Осцилляционные свойства решений задачи Штурма–Лиувилля с сингулярным коэффициентом
Дослiджено осциляцiйнi властивостi нетривiальних розв’язкiв рiвняння Штурма–Лiувiлля iз сингулярним дiйсним коефiцiєнтом з негативного простору Соболєва W2^−1 [a, b]. Знайдено аналоги класичних теорем Штурма про чергування, порiвняння та осциляцiю. Встановлено, що число вiд’ємних власних значень кр...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/30007 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Осцилляционные свойства решений задачи Штурма–Лиувилля с сингулярным коэффициентом / В.А. Михайлец, В.Н. Молибога // Доп. НАН України. — 2010. — № 8. — С. 20-24. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859733325880492032 |
|---|---|
| author | Михайлец, В.А. Молибога, В.Н. |
| author_facet | Михайлец, В.А. Молибога, В.Н. |
| citation_txt | Осцилляционные свойства решений задачи Штурма–Лиувилля с сингулярным коэффициентом / В.А. Михайлец, В.Н. Молибога // Доп. НАН України. — 2010. — № 8. — С. 20-24. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Дослiджено осциляцiйнi властивостi нетривiальних розв’язкiв рiвняння Штурма–Лiувiлля iз сингулярним дiйсним коефiцiєнтом з негативного простору Соболєва W2^−1 [a, b]. Знайдено аналоги класичних теорем Штурма про чергування, порiвняння та осциляцiю. Встановлено, що число вiд’ємних власних значень крайової задачi Дiрiхле дорiвнює числу нулiв у iнтервалi (a, b) нетривiального розв’язку y(x) однорiдного рiвняння з умовою y(a) = 0.
We study oscillation properties of non-trivial solutions of the Sturm–Liouville equation with a singular real-valued coefficient from the negative Sobolev space W2^−1 [a, b]. Analogs of the classical Sturm theorems about interlacing, comparison, and oscillation are found. The number of negative eigenvalues of the Dirichlet boundary-value problem is found equal to the number of zeros in the interval (a, b) of a non-trivial solution y(x) of the homogeneous equation with the condition y(a) = 0.
|
| first_indexed | 2025-12-01T14:06:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.984
© 2010
В.А. Михайлец, В. Н. Молибога
Осцилляционные свойства решений задачи
Штурма–Лиувилля с сингулярным коэффициентом
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины М.Л. Горбачуком)
Дослiджено осциляцiйнi властивостi нетривiальних розв’язкiв рiвняння Штурма–Лiу-
вiлля iз сингулярним дiйсним коефiцiєнтом з негативного простору Соболєва W−1
2
[a, b].
Знайдено аналоги класичних теорем Штурма про чергування, порiвняння та осциляцiю.
Встановлено, що число вiд’ємних власних значень крайової задачi Дiрiхле дорiвнює числу
нулiв у iнтервалi (a, b) нетривiального розв’язку y(x) однорiдного рiвняння з умовою
y(a) = 0.
Предварительные сведения и лемма. Пусть (a, b) — конечный интервал, функция Q ∈
∈ L
2([a, b];R). Исследуем осцилляционные свойства нетривиальных решений однородного
уравнения Штурма–Лиувилля
−y′′ + q(x)y = 0, x ∈ (a, b), q = Q′, (1)
где производная понимается в смысле обобщенных функций. Следуя работе [1], определим
решение резольвентного уравнения
−y′′ + q(x)y = λy + f(x), λ ∈ C, f(x) ∈ L2[a, b], (2)
как первую компоненту решения системы
(
y1
y2
)
′
=
(
Q(x) 1
−λ−Q2(x) −Q(x)
)(
y1
y2
)
+
(
0
−f(x)
)
, (3)
где y1(x) := y(x), y2(x) ≡ y[1](x) := y′(x) − Q(x)y(x). В сделанных нами предположениях
система (3) удовлетворяет условиям [2, § 16, теорема 1], и поэтому решение y(x) уравнения
(2) определено корректно. При этом действие дифференциального выражения
l[y] = −y′′ + q(x)y, q = Q′
по определению совпадает с действием квазидифференциального выражения
l[y] := −(y′ −Q(x)y)′ −Q(x)(y′ −Q(x)y)−Q2(x)y.
Чтобы формулировать условия теорем о перемежаемости и сравнении для нетривиаль-
ных решений пары однородных уравнений
−y′′ + q1(x)y = 0, (4)
−z′′ + q2(x)z = 0, (5)
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №8
нам потребуется сравнивать между собой распределения q1 = Q′
1 и q2 = Q′
2. Как известно [3,
с. 29], обобщенная функция f ∈ D
′(a, b) называется неотрицательной в интервале (a, b), если
〈f, ϕ〉 > 0, 0 6 ϕ(x) ∈ C∞
0 (a, b).
Известно описание множества всех неотрицательных распределений. Его дает
Теорема (Л. Шварц [3, гл. 1, § 1.7, теорема 2]). Для того чтобы обобщенная функция
f ∈ D
′(a, b) была неотрицательной, необходимо и достаточно, чтобы она была неотри-
цательной мерой.
Из теоремы Рисса о линейных непрерывных функционалах на пространстве C([a, b];R)
вытекает, что каждой неотрицательной мере соответствует некоторая (определяемая нео-
днозначно) монотонно неубывающая на [a, b] функция σ такая, что
〈f, ϕ〉 = (R− S)
b
∫
a
ϕ(x) dσ(x), ϕ(x) ∈ C[a, b].
Сформулируем лемму, которая лежит в основе доказательств теорем о перемежаемости
и сравнении.
Лемма А. Пусть y(x) и z(x) — решения уравнений (4) и (5) соответственно, а
y[1]1(x) = y′(x) − Q1(x)y(x), z[1]2(x) = z′(x) − Q2(x)z(x) — соответствующие им квази-
производные. Пусть
q1 > q2, x ∈ [a, b], т. е. σ(x) := (Q1(x)−Q2(x)) ↑ . (∗)
Тогда для произвольных значений x1, x2 ∈ [a, b]
d
dt
(y[1]1(t)z(t)− y(t)z[1]2(t)) = −σ(t)(y(t)z(t))′ п.в., (6)
(y[1]1(t)z(t) − y(t)z[1]2(t))
∣
∣
x2
x1
= −(σ(t)y(t)z(t))
∣
∣
x2
x1
+ (R− S)
x2
∫
x1
y(t)z(t) dσ(t). (7)
Доказательство. Справедливость соотношения (6) доказывается прямым дифферен-
цированием функции
W [y, z] = y[1]1(t)z(t)− y(t)z[1]2(t) ∈ W 1
1 [a, b]
с учетом следующих соотношений:
−(y[1]1)′ −Q1y
[1]1 −Q2
1y = 0,
−(z[1]2)′ −Q2z
[1]2 −Q2
2z = 0,
y, z, y[1]1 , z[1]2 ∈ W 1
1 [a, b].
Докажем равенство (7). Интеграл Римана–Стильтьеса в ее правой части существует, так
как функция y(t)z(t) ∈ W 1
1 [a, b]. Тогда (см. [4, гл. VIII, § 6, п. 5]) существует также второй
интеграл в формуле интегрирования по частям и
(R− S)
x2
∫
x1
y(t)z(t) dσ(t) + (R− S)
x2
∫
x1
σ(t) d(y(t)z(t)) = [σ(t)y(t)z(t)]x2
x1
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №8 21
Принимая во внимание, что
(L)
x2
∫
x1
σ(t)(y(t)z(t))′ dt = (R− S)
x2
∫
x1
σ(t) d(y(t)z(t)),
интегрируя уже доказанное равенство (6), получаем нужное соотношение.
Основные результаты. Сформулируем теоремы о распределении нулей нетривиаль-
ных (вещественных) решений однородных дифференциальных уравнений (4), (5).
Теорема 1 (о перемежаемости нулей). Пусть выполнено неравенство (∗). Тогда между
каждыми двумя нулями нетривиального решения y(x) уравнения (4) найдется хотя бы
один нуль каждого из решений z(x) уравнения (5).
Замечание 1. Пусть в условиях теоремы 1 функция σ(x) = const, x ∈ [x1, x2] ⊂ (a, b).
Тогда:
1) либо z(x) имеет только один нуль в интервале (x1, x2), причем z(x1) 6= 0, z(x2) 6= 0;
2) либо z(x) отличается от y(x) в интервале [x1, x2] только постоянным множителем
и z(x1) = 0, z(x2) = 0.
Следствие 1. Нули нетривиального решения y(λ, x) уравнения
−y′′ + q(x)y = λy, x ∈ [a, b], λ ∈ R, (8)
с возрастанием λ двигаются влево, за исключением возможного нуля в точке x = a.
Следствие 2. Нули нетривиальных решений уравнения (8) перемежаются.
Справедливо также следующее утверждение.
Теорема 2 (о сравнении нулей). Пусть y(x) есть решение уравнения (4), удовлетво-
ряющее начальным условиям
y(a) = sinα, y[1]1(a) = cosα, (9)
а z(x) — решение уравнения (5) с такими же начальными условиями
z(a) = sinα, z[1]2(a) = cosα (10)
при 0 6 α < π. Пусть выполнено неравенство (∗). Тогда если y(x) в интервале a < x 6 b
имеет m нулей, то z(x) в том же интервале имеет не меньше чем m нулей и k-нуль
z(x) не больше k-го нуля y(x), k = 1, . . . ,m.
Теорема 3 (численного сравнения). Пусть x0 ∈ [a, b] и y(x) есть решение уравне-
ния (4), удовлетворяющее начальным условиям (9), а z(x) — решение уравнения (5) с на-
чальными условиями (10), и справедливо строгое неравенство (∗), т. е., σ(x) ↑↑, x ∈ [a, b].
Тогда в произвольной правосторонней окрестности точки x0, в которой z(x) нигде не
обращается в нуль (за исключением, быть может, самой точки x = x0), справедливо
неравенство
|y(x)| > |z(x)|.
Более того, отношение y(x)/z(x) является функцией x, возрастающей от значения 1,
которое оно принимает при x = x0.
Замечание 2. В формулировке теоремы 3 условие q1 > q2 можно заменить более общим
требованием (∗), если функция σ(x) ↑↑ на [x0, b].
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №8
С учетом леммы А доказательства приведенных теорем проводятся по той же схеме,
что и в классическом случае [5, 6].
Теорема 4 (об осцилляции). Собственные значения краевой задачи Штурма–Лиувилля
с разделенными краевыми условиями:
−y′′ + q(x)y = λy, x ∈ (a, b),
cosαy(a)− sinαy[1](a) = 0, 0 6 α < π,
cos βy(b)− sinβy[1](b) = 0, 0 < β 6 π,
простые и образуют вещественную, возрастающую последовательность
λ0 < λ1 < λ2 < · · · < λn < · · · .
При этом собственная функция yn(x), отвечающая собственному значению λn, имеет
ровно n нулей в интервале (a, b).
Теоремы о перемежаемости и осцилляции позволяют установить следующий важный
для приложений результат.
Теорема 5. Количество отрицательных (не положительных) собственных значений
краевой задачи Штурма–Лиувилля с краевыми условиями Дирихле:
−y′′ + q(x)y = λy, x ∈ (a, b),
y(a) = y(b) = 0,
равняется количеству нулей нетривиального решения y(x) в интервале (a, b) (соответст-
венно (a, b]) краевой задачи с граничным условием Дирихле на левом конце:
−y′′ + q(x)y = 0, y(a) = 0.
Отметим, что приведенные выше теоремы дополняют и частично обобщают результа-
ты [7] на случай более общих, чем меры коэффициентов q. Утверждения теорем 2, 3, 5
являются новыми и для мер. Они также дополняют и расширяют результаты работы [8]
об осцилляционных свойствах решений задачи Дирихле при вариации спектрального па-
раметра.
Исследование поддержано Государственным фондом фундаментальных исследований Украины,
грант 28.1/017.
1. Савчук А.М., Шкаликов А.А. Операторы Штурма–Лиувилля с потенциалами-распределениями //
Тр. Моск. мат. об-ва. – 2003. – 64. – С. 159–212.
2. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. – Москва: Наука, 1969. – 528 с.
3. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. – Москва: Наука, 1971. –
280 с.
4. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. – Москва: Наука, 1957. – 552 с.
5. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. – Москва: Иностр. лит., 1962. – 352 с.
6. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию. – Москва: Наука, 1970. –
672 с.
7. Покорный Ю.В., Зверева М.Б., Шабров С.А. Осцилляционная теория Штурма–Лиувилля для им-
пульсных задач // Успехи мат. наук. – 2008. – 63, № 1. – С. 111–154.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №8 23
8. Шкаликов А.А., Бен Амара Ж. Осцилляционные теоремы для задач Штурма–Лиувилля с потенциа-
лами-распределениями // Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем. и мех. – 2009. – № 3. – С. 43–49.
Поступило в редакцию 14.01.2010Институт математики НАН Украины, Киев
V.A. Mikhailets, V.N. Molyboga
Oscillation properties of solutions of the Sturm–Liouville problem with
a singular coefficient
We study oscillation properties of non-trivial solutions of the Sturm–Liouville equation with a sin-
gular real-valued coefficient from the negative Sobolev space W−1
2
[a, b]. Analogs of the classical
Sturm theorems about interlacing, comparison, and oscillation are found. The number of negative
eigenvalues of the Dirichlet boundary-value problem is found equal to the number of zeros in the
interval (a, b) of a non-trivial solution y(x) of the homogeneous equation with the condition y(a) =
= 0.
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №8
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-30007 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T14:06:47Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Михайлец, В.А. Молибога, В.Н. 2012-01-17T10:56:28Z 2012-01-17T10:56:28Z 2010 Осцилляционные свойства решений задачи Штурма–Лиувилля с сингулярным коэффициентом / В.А. Михайлец, В.Н. Молибога // Доп. НАН України. — 2010. — № 8. — С. 20-24. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/30007 517.984 Дослiджено осциляцiйнi властивостi нетривiальних розв’язкiв рiвняння Штурма–Лiувiлля iз сингулярним дiйсним коефiцiєнтом з негативного простору Соболєва W2^−1 [a, b]. Знайдено аналоги класичних теорем Штурма про чергування, порiвняння та осциляцiю. Встановлено, що число вiд’ємних власних значень крайової задачi Дiрiхле дорiвнює числу нулiв у iнтервалi (a, b) нетривiального розв’язку y(x) однорiдного рiвняння з умовою y(a) = 0. We study oscillation properties of non-trivial solutions of the Sturm–Liouville equation with a singular real-valued coefficient from the negative Sobolev space W2^−1 [a, b]. Analogs of the classical Sturm theorems about interlacing, comparison, and oscillation are found. The number of negative eigenvalues of the Dirichlet boundary-value problem is found equal to the number of zeros in the interval (a, b) of a non-trivial solution y(x) of the homogeneous equation with the condition y(a) = 0. Исследование поддержано Государственным фондом фундаментальных исследований Украины, грант 28.1/017. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Осцилляционные свойства решений задачи Штурма–Лиувилля с сингулярным коэффициентом Mappability of non-linear systems onto systems of a special form and their controllability Article published earlier |
| spellingShingle | Осцилляционные свойства решений задачи Штурма–Лиувилля с сингулярным коэффициентом Михайлец, В.А. Молибога, В.Н. Математика |
| title | Осцилляционные свойства решений задачи Штурма–Лиувилля с сингулярным коэффициентом |
| title_alt | Mappability of non-linear systems onto systems of a special form and their controllability |
| title_full | Осцилляционные свойства решений задачи Штурма–Лиувилля с сингулярным коэффициентом |
| title_fullStr | Осцилляционные свойства решений задачи Штурма–Лиувилля с сингулярным коэффициентом |
| title_full_unstemmed | Осцилляционные свойства решений задачи Штурма–Лиувилля с сингулярным коэффициентом |
| title_short | Осцилляционные свойства решений задачи Штурма–Лиувилля с сингулярным коэффициентом |
| title_sort | осцилляционные свойства решений задачи штурма–лиувилля с сингулярным коэффициентом |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/30007 |
| work_keys_str_mv | AT mihailecva oscillâcionnyesvoistvarešeniizadačišturmaliuvillâssingulârnymkoéfficientom AT molibogavn oscillâcionnyesvoistvarešeniizadačišturmaliuvillâssingulârnymkoéfficientom AT mihailecva mappabilityofnonlinearsystemsontosystemsofaspecialformandtheircontrollability AT molibogavn mappabilityofnonlinearsystemsontosystemsofaspecialformandtheircontrollability |