Властивості 2π-періодичного розв'язку крайової задачі
Вперше у спеціально виділеному класі функцій побудовано оператор, який переводить клас 2π-періодичних функцій самого в себе, і вивчено його властивості. For the first time in a special function class, an operator which transforms a class of 2π-periodic functions into itself is constructed. Propertie...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/30718 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Властивості 2π-періодичного розв'язку крайової задачі / А.М. Самойленко, Н.Г. Хома, С.Г. Хома-Могильська // Доп. НАН України. — 2010. — № 10. — С. 18-21. — Бібліогр.: 1 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860260409448071168 |
|---|---|
| author | Самойленко, А.М. Хома, Н.Г. Хома-Могильська, С.Г. |
| author_facet | Самойленко, А.М. Хома, Н.Г. Хома-Могильська, С.Г. |
| citation_txt | Властивості 2π-періодичного розв'язку крайової задачі / А.М. Самойленко, Н.Г. Хома, С.Г. Хома-Могильська // Доп. НАН України. — 2010. — № 10. — С. 18-21. — Бібліогр.: 1 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Вперше у спеціально виділеному класі функцій побудовано оператор, який переводить клас 2π-періодичних функцій самого в себе, і вивчено його властивості.
For the first time in a special function class, an operator which transforms a class of 2π-periodic functions into itself is constructed. Properties of this operator are studied.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:54:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.944
© 2010
Академiк НАН України А.М. Самойленко, Н. Г. Хома,
С. Г. Хома-Могильська
Властивостi 2π-перiодичного розв’язку крайової задачi
Вперше у спецiально видiленому класi функцiй побудовано оператор, який переводить
клас 2π-перiодичних функцiй самого в себе, i вивчено його властивостi.
У попереднiй роботi [1] нами визначено оператор P , який переводить клас функцiй f(x, t) ∈
∈ Q−
2π×2π
⋂
C(R2), де Q−
2π×2π = {f : f(x, t) = −f(−x, t) = f(x+2π, t) = f(x, t+2π)}, у цей же
клас.
У данiй роботi доведемо, якому диференцiальному рiвнянню задовольняє функцiя
v(x, t) = (PF [v, vt, vx])(x, t) ≡
1
2
t+x∫
t−x
µ(α)dα +
+
1
2
t∫
0
( x+t−τ∫
x−t+τ
F [v, vt, vx](ξ, τ) dξ −
1
2π
2π∫
0
ds
x+t−s∫
x−t+s
F [v, vt, vx](ξ, s) dξ
)
dτ =
= z(x, t) + (P0F [v, vt, vx])(x, t) (1)
i деякi допомiжнi оцiнки, необхiднi для доведення теореми iснування розв’язку квазiлiнiйної
крайової 2π-перiодичної задачi.
Теорема. Нехай для кожної функцiї v(x, t)∈Q−
2π×2π
⋂
C2(R2) функцiя F [v, vt, vx](x, t) =
= f(x, t, v(x, t), vt(x, t), vx(x, t))∈Q−
2π×2π
⋂
C1(R2). Тодi функцiя v(x, t) = (PF [v, vt, vx])(x, t),
визначена формулою (1), є 2π-перiодичним розв’язком такої крайової перiодичної задачi:
vtt − vxx = F [v, vt, vx](x, t) −
−
1
2π
2π∫
0
(F [v, vt, vx](x+ t− s, s) + F [v, vt, vx](x− t+ s, s)) ds, (2)
v(0, t) = v(π, t) = 0, (3)
v(x, t+ 2π) = v(x, t), (x, t) ∈ R
2. (4)
Доведення. Те, що функцiя v(x, t), визначена iнтегральним рiвнянням (1), задовольняє
умови (3) i (4), доведено у роботi [1]. Тепер доведемо виконання рiвностi (2). На основi
визначення функцiї v(x, t) обчислимо похiднi другого порядку vtt i vxx. Маємо
vt(x, t) =
1
2
(µ(t+ x)− µ(t− x))−
1
4π
2π∫
0
ds
x+t−s∫
x−t+s
F [v, vt, vx](ξ, s) dξ +
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №10
+
1
2
t∫
0
(
F [v, vt, vx](x+ t− τ, τ) + F [v, vt, vx](x− t+ τ, τ)−
−
1
2π
2π∫
0
(F [v, vt, vx](x+ t− s, s) + F [v, vt, vx](x− t+ s, s)) ds
)
dτ ;
vtt(x, t) =
1
2
(
∂µ(t+ x)
∂(t+ x)
−
∂µ(t− x)
∂(t− x)
)
−
−
1
4π
2π∫
0
(F [v, vt, vx](x+ t− s, s) + F [v, vt, vx](x+ t− s, s)) ds +
+
1
2
t∫
0
(
∂F [v, vt, vx](x+ t− τ, τ)
∂(x+ t− τ)
−
∂F [v, vt, vx](x− t+ τ, τ)
∂(x− t+ τ)
−
−
1
2π
2π∫
0
(
∂F [v, vt, vx](x+ t− s, s)
∂(x+ t− s)
−
∂F [v, vt, vx](x− t+ s, s)
∂(x− t+ s)
)
ds
)
dτ +
+
1
2
(F [v, vt, vx](x, t) + F [v, vt, vx](x, t)) −
−
1
4π
2π∫
0
(F [v, vt, vx](x+ t− s, s) + F [v, vt, vx](x− t+ s, s)) ds
або
vtt(x, t) =
1
2
(
∂µ(t+ x)
∂(t+ x)
−
∂µ(t− x)
∂(t− x)
)
+ F [v, vt, vx](x, t)−
−
1
2π
2π∫
0
(F [v, vt, vx](x+ t− s, s) + F [v, vt, vx](x− t+ s, s)) ds +
+
1
2
t∫
0
(
∂F [v, vt, vx](x+ t− τ, τ)
∂(x+ t− τ)
−
∂F [v, vt, vx](x− t+ τ, τ)
∂(x− t+ τ)
−
−
1
2π
2π∫
0
(
∂F [v, vt, vx](x+ t− s, s)
∂(x+ t− s)
−
∂F [v, vt, vx](x− t+ s, s)
∂(x− t+ s)
)
ds
)
dτ ; (5)
vx(x, t) =
1
2
(µ(t+x)+µ(t−x))+
1
2
t∫
0
(
F [v, vt, vx](x+t−τ, τ)−F [v, vt, vx](x−t+τ, τ)−
−
1
2π
2π∫
0
(F [v, vt, vx](x+ t− s, s)− F [v, vt, vx](x− t+ s, s)) ds
)
dτ ;
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №10 19
vxx(x, t) =
1
2
(
∂µ(t+ x)
∂(t+ x)
−
∂µ(t− x)
∂(t− x)
)
+
+
1
2
t∫
0
(
∂F [v, vt, vx](x+ t− τ, τ)
∂(x+ t− τ)
−
∂F [v, vt, vx](x− t+ τ, τ)
∂(x− t+ τ)
−
−
1
2π
2π∫
0
(
∂F [v, vt, vx](x+ t− s, s)
∂(x+ t− s)
−
∂F [v, vt, vx](x− t+ s, s)
∂(x− t+ s)
)
ds
)
dτ. (6)
На основi рiвностей (5) i (6) знаходимо
vtt − vxx = F [v, vt, vx](x, t)−
1
2π
2π∫
0
(F [v, vt, vx](x+ t− s, s) + F [v, vt, vx](x− t+ s, s)) ds,
що треба було довести.
Тепер доведемо ряд оцiнок, потрiбних при доведеннi теореми iснування розв’язку кра-
йової перiодичної задачi (2)–(4).
Лема 1. Нехай f(x, t) — неперервна на прямокутнику Π2π = {0 6 x 6 2π, 0 6 t 6 2π}
функцiя. Тодi для ядра
K(x, t, τ) =
x+t−τ∫
x−t+τ
f(ξ, τ) dξ (7)
оператора Даламбера
(P̃0f)(x, t) =
1
2
t∫
0
dτ
x+t−τ∫
x−t+τ
f(ξ, τ) dξ (8)
справедлива оцiнка
|K(x, t, τ)| 6 M0|t− τ |,
де M0 = max
(x,t)∈Π2π
|f(x, t)|.
Лема 2. Нехай f(x, t) — неперервна на прямокутнику Π2π функцiя. Тодi
∣∣∣∣∣
t∫
0
(
K(x, t, τ)−
1
2π
2π∫
0
K(x, t, s) ds
)
dτ
∣∣∣∣∣6
1
2
(2πt− t2)M0 ≡
M0
2
β1(t),
де β1(t) = 2πt − t2, причому β1(t) 6 π2 ∀ t ∈ [0, 2π].
Доведення. Враховуючи твердження леми 1, маємо
∣∣∣∣∣
t∫
0
(
K(x, t, τ)−
1
2π
2π∫
0
K(x, t, s) ds
)
dτ
∣∣∣∣∣=
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №10
=
∣∣∣∣∣
t∫
0
(
K(x, t, τ)−
1
2π
t∫
0
K(x, t, s) ds −
1
2π
2π∫
t
K(x, t, s) ds
)
dτ
∣∣∣∣∣=
=
∣∣∣∣∣
t∫
0
K(x, t, τ) dτ −
t
2π
t∫
0
K(x, t, s) ds−
t
2π
2π∫
t
K(x, t, s) ds
∣∣∣∣∣6
6
∣∣∣∣∣
(
1−
t
2π
) t∫
0
|K(x, t, τ)|dτ
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣
t
2π
2π∫
t
|K(x, t, s)|ds
∣∣∣∣∣6
6
(
1−
t
2π
)
M0
t∫
0
∣∣∣t− τ
∣∣∣dτ +
∣∣∣
M0t
2π
2π∫
t
∣∣∣t− s
∣∣∣ds =
=
M0
2
(
1−
t
2π
)
(−(t− τ)2)
∣∣∣
t
0
+
M0t
4π
(s− t)2
∣∣∣
2π
t
=
M0
2
(
1−
t
2π
)
t2 +
M0t
4π
(2π − t)2 =
=
M0
4π
((2π − t)t2 + t(2π − t)2) =
M0
4π
(2πt2 − t3 + 4π2t− 4πt2 + t3) =
=
M0
4π
(4π2t− 2πt2) =
M0
2
(2πt− t2) ≡
M0
2
β1(t),
що треба було довести.
1. Самойленко А.М., Хома-Могильська С. Г. Аналiтичний метод вiдшукання 2π-перiодичних розв’язкiв
гiперболiчних рiвнянь другого порядку // Доп. НАН України. – 2010. – № 4. – С. 25–29.
Надiйшло до редакцiї 23.02.2010Iнститут математики НАН України, Київ
Тернопiльський нацiональний економiчний унiверситет
Academician of the NAS of Ukraine A.M. Samoilenko, N.H. Khoma,
S.H. Khoma-Mohylska
Properties of a 2π-periodic solution of the boundary-value problem
For the first time in a special function class, an operator which transforms a class of 2π-periodic
functions into itself is constructed. Properties of this operator are studied.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №10 21
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-30718 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:54:53Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Самойленко, А.М. Хома, Н.Г. Хома-Могильська, С.Г. 2012-02-12T09:33:32Z 2012-02-12T09:33:32Z 2010 Властивості 2π-періодичного розв'язку крайової задачі / А.М. Самойленко, Н.Г. Хома, С.Г. Хома-Могильська // Доп. НАН України. — 2010. — № 10. — С. 18-21. — Бібліогр.: 1 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/30718 517.944 Вперше у спеціально виділеному класі функцій побудовано оператор, який переводить клас 2π-періодичних функцій самого в себе, і вивчено його властивості. For the first time in a special function class, an operator which transforms a class of 2π-periodic functions into itself is constructed. Properties of this operator are studied. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Властивості 2π-періодичного розв'язку крайової задачі Properties of a 2π-periodic solution of the boundary-value problem Article published earlier |
| spellingShingle | Властивості 2π-періодичного розв'язку крайової задачі Самойленко, А.М. Хома, Н.Г. Хома-Могильська, С.Г. Математика |
| title | Властивості 2π-періодичного розв'язку крайової задачі |
| title_alt | Properties of a 2π-periodic solution of the boundary-value problem |
| title_full | Властивості 2π-періодичного розв'язку крайової задачі |
| title_fullStr | Властивості 2π-періодичного розв'язку крайової задачі |
| title_full_unstemmed | Властивості 2π-періодичного розв'язку крайової задачі |
| title_short | Властивості 2π-періодичного розв'язку крайової задачі |
| title_sort | властивості 2π-періодичного розв'язку крайової задачі |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/30718 |
| work_keys_str_mv | AT samoilenkoam vlastivostí2πperíodičnogorozvâzkukraiovoízadačí AT homang vlastivostí2πperíodičnogorozvâzkukraiovoízadačí AT homamogilʹsʹkasg vlastivostí2πperíodičnogorozvâzkukraiovoízadačí AT samoilenkoam propertiesofa2πperiodicsolutionoftheboundaryvalueproblem AT homang propertiesofa2πperiodicsolutionoftheboundaryvalueproblem AT homamogilʹsʹkasg propertiesofa2πperiodicsolutionoftheboundaryvalueproblem |