Приближенный анализ пространственной конвективной задачи Стефана
Досліджено просторову задачу Стефана з урахуванням конвективних рухів і домішок у рідинній фазі. Доведено рівняння вільної границі. A three-dimensional convection Stefan problem for the liquid phase is investigated. The equation for a free boundary is obtained....
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2010 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/30719 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Приближенный анализ пространственной конвективной задачи Стефана / А.И. Шевченко, А.С. Миненко // Доп. НАН України. — 2010. — № 10. — С. 29-33. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860241488425779200 |
|---|---|
| author | Шевченко, А.И. Миненко, А.С. |
| author_facet | Шевченко, А.И. Миненко, А.С. |
| citation_txt | Приближенный анализ пространственной конвективной задачи Стефана / А.И. Шевченко, А.С. Миненко // Доп. НАН України. — 2010. — № 10. — С. 29-33. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Досліджено просторову задачу Стефана з урахуванням конвективних рухів і домішок у рідинній фазі. Доведено рівняння вільної границі.
A three-dimensional convection Stefan problem for the liquid phase is investigated. The equation for a free boundary is obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:30:29Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.988
© 2010
Член-корреспондент НАН Украины А.И. Шевченко, А. С. Миненко
Приближенный анализ пространственной конвективной
задачи Стефана
Дослiджено просторову задачу Стефана з урахуванням конвективних рухiв i домiшок
у рiдиннiй фазi. Доведено рiвняння вiльної границi.
1. Работа посвящена изучению процессов кристаллизации двухкомпонентных сред в случае,
когда распространение тепла связано не только с теплопроводностью, но и с конвектив-
ным переносом, присутствующим в жидкой фазе вещества. Рассматриваемая задача вклю-
чает в себя как двухфазную задачу Стефана, так и начально-краевую задачу для системы
Навье–Стокса, описывающую движение вязкой несжимаемой жидкости в нецилиндричес-
кой области. При изучении задачи учитывается скачок плотности вещества на границе
раздела фаз.
Пусть Ω0 — заданная область в R3, граница которой состоит из двух замкнутых свя-
занных гладких поверхностей Γ+
0 и Γ−
0 , не имеющих самопересечений. Пусть далее Γ0 —
гладкая замкнутая поверхность, лежащая внутри Ω0, такая, что Γ−
0 лежит внутри огра-
ниченной области, границей которой является Γ0. Поверхность Γ0 разбивает Ω0 на две
подобласти Ω+
0 и Ω−
0 , которые в начальный момент t = 0 заняты жидкой и твердой фаза-
ми соответственно. Будем обозначать через Ω±
t область, занятую жидкой (твердой) фазой
в момент времени t. Заметим, что в процессе кристаллизации проходит изменение границы
Γ+
0 (это связано с тем, что жидкая и твердая фазы имеют разные плотности), а граница Γ−
0
остается неизменной. Задача состоит в определении областей Ω+
t и Ω−
t (т. е. границ Γ+
t и Γt),
занимаемых твердой и жидкой фазами соответственно в момент времени t ∈ [0, T ], вектора
скорости
−→
V (x, t) = (V1(x, t), V2(x, t), V3(x, t)), давления p(x, t), концентрации примеси c(x, t),
распределений температур жидкой u+(x, t) и твердой u−(x, t) фаз по следующим условиям:
∂u+(x, t)
∂t
+ (~V∇)u+(x, t)− a2+∇
2u+(x, t) = 0, (x, t) ∈ D+
T ;
∂u−(x, t)
∂t
− a2−∇
2u−(x, t) = 0, (x, t) ∈ D−
T ,
∂~V (x, t)
∂t
+ (~V∇)~V (x, t) +∇p(x, t) = ν∇2~V (x, t) + ~f(u+, c),
∇~V (x, t) = 0, (x, t) ∈ D+
T ,
−→
V (x, 0) =
−→
C (x);
T (
−→
V , p)−→n = −q(x, t)−→n , (x, t) ∈ Γ+
t ; Vn = −
(
1−
ρ−
ρ+
)
Wn;
Vτ = 0, (x, t) ∈ Γt, u±(x, t) = B±(x, t), (x, t) ∈ Γ+
t
⋃
Γ−
0 ;
(1)
u±(x, 0) = A±(x); u+ = u− = T ∗ − εc, k−
∂u−
∂n
− k+
∂u+
∂n
= χρ+Wn, (x, t) ∈ Γt,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №10 29
∂c(x, t)
∂t
+ (
−→
V ∆)c(x, t)− γ∆2c(x, t), (x, t) ∈ D+
T ;
c(x, 0) = g0(x), c(x, t) = g(x, t), (x, t) ∈ Γ+
t ;
−α
∂c
∂n
= βcWn, (x, t) ∈ Γt.
Здесь D±
T = {(x, t) : x ∈ Ω±
t, t ∈ (0, T )}, x = (x1, x2, x3), Ω±
t — области соответст-
венно жидкой и твердой фаз, ∂Ω+ = Γt
⋃
Γ+
t , ∂Ω− = Γ−
0
⋃
Γt;
−→n — нормаль к Γt, на-
правленная в сторону Ω+
t ; T ∗, ν, ε, χ, ρ+, ρ−, α, β, γ, κ−, κ+ — положительные по-
стоянные, ∇ = (∂/∂x1, ∂/∂x2, ∂/∂x3); T (
−→
V , p) — тензор напряжений с элементами Tij =
= −δijp + ν(∂Vi/∂xj + ∂Vj/∂xi); Wn — скорость движения фронта кристаллизации в на-
правлении нормали −→n ; Vn и Vτ — нормальная и тангенциальная составляющие
−→
V . Если
Φ(x, t) = u±(x, t) + εc(x, t) − T ∗ = 0 — уравнение поверхности Γt, тогда Wn = −Φt/|∇Φ|,
−→n = ∇(u± + εc)/|∇(u± εc)|.
Укажем, что условие Стефана можно представить также в виде κ2−|∇u−|2−κ2+|∇u+|2+
+ 2εκ2−(∇u−,∇c) − 2εκ2+(∇u+,∇c) = χρ+(κ−u
−
t + κ+u
+
t ), (x, t) ∈ Γt.
Предполагается, что A(x)∈H4+α(Ω
+
0 ), C(x) ∈ H2+α(Ω+
0 ), B
±(x, t) ∈ H2+α,(2+α)/2(Γ+
t
⋃
⋃
Γ−
0 × [0, T ]),
−→
f (u+, c) ∈ C1(R2), g(x, t) ∈ H2+α,(2+α)/2(Γ+
t × [0, T ]), g0(x) ∈ H4+α(
−→
Ω+
0 ).
При этом g(x, t) и gxi
(x, t) должны быть функциями класса H1+α, 1+α
2 (R3 × [0, T ]). Предпо-
лагается также, что выполнены условия согласования до первого порядка включительно,
которые следуют из предположения существования гладкого решения и формулируются
аналогично [1, с. 363, с. 268].
Отметим, что при малых значениях t задача (1) разрешима в классе гладких функций
u± ∈ H2+α,(2+α)/2(D±
T ),
−→
V ∈ H2+α,(2+α)/2(D±
T ), C ∈ H2+α,(2+α)/2(D±
T ), ∇p ∈ Hα,α/2(D±
T ),
а границы Γ+
t и Γt описываются функциями, принадлежащими классам H2+α,(2+α)/2 [2].
Решение задачи (1) моделирует процесс кристаллизации вещества с учетом переноса
примеси в жидкой фазе. При этом последнее условие в (1) следует из закона Нернста,
а
−→
f (u+, c) описывает влияние неравномерного распределения температуры и концентрации
примеси на движение жидкости.
2. Известно, что свободные границы Γt и Γ+
t можно представить в виде Γt = {x =
= x(ω) + −→n (ω)ρ(ω, t)}, Γ+
t = {x = x(ω∗) + η(ω∗, t)−→n (ω∗)}, где ω = (ω1, ω2), ω
∗ = (ω∗
1, ω
∗
2),
x(ω) ∈ Γ0, x(ω∗) ∈ Γ+
0 , ρ(ω, t) и η(ω∗, t) — некоторые функции соответственно классов
H2+α,(2+α)/2(Γ0 × [0, T ]) и H2+α,(2+α)/2(Γ+
0 × [0, T ]), ρ(ω, 0) = 0 и η(ω∗, 0) = 0 [2].
Предложен метод решения задачи (1), состоящий в разложении решения в ряд по сте-
пеням малых чисел ε:
u±(x, t; ε) = u±0(x) +
∞
∑
k=1
εku±k(x, t), p(x, t; ε) = p0(x) +
∞
∑
k=1
εkpk(x, t),
Vi(x, t; ε) = Vi0(x) +
∞
∑
k=1
εkVik(x, t), i = 1, 2, 3;
ρ(ω, t; ε) =
∞
∑
k=1
εkρk(ω, t), c(x, t) = c0(x) +
∞
∑
k=1
εkck(x, t).
(2)
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №10
Для нулевого приближения u±0(x),
−→
V0(x) = (V10(x), V20(x), V30(x)), Γ0 и c0(x) из усло-
вий (1) и разложения (2) вытекает следующая задача:
(
−→
V0∇)
−→
V0(x) +∇p0(x) = ν∇2−→V0(x) +
−→
f (u0, c0), x ∈ Ω+
0 ,
∇
−→
V0(x) = 0, x ∈ Ω+
0 , T (
−→
V0, p0)
−→n = −q(x)−→n , x ∈ Γ+
0 ,
Vn = −
(
1−
ρ−
ρ+
)
Wn, Vτ = 0, x ∈ Γ0;
(
−→
V0∇)u+0 − a2+∇u+0 = 0, x ∈ Ω+
0 ,
u±0 (x) = B±(x), x ∈ Γ+
0
⋃
Γ−
0 , u−0 (x) = u+0 (x) = T ∗, x ∈ Γ0;
k−
∂u−0
∂n
− k+
∂u+0
∂n
= 0, x ∈ Γ0, ∇2u−0 = 0, x ∈ Ω−
0 ,
(
−→
V0∇)c0 − γ∇2c0 = 0, x ∈ Ω+
0 , c0(x) = g0(x), x ∈ Γ+
0 ;
−α
∂c0
∂n
= 0, x ∈ Γ0.
(3)
Здесь ради простоты предполагается, что функции B± и q зависят только от переменной x.
Лемма 1. Пусть функции u±0 (x) = A±(x),
−→
V0(x) =
−→
C (x), c0(x) = g0(x) являются
решением задачи (3) в областях Ω±
0 и Ω+
0 соответственно. Тогда эти функции можно
взять в качестве нулевого приближения задачи (1).
3. Далее, пусть Q±
T = Ω±
0 × [0, T ], Γ−
0T = Γ−
0 × [0, T ], Γ+
0T = Γ+
0 × [0, T ], Γ0T = Γ0 × [0, T ].
Рассмотрим первое приближение (
−→
V1, u
±
1 , p1, ρ1, c1) задачи (1) для малых чисел ε. Имеем:
∂
−→
V1
∂t
+ (
−→
V1∇)
−→
V0 + (
−→
V0∇)
−→
V1 +∇p1 =
= ν∇2−→V1 + f
′
u(u
+
0 , c0)u
+
1 +
−→
f
′
C(u
+
0 , c0)c1, (x, t) ∈ Q+
T ;
∇
−→
V1 = 0, (x, t) ∈ Q+
T ;
T (
−→
V0 +
−→
V1, p1)
−→n = 0, x ∈ Γ+
0 ,
−→
V1(x, 0) = 0,
V1n =
(
1−
ρ−
ρ+
)
u+1t
|∇u+0 |
, V1τ = 0, x ∈ Γ0;
(4)
∂u+1
∂t
+ (
−→
V1∇)u+0 + (
−→
V0∇)u+1 − a2+∇
2u+1 = 0, (x, t) ∈ Q+
T ;
∂u−1
∂t
+ a2−∇
2u−1 = 0, (x, t) ∈ Q−
T ,
u±(x, 0) = 0; u±1 (x, t) = 0, (x, t) ∈ Γ−
0T
⋃
Γ+
0T ,
u±1 = u−1 , k−
∂u−1
∂n
− 2k+
∂u+1
∂n
+ k−
∂c
∂n
+ f1(x, t) = χρ+
∂ρ1
∂t
, (x, t) ∈ Γ0T ;
(5)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №10 31
∂c1
∂t
+ (
−→
V1∇)c0 + (
−→
V0∇)c1 − γ∇2c1 = 0, (x, t) ∈ Q+
T ,
c1(x, 0) = 0, c1(x, t) = 0, (x, t) ∈ Γ+
0T ,
−α
∂c1
∂n
= f2(x, t), (x, t) ∈ Γ0T ,
f2(x, t) = c0
u+t
|∇u+0 |
,
∂c0(x)
∂n
η1(ω, t) + c1(x, t) = 0, (x, t) ∈ Γ+
0T .
(6)
Зададим теперь
−→
V =
−→
V 1(x, t). Решим задачу (5), (6) и найдем u±, c, ρ, после чего заме-
ним u±, c, ρ решением задачи (5), (6) и решим задачу (4), являющуюся начально-краевой
задачей для системы Навье–Стокса. Затем, используя новое значение V (x, t), снова решаем
задачу (5) и (6) и т. д. Таким образом, получим процесс последовательных приближений.
Доказательство сходимости этого процесса аналогично приведенному в работе [3]. При этом
при заданном ρ1(ω, t) ∈ H2+α,(2+α)/2(Γ0T ) найдем функции u±1(x, t; ρ) ∈ H2+α,(2+α)/2(Q±
T ),
c1(x, t; ρ) ∈ H2+α,(2+α)/2(Q±
T ), как единственное решение задачи (5), (6) [1], причем ρ1(ω, t)
находим как неподвижную точку сжимающегося оператора M1:
M1ρ1 =
1
χρ+
t
∫
0
(k−
∂u−1
∂n
− 2k+
∂u+1
∂n
+ k−
∂C
∂n
+ f1(x, t)) dt, x(ω) ∈ Γ0T .
Имеют место следующие утверждения.
Лемма 2. Пусть выполнено условие |∇A+(x)| = ∂g0(x)/∂n на Γ0. Тогда оператор M1,
действующий из H2+α,(2+α)/2(Γ0T ) в H2+α,(2+α)/2(Γ0T ), имеет там неподвижную точку.
Лемма 3. В качестве первого приближения задачи (1) можно взять решение зада-
чи (4)–(6): u±1 (x, t), c1(x, t),
−→
V1(x, t), p1(x, t), ρ1(x, t).
Теорема. Пусть
∂g0(x)
∂n
6= 0 на Γ+
0 . Тогда при малых числах ε и достаточно малых
значениях t справедливы формулы
Γt : x = x(ω)− ε−→n
u±1 (x(ω), t)
|∇u±0 (x(ω))|
+ o(ε), (x, t) ∈ Γ0T ,
Γ+
t : x = x(ω∗)− ε−→n
c1(x(ω), t) + g0(x(ω))− g(x(ω), t)
∂g0(x(ω))
∂n
+ o(ε), (x, t) ∈ Γ+
0T ,
где u±1 (x, t), c1(x, t), ρ1(ω, t), η1(ω, t) — функции класса H2+α,(2+α)/2, являющиеся решением
задачи (4)–(6).
1. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения пара-
болического типа. – Москва: Наука, 1967. – 756 с.
2. Миненко А.С. Вариационные задачи со свободной границей. – Киев: Наук. думка, 2005. – 341 с.
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №10
3. Солонников В.А. Разрешимость задачи о движении вязкой несжимаемой жидкости, ограниченной
свободной поверхностью // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1977. – 41, № 6. – С. 1388–1424.
Поступило в редакцию 05.03.2010Государственный университет информатики
и искусственного интеллекта, Донецк
Corresponding Member of the NAS of Ukraine A. I. Shevchenko, A. S. Minenko
Approximation analysis of a three-dimensional Stefan problem with
convection
A three-dimensional convection Stefan problem for the liquid phase is investigated. The equation
for a free boundary is obtained.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №10 33
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-30719 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:30:29Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шевченко, А.И. Миненко, А.С. 2012-02-12T09:35:25Z 2012-02-12T09:35:25Z 2010 Приближенный анализ пространственной конвективной задачи Стефана / А.И. Шевченко, А.С. Миненко // Доп. НАН України. — 2010. — № 10. — С. 29-33. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/30719 517.988 Досліджено просторову задачу Стефана з урахуванням конвективних рухів і домішок у рідинній фазі. Доведено рівняння вільної границі. A three-dimensional convection Stefan problem for the liquid phase is investigated. The equation for a free boundary is obtained. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Приближенный анализ пространственной конвективной задачи Стефана Approximation analysis of a three-dimensional Stefan problem with convection Article published earlier |
| spellingShingle | Приближенный анализ пространственной конвективной задачи Стефана Шевченко, А.И. Миненко, А.С. Математика |
| title | Приближенный анализ пространственной конвективной задачи Стефана |
| title_alt | Approximation analysis of a three-dimensional Stefan problem with convection |
| title_full | Приближенный анализ пространственной конвективной задачи Стефана |
| title_fullStr | Приближенный анализ пространственной конвективной задачи Стефана |
| title_full_unstemmed | Приближенный анализ пространственной конвективной задачи Стефана |
| title_short | Приближенный анализ пространственной конвективной задачи Стефана |
| title_sort | приближенный анализ пространственной конвективной задачи стефана |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/30719 |
| work_keys_str_mv | AT ševčenkoai približennyianalizprostranstvennoikonvektivnoizadačistefana AT minenkoas približennyianalizprostranstvennoikonvektivnoizadačistefana AT ševčenkoai approximationanalysisofathreedimensionalstefanproblemwithconvection AT minenkoas approximationanalysisofathreedimensionalstefanproblemwithconvection |