Метод квазіконформних відображень розв'язання модельних задач двофазної фільтрації
На основі ідей методів квазіконформних відображень та поетапної фіксації характеристик процесу і середовища побудовано алгоритм числового розв'язання модельних задач двофазної фільтрації типу Баклея–Леверетта. On the basis of ideas of the methods of quasiconformal mappings and the step-by-step...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/30724 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Метод квазіконформних відображень розв'язання модельних задач двофазної фільтрації / А.Я. Бомба, С.В. Ярощак // Доп. НАН України. — 2010. — № 10. — С. 34-40. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859702089915039744 |
|---|---|
| author | Бомба, А.Я. Ярощак, С.В. |
| author_facet | Бомба, А.Я. Ярощак, С.В. |
| citation_txt | Метод квазіконформних відображень розв'язання модельних задач двофазної фільтрації / А.Я. Бомба, С.В. Ярощак // Доп. НАН України. — 2010. — № 10. — С. 34-40. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | На основі ідей методів квазіконформних відображень та поетапної фіксації характеристик процесу і середовища побудовано алгоритм числового розв'язання модельних задач двофазної фільтрації типу Баклея–Леверетта.
On the basis of ideas of the methods of quasiconformal mappings and the step-by-step fixation of characteristics of the process and the environment, an algorithm of numerical solution of two-phase filtration Buckley–Leverett type model problems is developed.
|
| first_indexed | 2025-12-01T01:39:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
10 • 2010
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
УДК [519.876.5:530.182]:553.98
© 2010
А.Я. Бомба, С.В. Ярощак
Метод квазiконформних вiдображень розв’язання
модельних задач двофазної фiльтрацiї
(Представлено членом-кореспондентом НАН України В.В. Скопецьким )
На основi iдей методiв квазiконформних вiдображень та поетапної фiксацiї характерис-
тик процесу i середовища побудовано алгоритм числового розв’язання модельних задач
двофазної фiльтрацiї типу Баклея–Леверетта.
У данiй роботi на основi iдей методiв квазiконформних вiдображень та поетапної фiкса-
цiї характеристик процесу i середовища [1–3] побудовано алгоритм числового розв’язання
модельних задач двофазної фiльтрацiї типу Баклея–Леверетта.
Розглядається процес двофазної iзотермiчної фiльтрацiї рiдин в горизонтальному плас-
тi-колекторi (тризв’язна криволiнiйна область Gz, обмежена трьома гладкими замкненими
контурами: L∗ = {x + iy : x = x∗(τ), y = y∗(τ), α∗ < τ < β∗} = {z : f∗(x, y) = 0}, L∗ =
= {x + iy : x = x∗(τ), y = y∗(τ), α∗ < τ < β∗} = {z : f∗(x, y) = 0}, L0 = {x + iy : x = x0(τ),
y = y0(τ), α0 < τ < β0} = {z : f0(x, y) = 0}, z = x+ iy; рис. 1) провiдностi k вiд нагнiтальної
свердловини до експлуатацiйної. Вiдповiднi закон руху та рiвняння нерозривностi течiї,
записанi вiдносно квазiпотенцiалу швидкостi ϕ = ϕ(x, y, t) = −p(x, y, t) + p̃ (p(x, y, t) —
Рис. 1. Фiзична область (а) та область комплексного квазiпотенцiалу (б )
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №10
тиск; p̃ — деяке характерне його значення) та насиченостi s = s(x, y, t) витiсняючої фази,
згiдно з [4–6], наведемо у виглядi:
~υ1 =
kk̃1
µ1
gradϕ, ~υ2 =
kk̃2
µ2
gradϕ, σ
∂(1 − s)
∂t
+ div ~υ1 = 0, σ
∂s
∂t
+ div ~υ2 = 0,
де µ1, µ2 — динамiчнi в’язкостi (вважаємо їх сталими), вiдповiдно, фази, що витиснюється
та витисняє (наприклад, нафти i води); ~υ1, ~υ2 — вектори швидкостi; σ — пористiсть; t — час;
k̃1, k̃2 — вiдноснi фазовi провiдностi (заданi достатньо гладкими мало змiнними функцiями
насиченостi: k̃1 = k̃1(s), k̃2 = k̃2(s)). Звiдси, з урахуванням сумарної швидкостi ~υ = ~υ1 + ~υ2
фiльтрацiйної течiї та початкових i граничних умов маємо:
div ~υ = 0, ~υ = k · gradϕ, σ
∂s
∂t
+ υx
∂f
∂x
+ υy
∂f
∂y
= 0,
ϕ
∣∣
L∗
= ϕ∗, ϕ
∣∣
L∗
= ϕ∗,
∂ϕ
∂n
∣∣∣∣
L0
= 0, s
∣∣
L∗
= s∗,
s(x, y, t)
∣∣
t=0
= s̃(x, y), ϕ(x, y, t)
∣∣
t=0
= ϕ̃(x, y),
(1)
де
k(s) =
kk̃1(s)
µ1
+
kk̃2(s)
µ2
, f(s) =
µ1k̃2(s)
µ2k̃1(s) + µ1k̃2(s)
,
s̃(x, y), ϕ̃(x, y) — заданi, достатньо гладкi функцiї, такi, що: s̃
∣∣
L∗
= s∗, ϕ̃
∣∣
L∗
= ϕ∗, ϕ̃
∣∣
L∗
= ϕ∗,
∂ϕ̃
∂n
∣∣∣∣
L0
= 0.
Аналогiчно [2], ввiвши функцiю течiї ψ (квазiкомплексно спряжену до ϕ) та здiйснивши
умовнi розрiзи Γ∗, Γ
∗ областi Gz вздовж лiнiй роздiлу течiї (через AА та BВ, СС та DD
на рис. 1 позначено вiдповiдно верхнiй та нижнiй береги цих розрiзiв, де A = B = (x∗0, y
∗
0),
C = D = (x0∗, y
0
∗) — точки “призупинки” течiї, A = B = (x∗, y∗) ∈ L∗, C = D = (x∗, y∗) ∈ L∗),
приходимо до задачi на квазiконформне вiдображення ω = ω(z) = ϕ(x, y)+ iψ(x, y) [3] утво-
реної при цьому однозв’язної областi G0
z = Gz/(Γ∗
⋃
Γ∗) на вiдповiдну прямокутну область
комплексного квазiпотенцiалу Gω = {ω = ϕ + iψ : ϕ∗ < ϕ < ϕ∗, 0 < ψ < Q} з невiдо-
мими параметрами Q (повна витрата); (x∗0, y
∗
0), (x
0
∗, y
0
∗); (x∗, y∗), (x
∗, y∗); ϕ, ϕ (потенцiали
в шуканих точках “призупинки” — вiдповiдно “розходження” та “сходження” течiї):
k
∂ϕ
∂x
=
∂ψ
∂y
, k
∂ϕ
∂y
= −
∂ψ
∂x
, (x, y) ∈ G0
z,
ϕ
∣∣
L∗
= ϕ∗, ϕ
∣∣
L∗
= ϕ∗, ψ
∣∣
AD
= 0, ψ
∣∣
BC
= Q,
ϕ(x, y, t)
∣∣
t=0
= ϕ̃(x, y), υ(x∗0, y
∗
0) = 0, υ(x0∗, y
0
∗) = 0,
(2)
∂s
∂t
= −
k
σ
∂f
∂s
(
∂ϕ
∂x
∂s
∂x
+
∂ϕ
∂y
∂s
∂y
)
, s
∣∣
L∗
= s∗, s(x, y, t)
∣∣
t=0
= s̃(x, y), (3)
де
Q =
∮
L∗
−υydx+ υxdy, υ(x, y) =
√
υ2x(x, y) + υ2y(x, y).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №10 35
Обернена до (2) крайова задача на квазiконформне вiдображення z = z(ω) = x(ϕ,ψ) +
+ iy(ϕ,ψ) областi Gω на G0
z та рiвняння для дiйсної x = x(ϕ,ψ) i уявної y = y(ϕ,ψ) частини
(виконання яких вимагатимемо i на розрiзах iз врахуванням їх “роздвоєння” при переходi вiд
областi Gz до Gω) характеристичної функцiї течiї при невiдомих Q, ϕ, ϕ, Γ∗, Γ
∗ запишеться
у виглядi:
k
∂y
∂ψ
=
∂x
∂ϕ
, k
∂x
∂ψ
= −
∂y
∂ϕ
, (ϕ,ψ) ∈ Gω, (4)
f∗(x(ϕ∗, ψ), y(ϕ∗, ψ)) = 0, f∗(x(ϕ∗, ψ), y(ϕ∗, ψ)) = 0, 0 6 ψ 6 Q,
f(x(ϕ, 0), y(ϕ, 0)) = 0, f(x(ϕ,Q), y(ϕ,Q)) = 0, ϕ∗ 6 ϕ 6 ϕ∗,
(5)
x(ϕ, 0) = x(ϕ,Q), y(ϕ, 0) = y(ϕ,Q), ϕ∗ < ϕ 6 ϕ, ϕ 6 ϕ < ϕ∗, (6)
υ(x(ϕ,ψ), y(ϕ,ψ)) = 0, υ(x(ϕ,ψ), y(ϕ,ψ)) = 0, ψ = {0, Q}, (7)
ϕ(x(ϕ,ψ), y(ϕ,ψ), t)
∣∣
t=0
= ϕ̃(x(ϕ,ψ), y(ϕ,ψ)), 0 6 ψ 6 Q, ϕ∗ < ϕ 6 ϕ∗,
∂
∂ψ
(
k
∂x
∂ψ
)
+
∂
∂ϕ
(
1
k
∂x
∂ϕ
)
= 0,
∂
∂ψ
(
k
∂y
∂ψ
)
+
∂
∂ϕ
(
1
k
∂y
∂ϕ
)
= 0. (8)
Використавши вiдповiднi формули переходу
J =
∂x
∂ϕ
∂y
∂ψ
−
∂x
∂ψ
∂y
∂ϕ
,
∂
∂x
=
1
J
∂y
∂ψ
∂
∂ϕ
−
1
J
∂y
∂ϕ
∂
∂ψ
,
∂
∂y
= −
1
J
∂x
∂ψ
∂
∂ϕ
+
1
J
∂x
∂ϕ
∂
∂ψ
,
∂ϕ
∂x
=
1
J
∂y
∂ψ
,
∂ϕ
∂y
= −
1
J
∂x
∂ψ
,
∂ψ
∂x
= −
1
J
∂y
∂ϕ
,
∂ψ
∂y
=
1
J
∂x
∂ϕ
,
умови (4) та формули для обчислення компонент сумарної швидкостi
υx =
k
J(ϕ,ψ)
∂y
∂ψ
, υy = −
k
J(ϕ,ψ)
∂x
∂ψ
,
задачу для насиченостi (3) перепишемо так:
∂s
∂t
= −
υ2
σk
∂f
∂s
∂s
∂ϕ
, (9)
s(x(ϕ∗, ψ), y(ϕ∗, ψ), t) = s∗, s(x(ϕ,ψ), y(ϕ,ψ), 0) = s̃(x(ϕ,ψ), y(ϕ,ψ)), (10)
де рiвняння (9) є фактично просторово одновимiрним (адже змiннi t та ψ тут фiгурують як
параметри). Останнє дозволяє iстотно спростити загальну стратегiю (розщепити алгоритм)
розв’язання вихiдної задачi, а саме: а) за вiдомим з попереднього часового кроку iтера-
цiї розподiлом насиченостi s розв’язуємо на наступному кроцi задачу на квазiконформне
вiдображення (4)–(8) (зокрема, будуємо динамiчну сiтку, знаходимо квазiпотенцiал ϕ, ви-
трату та iншi невiдомi фiльтрацiйнi параметри); б) за знайденим розподiлом квазiпотен-
цiалу i крайовими умовами для насиченостi та розподiлу s з попереднього кроку iтерацiї
знаходимо розподiл насиченостi на наступному кроцi, розв’язуючи (9), (10); в) перевiряємо
умову зупинки алгоритму (однiєю iз таких умов може бути умова перевищення допустимої
частки витiсняючої рiдини в продукцiї експлуатацiйної свердловини), при невиконаннi якої
переходимо до пункту а алгоритму.
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №10
Рiвняння (8) для внутрiшнiх вузлiв (ϕi, ψj) вiдповiдної Gω сiткової областi Gl
ω=
{
(ϕi, ψj):
ϕi = ϕ∗ + i∆iϕ, ∆iϕ = ∆ϕ1 =
ϕ− ϕ∗
n1 + 1
при i = 0, n1; ϕi = ϕ+ (i− n1 − 1)∆iϕ, ∆iϕ = ∆ϕ2 =
=
ϕ− ϕ
n2 − 1
при i = n1 + 1, n1 + n2; ϕi = ϕ + (i − n1 − n2)∆iϕ, ∆iϕ = ∆ϕ3 =
ϕ∗ − ϕ
n3 + 1
при
i = n1 + n2 + 1, n; ψj = j∆ψ, ∆ψ =
Q
m
, j = 0,m; γl =
∆ϕl
∆ψ
, l = 1, 3, n = n1 + n2 + n3 +
+ 1, m — параметри розбиття областi квазiкомплексного потенцiалу, γl — квазiконформнi
iнварiанти
}
та граничних вузлiв, що є образами “берегiв” розрiзiв Γ∗, Γ
∗, крайовi умови,
умови перiодичностi та умови ортогональностi для граничних i приграничних вузлiв апро-
ксимуємо так [7]:
γ2l (ki,j+1/2(xi,j+1−xi,j)−ki,j−1/2(xi,j−xi,j−1))+
xi+1,j−xi,j
ki+1/2,j
−
xi,j−xi,j−1
ki−1/2,j
= 0,
γ2l (ki,j+1/2(yi,j+1−yi,j)−ki,j−1/2(yi,j−yi,j−1))+
yi+1,j−yi,j
ki+1/2,j
−
yi,j−yi,j−1
ki−1/2,j
= 0,
ki,j±1/2 =
ki,j±1 + ki,j
2
, ki±1/2,j =
ki±1,j + ki,j
2
,
i = 1, n1, l = 1, i = n1 + 1, n1 + n2,
l = 2, j = 1,m− 1, i = n1 + n2 + 1, n − 1, l = 3;
(11)
f∗(x0,j , y0,j) = 0, f∗(xn,j, yn,j) = 0, j = 0,m,
f(xi,0, yi,0) = 0, f(xi,m, yi,m) = 0, i = n1 + 1, n1 + n2,
xi,0 = xi,m, yi,0 = yi,m, i = 0, n1 + 1,
xi,0 = xi,m, yi,0 = yi,m, i = n1 + n2, n;
(12)
(4x1,j − 3x0,j − x2,j)(x0,j+1 − x0,j−1) + (4y1,j − 3y0,j − y2,j)(y0,j+1 − y0,j−1) = 0,
j = 0,m− 1,
(3xn,j + xn−2,j − 4xn−1,j)(xn,j+1 − xn,j−1) + (3yn,j + yn−2,j − 4yn−1,j)×
× (yn,j+1 − yn,j−1) = 0, j = 0,m− 1,
(4xi,1 − 3xi,0 − xi,2)(xi+1,0 − xi−1,0) + (4yi,1 − 3yi,0 − yi,2)(yi+1,0 − yi−1,0) = 0,
i = n1 + 1, n1 + n2,
(3xi,m + xi,m−2 − 4xi,m−1)(xi+1,m − xi−1,m) + (3yi,m + yi,m−2 − 4yi,m−1)×
× (yi+1,m − yi−1,m) = 0, i = n1 + 1, n1 + n2,
(13)
де xi,j = x(ϕi, ψj), yi,j = y(ϕi, ψj).
Невiдому витрату Q, параметри ϕ, ϕ в процесi iтерацiй шукаємо за формулами:
ϕ = ϕ∗ + (n1 + 1)∆ψγ1, ϕ = ϕ∗ − (n3 + 1)∆ψγ3, Q = m∆ψ,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №10 37
де ∆ψ =
1
3
3∑
l=1
∆ϕl
γl
; γl одержуємо на пiдставi умови “квазiконформної подiбностi в малому”
вiдповiдних елементарних чотирикутникiв двох областей:
γ1 =
1
m(n1 + 1)
n1,m−1∑
i,j=0
γi,j, γ2 =
1
m(n2 − 1)
n1+n2−1,m−1∑
i,j=n1+1,0
γi,j,
γ3 =
1
m(n− n1 − n2)
n−1,m−1∑
i,j=n1+n2,0
γi,j, γi,j =
1
ki+1/2,j+1/2
ai,j + ai,j+1
bi,j + bi+1,j
,
(14)
де
ai,j =
√
(xi+1,j − xi,j)2 + (yi+1,j − yi,j)2, bi,j =
√
(xi,j+1 − xi,j)2 + (yi,j+1 − yi,j)2.
Рiвняння (9) апроксимуємо рiзницевою схемою “проти потоку” [5] таким чином:
ŝi,j = si,j −
τυ2i,j
σki,j∆ϕl
f ′(si−1/2,j)(si,j − si−1,j), si−1/2,j =
si,j + si−1,j
2
,
j = 1,m, i = 1, n1, l = 1, i = n1 + 1, n1 + n2, l = 2, i = n1 + n2 + 1, n − 1, l = 3,
(15)
де τ — крок за часом; si,j, ŝi,j — насиченостi у вiдповiдних вузлах (i, j) на попередньому
та наступному кроцi iтерацiї за часом, формули для розрахунку швидкостi записуються
аналогiчно роботi [2], а граничну умову для насиченостi — s0,j = s∗, j = 1,m.
Крiм часового кроку τ , параметрiв розбиття n1, n2, n3, m областi Gω, задаємо також
параметри точностi роботи алгоритму ε1, ε2, δ∗, δ
∗. Початкове наближення координат гра-
ничних вузлiв x
(0)
i,j та y
(0)
i,j задаємо так, щоб виконувалися умови (12). Уточнення координат
внутрiшнiх вузлiв (x
(κ)
i,j , y
(κ)
i,j ) динамiчної сiтки одержуємо в результатi розв’язання (11) вiд-
носно xi,j та yi,j (а саме, “новi” координати даного вузла шукаємо як узагальнено середнi
навколишнiх “старих”) з урахуванням перiодичностi шуканих функцiй. Як i в [2], уточнення
координат даного граничного вузла проводимо за умов фiксацiї навколишнiх граничних та
приграничних, використовуючи рiзницевi аналоги (13) (умови ортогональностi). Наступнi
наближення величин Q, ϕ, ϕ знаходимо, використовуючи вiдповiдне значення квазiкон-
формного iнварiанту, згiдно з (14). Серед умов завершення алгоритму побудови динамiчної
сiтки (вiдшукання невiдомих фiльтрацiйних параметрiв, зокрема поля швидкостi) на дано-
му часовому етапi — стабiлiзацiя витрати Q (|Q(κ+1) − Q(κ)| < ε1); стабiлiзацiя граничних
вузлiв (i, j)
(
max
i,j
√
(x
(κ)
i,j − x
(κ−1)
i,j )2 + (y
(κ)
i,j − y
(κ−1)
i,j )2 < ε2
)
тощо. У випадку невиконання
якоїсь iз цих умов, вiдзначаємо на динамiчнiй сiтцi дiлянки порушення квазiконформностi,
використовуючи спiввiдношення
√
δ21 + δ22 > δ∗, де δ1, δ2 — нев’язки апроксимацiй рiв-
нянь (4)
δ1 =
n−1,m−1
max
i,j=1
|(xi+1,j − xi−1,j)− γlki,j(yi,j+1 − yi,j−1)|,
δ2 =
n−1,m−1
max
i,j=1
|(yi+1,j − yi−1,j)− γlki,j(xi,j+1 − xi,j−1)|,
38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №10
Рис. 2. Поле насиченостi (а) та розподiл сумарної витрати (б )
i = 1, n1, l = 1; i = n1 + 2, n1 + n2 − 1, l = 2;
i = n1 + n2 + 1, n− 1, l = 3; j = 1,m− 1.
Зауважимо, якщо δ > δ∗, то збiльшуємо кiлькiсть вузлiв розбиття сiткової областi Gl
ω
(при цьому намагаємося вибрати спiввiдношення мiж параметрами n1, n2, n3, m, анало-
гiчно [2, 3]).
Використовуючи побудоване поле швидкостей та поле насиченостi з попереднього iтера-
цiйного кроку (з урахуванням граничної умови), знаходимо розподiл насиченостi у пластi
на даному часовому етапi та повторюємо кроки алгоритму.
На рис. 1, а, 2 а, вiдповiдно, наведенi динамiчна сiтка в момент часу t = 0 у випадку
n1 × n2 × n3 ×m = 20× 80× 20× 87 та розподiл насиченостi в момент часу t = 1,5062 (час
прориву) при x∗(t̃) = 0,2 cos(t̃)− 1, y∗(t̃) = 0,2 sin(t̃), x∗(t̃) = 0,2 cos(t̃) + 1, y∗(t̃) = 0,2 sin(t̃),
x0(t̃) = 3 cos(t̃), y0(t̃) = 2 sin(t̃), 0 6 t̃ < 2π, ϕ∗ = 0, ϕ∗ = 1, k = 1, k1 = (1 − s)2, k2 = s2,
σ = 0,5, µ1 = 2, µ2 = 1, s∗ = 1, s̃(x, y) = 0, τ = 0,0001. Залежнiсть сумарної фiльтрацiйної
витрати Q = Q(t/τ) вiд часу, яка змiнюється вiд Q = 0,583 до Q = 1,165, подано на рис. 2, б.
Як i слiд було очiкувати, величина Q змiнюється, зростаючи вiд Q(0) = 0,583 (що вiдповiдає
наявностi у пластi лише нафти) до Q(T/τ) = 1,165 (де T — час повного заводнення пласта),
причому “комп’ютерний” перегин вiдповiдного графiка вiдповiдає околу часу прориву.
Пiдкреслимо, що запропонований нами пiдхiд введення спецiального типу фiктивного
комплексного квазiпотенцiалу (для далеко не квазiпотенцiальних фiзичних полiв) з подаль-
шим використанням iдей методу квазiконформних вiдображень i процедури поетапного “за-
мороження” (фiксацiї) рiзних характеристик середовища та процесу дозволяє вихiдну нелi-
нiйну задачу роздiлити на послiдовнiсть бiльш простих задач: крайових задач на квазiкон-
формнi вiдображення та нелiнiйних задач для просторово одновимiрних диференцiальних
рiвнянь в частинних похiдних першого порядку з параметрами тощо.
1. Бомба А.Я., Пригорницький Д.О. Крайовi задачi на конформнi вiдображення для тризв’язних об-
ластей з потенцiалом керування // Доп. НАН України. – 2004. – № 4. – С. 57–63.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №10 39
2. Бомба А.Я., Ярощак С.В. Метод конформних вiдображень математичного моделювання процесiв
витiснення у нафтогазових пластах: прогнозування динамiки руху лiнiї роздiлу рiзнокольорових рi-
дин // Волин. математ. вiсн. Сер. прикл. мат. – 2009. – Вип. 6 (15). – С. 20–35.
3. Бомба А.Я., Булавацький В.М., Скопецький В.В. Нелiнiйнi математичнi моделi процесiв геогiдро-
динамiки. – Київ: Наук. думка, 2007. – 308 с.
4. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и га-
за. – Москва: Недра, 1972. – 288 с.
5. Каневская Р.Д. Математическое моделирование гидродинамических процессов разработки месторо-
ждений углеводородов. – Москва; Ижевск: Изд-во Ин-та компьютерных исследований, 2002. – 140 с.
6. Zhangxin C., Guanren H., Yuanle M. Computational methods for multiphase flows in porous media. –
Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2006. – 531 p.
7. Versteeg H.K., Malalasekera W. An introduction to computational fluid dynamics. The finite volume
method. – New York: Longman, 1995. – 267 с.
Надiйшло до редакцiї 11.03.2010Рiвненський державний гуманiтарний унiверситет
A.Ya. Bomba, S.V. Yaroschak
The method of quasiconformal mappings for the solution of two-phase
filtration model problems
On the basis of ideas of the methods of quasiconformal mappings and the step-by-step fixation of
characteristics of the process and the environment, an algorithm of numerical solution of two-phase
filtration Buckley–Leverett type model problems is developed.
40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №10
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-30724 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-01T01:39:05Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бомба, А.Я. Ярощак, С.В. 2012-02-12T09:53:28Z 2012-02-12T09:53:28Z 2010 Метод квазіконформних відображень розв'язання модельних задач двофазної фільтрації / А.Я. Бомба, С.В. Ярощак // Доп. НАН України. — 2010. — № 10. — С. 34-40. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/30724 [519.876.5:530.182]:553.98 На основі ідей методів квазіконформних відображень та поетапної фіксації характеристик процесу і середовища побудовано алгоритм числового розв'язання модельних задач двофазної фільтрації типу Баклея–Леверетта. On the basis of ideas of the methods of quasiconformal mappings and the step-by-step fixation of characteristics of the process and the environment, an algorithm of numerical solution of two-phase filtration Buckley–Leverett type model problems is developed. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика Метод квазіконформних відображень розв'язання модельних задач двофазної фільтрації The method of quasiconformal mappings for the solution of two-phase filtration model problems Article published earlier |
| spellingShingle | Метод квазіконформних відображень розв'язання модельних задач двофазної фільтрації Бомба, А.Я. Ярощак, С.В. Інформатика та кібернетика |
| title | Метод квазіконформних відображень розв'язання модельних задач двофазної фільтрації |
| title_alt | The method of quasiconformal mappings for the solution of two-phase filtration model problems |
| title_full | Метод квазіконформних відображень розв'язання модельних задач двофазної фільтрації |
| title_fullStr | Метод квазіконформних відображень розв'язання модельних задач двофазної фільтрації |
| title_full_unstemmed | Метод квазіконформних відображень розв'язання модельних задач двофазної фільтрації |
| title_short | Метод квазіконформних відображень розв'язання модельних задач двофазної фільтрації |
| title_sort | метод квазіконформних відображень розв'язання модельних задач двофазної фільтрації |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/30724 |
| work_keys_str_mv | AT bombaaâ metodkvazíkonformnihvídobraženʹrozvâzannâmodelʹnihzadačdvofaznoífílʹtracíí AT âroŝaksv metodkvazíkonformnihvídobraženʹrozvâzannâmodelʹnihzadačdvofaznoífílʹtracíí AT bombaaâ themethodofquasiconformalmappingsforthesolutionoftwophasefiltrationmodelproblems AT âroŝaksv themethodofquasiconformalmappingsforthesolutionoftwophasefiltrationmodelproblems |