. Соотношение (5) моделирует нарастание (убывание) недо-
вольства протекающими глобальными процессами в зависимости от изменения меры обще-
ственного мнения.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №7 17
Таким образом, обобщением модели Форрестера (1), (2) являются уравнения
dX1
dt
= X1(B −D) + g1e
±α|χ(t)|,
dX2
dt
= K+ − T−1
K X2 + g2e
±α|χ(t)|,
dX3
dt
= X+ − T−1
X X3 + g3e
±α|χ(t)|,
dX4
dt
= Z+ − T−1
Z X4 + g4e
±α|χ(t)|,
dX5
dt
= −R− + g5e
±α|χ(t)|,
d2χ
dt2
+m2χ = 0,
(6)
где g1, . . . , g5 — факторы недовольства на соответствующем системном уровне.
Общую нелинейную модель мировой динамики предлагается описывать системой диф-
ференциальных уравнений вида
dXi
dt
= Wi(X) + gie
±α|χ(t)|, (7)
d2χ
dt2
+m2χ = 0, i = 1, 2, . . . , N. (8)
Здесь X = (X1, . . . ,X5, . . . ,XN ) ⊆ S(H), где X1, . . . ,X5 — переменные Форрестера
и X5+1, . . . ,Xn — некоторые другие переменные, вовлеченные в уравнения мировой ди-
намики, Wi : S(H) → RN
+ является вектор-функцией с компонентами, описывающими изме-
нение переменных на соответствующем системном уровне. Предполагается, что решение
(XT (t), χ(t))T системы связанных уравнений (7), (8) существует при всех t > t0 и началь-
ных условиях (XT
0 , χ
′
0, χ0)
T ∈ int(RN
+ , R × R).
Предположим, что система нелинейных уравнений
W1(X) + g1e
±α|χ(t)| = 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
WN (X) + gNe±α|χ(t)| = 0
имеет квазистационарное решение Xn(t) = (X1n(t), . . . ,XnN (t))T при любой ограниченной
функции χ(t), являющейся решением уравнения (8). При этом заменой Ляпунова
Y (t) = X(t)−Xn(t)
система уравнений (7) приводится к виду
dY
dt
= Y (t, Y ), (9)
где Y (t, Y ) = W (Y +Xn(t)) +Ge±|χ(t)| − (W (Xn(t)) + Ge±|χ(t)|). Очевидно, Y (t, 0) = 0 при
всех t > 0. Система (9) является системой возмущенных уравнений мировой динамики.
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №7
Проблема устойчивого развития связана с анализом решения Y = 0 уравнений (9). Ана-
лиз устойчивости решений будем проводить относительно двух мер H0, H, принимающих
значения из множеств
Φ = {H ∈ C(R+ ×RN , R+) : inf
(t,Y )
H(t, Y ) = 0};
Φ0 = {H ∈ {Φ: inf
Y
H(t, Y ) = 0 для каждого t ∈ R+}.
Далее будем придерживаться следующего определения.
Определение 1. Мировая динамика (7), (8) имеет устойчивое развитие относительно
двух мер, если для любого ε > 0 и t0 ∈ R+ существует положительная функция δ(t0, ε) > 0,
непрерывная по t0 для каждого ε, такая, что из условия H0(t0, Y0) < δ следует оценка
H(t, Y (t)) < ε при всех t > t0 и при любом ограниченном решении χ(t) уравнения (8).
Заметим, что если система (7), не имея нулевого решения (W (0, χ(t)) 6= 0 при X = 0),
имеет номинальное решение Xn(t), тогда меры H0, H могут быть выбраны так: H(t,X) =
= H0(t,X) = ‖X − Xn(t)‖, где ‖ · ‖ — эвклидова норма вектора X. Если в системе (7)
представляет интерес исследование устойчивости развития по переменным Форрестера, то
меры H0, H выбираются так: H(t,X) = ‖X −Xn(t)‖s, 1 6 s 6 5, и H0(t,X) = ‖X −Xn(t)‖.
Это соответствует анализу устойчивости системы (7) по двум мерам относительно части
переменных.
Предположим, что для системы (9) построены элементы uij(t, Y ) матричнозначной фун-
кции (см. [4])
U(t, Y ) = [uij(t, Y )], i, j = 1, 2, . . . ,m, m < N,
где uii ∈ C(R+ × RN , R+) и uij ∈ C(R+ × RN , R) при (i 6= j) ∈ [1,m]. Функцию
V (t, Y, w) = wTU(t, Y )w, w ∈ Rm, (10)
будем рассматривать вместе с функцией
D+V (t, Y, w) = wTD+U(t, Y )w, (11)
где D+U(t, Y ) — правая верхняя производная Дини вычисляется поэлементно для матри-
чнозначной функции U(t, Y ).
Условия устойчивости развития относительно двух мер (H0,H) содержатся в следующем
утверждении.
Теорема 1. Пусть уравнения глобальной динамики (7), (8) определены и непрерывны
в области значений (t, Y, χ) ∈ R+ × S × D. Если при этом
1) меры H0, H ∈ Φ-классу;
2) функция (10) удовлетворяет условию V (t, Y, w) ∈ C(R+ × S × Rm, R+) и является
локально липшицевой по Y ;
3) функция V (t, Y, w) удовлетворяет оценкам
a) a(H(t, Y )) 6 V (t, Y, w) 6 b(t,H0(t, Y )) при всех (t, Y, w) ∈ S(h,H) × Rm либо
б) a(H(t, Y )) 6 V (t, Y, w) 6 c(H0(t, Y )),
где a, c ∈ K-классу и b ∈ CK-классу функций сравнения;
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №7 19
4) существует матричнозначная функция Θ(Y,w), Θ ∈ C(RN×Rm, Rm×m) и Θ(0, w) =
= 0 при всех (w 6= 0) ∈ Rm такая, что
D+V (t, Y, w) 6 eT Θ̂(Y,w)e
при всех (t, Y, w) ∈ S×Rm, где e = (1, 1, . . . , 1)T ∈ Rm, S ⊂ (RN ×R+), Θ̂(Y,w) = (Θ(Y,w)+
+ ΘT (Y,w))/2 при любом ограниченном решении χ(t) уравнения (8).
Тогда:
А. Мировая динамика (7), (8) имеет устойчивое развитие относительно двух мер,
если матрица Θ̂(Y,w) отрицательно полуопределенная, мера H непрерывна по мере H0
и выполняется условие 3a.
Б. Мировая динамика (7), (8) имеет равномерно устойчивое развитие относитель-
но двух мер, если матрица Θ̂(Y,w) отрицательно полуопределенная, мера H равномерно
непрерывна по мере H0 и выполняется условие 3б.
Доказательство. Заметим, что функция V (t, Y, w), определяемая формулой (10), —
скалярная псевдоквадратная форма относительно w ∈ Rm. Поэтому знакоопределенность
функции (10) относительно меры H не требует H-знакоопределенности элементов uij(t, x)
матрицы U(t, Y ). Докажем вначале утверждение А теоремы 1. Из условий 1, 2, 3а следует,
что функция V (t, Y, w) слабо H0-убывающая. Поэтому при t0 ∈ R (t0 ∈ R+) существует
постоянная ∆0 = ∆0(t0) > 0 такая, что при H0(t0, x0) < ∆0 выполняется неравенство
V (t0, Y0, w) 6 b(t0,H0(t0, Y0)). (12)
Из условия 3а следует также, что существует ∆1 ∈ (0,H) такое, что
a(H(t, x)) 6 V (t, x, w) при H(t, x) 6 ∆1. (13)
Из того, что мера H непрерывна по мере H0, следует, что существуют функция ϕ ∈ CK
и постоянная ∆2 = ∆2(t0) > 0 такие, что
H(t0, Y0) 6 ϕ(t0,H0(t0, Y0)) при H0(t0, Y0) < ∆2, (14)
где ∆2 выбрано так, что
ϕ(t0,∆2) < ∆1. (15)
Пусть ε ∈ (0,∆0) и t0 ∈ (t0 ∈ Tτ ) заданы. Так как функции a ∈ K и b ∈ CK, то при
заданных ε и t0 можно выбрать ∆3 = ∆3(t0, ε) > 0 так, что
b(t0,∆3) < a(ε). (16)
Выберем δ(t0) = min(∆1,∆2,∆3). Из условий (12)–(16) следует, что при H0(t0, Y0) < δ
выполняются неравенства
a(H(t0, Y0)) 6 V (t0, Y0, w) 6 b(t0,H0(t0, Y0)) < a(ε),
из которых получаем
H(t0, Y0) < ε.
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №7
Пусть Y (t; t0, Y0) = Y (t) — решение системы (9) с начальными условиями, для которых
H0(t0, Y0) < δ. Убедимся, что при выполнении условий теоремы 1 выполняется оценка
H(t, Y (t)) < ε при всех t > t0.
Предположим, что существует t1 > t0 такое, что
H(t1, Y (t)) = ε и H(t, Y (t)) < ε, t ∈ [t0, t1),
для решения Y (t; t0, Y0) с начальными условиями H0(t0, Y0) < δ.
Из условия 4 и того, что матрица Θ̂(Y,w) отрицательно полуопределенная в области S,
следует, что корни λi = λi(Y,w) уравнения
det[Θ̂(Y,w) − λE] = 0
удовлетворяют условию λi(Y,w) 6 0, i = 1, 2, . . . ,m, в области S. Поэтому
D+V (t, Y, w) 6 eT Θ̂(Y,w)e 6 0
и при всех t ∈ [t0, t1] выполняется последовательность неравенств
a(ε) = a(H(t1, Y (t1))) 6 V (t, Y, w) 6 V (t0, Y0, w) 6 b(t0,H0(t0, Y0)) < a(ε).
Полученное противоречие опровергает предположение о том, что t1 ∈ [t0,+∞). Следова-
тельно, система (7), (8) (H0,H)-устойчива. Доказательство утверждения Б теоремы 1 про-
водится аналогично. При этом учитывая, что выполняется условие 3б и мера H равномерно
непрерывна по мере H0, величину δ можно выбрать не зависящей от t0 ∈ R (t0 ∈ R+). Отсю-
да будет следовать равномерная (H0,H)-устойчивость системы (7), (8).
Заметим, что построение подходящей функции (10) на основе матричнозначной фун-
кции U(t, Y ) существенно упрощается, так как элементы uij(t, Y ) могут быть связаны
с уравнениями мировой динамики на определенном системном уровне.
1. Forrester J.M. World dynamics. – Cambridge: Wright-Allen Press, 1971. – 144 p.
2. Meadows D.L., Meadows D.H. Toward global equilibrium. – Cambridge: Wright-Allen Press, 1972. – 274 p.
3. Мартынюк А.А. Об одном обобщении модели Ричардсона гонки вооружений // Докл. АН. – 1994. –
339, № 1. – С. 15–17.
4. Martynyuk A.A. Stability of motion. The role of multicomponent Liapunov’s functions. – London: Cambri-
dge Sci. Publ., 2007. – 322 p.
Поступило в редакцию 18.12.2009Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
Academician of the NAS of Ukraine A.A. Martynyuk
On a mathematical model of the world dynamics and the sustainable
development
The paper is devoted to the discussion of a modification of Forrester’s model of the world dynamics.
In the model, the “factor of discontent” is taken into account via the dynamics of public opinion
on the development of separate system levels. We also established the conditions of sustainable
development with respect to two measures.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №7 21
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-29913 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T15:44:54Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мартынюк, А.А. 2012-01-11T17:28:24Z 2012-01-11T17:28:24Z 2010 Об одной математической модели мировой динамики и устойчивости развития / А.А. Мартынюк // Доп. НАН України. — 2010. — № 7. — С. 16-21. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29913 517.36 Викладено одну модифiкацiю моделi Форрестера свiтової динамiки. У запропонованiй моделi введено фактор невдоволення на кожному системному рiвнi моделi. Встановлено умови стiйкого розвитку вiдносно двох мiр у межах даної моделi. The paper is devoted to the discussion of a modification of Forrester’s model of the world dynamics. In the model, the “factor of discontent” is taken into account via the dynamics of public opinion on the development of separate system levels. We also established the conditions of sustainable development with respect to two measures. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Об одной математической модели мировой динамики и устойчивости развития On a mathematical model of the world dynamics and the sustainable development Article published earlier |
| spellingShingle | Об одной математической модели мировой динамики и устойчивости развития Мартынюк, А.А. Математика |
| title | Об одной математической модели мировой динамики и устойчивости развития |
| title_alt | On a mathematical model of the world dynamics and the sustainable development |
| title_full | Об одной математической модели мировой динамики и устойчивости развития |
| title_fullStr | Об одной математической модели мировой динамики и устойчивости развития |
| title_full_unstemmed | Об одной математической модели мировой динамики и устойчивости развития |
| title_short | Об одной математической модели мировой динамики и устойчивости развития |
| title_sort | об одной математической модели мировой динамики и устойчивости развития |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29913 |
| work_keys_str_mv | AT martynûkaa obodnoimatematičeskoimodelimirovoidinamikiiustoičivostirazvitiâ AT martynûkaa onamathematicalmodeloftheworlddynamicsandthesustainabledevelopment |