Вынужденные резонансные изгибные колебания и диссипативный разогрев вязкоупругой прямоугольной толстой плиты
Наводиться постановка просторової задачі про вимушені резонансні коливання і дисипативний розігрів в'язкопружної товстої прямокутної плити з шарнірно опертими торцями. Непружна поведінка матеріалу описується концепцією комплексних характеристик. Вважається, що механічні і теплофізичні властивос...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/30433 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Вынужденные резонансные изгибные колебания и диссипативный разогрев вязкоупругой прямоугольной толстой плиты / В.М. Сичко, А.В. Завгородний, М.И. Вертелецкий // Доп. НАН України. — 2010. — № 9. — С. 44-49. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860237190867451904 |
|---|---|
| author | Сичко, В.М. Завгородний, А.В. Вертелецкий, М.И. |
| author_facet | Сичко, В.М. Завгородний, А.В. Вертелецкий, М.И. |
| citation_txt | Вынужденные резонансные изгибные колебания и диссипативный разогрев вязкоупругой прямоугольной толстой плиты / В.М. Сичко, А.В. Завгородний, М.И. Вертелецкий // Доп. НАН України. — 2010. — № 9. — С. 44-49. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Наводиться постановка просторової задачі про вимушені резонансні коливання і дисипативний розігрів в'язкопружної товстої прямокутної плити з шарнірно опертими торцями. Непружна поведінка матеріалу описується концепцією комплексних характеристик. Вважається, що механічні і теплофізичні властивості матеріалу не залежать від температури. Задача розв'язується методом Фур'є і зводиться до крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь. Для розв'язування цих систем пропонується використовувати ефективний метод дискретної ортогоналізації. Дається порівняння результатів розрахунків з використанням просторової постановки і класичної та уточненої теорій пластин.
The formulation of a three-dimensional problem on forced resonance vibrations and the dissipative heating of a viscoelastic thick rectangular plate with simply supported edges is given. The nonelastic material behavior is described by a conception of complex characteristics. It is supposed that the mechanical and thermophysical material properties do not depend on the temperature. The problem is solved by the Fourier method and is reduced to boundary-value problems for the systems of the ordinary differential equations. These systems are solved by a method of discrete orthogonalization. The comparison of the results of calculations by the three-dimensional and classical plate theories is given.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:25:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3
© 2010
В.М. Сичко, А.В. Завгородний, М. И. Вертелецкий
Вынужденные резонансные изгибные колебания
и диссипативный разогрев вязкоупругой прямоугольной
толстой плиты
(Представлено академиком НАН Украины Я.М. Григоренко)
Наводиться постановка просторової задачi про вимушенi резонанснi коливання i дисипа-
тивний розiгрiв в’язкопружної товстої прямокутної плити з шарнiрно опертими тор-
цями. Непружна поведiнка матерiалу описується концепцiєю комплексних характерис-
тик. Вважається, що механiчнi i теплофiзичнi властивостi матерiалу не залежать
вiд температури. Задача розв’язується методом Фур’є i зводиться до крайових задач
для систем звичайних диференцiальних рiвнянь. Для розв’язування цих систем про-
понується використовувати ефективний метод дискретної ортогоналiзацiї. Дається
порiвняння результатiв розрахункiв з використанням просторової постановки i кла-
сичної та уточненої теорiй пластин.
Толстые плиты из неупругих материалов находят широкое применение во всех областях
современной техники. Для моделирования их динамического поведения используются раз-
личные приближенные модели, основанные на гипотезах Тимошенко и их обобщениях. Для
оценки пределов применимости указанных моделей необходимо иметь точные аналитиче-
ские решения задачи в пространственной постановке. При изготовлении таких элементов
конструкций из полимерных материалов и композитов на их основе необходимо учитывать
их вязкоупругие свойства. При гармоническом механическом нагружении с частотой, близ-
кой к резонансной, в элементе конструкции может наблюдаться существенное повышение
температуры диссипативного разогрева, возникающей в результате гистерезисных потерь
в материале. В работах [1–5] дается обзор основных достижений по термомеханике связан-
ных полей в телах из неупругих материалов при моногармоническом механическом нагру-
жении. Для решения этих задач, как правило, используют численные методы. В литературе
отсутствуют точные решения о колебаниях и диссипативном разогреве тел пространствен-
ной конфигурации. Связано это с большими математическими трудностями при аналити-
ческом решении такого класса задач.
В данной работе дана постановка задачи о резонансных колебаниях и диссипативном
разогреве толстой прямоугольной плиты при ее нагружении гармоническим во времени
поверхностным давлением с частотой, близкой к резонансной. Для описания неупругого
механического поведения используется концепция комплексных характеристик, развитая
в работе [1]. Считается, что торцы плиты шарнирно оперты. Это позволяет методом разде-
ления переменных свести задачу к системе обыкновенных дифференциальных уравнений
высокого порядка, для решения которой предлагается использовать эффективный числен-
ный метод дискретной ортогонализации [6], позволяющий получить числовые результаты
с наперед заданной точностью. Предполагается, что характеристики вязкоупругого мате-
риала не зависят от температуры. Тогда задача распадается на несколько отдельных задач:
1) задачу о вынужденных резонансных колебаниях вязкоупругой толстой прямоугольной
44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №9
плиты; 2) задачу расчета диссипативной функции; 3) задачу расчета температурного поля
с известным источником тепла.
Для исследования вынужденных колебаний вязкоупругой прямоугольной толстой пли-
ты используем уравнения, представленные в работе [7]. В этих уравнениях необходимо доба-
вить силы инерции. Процедура разделения переменных подробно изложена в [7]. Выбирая
в качестве разрешающих функций набор переменных σ̃′
zz, σ̃
′′
zz, σ̃
′
xz, σ̃
′′
xz, σ̃
′
yz, σ̃
′′
yz, Ũ
′
x, Ũ
′′
x , U ′
y,
Ũ ′′
y , Ũ ′
z, Ũ
′′
zθ, для плиты из изотропного вязкоупругого материала можно получить следую-
щую систему обыкновенных дифференциальных уравнений в безразмерной действительной
форме:
dσ̃′
zz
dz
= λmσ̃′
xz + µnσ̃
′
yz −
ρω2h2
G′
Ũ ′
z;
dσ̃′′
zz
dz
= λmσ̃′′
xz + µnσ̃
′′
yz −
ρω2h2
G′
Ũ ′′
z ;
dσ̃′
xz
dz
=
(
2
1− ν
λ2
m + µ2
n
)(
Ũ ′
x −
G′′
G′
Ũ ′′
x
)
+
(
1 + ν
1− ν
λmµn
)(
Ũ ′
y −
G′′
G′
Ũ ′′
y
)
−
−
ν
1− ν
λmσ̃′
z −
ρω2h2
G′
Ũ ′
x;
dσ̃′′
xz
dz
=
(
2
1− ν
λ2
m + µ2
n
)(
Ũ ′′
x +
G′′
G′
Ũ ′
x
)
+
(
1 + ν
1− ν
λmµn
)(
Ũ ′′
y +
G′′
G′
Ũ ′
y
)
−
−
ν
1− ν
λmσ̃′′
z −
ρω2h2
G′
Ũ ′′
x ;
dσ̃′
yz
dz
=
(
2
1− ν
λ2
m + µ2
n
)(
Ũ ′
y −
G′′
G′
Ũ ′′
y
)
+
(
1 + ν
1− ν
λmµn
)(
Ũ ′
x −
G′′
G′
Ũ ′′
x
)
−
−
ν
1− ν
µnσ̃
′
z −
ρω2h2
G′
Ũ ′
y;
dσ̃′′
yz
dz
=
(
2
1− ν
λ2
m + µ2
n
)(
Ũ ′′
y +
G′′
G′
Ũ ′
x
)
+
(
1 + ν
1− ν
λmµn
)(
Ũ ′′
x +
G′′
G′
Ũ ′
x
)
−
−
ν
1− ν
µnσ̃
′′
z −
ρω2h2
G′
Ũ ′′
y ;
dŨ ′
x
dz
=
(
σ̃′
xz +
G′′
G′
σ̃′′
xz
)
1
1 + (G′′/G′)2
− λmŨ ′
z;
dŨ ′′
x
dz
=
(
σ̃′′
xz −
G′′
G′
σ̃′
xz
)
1
1 + (G′′/G′)2
− λmŨ ′′
z ;
dŨ ′
y
dz
=
(
σ̃′
yz +
G′′
G′
σ̃′′
yz
)
1
1 + (G′′/G′)2
− µnŨ
′
z;
dŨ ′′
y
dz
=
(
σ̃′′
yz −
G′′
G′
σ̃′
yz
)
1
1 + (G′′/G′)2
− µnŨ
′′
z ;
dŨ ′
z
dz
=
(
σ̃′
zz +
G′′
G′
σ̃′′
zz
)
1
1 + (G′′/G′)2
+
ν
1− ν
(λmŨ ′
x + µnŨ
′
y);
dŨ ′′
z
dz
=
(
σ̃′′
zz +
G′′
G′
σ̃′
zz
)
1
1 + (G′′/G′)2
+
ν
1− ν
(λmŨ ′′
x + µnŨ
′′
y ).
(1)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №9 45
Для вязкоупругого материала порядок разрешающей системы удваивается по сравнению
с упругим материалом.
Здесь ()′, ()′′ — действительные и мнимые составляющие соответствующих величин.
Коэффициент Пуассона считается действительным.
Система (1) решается при следующих граничных условиях:
σ̃zx = 0, σ̃zy = 0, σ̃zz = −P̃0 (ς = 1), P̃0 =
P0
G′
; (2)
σ̃zx = 0, σ̃zy = 0, σ̃zz = 0 (ς = 0). (3)
Если панель является многослойной, для каждого из слоев записываются уравнения ти-
па (1), к которым, кроме условий (2), (3), добавляются обычные условия сопряжения на
поверхностях раздела слоев.
Для расчета температуры диссипативного разогрева воспользуемся тем фактом, что
при резонансных колебаниях в соответствующих рядах Фурье необходимо оставить только
один член, отвечающий той или иной форме колебаний. Тогда диссипативная функция для
этой формы принимает следующий вид:
D =
ω
2
(σ′′
ijε
′
ij − σ′
ijε
′′
ij). (4)
При этом уравнение энергии для изотропного материала запишется так:
∂2θ
∂x2
+
∂2θ
∂y2
+
∂2θ
∂z2
+
c2
λ
D = 0. (5)
Считается, что торцы плиты теплоизолированы, а на поверхностях z = 0, z = 1 имеют
место условия конвективного теплообмена:
∂θ
∂z
+
αc
λ
(θ − θc) = 0 (x = 1),
∂θ
∂z
−
αc
λ
(θ − θc) = 0 (x = 0).
(6)
В окрестности резонанса диссипативная функция приобретает вид:
D =
ω
2
[D0(z) +D1(z) cos(2µkcy) +D2(z) cos(2λncx}+D3(z) cos(2µkcy) cos(2λncx)].
Тогда температура представляется в виде
θ = [θ0(z) + θ1(z) cos(2µkcy}+ θ2(z) cos(2λncx) + θ3(z) cos(2µkcy) cos(2λncx)]. (7)
После разделения переменных уравнение энергии дает:
d2θ0
dz2
+
ωc2
2λT0
D0(z) = 0, (8)
d2θ1
dz2
− (2µkc)
2θ1 +
ωc2
2λT0
D1(z) = 0, (9)
d2θ2
dz2
− (2λnc
2)2θ2 +
ωc2
2λT0 2
(z) = 0, (10)
46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №9
d2θ3
dz2
− (2µkc)
2θ3 − (2λnc)
2θ3 +
ωc2
2λT0
D3(z) = 0. (11)
Введя обозначения dθi/dz = qi, запишем уравнения энергии и граничные условия
dqi
dz
+
ωc2
2λT0
D0(z) = 0 (i = 0, 1, 2, 3), (12)
qi +
αc
λ
(θi − θc) = 0 (z = 1), qi −
αc
λ
(θi − θc) = 0 (z = 0); i = 0, 1, 2, 3. (13)
Таким образом, для не зависящих от температуры свойств материала задача распа-
лась на решение краевых задач для системы обыкновенных дифференциальных уравнений
о механических колебаниях прямоугольной плиты (2), (3) и решение краевых задач для
обыкновенных дифференциальных уравнений теплопроводности (12)–(13).
Получить аналитическое решение представленных краевых задач не представляется
возможным. Для их решения предлагается использовать метод дискретной ортогонали-
зации [6], дающий практически точные результаты.
В качестве примера рассмотрим задачу о колебаниях прямоугольной плиты из поли-
этилена, механические свойства которой представлены в работе [8], а коэффициент тепло-
проводности λ = 0,18 Ват/м2 ◦C. Плита имеет следующие размеры: a = 0,4 м, b = 0,11 м,
h = 0,02 м. На поверхностях плиты имеет место конвективный теплообмен с внешней средой
температуры T = 20 ◦C и коэффициентом теплообмена α = 25 Ват/м2 ◦C.
Для оценки влияния сдвиговых деформаций рассмотрим задачу о колебаниях пласти-
ны с использованием уточненной теории, представленной в [9]. Для изотропной пластины
собственные частоты определяются по формуле
ω2
mn =
D
ρh
(λ2
m + µ2
n)
2
1 + h∗L2(λ2
m + µ2
n)
, (14)
где
D =
Eh3
12(1 − ν2)
, h∗ =
1
5(1 − ν)
h2
L2
.
Для расчета собственной частоты с использованием пространственной постановки задачи
применялось решение задачи на вынужденные колебания. На рис. 1 представлена ампли-
тудно-частотная характеристика, рассчитанная на основе метода дискретной ортогонали-
зации. Она дает такое значение частоты собственных колебаний: ωr = 8800(1/s).
Считая G = G′+ iG′′ и G′′/G′ ≪ 1, из формулы (14) для действительного коэффициента
Пуассона ν получим
ωmn = ω0
mn(1 + iη), (15)
где
ω0
mn =
√
2(1 + ν)G′
ρR2
[
1
12(1 − ν2)
h2R2(λ2
m + µ2
n)
2
1 + h∗L2(λ2
m + µ2
n)
+
λ4
n
(λ2
m + µ2
n)
2
]
,
η =
1
2
G′′
G′
.
(16)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №9 47
Рис. 1. Амплитудно-частотная характеристика
Рис. 2. Температурно-частотная характеристика
Подчеркнутый член учитывает влияние сдвиговых деформаций. Из (16) следует, что
коэффициент демпфирования η определяется тангенсом угла потерь G′′/G′ и не зависит от
номера моды колебаний, геометрических и механических параметров оболочки.
Температурно-частотная характеристика имеет вид, изображенный на рис. 2.
1. Карнаухов В. Г., Михайленко В. В. Нелинейная термомеханика пьезоэлектрических неупругих тел
при моногармоническом нагружении. – Житомир: Изд-во ЖГТУ, 2005. – 428 с.
2. Карнаухов В. Г., Сенченков И.К. Обобщенные модели термомеханического поведения материалов
с учетом взаимодействия механических и тепловых полей // Усп. механики: В 6-ти т. / Под ред.
А.Н. Гузя. Т. 1. – Киев: А.С. К., 2005. – С. 45–68.
3. Карнаухов В. Г., Киричок И.Ф. Вынужденные гармонические колебания и диссипативный разогрев
вязкоупругих тонкостенных элементов // Там же. – С. 197–130.
4. Карнаухов В. Г., Киричок И.Ф., Козлов В.И. Электромеханические колебания и диссипативный ра-
зогрев вязкоупругих тонкостенных элементов с пьезоэффектом // Там же. – Т. 2. – Киев: А.С. К.,
2006. – С. 185–217.
5. Karnaukhov V.G. Thermomechanics of coupled fields in passive and piezoactive inelastic bodies under
harmonic deformations // J. of thermal stresses. – 2005. – 28, No 6–7. – P. 783–815.
6. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Методы расчета оболочек. Т. 4. Теория оболочек переменной жес-
ткости. – Киев: Наук. думка, 1981. – 544 с.
7. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Панкратова Н.Д. Статика анизотропных толстостенных оболо-
чек. – Киев: Вища шк., 1985. – 190 с.
8. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. – Москва: Наука, 1974. – 446 с.
9. Свойства полимеров и нелинейная акустика. Физическая акустика / Под ред. У. Мезона. Т. 2. Ч.Б. –
Москва: Мир, 1969. – 420 с.
Поступило в редакцию 24.11.2009Николаевский государственный университет
им. В.А. Сухомлинского
48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №9
V.M. Sichko, A. V. Zavgorodniy, M. I. Verteleckiy
Forced resonance vibrations and dissipative heating of a thick-walled
viscoelastic cylindrical plate
The formulation of a three-dimensional problem on forced resonance vibrations and the dissipative
heating of a viscoelastic thick rectangular plate with simply supported edges is given. The nonelastic
material behavior is described by a conception of complex characteristics. It is supposed that the
mechanical and thermophysical material properties do not depend on the temperature. The problem
is solved by the Fourier method and is reduced to boundary-value problems for the systems of the
ordinary differential equations. These systems are solved by a method of discrete orthogonalization.
The comparison of the results of calculations by the three-dimensional and classical plate theories
is given.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №9 49
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-30433 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:25:34Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Сичко, В.М. Завгородний, А.В. Вертелецкий, М.И. 2012-02-02T20:44:38Z 2012-02-02T20:44:38Z 2010 Вынужденные резонансные изгибные колебания и диссипативный разогрев вязкоупругой прямоугольной толстой плиты / В.М. Сичко, А.В. Завгородний, М.И. Вертелецкий // Доп. НАН України. — 2010. — № 9. — С. 44-49. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/30433 539.3 Наводиться постановка просторової задачі про вимушені резонансні коливання і дисипативний розігрів в'язкопружної товстої прямокутної плити з шарнірно опертими торцями. Непружна поведінка матеріалу описується концепцією комплексних характеристик. Вважається, що механічні і теплофізичні властивості матеріалу не залежать від температури. Задача розв'язується методом Фур'є і зводиться до крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь. Для розв'язування цих систем пропонується використовувати ефективний метод дискретної ортогоналізації. Дається порівняння результатів розрахунків з використанням просторової постановки і класичної та уточненої теорій пластин. The formulation of a three-dimensional problem on forced resonance vibrations and the dissipative heating of a viscoelastic thick rectangular plate with simply supported edges is given. The nonelastic material behavior is described by a conception of complex characteristics. It is supposed that the mechanical and thermophysical material properties do not depend on the temperature. The problem is solved by the Fourier method and is reduced to boundary-value problems for the systems of the ordinary differential equations. These systems are solved by a method of discrete orthogonalization. The comparison of the results of calculations by the three-dimensional and classical plate theories is given. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Вынужденные резонансные изгибные колебания и диссипативный разогрев вязкоупругой прямоугольной толстой плиты Forced resonance vibrations and dissipative heating of a thick-walled viscoelastic cylindrical plate Article published earlier |
| spellingShingle | Вынужденные резонансные изгибные колебания и диссипативный разогрев вязкоупругой прямоугольной толстой плиты Сичко, В.М. Завгородний, А.В. Вертелецкий, М.И. Механіка |
| title | Вынужденные резонансные изгибные колебания и диссипативный разогрев вязкоупругой прямоугольной толстой плиты |
| title_alt | Forced resonance vibrations and dissipative heating of a thick-walled viscoelastic cylindrical plate |
| title_full | Вынужденные резонансные изгибные колебания и диссипативный разогрев вязкоупругой прямоугольной толстой плиты |
| title_fullStr | Вынужденные резонансные изгибные колебания и диссипативный разогрев вязкоупругой прямоугольной толстой плиты |
| title_full_unstemmed | Вынужденные резонансные изгибные колебания и диссипативный разогрев вязкоупругой прямоугольной толстой плиты |
| title_short | Вынужденные резонансные изгибные колебания и диссипативный разогрев вязкоупругой прямоугольной толстой плиты |
| title_sort | вынужденные резонансные изгибные колебания и диссипативный разогрев вязкоупругой прямоугольной толстой плиты |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/30433 |
| work_keys_str_mv | AT sičkovm vynuždennyerezonansnyeizgibnyekolebaniâidissipativnyirazogrevvâzkouprugoiprâmougolʹnoitolstoiplity AT zavgorodniiav vynuždennyerezonansnyeizgibnyekolebaniâidissipativnyirazogrevvâzkouprugoiprâmougolʹnoitolstoiplity AT verteleckiimi vynuždennyerezonansnyeizgibnyekolebaniâidissipativnyirazogrevvâzkouprugoiprâmougolʹnoitolstoiplity AT sičkovm forcedresonancevibrationsanddissipativeheatingofathickwalledviscoelasticcylindricalplate AT zavgorodniiav forcedresonancevibrationsanddissipativeheatingofathickwalledviscoelasticcylindricalplate AT verteleckiimi forcedresonancevibrationsanddissipativeheatingofathickwalledviscoelasticcylindricalplate |