Відображуваність нелінійних систем на системи спеціального вигляду та їх керованість
Розглянуто клас систем вигляду x'=a(x)+Σi=1,m bi(x)βi(x,u), x належить Rn (m≤n), де a(x), b1(x), ..., bm(x) — n-вимірні векторні поля, β1(x,u), ..., βm(x,u) — скалярні функції, u — одновимірне керування. Запропоновано метод відображення таких систем на системи більш простого вигляду. На основі...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2010 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/30000 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Відображуваність нелінійних систем на системи спеціального вигляду та їх керованість / В.І. Коробов, К.В. Скляр, В.О. Скорик // Доп. НАН України. — 2010. — № 8. — С. 14-19. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860211922715017216 |
|---|---|
| author | Коробов, В.І. Скляр, К.В. Скорик, В.О. |
| author_facet | Коробов, В.І. Скляр, К.В. Скорик, В.О. |
| citation_txt | Відображуваність нелінійних систем на системи спеціального вигляду та їх керованість / В.І. Коробов, К.В. Скляр, В.О. Скорик // Доп. НАН України. — 2010. — № 8. — С. 14-19. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Розглянуто клас систем вигляду x'=a(x)+Σi=1,m bi(x)βi(x,u), x належить Rn (m≤n), де a(x), b1(x), ..., bm(x) — n-вимірні векторні поля, β1(x,u), ..., βm(x,u) — скалярні функції, u — одновимірне керування. Запропоновано метод відображення таких систем на системи більш простого вигляду. На основі цього з використанням методу функції керованості наведено достатні умови їх керованості. Описано побудову керувань, які переводять довільну початкову точку в початок координат за траєкторіями відповідних замкнених систем за деякий скінченний час.
We consider a class of systems in the form x'=a(x)+Σi=1,m bi(x)βi(x,u), x belongs Rn (m≤n), where a(x), b1(x), ..., bm(x) are n-dimensional vector fields, β1(x,u), ..., βm(x,u) are scalar functions, and u is a one-dimensional control. We propose a method of mapping onto systems of a simpler form. Then, we use the controllability function method to give sufficient conditions of controllability of such systems. Construction of controls which transfer an arbitrary initial point to the origin along trajectories of the corresponding closed systems at a certain finite time is described.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:14:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.977
© 2010
В. I. Коробов, К. В. Скляр, В. О. Скорик
Вiдображуванiсть нелiнiйних систем на системи
спецiального вигляду та їх керованiсть
(Представлено академiком НАН України М.О. Перестюком)
Розглянуто клас систем вигляду ẋ = a(x) +
m∑
i=1
bi(x)βi(x, u), x ∈ R
n (m 6 n), де a(x),
b1(x), . . ., bm(x) — n-вимiрнi векторнi поля, β1(x, u), . . ., βm(x, u) — скалярнi функцiї, u —
одновимiрне керування. Запропоновано метод вiдображення таких систем на системи
бiльш простого вигляду. На основi цього з використанням методу функцiї керованостi
наведено достатнi умови їх керованостi. Описано побудову керувань, якi переводять
довiльну початкову точку в початок координат за траєкторiями вiдповiдних замкнених
систем за деякий скiнченний час.
Розглянемо систему ẋ = f(x, u), x ∈ R
n, u ∈ R, яку, взагалi-то, рiзними способами можна
записати у виглядi
ẋ = a(x) +
m∑
i=1
bi(x)βi(x, u), x ∈ R
n, u ∈ R (m 6 n). (1)
Припустимо, що a(x) — n раз неперервно диференцiйовна вектор-функцiя, а β1(x, u), . . .,
βm(x, u) — неперервно диференцiйовнi функцiї за x i u. Перепишемо систему (1) у виглядi
ẋ = a(x) +B(x)β(x, u), x ∈ R
n, u ∈ R (m 6 n), (2)
де B(x) — (n×m)-матриця, стовпцями якої є вектор-функцiї b1(x), . . ., bm(x), β(x, u) —
m-вимiрна вектор-функцiя з компонентами β1(x, u), . . ., βm(x, u). Припустимо, що
a(0) = 0, β(0, 0) = 0. (3)
Розглянемо задачу вiдображуваностi системи (1) на системи простiшого вигляду, на цiй
основi отримаємо достатнi умови керованостi системи (1) у початок координат.
Через Laϕ(x) позначимо похiдну скалярної неперервно диференцiйовної функцiї ϕ(x) за
напрямком векторного поля a(x), тобто Laϕ(x) = ϕx(x)a(x), де ϕx(x) = (ϕx1
(x), . . . , ϕxn
(x)),
через [a(x), b(x)] — дужку Лi векторних полiв a(x) i b(x), [a, b] = bxa − axb; ad
0
ab(x) = b(x),
adkab = [a(x), adk−1
a b(x)], k > 1.
Припустимо, що для системи (1) виконана умова rangQ(x) = n для всiх x ∈ R
n, де
Q(x) = (b1(x), . . . , bm(x), . . . , adn−1
a b1(x), . . . , ad
n−1
a bm(x)).
Вважатимемо, що ранг матрицi B(x) для всiх x ∈ R
n дорiвнює m, а система (2) така,
що при додаваннi до стовпцiв матрицi B(x) послiдовно стовпцiв матрицi Q(x), починаючи
з adab1(x), ранг отриманої матрицi буде або збiльшуватися на одиницю або залишатися
тим самим для всiх x ∈ R
n.
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №8
Наведемо алгоритм побудови послiдовностi вектор-функцiй iз стовпцiв матрицi Q(x),
який подiбний до алгоритму для лiнiйних керованих систем з багатовимiрним керуван-
ням, описаного в роботах [1, 2], та аналогiчний алгоритмам вiдображення афiнних систем
з багатовимiрним керуванням на лiнiйнi системи, застосованим у роботах [3–5]. Важливою
вiдмiннiстю цього алгоритму вiд алгоритмiв вказаних робiт є те, що в системах даної робо-
ти керування є одновимiрним. Застосований нами алгоритм полягає в нижчевикладеному.
Першими вектор-функцiями цiєї послiдовностi є b1(x), . . ., bm(x). Далi, беручи по черзi
вектор-функцiї з матрицi Q(x), перевiряємо, починаючи з adab1(x), чи збiльшується ранг
матрицi (b1(x), . . ., bm(x), adab1(x)) на одиницю чи залишається тим самим для всiх x ∈ R
n.
Якщо ранг збiльшився на одиницю, то adab1(x) додаємо до b1(x), . . ., bm(x) i отримуємо по-
слiдовнiсть b1(x), . . ., bm(x), adab1(x). Якщо ранг виявився таким самим, то вектор-функцiя
adab1(x) i всi вектор-функцiї вигляду adjab1(x) для j > 1 не включаються в утворювану
згiдно з алгоритмом послiдовнiсть i тому надалi не розглядаються. Нехай шукана послi-
довнiсть уже мiстить k вектор-функцiй (m + 1 < k < n). Далi розглядаємо наступний
стовпець матрицi Q(x), який не був вилучений iз розгляду на попередньому кроцi, i пере-
вiряємо, чи збiльшується з ним ранг матрицi чи нi. Якщо ранг збiльшується на одиницю,
то його додаємо (k+1)-ю вектор-функцiєю в послiдовнiсть. Якщо ж ранг не збiльшується,
то цю вектор-функцiю ω(x) i всi вектор-функцiї вигляду adjaω(x) для j > 1 вилучаємо
i далi не роглядаємо. У результатi шляхом перестановки та, можливо, перенумерацiї век-
тор-функцiй в отриманiй послiдовностi отримуємо вектор-функцiї, якi є стовпцями матрицi
K(x)=(b1(x), . . . , ad
n1−1
a b1(x), . . . , bm(x), . . . , adnm−1
a bm(x)), де n1+ · · ·+nm = n, i rangK = n
для всiх x ∈ R
n.
Розглянемо скалярнi функцiї ϕ1(x), . . ., ϕm(x), якi є не менш нiж двiчi неперервно дифе-
ренцiйовними i такими, що для кожної з них вектор-рядок (ϕi(x))x (i = 1, . . . ,m) для всiх
x ∈ R
n є ортогональним вектор-стовпцям adkabj(x) для k = 0, . . . , ni− 2, j = 1, . . . ,m матри-
цi K, а для вектор-стовпцiв матрицi K, що залишилися, потрiбно лише те, щоб вiн не був
ортогональним вектор-стовпцю adni−1
a bi(x), тобто для кожного i = 1, . . . ,m виконанi умови
{
(ϕi(x))xad
k
abj(x) = 0 для k = 0, . . . , ni − 2, j = 1, . . . ,m,
(ϕi(x))xad
ni−1
a bi(x) 6= 0, x ∈ R
n.
(4)
Зробимо замiну змiнних z = L(x), яка в покомпонентнiй формi має вигляд
zsi−1+j = Lj−1
a ϕi(x), j = 1, . . . , ni, i = 1, . . . ,m, (5)
де s0 = 0, sk = n1 + · · ·+ nk для k = 1, . . . ,m. Припускається, що рiвностi (5) є однозначно
розв’язними вiдносно x1, . . . , xn для будь-яких z1, . . . , zn. Тодi з (5) отримуємо
żsi−1+j = zsi−1+j+1 +
m∑
k=1
βk(x, u)LbkL
j−1
a ϕi(x), j = 1, . . . , ni − 1,
żsi = Lni
a ϕi(x) +
m∑
k=1
βk(x, u)LbkL
ni−1
a ϕi(x), i = 1, . . . ,m.
(6)
Оскiльки, зважаючи на умови (4), маємо, що LbkL
j−1
a ϕi(x) = 0, j = 1, . . . , ni − 1, k =
= 1, . . . ,m, i = 1, . . . ,m для всiх x ∈ R
n, то з (6), враховуючи рiвностi
LbkL
ni−1
a ϕi(x) = (ϕi(x))xad
ni−1
a bk(x), k, i = 1, . . . ,m,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №8 15
отримуємо, що система (1) внаслiдок (5) у нових змiнних набуває вигляду
żsi−1+j = zsi−1+j+1, j = 1, . . . , ni − 1,
żsi = Lni
a ϕi(x) +
m∑
k=1
βk(x, u)(ϕi(x))xad
ni−1
a bk(x),
i = 1, . . . ,m. (7)
Введемо позначення в нових змiнних γk(z, u) = βk(x, u), Fi(z) = Lni
a ϕi(x), gik(z) =
= (ϕi(x))xad
ni−1
a bk(x) при x = L−1(z), Hi(z, u) = Fi(z) +
m∑
k=1
γk(z, u)gik(z), i, k = 1, . . . ,m.
Позначимо для i = 1, . . . ,m через zi = (zsi−1+1, . . . , zsi)
∗, 0i — ni-вимiрнi вектори, тодi
z = (z1, . . . , zm)∗ (* — знак транспонування) i система (7) набуває вигляду
żi = Aiz
i + b0iHi(z
1, . . . , zm, u), i = 1, . . . ,m, (8)
де Ai — (ni×ni)-матриця, елементи головної наддiагоналi якої дорiвнюють одиницi, а тi
елементи, що залишились, дорiвнюють нулю, b0i = (0, . . . , 0, 1)∗ — ni-вимiрний вектор, яку
перепишемо у виглядi
ż = Az +B0H(z, u), z ∈ R
n, u ∈ R, (9)
де A = diag(A1, . . . , Am) — (n×n)-матриця, B0 = (es1 , . . . , esm) — (n×m)-матриця, esi —
si-й орт простору R
n, i = 1, . . . ,m, H(x, u) — m-вимiрна неперервно диференцiйовна за x
i u вектор-функцiя. Розв’язок z(t) системи (9) будемо розумiти в сенсi диференцiального
включення
ż ∈ F (z) = Az +B0H(z, U(z)), z(0) = z0, (10)
де U(z) — опукла множина (вiдрiзок або точка). Докладне дослiдження умов iснування
розв’язку включення (10) наведено, наприклад, у роботi [6]. Зокрема, достатньою умовою
його iснування є припущення про те, що F (z) — непорожня, обмежена, замкнена, опукла
множина i вiдображення F (z) є напiвнеперервним зверху за включенням.
Позначимо φi(z
i) = b∗0iN
−1(Θ(zi))zi, де N−1(Θ) — (ni×ni)-матриця, обернена до матрицi
N(Θ) =
Θ∫
0
(1 − t/Θ)e−Aitb0ib
∗
0ie
−A∗
i
tdt, а функцiя керованостi Θ(zi) при zi 6= 0i є єдиним
додатним розв’язком рiвняння 2a0Θ = (N−1(Θ)zi, zi) з числом a0, що задовольняє умову
0 < a0 6 2d2/Nnini
(1), та Θ(0i) = 0, а Si = {z ∈ R
n : φi(z
i) = 0}, S+
i = {z ∈ R
n : φi(z
i) > 0},
S−
i = {z ∈ R
n : φi(z
i) < 0}.
Теорема 1. Розглянемо систему (9). Припустимо, що iснують функцiї u+i (z), u
−
i (z),
якi задовольняють умову Лiпшиця в кожнiй множинi K(ρ1, ρ2) = {z : 0 < ρ1 6 ‖z‖ 6
6 ρ2} зi сталими Лiпшиця L±(ρ1, ρ2) i для деякого числа d > 0 задовольняють нерiвнiсть
Hi(z, u
+
i (z)) > d, Hi(z, u
−
i (z)) 6 −d. Тодi керування u(z) вигляду
ui(z) =
u−i (z), якщо z ∈ S+
i ,
u+i (z), якщо z ∈ S−
i ,
u0i (z) ∈ [u−i (z), u
+
i (z)], якщо z ∈ Si,
переводить довiльну точку z = (z1, . . . , zi−1, zi, zi+1, . . . , zm)∗ у точку zT = (z1T , . . . , z
i−1
T , 0i,
zi+1
T , . . . , zmT )∗ за траєкторiєю системи (9) за деякий скiнченний час T (zi) 6 Θ(zi).
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №8
Доведення. Виберемо для zi 6= 0 керування v(zi) = −(1/2)b∗0iN
−1(Θ(zi))zi, яке задо-
вольняє обмеження |v(zi)| 6 d для будь-якого zi ∈ R
ni [2, 7]. Перепишемо i-ту пiдсистему (8)
системи (9) з керуванням u = ui(z) у виглядi
żi = Aiz
i + b0iv(z
i) + b0i(Hi(z
1, . . . , zm, ui(z))− v(zi)), zi ∈ R
ni . (11)
Похiдна на пiдставi системи (11) функцiї Θ(zi) має вигляд
Θ̇(zi) = −1 +
2b∗0iN
−1(Θ)(Hi(z, ui(z))− v(zi))
1
Θ(N
−1(Θ)zi, zi) + (N−1(Θ)Ñ (Θ)N−1(Θ)zi, zi)
, (12)
де Θ = Θ(zi), Ñ(Θ) =
1
Θ
Θ∫
0
te−AitBB∗e−A∗
i
tdt. Враховуючи нерiвнiсть |v(zi)| 6 d, маємо
Hi(z, u
+
i (z))−v(zi) > 0, Hi(z, u
−
i (z))−v(zi) 6 0. Тодi, враховуючи нерiвностi (N−1(Θ)zi, zi) >
> 0 та (N−1(Θ)Ñ (Θ)N−1(Θ)zi, zi) > 0 для zi 6= 0i, з (12) отримуємо, що Θ̇(zi)∣∣(8)i 6 −1 для
всiх z = (z1, . . . , zi, . . . , zm)∗ ∈ R
n, де zi 6= 0i. Звiдси маємо твердження теореми.
Теорема 2. Нехай iснують функцiї u−1 (z
1, . . . , zm), u+1 (z
1, . . . , zm), u−2 (z
2, . . . , zm),
u+2 (z
2, . . . , zm), . . ., u−m(zm), u+m(zm), що задовольняють умови теореми 1, такi, що для
деяких ε±1 > 0
H1(z
1, . . . , zm, u−1 (z
1, . . . , zm)) 6 −ε−1 , H1(z
1, . . . , zm, u+1 (z
1, . . . , zm)) > ε+1 ,
i для кожного i = 2, . . . ,m для функцiй u−i (z
i, . . . , zm), u+i (z
i, . . . , zm), u0i (z
i, . . . , zm) та
деяких ε±i > 0 виконанi такi умови:
1) Hk(0
1, . . . , 0i−1, zi, . . . , zm, u±i (z
i, . . . , zm)) = 0 для k = 1, . . . , i − 1;
2) Hi(0
1, . . . , 0i−1, zi, . . . , zm, u−i (z
i, . . . , zm)) 6 −ε−i , Hi(0
1, . . . , 0i−1, zi, . . . , zm, u+i (z
i, . . .,
zm)) > ε+i ;
3) поверхня Si або є поверхнею перемикання керування u±i (z
i, . . . , zm), або на нiй рух
проходить з керуванням u0i (z
i, . . . , zm) таким, що
Hk(0
1, . . . , 0i−1, zi, . . . , zm, u0i (z
i, . . . , zm)) = 0 для k = 1, . . . , i− 1. (13)
Тодi система (1) є керованою з довiльної точки x0 у початок координат за деякий скiн-
ченний час.
Доведення. Початкова точка x0 переходить при вiдображеннi (5) у точку z0 = (ϕ1(x0),
. . . , Ln1−1
a ϕ1(x0), . . . , ϕm(x0), . . . , L
nm−1
a ϕm(x0))
∗, а кiнцева точка x = 0 внаслiдок (3) перехо-
дить у точку z = 0. За теоремою 1 при i = 1 та d = min{ε−1 , ε
+
1 } для системи (9) керування
u1(z), що дорiвнює u+1 або u−1 та u01 на S1 у випадку, коли поверхня S1 не є поверхнею
перемикання керувань u±1 , переводить за час T1 точку z0 у точку zT1
= (01, z2T1
, . . . , zmT1
)
за траєкторiєю цiєї системи. За припущенням теореми iснують керування u−2 та u+2 , що
задовольняють рiвнiсть H1(0
1, z2, . . . , zm, u±2 ) = 0, такi, що для ε±2 > 0 будуть виконанi не-
рiвностi H2(0
1, z2, . . . , zm, u−2 ) 6 −ε−2 , H2(0
1, z2, . . . , zm, u+2 ) > ε+2 , а згiдно з умовою 3, якщо
поверхня S2 не є поверхнею перемикання керування u±2 , то керування u02(z
2, . . . , zm), яке
задовольняє рiвнiсть H1(0
1, z2, . . . , zm, u02) = 0 на поверхнi S2. Тому для пiдсистеми
{
ż1 = z1, . . . , żn1−1 = zn1
, żn1
= H1(z
1, z2, . . . , zm, u2(z
2, . . . , zm)),
z1(T1) = 0, . . . , zn1−1(T1) = 0, zn1
(T1) = 0,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №8 17
системи (9) з керуванням u2, що дорiвнює u−2 або u+2 , а у випадку, коли поверхня S2 не
є поверхнею перемикання керувань u±2 , то на нiй з керуванням u2, що дорiвнює u02, буде
виконана тотожнiсть z1(t) ≡ 0 для t > T1. Тодi за теоремою 1 для i = 2 та d = min{ε−2 , ε
+
2 }
для системи (9) за деякий скiнченний час (T2−T1) керування u2(z
2, . . . , zm) переводить
точку zT1
= (01, z2T1
, . . . , zmT1
) за траєкторiєю системи (9) у точку zT2
= (01, 02, z3T2
, . . . , zmT2
)∗.
Нехай зроблено (i − 1) таких крокiв (2 6 i 6 m), в результатi яких керування
u(z) = uk(z
k, . . . , zm) для Tk−1 6 t < Tk (T0 = 0), k = 1, . . . , i− 1,
за час Ti−1 переводить точку z0 у точку zTi−1
= (01, . . . , 0i−1, ziTi−1
, . . ., zmTi−1
)∗. На i-му кроцi
за припущеннями теореми iснують керування u−i та u+i , що задовольняють рiвнiсть з 1,
i такi, що для ε±i > 0 будуть виконанi нерiвностi з 2. Оскiльки виконанi рiвностi з 1 та
з (13), то для пiдсистеми
{
żsk−1+1 = zsk−1+j+2, . . . , żsk−1 = zsk ,
żsk = Hk(z
1(t), . . . , zk−1(t), zk, . . . , zm, ui(z
i, . . . , zm)),
k = 1, . . . , i− 1,
системи (9) з керуванням ui, що дорiвнює u−i або u+i , а у випадку, коли поверхня Si не
є поверхнею перемикання керувань u±i , то на нiй з керуванням ui, що дорiвнює u0i , будуть
виконанi тотожностi z1(t) ≡ 01, . . ., zi−1(t) ≡ 0i−1 для t > Ti−1. За теоремою 1 для d =
= min{ε−i , ε
+
i } за деякий скiнченний час Ti−Ti−1 керування ui(z
i, . . . , zm) переводить точку
zTi−1
згiдно iз системою (9) у точку zTi
= (01, . . . , 0i, zi+1
Ti
, . . . , zmTi
)∗.
Таким чином, через m крокiв отримуємо, що керування u(z) вигляду
u(z) = ui(z
i, . . . , zm) для Ti−1 6 t < Ti (T0 = 0), i = 1, . . . ,m,
де ui(z
i, . . . , zm) дорiвнює u−i або u+i , а якщо Si не є поверхнею перемикання керувань u±i ,
то на нiй ui(z
i, . . . , zm) дорiвнює u0i , переводить за час T = Tm точку z0 у точку zT = 0
за траєкторiєю системи (9), що має вигляд z(t) = (z1(t), . . . , zm(t))∗, де zi(t) ≡ 0i для
Ti 6 t 6 T , i = 1, . . . ,m − 1. Траєкторiя x(t) системи (1), що з’єднує точки x0 i xT = 0,
знаходиться з рiвняння L(x(t)) = z(t) або шляхом iнтегрування системи (1) з керуванням
u(t) = u(z(t)) на [0, T ] з початковою умовою x(0) = x0.
Зауважимо, що для дослiдження переводу деяких наперед заданих компонент zk1 , . . .,
zkl (l 6 n) вектора z у нулi, серед яких тiльки одна з них збiгається з zsi для деякого
i ∈ {1, . . . ,m} або таких компонент декiлька, потрiбно зробити лише їх перенумерацiю
i застосувати теорему 1 або теорему 2 вiдповiдно.
Вiдзначимо, що важливiсть запропонованого пiдходу полягає в тому, що вiн дозволяє
вивчати керованiсть нелiнiйних систем, для яких першi наближення не є повнiстю керова-
ними. Прикладом такої системи є система ẋ1 = u, ẋ2 = u3, . . ., ẋn = u2n−1. До того ж вiн
дає алгоритм побудови керування, що переводять довiльну точку в точку спокою системи.
1. Коробов В.И. Общий подход к решению задачи синтеза ограниченных управлений в задаче управ-
ляемости // Мат. сб. – 1979. – 109 (151), № 4 (8). – С. 582–606.
2. Коробов В.И. Метод функции управляемости. – Москва; Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая
динамика”, 2007. – 576 с.
3. Уонем М. Линейные многомерные системы управления: Геометрический подход. – Москва: Наука,
1980. – 376 с.
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №8
4. Jakubchyk B., Respondek W. On Linearization of Control Systems // Bull. Acad. Pol. Sci. Sér. sci. math. –
1980. – 28, No 9–10. – P. 517–522.
5. Hunt L. R., Su R., Meyer G. Design for multi-input nonlinear systems // Differential Geometric Control
Theory. – New York: Birkhäuser, 1983. – P. 268–298.
6. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. – Москва: Наука, 1985. –
223 с.
7. Коробов В.И., Скляр Г.М. Методы построения позиционных управлений и допустимый принцип
максимума // Дифференц. уравнения. – 1990. – 26, № 11. – С. 1914–1924.
Надiйшло до редакцiї 17.12.2009Харкiвський нацiональний унiверситет iм. В.Н. Каразiна
Iнститут математики Щецинського унiверситету, Польща
V. I. Korobov, K. V. Sklyar, V. O. Skoryk
Mappability of non-linear systems onto systems of a special form and
their controllability
We consider a class of systems in the form ẋ = a(x)+
m∑
i=1
bi(x)βi(x, u), x ∈ R
n (m 6 n), where a(x),
b1(x), . . ., bm(x) are n-dimensional vector fields, β1(x, u), . . ., βm(x, u) are scalar functions, and u
is a one-dimensional control. We propose a method of mapping onto systems of a simpler form.
Then, we use the controllability function method to give sufficient conditions of controllability of
such systems. Construction of controls which transfer an arbitrary initial point to the origin along
trajectories of the corresponding closed systems at a certain finite time is described.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №8 19
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-30000 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:14:43Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Коробов, В.І. Скляр, К.В. Скорик, В.О. 2012-01-17T10:18:20Z 2012-01-17T10:18:20Z 2010 Відображуваність нелінійних систем на системи спеціального вигляду та їх керованість / В.І. Коробов, К.В. Скляр, В.О. Скорик // Доп. НАН України. — 2010. — № 8. — С. 14-19. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/30000 517.977 Розглянуто клас систем вигляду x'=a(x)+Σi=1,m bi(x)βi(x,u), x належить Rn (m≤n), де a(x), b1(x), ..., bm(x) — n-вимірні векторні поля, β1(x,u), ..., βm(x,u) — скалярні функції, u — одновимірне керування. Запропоновано метод відображення таких систем на системи більш простого вигляду. На основі цього з використанням методу функції керованості наведено достатні умови їх керованості. Описано побудову керувань, які переводять довільну початкову точку в початок координат за траєкторіями відповідних замкнених систем за деякий скінченний час. We consider a class of systems in the form x'=a(x)+Σi=1,m bi(x)βi(x,u), x belongs Rn (m≤n), where a(x), b1(x), ..., bm(x) are n-dimensional vector fields, β1(x,u), ..., βm(x,u) are scalar functions, and u is a one-dimensional control. We propose a method of mapping onto systems of a simpler form. Then, we use the controllability function method to give sufficient conditions of controllability of such systems. Construction of controls which transfer an arbitrary initial point to the origin along trajectories of the corresponding closed systems at a certain finite time is described. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Відображуваність нелінійних систем на системи спеціального вигляду та їх керованість Mappability of non-linear systems onto systems of a special form and their controllability Article published earlier |
| spellingShingle | Відображуваність нелінійних систем на системи спеціального вигляду та їх керованість Коробов, В.І. Скляр, К.В. Скорик, В.О. Математика |
| title | Відображуваність нелінійних систем на системи спеціального вигляду та їх керованість |
| title_alt | Mappability of non-linear systems onto systems of a special form and their controllability |
| title_full | Відображуваність нелінійних систем на системи спеціального вигляду та їх керованість |
| title_fullStr | Відображуваність нелінійних систем на системи спеціального вигляду та їх керованість |
| title_full_unstemmed | Відображуваність нелінійних систем на системи спеціального вигляду та їх керованість |
| title_short | Відображуваність нелінійних систем на системи спеціального вигляду та їх керованість |
| title_sort | відображуваність нелінійних систем на системи спеціального вигляду та їх керованість |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/30000 |
| work_keys_str_mv | AT korobovví vídobražuvanístʹnelíníinihsistemnasistemispecíalʹnogoviglâdutaíhkerovanístʹ AT sklârkv vídobražuvanístʹnelíníinihsistemnasistemispecíalʹnogoviglâdutaíhkerovanístʹ AT skorikvo vídobražuvanístʹnelíníinihsistemnasistemispecíalʹnogoviglâdutaíhkerovanístʹ AT korobovví mappabilityofnonlinearsystemsontosystemsofaspecialformandtheircontrollability AT sklârkv mappabilityofnonlinearsystemsontosystemsofaspecialformandtheircontrollability AT skorikvo mappabilityofnonlinearsystemsontosystemsofaspecialformandtheircontrollability |