Про коректну розв'язність параболічних початкових задач Солонникова–Ейдельмана в узагальнених просторах Соболєва
Розглядаються означені авторами початкові задачі, які є узагальненнями початкових задач для параболічних за Солонниковим систем і задачі Коші для систем, параболічних у сенсі Ейдельмана. За певних припущень щодо параметрів, які визначають порядки диференціальних виразів з рівнянь системи та початков...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/30710 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про коректну розв'язність параболічних початкових задач Солонникова–Ейдельмана в узагальнених просторах Соболєва / С.Д. Iвасишен, Г.П. Iвасюк // Доп. НАН України. — 2010. — № 10. — С. 14-17. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859988660455211008 |
|---|---|
| author | Івасишен, С.Д. Івасюк, Г.П. |
| author_facet | Івасишен, С.Д. Івасюк, Г.П. |
| citation_txt | Про коректну розв'язність параболічних початкових задач Солонникова–Ейдельмана в узагальнених просторах Соболєва / С.Д. Iвасишен, Г.П. Iвасюк // Доп. НАН України. — 2010. — № 10. — С. 14-17. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Розглядаються означені авторами початкові задачі, які є узагальненнями початкових задач для параболічних за Солонниковим систем і задачі Коші для систем, параболічних у сенсі Ейдельмана. За певних припущень щодо параметрів, які визначають порядки диференціальних виразів з рівнянь системи та початкових умов, установлена теорема про коректну розв'язність таких початкових задач в узагальнених просторах Соболєва.
The initial problems which are generalizations of those for Solonnikov-parabolic systems and of the Cauchy problem for the systems which are parabolic in the Eidelman sense are considered. Under special assumptions on parameters which define the orders of differential expressions from the equations of the system and initial values, the theorem on the correct solvability of such initial problems in generalized Sobolev spaces is established.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:30:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956.4
© 2010
С.Д. Iвасишен, Г. П. Iвасюк
Про коректну розв’язнiсть параболiчних початкових
задач Солонникова–Ейдельмана в узагальнених
просторах Соболєва
(Представлено членом-кореспондентом НАН України України М.Л. Горбачуком)
Розглядаються означенi авторами початковi задачi, якi є узагальненнями початкових
задач для параболiчних за Солонниковим систем i задачi Кошi для систем, параболiчних
у сенсi Ейдельмана. За певних припущень щодо параметрiв, якi визначають порядки
диференцiальних виразiв з рiвнянь системи та початкових умов, установлена теорема
про коректну розв’язнiсть таких початкових задач в узагальнених просторах Соболєва.
У працях авторiв [1–3] означено клас систем диференцiальних рiвнянь iз частинними по-
хiдними, якi природно узагальнюють параболiчнi за Солонниковим системи [4] i системи,
параболiчнi в сенсi Ейдельмана [5], сформульовано початковi задачi для таких систем (їх
названо параболiчними початковими задачами Солонникова–Ейдельмана) та доведено тео-
реми про коректну розв’язнiсть цих задач у просторах Гельдера швидкозростаючих фун-
кцiй i точнi оцiнки їх розв’язкiв.
У даному повiдомленнi для одного вужчого класу параболiчних початкових задач Со-
лонникова–Ейдельмана наводиться теорема про їх коректну розв’язнiсть у вiдповiдних уза-
гальнених просторах Соболєва.
1. Нехай, як i в [1–3], n, N , b1, . . . , bn — заданi натуральнi числа, b — найменше спiльне
кратне чисел b1, . . . , bn; m := (m1, . . . ,mn), m0 := 2b, mj := 2b/(2bj), j ∈ {1, . . . , n}; ‖α‖ :=
=
n
∑
j=0
mjαj , якщо α := (α0, α1, . . . , αn) ∈ Z
n+1
+ ; ‖α‖ :=
n
∑
j=1
mjαj, якщо α := (α1, . . . , αn) ∈
∈ Z
n
+; i — уявна одиниця; A(t, x, ∂t, ∂x) := (Akj(t, x, ∂t, ∂x))
N
k,j=1; u := col(u1, . . . , uN ), f :=
= col(f1, . . . , fN ) — невiдома та задана вектор-функцiї; ΠT := {(t, x) ∈ R
n+1 | t ∈ [0;T ], x ∈
∈ R
n}, T — задане додатне число.
Припустимо, що iснують такi цiлi числа sk i tj, що max
k∈{1,...,N}
sk = 0, степiнь вiдносно λ
многочлена Akj(t, x, pλ
m0 , iσλm), σλm := (σ1λ
m1 , . . . , σnλ
mn), не перевищує sk + tj (якщо
sk + tj < 0, то Akj := 0) i
N
∑
k=1
(sk + tk) = 2br, де r — степiнь detA(t, x, p, iσ) як много-
члена вiд p. Нехай A0 := (A0
kj)
N
k,j=1 — головна частина A, тобто A0
kj(t, x, pλ
m0 , iσλm) =
= λsk+tjA0
kj(t, x, p, iσ).
Будемо розглядати систему рiвнянь
A(t, x, ∂t, ∂x)u(t, x) = f(t, x), (t, x) ∈ ΠT , (1)
для якої виконується умова
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №10
A) sk = 2bs′k, tj = 2bt′j, {k, j} ⊂ {1, . . . , N}, де s′k i t′j — цiлi числа; iснує така стала
δ > 0, що для будь-яких (t, x) ∈ ΠT i σ ∈ R
n p-коренi рiвняння detA0(t, x, p, iσ) = 0
задовольняють нерiвнiсть
Re p(t, x, σ) 6 −δ
n
∑
j=1
σ
2bj
j .
Нехай B(x, ∂t, ∂x) := (Bkj(x, ∂t, ∂x))
r,N
k=1,j=1 — матричний диференцiальний вираз, ϕ =
= col(ϕ1, . . . , ϕr) — задана вектор-функцiя. Припустимо, що iснують такi цiлi числа pk, що
степiнь вiдносно λ многочлена Bkj(x, pλ
m0 , iσλm) не перевищує pk + tj, а якщо pk + tj < 0,
то Bkj := 0.
Початковi умови для системи (1) задаються у виглядi
B(x, ∂t, ∂x)u(t, x)
∣
∣
t=0
= ϕ(x), x ∈ R
n, (2)
де матричний диференцiальний вираз B задовольняє умову
B) pk = 2bp′k, k ∈ {1, . . . , r}, де p′k — цiлi числа; iснує така стала δ1 > 0, що для всiх
матриць H(p′) (їх означення див. у [1, 6]) i точок x ∈ R
n справджується нерiвнiсть
|detH(p′)(x)| > δ1.
Задача (1), (2), для якої виконуються умови A i B , називається параболiчною початко-
вою задачею Солонникова–Ейдельмана для випадку, коли sk, tj i pk дiляться на 2b.
2. Наведемо означення потрiбних функцiональних просторiв. Нехай l — невiд’ємне цiле
число, кратне 2b, s — додатне число i число p > 1.
Через W l
p(ΠT ) позначимо замикання множини гладких i фiнiтних за x функцiй u : ΠT →
→ C за нормою
‖u‖ΠT
p,l :=
∑
‖α‖6l
〈∂α
t,xu〉
ΠT
p,0 ,
де
〈u〉ΠT
p,0 :=
(
∫
ΠT
|u(t, x)|pdtdx
)1/p
.
Диференцiальнi властивостi “слiдiв” при t = τ функцiй iз простору W l
p(ΠT ) описуються
в термiнах простору Bs
p(R
n), який означується як замикання множини гладких i фiнiтних
функцiй v : Rn → C за нормою
‖v‖R
n
p,s :=
∑
‖α‖<s
(
∫
Rn
|∂α
x v(x)|
pdtdx
)1/p
+ [v]R
n
p,s,
де
[v]R
n
p,s :=
n
∑
j=1
∑
06s−‖α‖<mj
(
∫
Rn
dx
∫
R
|∆
yj
xj∂
α
x v(x)|
p
|xj − yj|1+p(s−‖α‖)/mj
dyj
)1/p
,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №10 15
якщо s — дробове число, i
[v]R
n
p,s :=
n
∑
j=1
∑
‖α‖=s−1
(
∫
Rn
dx
∫
R
|(∆2)
yj
xj∂
α
x v(x)|
p
|xj − yj|1+p
dyj
)1/p
,
якщо s є цiлим числом. Тут
∆
yj
xjf(x) := f(x)− f(x(yj)), (∆2)
yj
xjf(x) := f(x)− 2f
(
x
(
xj + yj
2
))
+ f(x(yj)),
де x(yj) := (x1, . . . , xj−1, yj, xj+1, . . . , xn), j ∈ {1, . . . , n}.
Множину елементiв u ∈ W l
p(ΠT ), якi задовольняють нульовi початковi умови
∂j
t u
∣
∣
t=0
= 0, j ∈
{
0, 1, . . . ,
l
2b
− 1
}
,
назвемо простором
◦
W
p
l (ΠT ).
Через
N
∏
j=1
W
lj
p (ΠT ),
N
∏
j=1
◦
W
lj
p (ΠT ),
r
∏
j=1
B
rj
p (Rn)
позначатимемо декартовi добутки вiдповiдних просторiв з цiлими невiд’ємними iндекса-
ми lj, кратними 2b, i додатними iндексами rj.
Для дробового додатного числа s користуватимемось просторами Гельдера обмежених
функцiй Cs(R
n), означених у [3].
3. Сформулюємо основну теорему цiєї роботи.
Теорема 1. Нехай l — невiд’ємне цiле число, кратне 2b; виконуються умови A i B;
коефiцiєнти диференцiальних виразiв Akj , {k, j} ⊂ {1, . . . , N}, мають неперервнi та обме-
женi похiднi узагальненого порядку l − sk, а коефiцiєнти диференцiальних виразiв Bkj,
k ∈ {1, . . . , r}, j ∈ {1, . . . , N}, належать до просторiв Cl−pk−2b/p+ε(R
n), де ε — досить
мале додатне число. Тодi для будь-яких f ∈
N
∏
j=1
W
l−sj
p (ΠT ) i ϕ ∈
r
∏
j=1
B
l−pj−2b/p
p (Rn) iснує
єдиний розв’язок u ∈
N
∏
j=1
W
l+tj
p (ΠT ) задачi (1), (2), для якого справджується оцiнка
N
∑
j=1
‖uj‖
ΠT
p,l+tj
6 C
(
N
∑
j=1
‖fj‖
ΠT
p,l−sj
+
r
∑
j=1
‖ϕj‖
R
n
p,l−pj−2b/p
)
,
в якiй стала C залежить тiльки вiд вiдповiдних норм коефiцiєнтiв задачi, сталих δ i δ1
з умов А i B та чисел n, N , bj, tj, sk, pk, l i T .
Доведення теореми 1 проводиться за схемою доведення в [6] вiдповiдної теореми для
крайових задач для параболiчних за Солонниковим систем та доведення в [3] теореми 1
для параболiчних початкових задач Солонникова–Ейдельмана в просторах Гельдера. Цен-
тральним моментом доведення є вивчення такої задачi з нульовими початковими даними
в шарi Πτ малої товщини τ > 0:
A(t, x, ∂t, ∂x)v(t, x) = g(t, x), (t, x) ∈ Πτ , (3)
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №10
v ∈
N
∏
j=1
◦
W
l+tj
p (Πτ ),
де g ∈
N
∏
j=1
◦
W
l−sj
p (Πτ ). Для цiєї задачi доводиться така теорема.
Теорема 2. Нехай виконуються умови теореми 1. Тодi iснує таке число τ0 > 0, що
для будь-якого τ ∈ (0, τ0] задача (3) однозначно розв’язна i для її розв’язку справджується
нерiвнiсть
N
∑
j=1
‖vj‖
Πτ
p,l+tj
6 C
N
∑
j=1
‖gj‖
Πτ
p,l−sj
,
в якiй стала C залишається обмеженою при τ → 0.
Доведення теореми 2 грунтується на побудовi та детальному дослiдженнi властивостей
регуляризатора задачi (3). Регуляризатор будується за допомогою операторiв, якi розв’я-
зують вiдповiднi модельнi задачi. Останнi попередньо детально дослiджуються.
1. Iвасишен С.Д., Iвасюк Г.П. Параболiчнi за Солонниковим системи квазiоднорiдної структури //
Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 11. – С. 1501–1510.
2. Iвасишен С.Д., Iвасюк Г.П. Початковi задачi для параболiчних систем Солонникова–Ейдельмана //
Доп. НАН України. – 2007. – № 9. – С. 7–11.
3. Iвасишен С.Д., Iвасюк Г.П. Коректна розв’язнiсть параболiчних початкових задач Солонникова-
Ейдельмана // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 5. – С. 650–671.
4. Солонников В.А. О краевых задачах для общих параболических систем // Докл. АН СССР. – 1964. –
157, № 1. – С. 56–59.
5. Эйдельман С.Д. Об одном классе параболических систем // Там же. – 1960. – 133, № 1. – С. 40–43.
6. Солонников В.А. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных урав-
нений общего вида // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1965. – 83. – С. 3–163.
Надiйшло до редакцiї 15.02.2010НТУ України “Київський полiтехнiчний iнститут”
Чернiвецький нацiональний унiверситет
iм. Юрiя Федьковича
S.D. Ivasyshen, G.P. Ivasyuk
On the correct solvability of parabolic initial problems of
Solonnikov–Eidelman in generalized Sobolev spaces
The initial problems which are generalizations of those for Solonnikov-parabolic systems and of
the Cauchy problem for the systems which are parabolic in the Eidelman sense are considered.
Under special assumptions on parameters which define the orders of differential expressions from
the equations of the system and initial values, the theorem on the correct solvability of such initial
problems in generalized Sobolev spaces is established.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №10 17
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-30710 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:30:12Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Івасишен, С.Д. Івасюк, Г.П. 2012-02-12T09:22:03Z 2012-02-12T09:22:03Z 2010 Про коректну розв'язність параболічних початкових задач Солонникова–Ейдельмана в узагальнених просторах Соболєва / С.Д. Iвасишен, Г.П. Iвасюк // Доп. НАН України. — 2010. — № 10. — С. 14-17. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/30710 517.956.4 Розглядаються означені авторами початкові задачі, які є узагальненнями початкових задач для параболічних за Солонниковим систем і задачі Коші для систем, параболічних у сенсі Ейдельмана. За певних припущень щодо параметрів, які визначають порядки диференціальних виразів з рівнянь системи та початкових умов, установлена теорема про коректну розв'язність таких початкових задач в узагальнених просторах Соболєва. The initial problems which are generalizations of those for Solonnikov-parabolic systems and of the Cauchy problem for the systems which are parabolic in the Eidelman sense are considered. Under special assumptions on parameters which define the orders of differential expressions from the equations of the system and initial values, the theorem on the correct solvability of such initial problems in generalized Sobolev spaces is established. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Про коректну розв'язність параболічних початкових задач Солонникова–Ейдельмана в узагальнених просторах Соболєва On the correct solvability of parabolic initial problems of Solonnikov–Eidelman in generalized Sobolev spaces Article published earlier |
| spellingShingle | Про коректну розв'язність параболічних початкових задач Солонникова–Ейдельмана в узагальнених просторах Соболєва Івасишен, С.Д. Івасюк, Г.П. Математика |
| title | Про коректну розв'язність параболічних початкових задач Солонникова–Ейдельмана в узагальнених просторах Соболєва |
| title_alt | On the correct solvability of parabolic initial problems of Solonnikov–Eidelman in generalized Sobolev spaces |
| title_full | Про коректну розв'язність параболічних початкових задач Солонникова–Ейдельмана в узагальнених просторах Соболєва |
| title_fullStr | Про коректну розв'язність параболічних початкових задач Солонникова–Ейдельмана в узагальнених просторах Соболєва |
| title_full_unstemmed | Про коректну розв'язність параболічних початкових задач Солонникова–Ейдельмана в узагальнених просторах Соболєва |
| title_short | Про коректну розв'язність параболічних початкових задач Солонникова–Ейдельмана в узагальнених просторах Соболєва |
| title_sort | про коректну розв'язність параболічних початкових задач солонникова–ейдельмана в узагальнених просторах соболєва |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/30710 |
| work_keys_str_mv | AT ívasišensd prokorektnurozvâznístʹparabolíčnihpočatkovihzadačsolonnikovaeidelʹmanavuzagalʹnenihprostorahsobolêva AT ívasûkgp prokorektnurozvâznístʹparabolíčnihpočatkovihzadačsolonnikovaeidelʹmanavuzagalʹnenihprostorahsobolêva AT ívasišensd onthecorrectsolvabilityofparabolicinitialproblemsofsolonnikoveidelmaningeneralizedsobolevspaces AT ívasûkgp onthecorrectsolvabilityofparabolicinitialproblemsofsolonnikoveidelmaningeneralizedsobolevspaces |