Розв'язання оберненої задачі дифракції через реконструкцію матриці розсіювання в обмеженому частотному діапазоні
Запропоновано метод визначення проникності та товщини шарів плоскошаруватого діелектрика за відомими значеннями коефіцієнта відбиття плоскої електромагнітної хвилі. В основу методу покладено реконструкцію частотної залежності всіх елементів матриці розсіювання в обмеженому діапазоні частот. Високу т...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/30700 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Розв'язання оберненої задачі дифракції через реконструкцію матриці розсіювання в обмеженому частотному діапазоні / З.Т. Назарчук, А.Т. Синявський // Доп. НАН України. — 2010. — № 10. — С. 61-67. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-30700 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Назарчук, З.Т. Синявський, А.Т. 2012-02-12T08:39:38Z 2012-02-12T08:39:38Z 2010 Розв'язання оберненої задачі дифракції через реконструкцію матриці розсіювання в обмеженому частотному діапазоні / З.Т. Назарчук, А.Т. Синявський // Доп. НАН України. — 2010. — № 10. — С. 61-67. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/30700 537.874.4 Запропоновано метод визначення проникності та товщини шарів плоскошаруватого діелектрика за відомими значеннями коефіцієнта відбиття плоскої електромагнітної хвилі. В основу методу покладено реконструкцію частотної залежності всіх елементів матриці розсіювання в обмеженому діапазоні частот. Високу точність обчислення досягнуто за рахунок ідентифікації спектральних коефіцієнтів, які виділено з елементів матриці розсіювання та описано скінченним рядом незатухаючих комплексних експонент. A new method for the determination of both layers' permittivity and thickness of a plane multilayer structure is proposed. The reflection coefficient of a plane electromagnetic wave is considered as initial data in the problem. The developed method is based on the reconstruction of all scattering matrix elements in a limited frequency interval. A high accuracy of the determination of both permittivity and thickness is achieved due to the identification of spectral coefficients which are separated from elements of the scattering matrix. The proposed method gains advantages from the possibility of represent these spectral coefficients by finite series of undamped complex exponents. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Фізика Розв'язання оберненої задачі дифракції через реконструкцію матриці розсіювання в обмеженому частотному діапазоні A solution of the inverse difraction problem by reconstruction of the scattering matrix in a limited frequency interval Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Розв'язання оберненої задачі дифракції через реконструкцію матриці розсіювання в обмеженому частотному діапазоні |
| spellingShingle |
Розв'язання оберненої задачі дифракції через реконструкцію матриці розсіювання в обмеженому частотному діапазоні Назарчук, З.Т. Синявський, А.Т. Фізика |
| title_short |
Розв'язання оберненої задачі дифракції через реконструкцію матриці розсіювання в обмеженому частотному діапазоні |
| title_full |
Розв'язання оберненої задачі дифракції через реконструкцію матриці розсіювання в обмеженому частотному діапазоні |
| title_fullStr |
Розв'язання оберненої задачі дифракції через реконструкцію матриці розсіювання в обмеженому частотному діапазоні |
| title_full_unstemmed |
Розв'язання оберненої задачі дифракції через реконструкцію матриці розсіювання в обмеженому частотному діапазоні |
| title_sort |
розв'язання оберненої задачі дифракції через реконструкцію матриці розсіювання в обмеженому частотному діапазоні |
| author |
Назарчук, З.Т. Синявський, А.Т. |
| author_facet |
Назарчук, З.Т. Синявський, А.Т. |
| topic |
Фізика |
| topic_facet |
Фізика |
| publishDate |
2010 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
A solution of the inverse difraction problem by reconstruction of the scattering matrix in a limited frequency interval |
| description |
Запропоновано метод визначення проникності та товщини шарів плоскошаруватого діелектрика за відомими значеннями коефіцієнта відбиття плоскої електромагнітної хвилі. В основу методу покладено реконструкцію частотної залежності всіх елементів матриці розсіювання в обмеженому діапазоні частот. Високу точність обчислення досягнуто за рахунок ідентифікації спектральних коефіцієнтів, які виділено з елементів матриці розсіювання та описано скінченним рядом незатухаючих комплексних експонент.
A new method for the determination of both layers' permittivity and thickness of a plane multilayer structure is proposed. The reflection coefficient of a plane electromagnetic wave is considered as initial data in the problem. The developed method is based on the reconstruction of all scattering matrix elements in a limited frequency interval. A high accuracy of the determination of both permittivity and thickness is achieved due to the identification of spectral coefficients which are separated from elements of the scattering matrix. The proposed method gains advantages from the possibility of represent these spectral coefficients by finite series of undamped complex exponents.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/30700 |
| citation_txt |
Розв'язання оберненої задачі дифракції через реконструкцію матриці розсіювання в обмеженому частотному діапазоні / З.Т. Назарчук, А.Т. Синявський // Доп. НАН України. — 2010. — № 10. — С. 61-67. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT nazarčukzt rozvâzannâobernenoízadačídifrakcííčerezrekonstrukcíûmatricírozsíûvannâvobmeženomučastotnomudíapazoní AT sinâvsʹkiiat rozvâzannâobernenoízadačídifrakcííčerezrekonstrukcíûmatricírozsíûvannâvobmeženomučastotnomudíapazoní AT nazarčukzt asolutionoftheinversedifractionproblembyreconstructionofthescatteringmatrixinalimitedfrequencyinterval AT sinâvsʹkiiat asolutionoftheinversedifractionproblembyreconstructionofthescatteringmatrixinalimitedfrequencyinterval |
| first_indexed |
2025-11-24T19:09:26Z |
| last_indexed |
2025-11-24T19:09:26Z |
| _version_ |
1850493857767096320 |
| fulltext |
УДК 537.874.4
© 2010
Академiк НАН України З. Т. Назарчук, А.Т. Синявський
Розв’язання оберненої задачi дифракцiї через
реконструкцiю матрицi розсiювання в обмеженому
частотному дiапазонi
Запропоновано метод визначення проникностi та товщини шарiв плоскошаруватого
дiелектрика за вiдомими значеннями коефiцiєнта вiдбиття плоскої електромагнiтної
хвилi. В основу методу покладено реконструкцiю частотної залежностi всiх елементiв
матрицi розсiювання в обмеженому дiапазонi частот. Високу точнiсть обчислення до-
сягнуто за рахунок iдентифiкацiї спектральних коефiцiєнтiв, якi видiлено з елементiв
матрицi розсiювання та описано скiнченним рядом незатухаючих комплексних експо-
нент.
Математичною основою для створення нових методiв неруйнiвного контролю та дистанцiй-
ного зондування є теорiя обернених задач [1, 2]. Зокрема, визначення електричних i геоме-
тричних параметрiв об’єктiв здiйснюють непрямими методами на пiдставi розв’язку обер-
нених задач розсiювання для системи рiвнянь Максвелла за результатами багаточастотних
електромагнiтних вимiрювань. Недолiком вiдомих методiв розв’язання одновимiрних обер-
нених задач за допомогою iнтегральних рiвнянь типу Вольтерра [3–5] або за алгоритмом
пошарового зрiзання [6] є необхiднiсть оперування з безмежними послiдовностями дель-
та-функцiй. Оптимiзацiйнi методи [7] втрачають свою ефективнiсть при великiй кiлькостi
невiдомих параметрiв дослiджуваної структури. Тому пошук нових математичних пiдходiв
та конструктивних алгоритмiв для практики неруйнiвного контролю та дiагностики зали-
шається актуальним i є предметом даної роботи.
Особливостi формулювання оберненої задачi. Для плоскошаруватих дiелектри-
чних структур задачу розсiювання можна звести до одновимiрної, де напруженiсть поля e
у довiльнiй точцi z задовольняє хвильове рiвняння
d2e(z)
dz2
+ ω2µ0µε0ε(z)e(z) = 0. (1)
Тут ε0 та µ0 — дiелектрична та магнiтна проникнiсть вакууму.
Вважатимемо, що матерiал кожного шару структури є однорiдним дiелектриком без
втрат. Тодi функцiя ε(z) є кусково-постiйною, а магнiтна проникнiсть µ = 1. За таких умов
розв’язок рiвняння (1) має вигляд
e(z) = aj(ω) exp(−ikj(z − dj)) + bj(ω) exp(ikj(z − dj)), (2)
де kj = ω
√
µ0ε0εj — хвильове число в j-му шарi з дiелектричною проникнiстю εj та тов-
щиною dj ; j = 0, (N − 1) — номер шару в структурi з N таких смуг; aj(ω) та bj(ω) —
коефiцiєнти, що визначають спiввiдношення мiж хвилями частоти ω, якi поширюються
у протилежних напрямах.
З граничних умов задачi, якi є наслiдком вимоги неперервностi тангенцiальних складо-
вих електромагнiтного поля на границях роздiлу дiелектрика, можна встановити взаємо-
зв’язок для коефiцiєнтiв aj(ω) та bj(ω) у рiзних шарах структури. Зокрема, для вiльного
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №10 61
простору, що оточує багатошарову структуру (j = 0 та j = N + 1) i характеризується
хвильовим числом k0 = ω
√
µ0ε0, такий взаємозв’язок має вигляд:
[
a0(ω)
b0(ω)
]
=
N∏
j=0
(
1
2ρj+1
[
(ρj+1+ρj) exp(−ikj+1dj+1) (ρj+1−ρj) exp(ikj+1dj+1)
(ρj+1−ρj) exp(−ikj+1dj+1) (ρj+1+ρj) exp(ikj+1dj+1)
])
×
×
[
aN+1(ω)
bN+1(ω)
]
=
[
A0(ω) B0(ω)
B0(−ω) A0(−ω)
] [
aN+1(ω)
bN+1(ω)
]
, (3)
де ρj =
√
µ0/ε0εj — характеристичний iмпеданс; A0(ω) та B0(ω) — спектральнi коефiцiєн-
ти всiєї структури, якi можна виразити через правостороннiй R(ω) i лiвостороннiй L(ω)
коефiцiєнти вiдбиття, а також через коефiцiєнт проходження T (ω), що складають матрицю
розсiювання:
S(ω) :=
[
R(ω) T (ω)
T (ω) L(ω)
]
=
1
A0(ω)
[
−B0(ω) 1
1 B0(−ω)
]
. (4)
Добуток матриць у виразi (4) свiдчить, що спектральнi коефiцiєнти A0(ω) = 1/T (ω) та
B0(ω) = L(ω)/T (ω) (символ S(ω) = S(−ω) означає комплексно спряжену величину до
S(ω)) є скiнченними сумами комплексних експонент, або скiнченними тригонометрични-
ми рядами.
В загальному випадку спектральнi коефiцiєнти Aj(ω) та Bj(ω) для плоскошаруватої
дiелектричної структури без урахування впливу її перших j шарiв матимуть вигляд:
Aj(ω) :=
Mj∑
p=1
αj(p) exp(iνj(p)ω); (5)
Bj(ω) :=
Mj∑
p=1
βj(p) exp(iνj(p)ω), (6)
де αj(p) та βj(p) — дiйснi коефiцiєнти скiнченних сум; νj(p) — дiйснi коефiцiєнти при ар-
гументах комплексних експонент; Mj — деякий параметр, що залежить вiд кiлькостi шарiв
у структурi та наявностi у нiй шарiв iз однаковою оптичною довжиною lj = dj
√
εj .
У данiй роботi обернену задачу дифракцiї сформульовано як задачу реконструкцiї кус-
ково-постiйної функцiї ε(z) для багатошарового плоского дiелектрика без втрат за кое-
фiцiєнтом вiдбиття L(ω) нормально падаючої плоскої електромагнiтної хвилi, комплекснi
значення якого задано дискретно на обмеженому дiапазонi частот iз певною випадковою
похибкою, що властива результатам експериментальних вимiрювань. Тому метою роботи
є встановлення всiх елементiв матрицi розсiювання за коефiцiєнтом вiдбиття L(ω), що отри-
мують iз експерименту, та розв’язання оберненої задачi дифракцiї на основi параметризо-
ваного подання спектральних коефiцiєнтiв (5), (6), якi видiлено з матрицi розсiювання.
Розв’язання оберненої задачi. Iдентифiкацiя параметрiв M0, α0(p), β0(p) та ν0(p),
p = 1,M0, у скiнченних рядах (5), (6) за значеннями спектральних коефiцiєнтiв A0(ω) =
= 1/T (ω) та B0(ω) = L(ω)/T (ω), заданих на обмеженому дiапазонi частот для дискрет-
ної множини точок ω1, ω2, . . . , ωNm
iз кроком ∆ω, є типовою задачею спектрального ана-
лiзу [8, 9]. Її розв’язок можна одержати або детермiнованим пiдходом за методом пучка
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №10
матрицi [8], або статистичним пiдходом [9], беручи до уваги наявнiсть випадкової складової
у вимiряних даних елементiв матрицi розсiювання. Зауважимо, що перетворення Фур’є має
меншу точнiсть порiвняно з методами високороздiльного спектрального аналiзу для оцiнки
параметрiв моделi (5) та (6).
Розв’язок оберненої задачi полягає у визначеннi дiелектричної проникностi εj та товщи-
ни dj кожного з шарiв структури за оцiнками коефiцiєнтами M̂0, α̂0(p), β̂0(p) та ν̂0(p). Вра-
ховуючи рекурентний характер (3) у взаємозв’язку коефiцiєнтiв розв’язку прямої задачi,
параметри шарiв можна також знайти рекурентно. Для цього у кожному циклi процедури
визначаємо дiелектричну проникнiсть та товщину зовнiшнього шару, а також реконстру-
юємо параметри спектральних коефiцiєнтiв (5) та (6) без врахування цього шару з метою
подальшого аналiзу усiченої структури. Процес обчислення рекурентно повторюємо, поки
Mj > 1. При цьому розв’язок задачi базується на двох твердженнях.
Твердження 1. Значення дiйсних коефiцiєнтiв при експонентах з мiнiмальним ν0(1)
та максимальним ν0(Mj) значеннями аргументiв в сумах (5), (6) спiввiдносяться як
βj(1)
αj(1)
=
αj(Mj)
βj(Mj)
=
(ρj+1 − ρj)
(ρj+1 + ρj)
. (7)
Обгрунтувати це твердження можна безпосередньо на основi виразу (3). Як наслiдок,
дiелектричну проникнiсть зовнiшнього шару ε̂j+1 = µ0/(ε0ρ̂
2
j+1) для усiченої структури
з (N − j) шарiв можна знайти за iмпедансом ρj+1, усереднюючи його оцiнку за двома зна-
ченнями, якi отримано згiдно з тотожностями (7):
ρ̂j+1 =
(
α̂j(1) + β̂j(1)
α̂j(1) − β̂j(1)
+
β̂j(Mj) + α̂j(Mj)
β̂j(Mj)− α̂j(Mj)
)
ρ̂j
2
. (8)
Твердження 2 . Якщо для впорядкованих вiдносно νj(1) < · · · < νj(p) < · · · <
< νj(Mj), p = 1,Mj , значень коефiцiєнтiв αj(p) i βj(p), елементи векторiв α′
j =
= [α′
j(1), α
′
j(2), . . . , α
′
j(Mj)]
T та β′
j = [β′
j(1), β
′
j(2), . . . , β
′
j(Mj)]
T ( [ ]T — транспонування
матрицi) при q = 1,Mj та j = 0, (N − 1) визначено формулою
[
α′
j+1(q)
β′
j+1(q)
]
=
1
2ρj
[
(ρj+1 + ρj) −(ρj+1 − ρj)
−(ρj+1 − ρj) (ρj+1 + ρj)
][
αj(q)
βj(q)
]
, (9)
то в кожному з векторiв α′
j+1 та β′
j+1 буде однакова кiлькiсть Mj+1 ненульових елемен-
тiв, i ця кiлькiсть на загал є меншою, нiж Mj : Mj > Mj+1.
Нехай F := {f1, f2, . . . , fMj+1
} є множиною iндексiв ненульових коефiцiєнтiв α′
j+1(q) 6=
6= 0, q ∈ F у векторi α′
j+1, а G := {g1, g2, . . . , gMj+1
} — множина, для якої β′
j+1(q) 6= 0,
q ∈ G, у векторi β′
j+1. Тодi оптична товщина зовнiшнього шару в усiченiй структурi, що
складається з (N − j) шарiв, дорiвнює
l̂j+1 =
1
2
√
ε0µ0
|ν̂j(fq)− ν̂j(gq)|, ∀ q, q ⊂ [1,Mj ]. (10)
Довести справедливiсть цього твердження можна на основi властивостей обернених ма-
триць у виразi (2). Варто вiдзначити, що наявнi похибки в оцiнках ρ̂j+1 та ρ̂j , а також α̂j(p)
та β̂j(q) спричиняють вiдмiннiсть вiд нуля коефiцiєнтiв α′
j+1(q) та β′
j+1(q), якi насправдi
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №10 63
є нульовими. Тому iдентифiкацiю множин ненульових iндексiв F та G необхiдно здiйсню-
вати, виходячи з умови перевищення коефiцiєнтами певного порогу Σj: |α′
j+1(q)| > Σj та
|β′
j+1(q)| > Σj. Значення порогу Σj можна вибрати у вiдповiдностi до значення середньо-
квадратичного вiдхилення σj+1 випадкової складової у коефiцiєнтах α′
j+1 та β′
j+1 на кожно-
му з циклiв рекурентної процедури. Статистичний аналiз вказує на прийнятнiсть значення
порогу Σj ≈ 1,5σj+1, де
σ2
j+1 =
σ2
j (ρ
2
j+1
+ ρ2j )
2ρ2j
. (11)
Початкове значення наближено можна оцiнити як σ2
0 ≈ σ2
S/Nm, де σ2
S — дисперсiя випад-
кової складової у вимiряних дискретних значеннях коефiцiєнтiв матрицi розсiювання.
Як наслiдок, оцiнку товщини шару з номером (j + 1) отримано усередненням результату
обчислення для всiх пар ν̂j(fq) та ν̂j(gq), q = 1,Mj+1:
d̂j+1 =
1
2
√
ε0µ0ε̂j+1Mj+1
Mj+1∑
q=1
|ν̂j(fq)− ν̂j(gq)|. (12)
Для повторення рекурентної процедури встановлюємо параметри моделi спектральних кое-
фiцiєнтiв для усiченої структури αj+1(p) = α′
j+1(fp), βj+1(p) = β′
j(fp), а також νj+1(p) =
= νj(fp) +
√
ε0µ0lj+1 або νj+1(p) = νj(gp) −
√
ε0µ0lj+1.
Реконструкцiя елементiв матрицi розсiювання.На практицi одночасне визначення
комплексних значень коефiцiєнтiв вiдбиття та пропускання потребує залучення складного
вимiрювального обладнання i прецизiйних методiв його калiбрування. У деяких випадках
вимiрювання коефiцiєнта пропускання є принципово неможливим. Тому важливим є визна-
чення елементiв всiєї матрицi розсiювання (коефiцiєнтiв вiдбиття та пропускання) на основi
вимiряних значень розсiяного поля лише з однiєї сторони вiд дослiджуваної структури.
Використовуючи властивiсть A0(ω)A0(ω)− B0(ω)B0(ω) = 1 спектральних коефiцiєнтiв,
матрицю розсiювання з точнiстю до знака можна визначити через коефiцiєнт вiдбиття L(ω)
та деяку чисто уявну функцiю δ(ω):
S =
[
R(ω) T (ω)
T (ω) L(ω)
]
= ±
−L(ω) exp(−δ(ω))
√
1− |L(ω)|2 exp
(−δ(ω)
2
)
√
1−|L(ω)|2 exp
(−δ(ω)
2
)
L(ω)
. (13)
Отже, сформульовану задачу реконструкцiї елементiв матрицi розсiювання можна зве-
сти до визначення невiдомої функцiї δ(ω), яка встановлюється вiдношенням exp(δ(ω)) :=
= T (ω)/T (ω). Пропонуються два пiдходи до обчислення цiєї функцiї δ(ω) за дискретно ви-
значеними даними про коефiцiєнт вiдбиття L(ω), вимiряний в обмеженому дiапазонi частот.
У першому з них запропоновано вносити надлишкову iнформацiю в задачу шляхом про-
ведення додаткового вимiрювання. При цьому коефiцiєнт вiдбиття L(ω) визначаємо для
шаруватої структури, яка знаходиться у вiльному просторi. Друге вимiрювання спрямова-
не на визначення коефiцiєнта вiдбиття L̃(ω) цiєї ж структури за умови повного вiдбиття
у пiвпросторi, розташованому справа вiд структури. Це забезпечується встановленням пiд-
кладки з безмежною провiднiстю. Задовольняючи граничну умову на iдеально провiднiй
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №10
поверхнi ãN+1(ω) = −b̃N+1(ω), бачимо, що вiдношення амплiтуд хвиль ã0(ω) та b̃0(ω), якi
поширюються у протилежних напрямах, визначає коефiцiєнт вiдбиття L̃(ω):
L̃(ω) :=
b̃0(ω)
ã0(ω)
=
B0(−ω)−A0(−ω)
−B0(ω) +A0(ω)
. (14)
Тодi шукану функцiю δ(ω) отримуємо розгортанням фази аргументу функцiї комплексної
змiнної з областю значень на колi одиничного радiуса:
δ(ω) = i · unwrap
[
arg
(
L(ω)L̃(ω)− 1
L̃(ω)− L(ω)
)]
, (15)
де unwrap[f ] : [−π, π] → C є функцiєю розгортання фази [10].
Другий пiдхiд до знаходження матрицi розсiювання зводиться до задачi реконструкцiї
фази за модулем аналiтичної функцiї [11]. З тотожностi (5) видно, що A0(ω) exp(iων0(M0))
є аналiтичною функцiєю без нулiв у верхнiй пiвплощинi. Таку функцiю можна реконстру-
ювати за її модулем |A0(ω)| = 1/
√
1− |L(ω)|2 згiдно з виразом:
A0(ω) =
1√
1− |L(ω)|2
exp
(
i
π
P
+∞∫
−∞
log |A0(ω
′)|
ω − ω′
dω′ + iωv0(M0)
)
, (16)
де P
∫
dω — головне значення iнтеграла. Звiдси шукану функцiю можна виразити як
δ(ω) =
i
π
∞∑
n=1
cn sin(ϑnω) + iωv0(M0), (17)
де коефiцiєнти cn та ϑn є коефiцiєнтами безмежного зiбжного тригонометричного ряду, яким
записано логарифм у пiдiнтегральнiй функцiї (16) log(A0(ω
′)A0(−ω′)) = c0+
∞∑
n=1
cn cos(ϑnω).
При цьому шукану функцiю δ(ω) можна обчислити з контрольованою точнiстю, беручи
до уваги те, що добуток A0(ω)A0(−ω) є скiнченним рядом комплексних експонент i його
коефiцiєнти визначають значення всiх коефiцiєнтiв cn та ϑn.
Результати чисельного експерименту. Результати моделювання розсiювання пло-
скої хвилi на дiелектричних шаруватих структурах та розв’язання вiдповiдної оберненої
задачi пiдтверджують справедливiсть розроблених теоретичних положень та свiдчать про
дiєвiсть пiдходу до непрямого визначення характеристик таких структур. Як видно з рис. 1,
де подано порiвняння результатiв реконструкцiї чотиришарової структури запропонованим
методом (штрихова лiнiя) та методом пошарового зрiзання [6] (суцiльна лiнiя), точнiсть но-
вого методу є iстотно вищою. Реконструкцiю матрицi розсiювання та розв’язання оберненої
задачi здiйснено за коефiцiєнтами вiдбиття L(ω) та L̃(ω), заданими у смузi частот вiд 20
до 70 ГГц з кроком 50 МГц, а у вихiднi данi введено випадкову складову з дисперсiєю
σ2 = 0,0132.
Запропоноване тут трактування вихiдних даних спростило розв’язання оберненої за-
дачi, дозволивши уникнути необхiдностi знаходження розв’язку iнтегральних рiвнянь ти-
пу Вольтерра, якi прийнято використовувати у вiдомих методах [2–5]. Досягнення високої
точностi значною мiрою зумовлено використанням методiв високороздiльного оцiнювання
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №10 65
Рис. 1. Порiвняння результатiв розв’язання оберненої задачi запропонованим методом (штрихова лiнiя) та
методом пошарового зрiзання (суцiльна лiнiя)
параметрiв скiнченного ряду як моделi спектральних коефiцiєнтiв та вибором порогу для
виявлення значущих коефiцiєнтiв цього ряду. Розвиток iдеї використання скiнченних рядiв
для розв’язання оберненої задачi дозволив уникнути iдентифiкацiї хибних поверхонь роздi-
лу середовищ (штрихова лiнiя на рис. 1), що характерно для методу пошарового зрiзання [6]
(суцiльна лiнiя), який базується на представленнi iмпульсної характеристики структури на
регулярнiй сiтцi. Тому запропонований пiдхiд можна ефективно використати для оброб-
ки результатiв вимiрювання у засобах неруйнiвного контролю дiелектричних матерiалiв та
конструкцiй.
1. Pike R., Sabatier P. Scattering and inverse scattering in pure and applied science. – San Diego: Academic
Press, 2002. – 1831 p.
2. Khruslov E.Ya., Shepelsky D.G. Review article: Inverse scattering method in electromagnetic sounding
theory // Inverse problems. – 1994. – 10, No 1. – P. 1–37.
3. Марченко В.А. Операторы Штурма–Лиувилля и их приложения. – Kиев: Наук. думка, 1977. – 332 с.
4. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной
функции // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1951. – 15, No 4. – С. 309–360.
5. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Точная теория двумерной самофокусировки в одномерной автомодуляции
волн в нелинейных средах // Журн. эксперим. и теор. физики. – 1971. – 61, вып. 1(7). – С. 118–134.
6. Gladwell G.M.L. Inverse problems in scattering: an introduction. – Dordrecht: Kluwer, 1993. – 380 p.
7. Джала В. Р., Капко Л. I. Радiохвильова дiагностика плоскошарових дiелектрикiв на пiдставi розв’яз-
ку оберненої задачi // Фiз.-хiм. механiка матерiалiв. – 2009. – 45, № 3. – С. 117–122.
8. Stoica P., Moses R. Spectral analysis of signals. – Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 2005. – 480 p.
9. Hua Y., Sarkar T.K. Matrix pencil method for estimating parameters of exponentially damped/undamped
sinusoids in noise // IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Processing. – 1990. – 38. – P. 814–824.
10. Tribolet J.M. A new phase unwrapping algorithm // Ibid. – 1977. – 25. – P. 170–177.
11. Klibanov M.V., Sacks P. E., Tikhonravov A.V. The phase retrieval problem // Inverse Problems. – 1995. –
11, No 1. – P. 1–28.
Надiйшло до редакцiї 07.04.2010Фiзико-механiчний iнститут iм. Г.В. Карпенка
НАН України, Львiв
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №10
Academician of the NAS of Ukraine Z.T. Nazarchuk, A.T. Synyavskyy
A solution of the inverse difraction problem by reconstruction of the
scattering matrix in a limited frequency interval
A new method for the determination of both layers’ permittivity and thickness of a plane multilayer
structure is proposed. The reflection coefficient of a plane electromagnetic wave is considered as
initial data in the problem. The developed method is based on the reconstruction of all scattering
matrix elements in a limited frequency interval. A high accuracy of the determination of both
permittivity and thickness is achieved due to the identification of spectral coefficients which are
separated from elements of the scattering matrix. The proposed method gains advantages from the
possibility of represent these spectral coefficients by finite series of undamped complex exponents.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №10 67
|