Об особенностях в законе Фарадея и энергии электромагнитного поля при полигармонических электродвижущих силах
Наведено формули закону Фарадея та енергії для електроланок з полігармонічними вхідними напругами. The formulas for the Faraday law and the energy of electrocircuits in the presence of polyharmonic input voltages are given....
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/30701 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об особенностях в законе Фарадея и энергии электромагнитного поля при полигармонических электродвижущих силах / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2010. — № 10. — С. 77-80. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859913812592820224 |
|---|---|
| author | Божко, А.Е. |
| author_facet | Божко, А.Е. |
| citation_txt | Об особенностях в законе Фарадея и энергии электромагнитного поля при полигармонических электродвижущих силах / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2010. — № 10. — С. 77-80. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Наведено формули закону Фарадея та енергії для електроланок з полігармонічними вхідними напругами.
The formulas for the Faraday law and the energy of electrocircuits in the presence of polyharmonic input voltages are given.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:03:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
10 • 2010
ЕНЕРГЕТИКА
УДК 621.3(075.8)
© 2010
Член-корреспондент НАН Украины А.Е. Божко
Об особенностях в законе Фарадея и энергии
электромагнитного поля при полигармонических
электродвижущих силах
Наведено формули закону Фарадея та енергiї для електроланок з полiгармонiчними вхiд-
ними напругами.
Известно [1, 2], что электродвижущая сила (ЭДС) — U , индуктированная на контуре C,
находящемся в электрическом поле с напряженностью E, может быть выражена в виде
U =
∫
C
Edl. (1)
По теореме Стокса [3],
∫
C
Edl =
∫
S
rotEdS, (2)
где S — поверхность, опирающаяся на контур C.
Согласно закону Фарадея, с учетом (2)
∫
C
Edl =
∫
S
rotEdS = −
∫
S
dB
dt
dS, (3)
где B — вектор магнитной индукции в электромагнитном поле.
Из (3), взяв одни и те же поверхности в левой и правой частях, можно получить
rotE = −
dB
dt
. (4)
Выражения (2)–(4) относятся к случаю одночастотного характера U . В электротехни-
ческой практике встречаются задачи, когда
UΣ(t) =
n
∑
α=1
Uaα sin(ωαt+ ϕα). (5)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №10 77
Здесь Uaα — амплитуда; ωα — круговая частота α-й гармонической составляющей; φα —
начальная фаза (угол) α-й гармоники; t — время.
В (5) под
n
∑
α=1
подразумевается векторная сумма, т. е.
UΣ =
n
∑
α=1
Uα.
Будем считать, что в нашем распоряжении имеется электроцепь, состоящая из актив-
ного (R) и индуктивного (xL) сопротивлений. На входе этой электроцепи приложена поли-
гармоническая (многочастотная) ЭДС в виде (5)
UΣ =
n
∑
α=1
Uα =
∫
C
n
∑
α=1
Eαdl =
n
∑
α=1
∫
C
Eαdl =
n
∑
α=1
∫
S
rotEαdS.
Каждая гармоника
∫
S
rotEαdS пропорциональна изменению S магнитного потока Φ =
= BS во времени (см. (3)). Поэтому справедливо соотношение
n
∑
α=1
∫
S
rotEα = −
n
∑
α=1
∂Bα
∂t
. (6)
Выражение (6) отражает закон Фарадея в дифференциальной форме для случая при-
ложения ко входу электроцепи с индуктивностью полигармонической ЭДС вида (1). Выра-
жение (6) представим в виде проекций векторов Eα и ∂Bα/∂t на оси координат x, y, z,
соответственно.
Известно [3], что
rot a = i
(
∂az
∂y
−
∂ay
∂z
)
+ j
(
∂ax
∂z
−
∂az
∂x
)
+ k
(
∂ay
∂x
−
∂ax
∂y
)
, (7)
где i, j, k — орты осей x, y, z, а
(
∂az
∂y
−
∂ay
∂z
)
,
(
∂ax
∂z
−
∂az
∂x
)
,
(
∂ay
∂x
−
∂ax
∂y
)
— соответственно,
проекции вектора rot a на оси x, y, z. Применим (7) к (6), получим
i
n
∑
α=1
(
∂Eαz
∂y
−
∂Eαy
∂z
)
+ j
n
∑
α=1
(
∂Eαx
∂z
−
∂Eαz
∂x
)
+ k
n
∑
α=1
(
∂Eαy
∂x
−
∂Eαx
∂y
)
=
= i
n
∑
α=1
∂Bαz
∂t
+ j
n
∑
α=1
∂Bαy
∂t
+ k
n
∑
α=1
∂Eαx
∂t
. (8)
Из приведенных выражений ясно, что многочастотная ЭДС UΣ(t) обусловливает, в свою
очередь, суммарную производную по времени магнитной индукции в электроцепи.
Следует заметить, что в данных выражениях учитывался знак согласованного включе-
ния составляющих Uα(t), α = 1, n. Закон Фарадея, являясь обобщающим, справедлив и для
встречных включений Uα(t). В этом случае изменяются знаки в соответствующих левых
и правых частях выражений (7), (8).
78 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №10
Далее рассмотрим энергию электроцепи при ЭДС, описываемой выражением (5).
Известно [2], что удельная энергия электромагнитного поля
WЭМ = WЭ +WM =
εε0E
2
2
+
µµ0H
2
2
, (9)
удельная мощность тепловых потерь
P =
δ2
γ
, (10)
удельная мощность сторонних источников
Pист = δEстор. (11)
Формулы (9)–(11) справедливы как для стационарных полей, так и для мгновенных
значений векторов электромагнитного поля. Эти формулы соответствуют одной ЭДС Uα
на входе электроцепи. Для полигармонической ЭДС формулы удельных энергий будут сле-
дующими:
WЭМΣ = WЭΣ +WMΣ =
εε0
2
(
n
∑
α=1
Eα
)2
+
µµ0
2
(
n
∑
α=1
Hα
)2
, (12)
PΣ =
1
γ
n
∑
α=1
δ2α +∆P . (13)
Формулу (11) можно оставить прежней или будем считать, что сторонние источники
отсутствуют. Тогда Pи. стор = 0. В выражении (13) поставлено слагаемое ∆P . Это связано
с тем, что в (12) при возведении в квадрат сумм
(
n
∑
α=1
Eα
)2
,
(
n
∑
α=1
Hα
)2
, кроме собственных
энергий, будут энергии взаимодействия между гармоническими составляющими Eα, Hα,
α = 1, n, и Em, Hm, m = 1, n, α 6= m, которые создадут дополнительные токи в элект-
роцепи и соответственно дополнительные плотности токов δαm. Чтобы убедится в этом,
раскроем (12), возведя в квадрат составляющие левой части (12). В результате получим
WЭМΣ =
εε0
2
(
n
∑
α=1
Eα
)2
+ 2
C2
n
∑
α=1
m=1
α6=m
EαEm
+
µµ0
2
(
n
∑
α=1
Hα
)2
+ 2
C2
n
∑
α=1
m=1
α6=m
HαHm
, (14)
откуда видно, что выражения 2
C2
n
∑
α=1
m=1
α6=m
EαEm, 2
C2
n
∑
α=1
m=1
α6=m
HαHm определяют в (13) величину ∆P .
Заметим, что 2
C2
n
∑
α=1
m=1
α6=m
HαHm может фигурировать в законе полного тока [1] и тогда понят-
но, что напряженности магнитного поля Hα, Hm, α 6= m обусловливают в электроцепи
дополнительные токи.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №10 79
Таким образом, в результате данного исследования показано, что при полигармоничес-
ком напряжении на входе электроцепи закон Фарадея содержит в себе векторные суммы
rotEα и ∂Bα/∂t, α = 1, n. Здесь представлен закон Фарадея с учетом векторных сумм
в проекциях на координатные оси x, y, z. Также показано, что удельная энергия электро-
магнитного поля электроцепи с полигармоническим входным напряжением равна не только
собственным электрической и магнитной энергиям H0, но и взаимным энергиям εε0EαEm,
µµ0HαHm, α = 1, m, которые обусловливают появление дополнительных токов в электро-
цепи.
1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле. – Москва: Высш. шк.,
1978. – 232 с.
2. Даревский А.И., Кухаркин Е.С. Теоретические основы электротехники. Ч. II. Основы электромаг-
нитного поля / Под ред. проф. П.А. Ионкина. – Москва: Высш. шк., 1965. – 284 с.
3. Андре Анго. Математика для электро- и радиоинженеров. – Москва: Наука, 1965. – 780 с.
Поступило в редакцию 25.05.2009Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
Corresponding Member of the NAS of Ukraine A.E. Bozhko
On specific features in the Faraday law and the electromagnetic field
energy in the presence of polyharmonic electromotive forces
The formulas for the Faraday law and the energy of electrocircuits in the presence of polyharmonic
input voltages are given.
80 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №10
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-30701 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:03:46Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Божко, А.Е. 2012-02-12T08:52:23Z 2012-02-12T08:52:23Z 2010 Об особенностях в законе Фарадея и энергии электромагнитного поля при полигармонических электродвижущих силах / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2010. — № 10. — С. 77-80. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/30701 621.3(075.8) Наведено формули закону Фарадея та енергії для електроланок з полігармонічними вхідними напругами. The formulas for the Faraday law and the energy of electrocircuits in the presence of polyharmonic input voltages are given. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Енергетика Об особенностях в законе Фарадея и энергии электромагнитного поля при полигармонических электродвижущих силах On specific features in the Faraday law and the electromagnetic field energy in the presence of polyharmonic electromotive forces Article published earlier |
| spellingShingle | Об особенностях в законе Фарадея и энергии электромагнитного поля при полигармонических электродвижущих силах Божко, А.Е. Енергетика |
| title | Об особенностях в законе Фарадея и энергии электромагнитного поля при полигармонических электродвижущих силах |
| title_alt | On specific features in the Faraday law and the electromagnetic field energy in the presence of polyharmonic electromotive forces |
| title_full | Об особенностях в законе Фарадея и энергии электромагнитного поля при полигармонических электродвижущих силах |
| title_fullStr | Об особенностях в законе Фарадея и энергии электромагнитного поля при полигармонических электродвижущих силах |
| title_full_unstemmed | Об особенностях в законе Фарадея и энергии электромагнитного поля при полигармонических электродвижущих силах |
| title_short | Об особенностях в законе Фарадея и энергии электромагнитного поля при полигармонических электродвижущих силах |
| title_sort | об особенностях в законе фарадея и энергии электромагнитного поля при полигармонических электродвижущих силах |
| topic | Енергетика |
| topic_facet | Енергетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/30701 |
| work_keys_str_mv | AT božkoae obosobennostâhvzakonefaradeâiénergiiélektromagnitnogopolâpripoligarmoničeskihélektrodvižuŝihsilah AT božkoae onspecificfeaturesinthefaradaylawandtheelectromagneticfieldenergyinthepresenceofpolyharmonicelectromotiveforces |