Экспоненциальная устойчивость движения на временной шкале при структурных возмущениях
Вказано спосіб застосування прямого методу Ляпунова для дослідження експоненційної стійкості руху на часовій шкалі динамічних рівнянь при структурних збуреннях. A means to use the direct Lyapunov's method to establish sufficient conditions for the exponential stability of the trivial solution o...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/30430 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Экспоненциальная устойчивость движения на временной шкале при структурных возмущениях / А.А. Мартынюк // Доп. НАН України. — 2010. — № 9. — С. 24-29. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859903302231130112 |
|---|---|
| author | Мартынюк, А.А. |
| author_facet | Мартынюк, А.А. |
| citation_txt | Экспоненциальная устойчивость движения на временной шкале при структурных возмущениях / А.А. Мартынюк // Доп. НАН України. — 2010. — № 9. — С. 24-29. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Вказано спосіб застосування прямого методу Ляпунова для дослідження експоненційної стійкості руху на часовій шкалі динамічних рівнянь при структурних збуреннях.
A means to use the direct Lyapunov's method to establish sufficient conditions for the exponential stability of the trivial solution of a system of dynamic equations on a time scale under structural perturbations is indicated.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:58:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 531.36
© 2010
Академик НАН Украины А.А. Мартынюк
Экспоненциальная устойчивость движения
на временной шкале при структурных возмущениях
Вказано спосiб застосування прямого методу Ляпунова для дослiдження експоненцiйної
стiйкостi руху на часовiй шкалi динамiчних рiвнянь при структурних збуреннях.
В монографии [1] изложены способы анализа устойчивости движения непрерывных систем
при структурных и сингулярных возмущениях. Обобщение прямого метода Ляпунова для
динамических уравнений предложено в работе [2].
Целью этой работы является постановка задачи об устойчивости движения при струк-
турных возмущениях на временной шкале и получение достаточных условий экспонен-
циальной устойчивости. Все необходимые сведения из математического анализа на вре-
менной шкале, которые здесь используются, приведены в работах [2–4].
1. Описание структурных возмущений для динамических уравнений. Пред-
положим, что временная шкала T неограничена сверху и имеет ограниченную зернистость
µ(t), т. е. 0 < µ(t) < µM (µM = const < ∞) при всех t ∈ T.
Объектом исследования является система динамических уравнений на временной шкале
при структурных и параметрических возмущениях.
Обозначим класс исследуемых систем D(T) и Di(T) обозначает i-ю подсистему, совокуп-
ность которых составляет систему D(T).
О системе D(T) (соответственно о подсистемах Di(T)) примем следующие предполо-
жения:
H1. Подсистемы Di(T) с вектором состояния xi(t) ∈ R
ni ,
m
∑
i=1
ni = n, имеют единственное
состояние равновесия xi(t) = 0 при всех t ∈ T и при всех i = 1, 2, . . . ,m.
H2. Параметрические и/или внешние возмущения в системе D(T) характеризуются мат-
рицей P = (pT1 , p
T
2 , . . . , p
T
m)T ∈ R
m×q. Множество всех допустимых матриц P обозначим
P = {P : P1 6 P (τ) 6 Ps, τ ∈ T}, (1)
где P1 и P2 — наперед заданные постоянные матрицы. Множество P может быть нулевым,
т. е. P = {0}. В этом случае параметрические и/или внешние возмущения в системе D(T)
отсутствуют.
H3. Семейство векторных отображений F = {f1, f2, . . . , fN} имеет своими элементами
вектор-функции fk : T × R
n × R
s×q → R
n, где k = 1, 2, . . . , N , так что fi ∈ Fi, где Fi =
= {f1
i , f
2
i , . . . , f
N
i } и fk
i ∈ Crd(T×R×R
1×q,Rni) при всех k ∈ {1, N} и n = n1+n2+ · · ·+nm,
i = 1, 2, . . . ,m.
H4. Динамика i-й взаимодействующей подсистемы Di(T) в системе D(T) описывается
конечномерной системой динамических уравнений
x∆i (t) = fi(t, x(t), pi), i = 1, 2, . . . ,m, (2)
где xi ∈ R
ni и символ ∆ обозначает ∆-производную вектора состояния xi(t) подсистемы
Di(T), fi(t, 0, 0) = 0 при всех t ∈ T.
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №9
Число N в определении семейств F и Fi, i = 1, 2, . . . ,m, и параметр k = k(t), изменяю-
щийся на множестве N = {1, 2, . . . , N} при всех t ∈ T, описывают структурные изменения
системы D(T). Число N является числом всех возможных структур системы D(T).
H5. Динамика i-й изолированной подсистемы в системе D(T) описывается динамиче-
скими уравнениями
x∆i (t) = gi(t, xi(t)), i = 1, 2, . . . ,m, (3)
где xi ∈ R
ni , вектор-функция gi : T × R
ni → R
ni и определяется соотношением
gi(t, xi(t)) = fi(t, x
i, 0), i = 1, 2, . . . ,m,
где xi = (0T, . . . , 0T, xTi , 0
T, . . . , 0T)T.
Очевидно, что функции ϕi, определяемые выражением
ϕi(t, x, pi) = fi(t, x, pi)− gi(t, xi), t ∈ T,
при всех i = 1, 2, . . . ,m описывают действие всей системы D(T) на подсистему Di(T). Это
может быть описано уравнениями
x∆i (t) = gi(t, x(t)) + ϕi(t, x(t), pi), i = 1, 2, . . . ,m. (4)
Обозначим Φi множество всех возможных ϕi, Φi = {ϕ1
i , ϕ
2
i , . . . , ϕ
N
i }, где ϕj
i (t, x, pi) =
= f j
i (t, x, pi) − gi(t, xi), j = 1, 2, . . . , N ; i = 1, 2, . . . ,m.
Для описания структурных изменений в системе D(T) введем структурный параметр
eij : T → [0, 1], являющийся (i, j)-элементом структурной матрицы Ei : T → R
ni×Nni , соот-
ветствующей i-й взаимодействующей подсистеме (2). В общем случае матрицы Ei имеют
вид
Ei = [ei1Ii, ei2Ii, . . . , eiN Ii], Ii = diag(1, 1, . . . , 1) ∈ R
ni×ni .
Заметим, что возможно, но не обязательно, что если eij(t) = 1 при всех t ∈ T, то eik(t) = 0
при всех t ∈ T и k 6= j.
Функции Φi : T×R
n×R
1×q → R
Nni , i = 1, 2, . . . ,m, описывают все возможные взаимодей-
ствия подсистемы (4) в системе D(T) и это описывается системой динамических уравнений
x∆i (t) = gi(t, xi(t)) + Ei(t)ϕi(t, x(t), pi), i = 1, 2, . . . ,m. (5)
Пусть Ei : T → R
n×Nn определяется формулой
E(t) =
E1(t) 012 013 . . . 01m
021 E2(t) 023 . . . 02m
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0m1 0m2 0m3 . . . Em(t)
, 0ij ∈ R
ni×nj ,
i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , N.
Матрица E(t) описывает возможные структурные изменения в системе D(T) и называется
структурной матрицей системы D(T) на временной шкале. Множество всех возможных
матриц E(t) обозначим Es(t) и будем называть структурой системы D(T):
Es(t) =
E(t) :
E1(t) 012 . . . 01m
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0m1 0m2 . . . Em(t)
, Ei(t) = (ei1Ii, ei2Ii, . . . , eiN Ii), eij ∈ [0, 1]
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №9 25
Таким образом, система динамических уравнений со структурными возмущениями на
временной шкале имеет вид
x∆(t) = g(t, x(t)) + E(t)Φ(t, x, P ), (6)
где x ∈ R
n, g(t, x(t)) = (gT1 , g
T
2 , . . . , g
T
m)T, Φ(t, x, P ) = (ΦT
1 ,Φ
T
2 , . . . ,Φ
T
m)T, P ∈ P и E(t) ∈
∈ Es(t) при всех t ∈ T.
Если T=R, зернистость µ(t)=0. Тогда x∆(t)=dx/dt и система (6) принимает вид (см. [1])
dx
dt
= g(t, x) + E(t)Φ(t, x, P ), x(t0) = x0. (7)
Если T = Z, то зернистость µ(t) = 1, x∆(t) = ∆x (первая разность вектора состояния
x(t)) и система (6) принимает вид
x(n+ 1)− x(n) = g(n, x(n)) + E(n)Φ(n, x, P ), x(n0) = x0, n ∈ Z. (8)
Заметим, что имеет смысл исследовать систему (6) при определенных предположе-
ниях о вектор-функции g(t, x(t)), характеризующей динамику изолированных подсистем.
А именно:
(А) g(t, x) = Ax, где A — n × n-постоянная матрица (здесь и ниже x ∈ R
n);
(Б) g(t, x) = A(t)x, где A — n × n-матрица с rd-непрерывными на T элементами;
(В) g(t, x) = B(t)x, где B(t) — n × n-p-периодическая матрица на T;
(Г) g(t, x) = R(t, x)x, где R(t, x) — n× n-матрица, элементы которой — rd-непрерывные
на T функции, т. е. rij ∈ Crd(T,R
n×n).
Ясно, что исследование устойчивости системы (6) при любом из предположений (А)–
(Г) упрощается, так как при этом упрощается способ построения подходящей функции
Ляпунова для системы динамических уравнений (3).
2. Достаточные условия экспоненциальной устойчивости системы (6). Приве-
дем вначале следующее определение.
Определение 1. Состояние равновесия x = 0 системы (6) является:
(а) экспоненциально устойчивым на P ×Es(t), если и только если оно экспоненциально
устойчиво для любой пары (P, S) ∈ P × Es(t), т. е. существуют постоянные β > 0, C ∈ R+
и M > 0 такие, что любое решение x(t; t0, x0) системы (6) при t0 > 0, x0 ∈ R
n удовлетворяет
оценке
‖x(t; t0, x0)‖ 6 C(‖x0‖, t0)(e⊖M (t, t0))
β (9)
при всех t > t0 ∈ T;
(б) равномерно экспоненциально устойчивым на P × Es(t), если в определении 1(а)
постоянная C не зависит от t0 ∈ T.
Имеет место следующее утверждение.
Лемма 1. Предположим, что для системы динамических уравнений
x∆(t) = g(t, x(t)), x(t0) = x0, (10)
построена функция V (x) : Rn → R+ такая, что
V (x) =
n
∑
i=1
Vi(xi) = V1(x1) + · · · + Vn(xn), (11)
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №9
где Vi(0) = 0 и Vi(x) — непрерывно дифференцируемые в открытой области S(H) = {x ∈
∈ R
n : ‖x‖ < H,H = const > 0}. Тогда вдоль любого решения x(t; t0, x0) системы (10)
∆-производная функции V (x) вычисляется по формуле
V ∆(x(t)) =
n
∑
i=1
Vi(xi + µ(t)gi(t, x))− Vi(xi)
µ(t)
при µ(t) 6= 0,
(
∂V
∂x
)T
g(t, x) при µ(t) = 0
(12)
в открытой области S(H) ⊂ R
n.
Доказательство см. в работе [4].
Функцию V (t) вида (11) будем называть функцией Ляпунова класса А, если она вме-
сте с ∆-производной (12) разрешает задаче об устойчивости состояния равновесия x = 0
системы (10).
Теорема 1. Предположим, что для динамических уравнений (6) выполняются следу-
ющие условия:
1) существуют функция V (x) класса А, V : S(H) → R+ и функции W1, W2 — K-класса
Хана такие, что
W1(‖x‖) 6 V (x) 6 W2(‖x‖)
при всех (t, x) ∈ T × S(H);
2) для любой пары (P,E) ∈ P × Es(t) существуют постоянные L > 0, M > 0, δ > M
и невозрастающая функция W3 : R+ → (−∞, 0] такие, что
V ∆(x(t))
∣
∣
∣
(6)
6
W3(‖x‖) − L(M ⊖ δ)(t)e⊖δ(t, t0)
1 + µ(t)M
при всех E ∈ Es(t) и P ∈ P;
3) при всех (t, x) ∈ T × S(H) выполняется неравенство
W3(W
−1
2 (V (x))) +MV (x) 6 0.
Тогда при любых (P,E) ∈ P × Es(t) движения системы (6) в открытой области S(H)
оцениваются неравенством
‖x(t; t0, x0)‖ 6 W−1
1 [(V (x0) + L)e⊖M (t, t0)] (13)
при всех t > t0 ∈ T.
Доказательство. Для решения x(t; t0, x0) системы (6), которое остается в области S(H)
при всех t > t0 ∈ T, вычислим ∆-производную функции V (x)eM (t, 0), учитывая правило
вычисления ∆-производной для произведения двух функций на T. Нетрудно видеть, что
при выполнении условий теоремы 1 верны оценки
[V (x(t))eM (t, 0)]∆ = V ∆(x(t))eM (σ(t), 0) + V (x(t))e∆M (t, 0) 6
6 [W3(‖x(t)‖) − L(M ⊖ δ)(t)e⊖δ(t, 0)]eM (t, 0) +MV (x(t))eM (t, 0) =
= [W3(‖x(t)‖) − L(M ⊖ δ)(t)e⊖δ(t, 0) +MV (x(t))]eM (t, 0) 6
6 [W3(W
−1
2 (V (x(t)))) +MV (x(t))− L(M ⊖ δ)(t)e⊖δ(t, 0)]eM (t, 0) 6
6 −L(M ⊖ δ)(t)e⊖δ(t, 0)eM (t, 0) = L(M ⊖ δ)(t)e⊖δ(t, 0). (14)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №9 27
Интегрируя неравенство (14) от t0 до t ∈ T при начальных условиях x(t0) = x0, t0 ∈ T,
получаем оценку
V (x(t))eM (t, 0) 6 V (x0)eM (t0, 0)− LeM⊖δ(t, 0) + LeM⊖δ(t, 0) 6
6 V (x0)eM (t0, 0) + LeM⊖δ(t, 0) 6 (V (x0) + L)eM (t0, 0), (15)
которая выполняется при всех t > t0, t0 ∈ T. Из оценки (15) следует, что
V (x(t)) 6 (V (x0) + L)eM (t0, 0)e⊖M (t, 0) = (V (x0) + L)e⊖M (t, t0).
Отсюда, согласно условию 1 теоремы 1, имеем оценку
‖x(t; t0, x0)‖ 6 W−1
1 [(V (x0) + L)e⊖M (t, t0)],
которая выполняется при всех P ∈ P, E ∈ Es(t) и t > t0, t0 ∈ T. Этим теорема 1 доказана.
Теорема 2. Предположим, что для динамических уравнений (6) выполняются сле-
дующие условия:
1) существуют функция V (x) класса А, V : S(H) → R+ и положительные функции
λ1(t), λ2(t) при всех t ∈ T, λ1(t) — неубывающая функция на T, и положительные посто-
янные p, q такие, что
λ1(t)‖x‖
p
6 V (x) 6 λ2(t)‖x‖
q
при всех (t, x) ∈ T × S(H);
2) для любой пары (P,E) ∈ P × Es(t) существуют положительная функция λ3(t) при
всех t ∈ T, положительные постоянные r, L, δ > M , где M = inf
t>0
λ3(t)/[λ2(t)]
r/q > 0,
такие, что
V ∆(x(t)) 6
−λ3(t)‖x‖
r − L(M ⊖ δ)(t)e⊖δ(t, 0)
1 + µ(t)M
при всех P ∈ P и E ∈ Es(t);
3) при всех (t, x) ∈ T × S(H) выполняется неравенство
V (x)− V r/q(x) 6 0.
Тогда состояние равновесия x = 0 системы (6) экспоненциально устойчиво на T при
структурных возмущениях.
Доказательство. Аналогично доказательству теоремы 1 рассмотрим ∆-производную
функции V (x)eM (t, 0), где величина M определена в условии 2 теоремы 2. Учитывая усло-
вия 1–3 теоремы 2, получаем
[V (x)eM (t, 0)]∆6 [−λ3(t)‖x‖
r−L(M ⊖ δ)(t)e⊖δ(t, 0)], eM (t, 0)+MV (x(t))eM (t, 0) 6
6
{
−
λ3(t)
[λ2(t)]r/q
V r/q(x(t)) +MV (x(t)) − L(M ⊖ δ)(t)e⊖δ(t, 0)
}
eM (t, 0) 6
6 [M(V (x(t))− V r/q(x(t)))− L(M ⊖ δ)(t)e⊖δ(t, 0)]eM (t, 0) 6
6 −L(M ⊖ δ)(t)eM⊖δ(t, 0). (16)
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №9
Интегрируя обе стороны неравенства (16) от t0 до t ∈ T при начальных условиях x(t0) = x0,
получаем
V (x(t))eM (t, 0) 6 (V (x0) + L)eM (t0, 0). (17)
Из условия 1 теоремы 2 следует, что
‖x(t; t0, x0)‖ 6 λ
−1/p
1 (t)V 1/p(x(t)) 6 λ
−1/p
1 (t0)V
1/p(x(t)).
Отсюда с учетом неравенства (17) получим оценку
‖x(t; t0, x0)‖ 6 λ
−1/p
1 (t0)[(V (x0) + L)e⊖M (t, t0)]
1/p,
которая выполняется при всех t > t0, t0 ∈ T. Этим теорема 2 доказана.
Замечание 1. Если в теореме 2 функции λi(t) = λi = const > 0, i = 1, 2, 3, тогда со-
стояние равновесия x = 0 системы (6) равномерно экспоненциально устойчиво на T при
структурных возмущениях.
3. Заключительные замечания. Применение функций V (x) класса А упрощает про-
цедуру вычисления ∆-производной функции V (x) вдоль решений системы (6). В частности,
если V (x) = ‖x‖2, x ∈ R
n, тогда
V ∆(x(t))|(6) = 2xT[g(t, x) +E(t)Φ(t, x, P )] + µ(t)‖g(t, x) + E(t)Φ(t, x, P )‖2.
Условия 2 в теоремах 1, 2 являются весьма грубыми, но они позволяют показать способ
применения прямого метода Ляпунова для системы динамических уравнений (6).
Если в системе (6) структурные возмущения отсутствуют, то слагаемое E(t)Φ(t, x, P ) ≡ 0
при всех t ∈ T и утверждения теорем 1, 2 совпадают с утверждениями теорем 3.4 и 3.5 из
статьи [3] для системы динамических уравнений (10).
1. Grujić Lj. T., Martynyuk A.A., Ribbens-Pavella M. Large scale systems stability under structural and
singular perturbations. – Berlin: Springer, 1987. – 366 p.
2. Bohner M., Martynyuk A.A. Elements of stability theory by A.M. Lyapunov for dynamic equations on
time scales // Nonlinear Dynamics and System Theory. – 2007. – 7. – P. 225–251.
3. Peterson A.C., Raffoul Y.N. Exponential stability of dynamic equations on time scales // Adv. Difference
Equations. – 2005. – No 2. – P. 133–144.
4. Peterson A.C., Tisdell C. C. Boundedness and uniqueness of solutions to dynamic equations on time
scales // J. Difference Eqns. Appl. – 2004. – 10. – P. 1295–1306.
Поступило в редакцию 19.02.2010Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
Academician of the NAS of Ukraine A.A. Martynyuk
Exponential stability of motion on time scales under structural
perturbations
A means to use the direct Lyapunov’s method to establish sufficient conditions for the exponential
stability of the trivial solution of a system of dynamic equations on a time scale under structural
perturbations is indicated.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №9 29
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-30430 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:58:08Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мартынюк, А.А. 2012-02-02T20:40:51Z 2012-02-02T20:40:51Z 2010 Экспоненциальная устойчивость движения на временной шкале при структурных возмущениях / А.А. Мартынюк // Доп. НАН України. — 2010. — № 9. — С. 24-29. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/30430 531.36 Вказано спосіб застосування прямого методу Ляпунова для дослідження експоненційної стійкості руху на часовій шкалі динамічних рівнянь при структурних збуреннях. A means to use the direct Lyapunov's method to establish sufficient conditions for the exponential stability of the trivial solution of a system of dynamic equations on a time scale under structural perturbations is indicated. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Экспоненциальная устойчивость движения на временной шкале при структурных возмущениях Exponential stability of motion on time scales under structural perturbations Article published earlier |
| spellingShingle | Экспоненциальная устойчивость движения на временной шкале при структурных возмущениях Мартынюк, А.А. Математика |
| title | Экспоненциальная устойчивость движения на временной шкале при структурных возмущениях |
| title_alt | Exponential stability of motion on time scales under structural perturbations |
| title_full | Экспоненциальная устойчивость движения на временной шкале при структурных возмущениях |
| title_fullStr | Экспоненциальная устойчивость движения на временной шкале при структурных возмущениях |
| title_full_unstemmed | Экспоненциальная устойчивость движения на временной шкале при структурных возмущениях |
| title_short | Экспоненциальная устойчивость движения на временной шкале при структурных возмущениях |
| title_sort | экспоненциальная устойчивость движения на временной шкале при структурных возмущениях |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/30430 |
| work_keys_str_mv | AT martynûkaa éksponencialʹnaâustoičivostʹdviženiânavremennoiškalepristrukturnyhvozmuŝeniâh AT martynûkaa exponentialstabilityofmotionontimescalesunderstructuralperturbations |