Розв'язання тривимірних крайових задач про згин прямокутних пластин
Наводиться чисельно-аналітичний підхід для дослідження напружено-деформованого стану прямокутних пластин. Задача розв'язується на основі тривимірної моделі теорії пружності. Система диференціальних рівнянь в частинних похідних зводиться до одновимірної задачі за рахунок застосування методу спла...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/30725 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Розв'язання тривимірних крайових задач про згин прямокутних пластин / О.Я. Григоренко, А. C. Бергульов, C.M. Яремченко // Доп. НАН України. — 2010. — № 10. — С. 44-51. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859745532900016128 |
|---|---|
| author | Григоренко, О.Я. Бергульов, А.C. Яремченко, C.M. |
| author_facet | Григоренко, О.Я. Бергульов, А.C. Яремченко, C.M. |
| citation_txt | Розв'язання тривимірних крайових задач про згин прямокутних пластин / О.Я. Григоренко, А. C. Бергульов, C.M. Яремченко // Доп. НАН України. — 2010. — № 10. — С. 44-51. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Наводиться чисельно-аналітичний підхід для дослідження напружено-деформованого стану прямокутних пластин. Задача розв'язується на основі тривимірної моделі теорії пружності. Система диференціальних рівнянь в частинних похідних зводиться до одновимірної задачі за рахунок застосування методу сплайн-колокації за двома координатними напрямками. Крайова задача для системи звичайних диференціальних рівнянь високого порядку розв'язувалася стійким чисельним методом дискретної ортогоналізації. Наведені приклади розрахунків для різних граничних умов.
A numerical-analytical approach to the research of a stress-strain state of rectangular plates is developed. The problem is solved on the basis of a three-dimensional model of the theory of elasticity. The system of differential equations in partial derivatives is reduced to a one-dimensional problem within the method of spline-collocation in two coordinate directions. The boundary-value problem for a system of ordinary differential equations of a higher order is solved by a steady numerical method of discrete ortogonalization. Examples of calculations for various boundary conditions are presented.
|
| first_indexed | 2025-12-01T20:59:50Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
10 • 2010
МЕХАНIКА
УДК 539.3
© 2010
О.Я. Григоренко, А. C. Бергульов, C.M. Яремченко
Розв’язання тривимiрних крайових задач про згин
прямокутних пластин
(Представлено академiком НАН України A.A. Мартинюком)
Наводиться чисельно-аналiтичний пiдхiд для дослiдження напружено-деформованого
стану прямокутних пластин. Задача розв’язується на основi тривимiрної моделi тео-
рiї пружностi. Система диференцiальних рiвнянь в частинних похiдних зводиться до
одновимiрної задачi за рахунок застосування методу сплайн-колокацiї за двома коорди-
натними напрямками. Крайова задача для системи звичайних диференцiальних рiвнянь
високого порядку розв’язувалася стiйким чисельним методом дискретної ортогоналiза-
цiї. Наведенi приклади розрахункiв для рiзних граничних умов.
Прямокутнi товстостiннi пластини широко застосувуються в багатьох галузях сучасної тех-
нiки. Для забезпечення мiцностi та надiйностi при експлуатацiї вiдповiдних конструктив-
них елементiв дуже важливим є отримання iнформацiї про їх напружено-деформований
стан. Дослiдження на основi тривимiрної теорiї пружностi пов’язане з труднощами обчис-
лювального характеру. Тому можна навести тiльки незначну кiлькiсть наукових робiт, при-
свячених даному питанню [1, 2].
Нижче запропоновано ефективний чисельно-аналiтичний пiдхiд для дослiдження напру-
жено-деформованого стану прямокутних товстостiнних iзотропних пластин. Пiдхiд базуєть-
ся на застосуваннi методiв сплайн-колокацiї та дискретної ортогоналiзацiї. За допомогою
першого вихiдна просторова крайова задача для системи диференцiальних рiвнянь в час-
тинних похiдних зводиться до вiдповiдної задачi для систем звичайних диференцiальних
рiвнянь, яка розв’язується другим методом. Пiдкреслимо, що до розв’язання двовимiрних
задач теорiї оболонок та осесиметричних задач теорiї пружностi такий пiдхiд використову-
вався, зокрема, в роботах [3–5].
Вихiднi спiввiдношення. Для отримання розв’язувальних рiвнянь ми використовує-
мо спiввiдношення теорiї пружностi в декартовiй системi координат Oxyz [6].
44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №10
Рiвняння рiвноваги:
∂σxx
∂x
+
∂σxy
∂y
+
∂σxz
∂z
+X = 0,
∂σyx
∂x
+
∂σyy
∂y
+
∂σyz
∂z
+ Y = 0,
∂σzx
∂x
+
∂σzy
∂y
+
∂σzz
∂z
+ Z = 0.
(1)
Спiввiдношення Кошi :
εxx =
∂u
∂x
, εyy =
∂v
∂y
, εzz =
∂w
∂z
, εxy =
1
2
(
∂u
∂y
+
∂v
∂x
)
,
εyz =
1
2
(
∂v
∂z
+
∂w
∂y
)
, εzx =
1
2
(
∂w
∂x
+
∂u
∂z
)
.
(2)
Фiзичнi рiвняння, що виражають закон Гука:
εxx =
1
E
(σxx − νσyy − νσzz), εyy =
1
E
(−νσxx + σyy − νσzz),
εzz =
1
E
(−νσxx − νσyy + σzz), εxy =
σxy
2G
, εyz =
σyz
2G
, εzx =
σzx
2G
(3)
або
σxx = 2Gεxx + λΘ, σyy = 2Gεyy + λΘ, σzz = 2Gεzz + λΘ,
σyz = 2Gεyz , σxz = 2Gεxz , σxy = 2Gεxy, Θ = εxx + εyy + εzz,
λ =
2νG
1− 2ν
=
νE
(1− 2ν)(1 + ν)
.
(4)
Тут σ — напруження; ε — деформацiї; u, v та w — компоненти вектора перемiщення; λ,
G — коефiцiєнти Ламе; E — модуль Юнга; ν — коефiцiєнт Пуассона; X, Y , Z — компоненти
вектора масових сил.
Тодi з (1)–(4) можемо отримати систему трьох диференцiальних рiвнянь другого по-
рядку в частинних похiдних (рiвняння Ламе), що описує напружено-деформований стан
прямокутної товстостiнної iзотропної пластини:
∂2u
∂z2
= a1
∂2u
∂x2
+ b1
∂2u
∂y2
+ c1
∂2v
∂x∂y
+ d1
∂2w
∂x∂z
−
X
G
,
∂2v
∂z2
= a2
∂2v
∂y2
+ b2
∂2v
∂x2
+ c2
∂2u
∂x∂y
+ d2
∂2w
∂y∂z
−
Y
G
,
∂2w
∂z2
= a3
∂2u
∂x∂z
+ b3
∂2v
∂z∂y
+ c3
∂2w
∂x2
+ d3
∂2w
∂y2
−
Z
2G+ λ
.
(5)
Коефiцiєнти ai, bi, ci, di визначаються механiчними характеристиками матерiалу.
Крайовi умови на гранях пластини часто задаються у змiшаному виглядi або у напру-
женнях, проте не важко, використовуючи спiввiдношення пружностi та Кошi, перейти до
їх запису в перемiщеннях.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №10 45
Метод розв’язання. Розв’язок системи (5) шукатимемо у виглядi:
u(x, y, z) =
M
∑
j=0
N
∑
i=0
uij(z)ϕ
u
i (x)ψ
u
j (y),
v(x, y, z) =
M
∑
j=0
N
∑
i=0
vij(z)ϕ
v
i (x)ψ
v
j (y),
w(x, y, z) =
M
∑
j=0
N
∑
i=0
wij(z)ϕ
w
i (x)ψ
w
j (y),
(6)
де uij(z), vij(z), wij(z) — шуканi функцiї, а функцiї ϕa
i , ψ
a
j , a = u, v, w визначаються через
лiнiйнi комбiнацiї B3 сплайнiв на рiвномiрних сiтках 0 = x0 < x1 < · · · < xN = a та
0 = y0 < y1 < · · · < yM = b вiдповiдно з урахуванням граничних умов при x = 0, x = a,
y = 0, y = b.
Це дозволяє застосувати метод сплайн-колокацiї за координатами x та y та звести по-
чаткову задачу до системи 6(N + 1)(M + 1) звичайних диференцiальних рiвнянь.
Для того щоб виписати цю систему в явному виглядi, позначимо через A
[
∂nϕa
∂xn
,
∂mψa
∂ym
]
матрицю розмiрностi (N + 1)(M + 1) × (N + 1)(M + 1) вигляду:
∂nϕa0
0
∂xn
∂mψa0
0
∂ym
. . .
∂nϕa0
0
∂xn
∂mψa0
M
∂ym
. . .
∂nϕa0
M
∂xn
∂mψa0
0
∂ym
. . .
∂nϕa0
M
∂xn
∂mψa0
M
∂ym
∂nϕa0
0
∂xn
∂mψa1
0
∂ym
. . .
∂nϕa0
0
∂xn
∂mψa1
M
∂ym
. . .
∂nϕa0
M
∂xn
∂mψa1
0
∂ym
. . .
∂nϕa0
M
∂xn
∂mψa1
M
∂ym
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
∂nϕa0
0
∂xn
∂mψaM
0
∂ym
. . .
∂nϕa0
0
∂xn
∂mψaM
M
∂ym
. . .
∂nϕa0
M
∂xn
∂mψaM
0
∂ym
. . .
∂nϕa0
M
∂xn
∂mψaM
M
∂ym
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
∂nϕaN
0
∂xn
∂mψaM
0
∂ym
. . .
∂nϕaN
0
∂xn
∂mψaM
M
∂ym
. . .
∂nϕaN
0
∂xn
∂mψaM
M
∂ym
. . .
∂nϕaN
0
∂xn
∂mψaM
M
∂ym
. (7)
Через A[ϕa, ψa] позначимо матрицю розмiрностi (N+1)(M+1)×(N+1)(M+1) вигляду
ϕa0
0 ψ
a0
0 . . . ϕa0
0 ψ
a0
M . . . ϕa0
Mψ
a0
0 . . . ϕa0
Mψ
a0
M
ϕa0
0 ψ
a
0
1 . . . ϕa0
0 ψ
a1
M . . . ϕa0
Mψ
a
0
1 . . . ϕa0
Mψ
a
M
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ϕa0
0 ψ
aM
0 . . . ϕa0
0 ψ
aM
M . . . ϕa0
Mψ
aM
0 . . . ϕa0
Mψ
aM
M
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ϕa
0
NψaM
0 . . . ϕa
0
NψaM
M . . . ϕa
0
NψaM
M . . . ϕa
0
NψaM
M
. (8)
У позначеннях (7), (8): ϕa
i
j = ϕa
i (ξj), ψ
a
k
l = ψa
k(ηl), i, j = 1, . . . , N , k, l = 1, . . . ,M , a = u, v, w.
46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №10
В рамках позначень (7), (8) визначимо матрицi коефiцiєнтiв розмiрностi (N + 1)(M +
+ 1) × (N + 1)(M + 1) кожна:
Au
1 = A[ϕu, ψu], Au
2 = A
[
∂2ϕu
∂x2
, ψu
]
, Au
3 = A
[
ϕu,
∂2ψu
∂y2
]
, Au
4 = A
[
∂ϕv
∂x
,
∂ψv
∂y
]
,
Au
5 = A
[
∂ϕw
∂x
, ψw
]
, Av
1 = A[ϕv , ψv], Av
2 = A
[
∂2ϕv
∂x2
, ψv
]
, Av
3 = A
[
ϕv,
∂2ψv
∂y2
]
,
Av
4 = A
[
∂ϕu
∂x
,
∂ψu
∂y
]
, Av
5 = A
[
ϕw,
∂ψw
∂y
]
, Aw
1 = A[ϕw, ψw], Aw
2 = A
[
∂ϕu
∂x
, ψu
]
,
Aw
3 = A
[
ϕv,
∂ψv
∂y
]
, Aw
4 = A
[
∂2ϕw
∂x2
, ψw
]
, Aw
5 = A
[
ϕw,
∂2ψw
∂y
]
.
(9)
Функцiї ϕa
i (x), ψ
a
j (y) наводяться у виглядi лiнiйних комбiнацiй B-сплайнiв третього сте-
пеня. При виборi точок колокацiї для забезпечення найкращої апроксимацiї доцiльно роз-
глядати сiтку з парною кiлькiстю вузлiв за кожним з напрямкiв: N = 2n + 1, M = 2m +
+ 1. На промiжках [x2i, x2i+1], [y2j, y2j+1] береться по два вузли колокацiї, а на промiж-
ках [x2i+1, x2i+2], [y2j+1, y2j+2] не вибирається жодного: ξ2i ∈ [x2i, x2i+1], ξ2i+1 ∈ [x2i, x2i+1],
η2j ∈ [y2j , y2j+1], η2j+1 ∈ [y2j , y2j+1]. Всерединi промiжкiв вузли задаються за правилом:
ξ2i = x2i+s1hx, ξ2i+1 = x2i+s2hx, η2j = y2j+s1hy, η2j+1 = y2j+s2hy, i = 0, . . . , n, j = 0, . . . ,m,
де s1, s2 — коренi полiнома Лежандра другого порядку на вiдрiзку [0, 1], що дорiвнюють
s1 = 1/2−
√
3/6, s2 = 1/2 +
√
3/6. Такий вибiр вузлiв колокацiї є оптимальним i забезпечує
точнiсть апроксимацiї за кожним напрямком, що дорiвнює O(h3x), O(h3y), вiдповiдно.
З урахуванням позначень (9) систему (5) можна подати у виглядi
d
−→
S
dz
= A
−→
S +
−→
f , (10)
де
A =
O E O O O O
A1
2 O A3
2 O O A6
2
O O O E O O
A1
4 O A3
4 O O A6
4
O O O O O E
O A2
6 O A4
6 A5
6 O
;
−→
f =
O
−
−→
X
G
O
−
−→
Y
G
O
−
−−−−−→
Z
2G+ λ
;
−→
S — шуканий вектор, утворений з невiдомих коефiцiєнтiв рядiв (6); O — нуль-матриця;
E — одинична матриця; dimA = 6(N + 1)(M + 1) × 6(N + 1)(M + 1); dim
−→
S = dim
−→
f =
= 6(N + 1)(M + 1) × 1; dimAj
i = dimO = dimE = (N + 1)(M + 1) × (N + 1)(M + 1);
i = 2, 4, 6, j = 1, 6,
A1
2 = (Au
1)
−1(a1A
u
2 + b1A
u
3), A3
2 = (Au
1 )
−1(c1A
u
4), A6
2 = (Au
1 )
−1(d1A
u
5 ),
A1
4 = (Av
1)
−1(c2A
v
4), A3
4 = (Av
1)
−1(a2A
v
2 + b2A
v
3), A6
4 = (Av
1)
−1(d2A
v
5),
A2
6 = (Aw
1 )
−1(a3A
w
2 ), A4
6 = (Aw
1 )
−1(b3A
w
3 ), A5
6 = (Aw
1 )
−1(c3A
w
4 + d3A
w
5 ).
(11)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №10 47
Крайовi умови на сторонах z = 0, z = c отримуються аналогiчно i матимуть вигляд:
Br
−−→
S(r) =
−→
fr , r = 0, c. (12)
Тут Br — матрицi розмiрностi 3(N +1)(M +1)×6(N +1)(M +1), а
−→
fr — вiдповiднi вектори.
Крайову задачу (10), (12) розв’язуємо стiйким чисельним методом дискретної ортогоналi-
зацiї.
Розв’язки задач. Аналiз результатiв. Порiвняємо розв’язки, одержанi вказаним ви-
ще способом, iз результатами розв’язання задачi методом вiдокремлення змiнних за допо-
могою рядiв Фур’є.
Розглянемо пластину з коефiцiєнтом Пуассона ν = 0,3.
Нехай сторони пластини a = b = 1, товщина — h = 0,1, ν = 0,3, X = 0, Y = 0, Z = 0.
На гранях z = 0, z = h крайовi умови мають вигляд:
σzz0 = q, σzx0
= σzy0 = σzzh = σzxh
= σzyh = 0. (13)
На краях x = 0, y = 0, x = 1, y = 1 задамо умови шарнiрного опирання. Для x = const:
σxy = 0, v = 0, w = 0; для y = const: σxy = 0, u = 0, w = 0. Тодi шуканi функцiї перемiщень
слiд шукати у виглядi:
u(x, y, z) =
∞
∑
m=1
∞
∑
n=1
umn(z) cos
mπx
a
sin
nπy
b
,
v(x, y, z) =
∞
∑
m=1
∞
∑
n=1
vmn(z) sin
mπx
a
cos
nπy
b
,
w(x, y, z) =
∞
∑
m=1
∞
∑
n=1
wmn(z) sin
mπx
a
sin
nπy
b
.
(14)
Пiсля пiдстановки (14) в (5) для кожної з гармонiк ряду отримуємо рiвняння вигляду:
∂2umn(z)
∂z2
= a1
m2π2
a2
umn(z) + b1
n2π2
b2
umn(z) + c1
mnπ2
ab
vmn(z) + d1
mπ
a
wmn(z),
∂2vmn(z)
∂z2
= a2
n2π2
b2
vmn(z) + b2
m2π2
a2
vmn(z) + c2
mnπ2
ab
umn(z) + d2
nπ
b
wmn(z),
∂2wmn(z)
∂z2
= a3
mπ
a
umn(z) + b3
nπ
b
vmn(z) + c3
m2π2
a2
wmn(z) + d3
n2π2
b2
wmn(z).
(15)
З крайовими умовами на сторонах z = 0
β1
mπ
a
umn(z) + β2
nπ
b
vmn(z) + β3
∂wmn(z)
∂z
=
16q
π2mn
,
mπ
a
wmn(z) +
∂umn(z)
∂z
= 0,
nπ
b
wmn(z) +
∂vmn(z)
∂z
= 0;
(16)
48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №10
на сторонах z = h:
β1
mπ
a
umn(z) + β2
nπ
b
vmn(z) + β3
∂wmn(z)
∂z
= 0,
mπ
a
wmn(z) +
∂umn(z)
∂z
= 0,
nπ
b
wmn(z) +
∂vmn(z)
∂z
= 0.
(17)
Коефiцiєнти βi в (16) та (17) визначаються зi спiввiдношень Кошi та закону Гука. Знайшов-
ши розв’язки даних задач методом дискретної ортогоналiзацiї i пiдставивши їх у форму-
ли (14), отримаємо значення шуканих функцiй перемiщень.
Оскiльки область, що розглядається, при вказаних граничних умовах має осi симетрiї
x = a/2 та y = b/2, за допомогою сплайн-колокацiї задача була розв’язана на прямокутнику
[0, a/2] × [0, b/2]. При цьому використано умови симетрiї при x = a/2: u = 0, ∂v/∂x = 0,
∂w/∂x = 0; при y = b/2: v = 0, ∂u/∂y = 0, ∂w/∂y = 0.
З застосуванням методу сплайн-колокацiї були отриманi результати при рiзнiй кiлькостi
точок колокацiї, а саме, для M = N = 8, M = N = 10, M = N = 12, та при рiзнiй кiлькостi
точок iнтегрування (N1 = 50, N2 = 100, N3 = 200). Отриманi результати майже однаковi
при рiзнiй кiлькостi точок iнтегрування, що пiдтвержує збiжнiсть методу. Данi розрахункiв
надалi будемо наводити для N2 = 100.
В табл. 1 наведено значення функцiї перемiщення wE/q, знайденi за допомогою методiв
вiдокремлення змiнних при кiлькостi гармонiк ряду N =M = 10,N =M = 12 та сплайн-ко-
локацiї при кiлькостi точок колокацiї N = M = 8, N = M = 10, N = M = 12. Розрахун-
ки проводилися для точок: x1 = (0,5; 0,5; 0,001), x2 = (0,5; 0,5; 0,05), x3 = (0,5; 0,5; 0,099).
На рис. 1, а показано розподiл перемiщень wE/q в площинi z = h/2 на прямокутнику
[0, a/2] × [0, b/2]. Симетричнiсть результатiв також пiдтверджує достовiрнiсть отриманого
розв’язку.
Також було розв’язано задачу про напружено-деформований стан тiєї ж пластини при
жорстко закрiпленому контурi. Отриманi для цього випадку результати показано в табл. 2.
Розподiл перемiщень wE/q в площинi z = h/2 на прямокутнику [0, a/2] × [0, b/2] наведено
на рис. 1, б.
Таблиця 1
Точки
колокацiї
Метод Фур’є Метод сплайн-колокацiї
N,M = 10 N,M = 12 N,M = 8 N,M = 10 N,M = 12
x1 45,02033 45,49807 42,00064 44,41573 45,12831
x2 45,14742 45,57635 42,14217 44,45266 45,17275
x3 45,02972 45,50392 41,98917 44,40461 45,11987
Таблиця 2
Точки колокацiї
Метод сплайн-колокацiї
N,M = 8 N,M = 10 N,M = 12
x1 21,33551 22,08311 22,36958
x2 21,35532 22,11377 22,41866
x3 21,33482 22,07566 22,35352
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №10 49
Рис. 1. Розподiл перемiщень при шарнiрному опираннi країв (а) та при жорсткому закрiпленнi країв (б )
Проведено розрахунки при N = M = 8, N = M = 10, N = M = 12. для точок:
x1 = (0,5; 0,5; 0,001), x2 = (0,5; 0,5; 0,05), x3 = (0,5; 0,5; 0,099).
Таким чином, з одержаних результатiв видно, що чисельнi значення шуканих функцiй
при рiзнiй кiлькостi точок колокацї майже збiгаються. Це свiдчить про стiйкiсть методу.
Збiг розв’язкiв, одержаних методами сплайн-колокацiї та вiдекремлення змiнних, є крите-
рiєм достовiрностi одержаних результатiв. Тому можна зробити висновок, що запропонова-
ний чисельно-аналiтичний пiдхiд, який базується на застосуваннi методу сплайн-колокацiї
за двома координатними напрямками та методу дискретної ортогоналiзацiї для розв’язання
системи звичайних диференцiальних рiвнянь високого порядку дозволяє проводити дослiд-
ження напружено-деформованого стану прямокутних пластин у тривимiрнiй постановцi.
Цей пiдхiд можна також ефективно використовувати для випадку ортотропного матерiалу
пластини.
1. Победря Б. Е., Шешенин С.В. Некоторые задачи о равновесии упругого параллелепипеда // Изв. АН
СССР. Механика тв. тела. – 1981. – № 1. – С. 133–138.
2. Суслова Н.Н. Методы решения пространственной задачи теории упругости для тела в форме па-
раллелепипеда // Итоги науки и техники. Т. 13. Сер. механика твердого деформированного тела. –
Москва: ВИНИТИ АН СССР, 1980. – С. 187–296.
3. Budak V.D., Grigorenko A.Ya., Puzyrev S. V. Solution describing the natural vibrations of rectangular
shallow shells with varying thickness // Int. Appl. Mech. – 2007. – 43 (4). – P. 432–441.
4. Grigorenko Ya.M., Yaremchenko S. N. Influence of orthotropy on displacements and stresses in nonthin
cylindrical shells with elliptic cross section // Ibid. – 43 (6). – P. 654–661.
5. Grigorenko Ya.M., Vlaikov G.G., Grigorenko A.Ya. Problems of mechanics for anisotropic inhomogeneous
shells on the basis of different models. – Київ: ВД “Академперiодика”, 2009. – 506 с.
6. Timoshenko S. P., Goodier J. N. Theory of elasticity. – New York: McGraw Hill, 1951. – 550 p.
Надiйшло до редакцiї 05.02.2010Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка
НАН України, Київ
Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
50 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №10
A.Ya. Grigorenko, A. S. Bergulyov, S.N. Yaremchenko
Solving the 3D boundary-value problems on the bending of rectangular
plates
A numerical-analytical approach to the research of a stress-strain state of rectangular plates is
developed. The problem is solved on the basis of a three-dimensional model of the theory of elasticity.
The system of differential equations in partial derivatives is reduced to a one-dimensional problem
within the method of spline-collocation in two coordinate directions. The boundary-value problem
for a system of ordinary differential equations of a higher order is solved by a steady numerical
method of discrete ortogonalization. Examples of calculations for various boundary conditions are
presented.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №10 51
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-30725 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-01T20:59:50Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Григоренко, О.Я. Бергульов, А.C. Яремченко, C.M. 2012-02-12T09:54:33Z 2012-02-12T09:54:33Z 2010 Розв'язання тривимірних крайових задач про згин прямокутних пластин / О.Я. Григоренко, А. C. Бергульов, C.M. Яремченко // Доп. НАН України. — 2010. — № 10. — С. 44-51. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/30725 539.3 Наводиться чисельно-аналітичний підхід для дослідження напружено-деформованого стану прямокутних пластин. Задача розв'язується на основі тривимірної моделі теорії пружності. Система диференціальних рівнянь в частинних похідних зводиться до одновимірної задачі за рахунок застосування методу сплайн-колокації за двома координатними напрямками. Крайова задача для системи звичайних диференціальних рівнянь високого порядку розв'язувалася стійким чисельним методом дискретної ортогоналізації. Наведені приклади розрахунків для різних граничних умов. A numerical-analytical approach to the research of a stress-strain state of rectangular plates is developed. The problem is solved on the basis of a three-dimensional model of the theory of elasticity. The system of differential equations in partial derivatives is reduced to a one-dimensional problem within the method of spline-collocation in two coordinate directions. The boundary-value problem for a system of ordinary differential equations of a higher order is solved by a steady numerical method of discrete ortogonalization. Examples of calculations for various boundary conditions are presented. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Розв'язання тривимірних крайових задач про згин прямокутних пластин Solving the 3D boundary-value problems on the bending of rectangular plates Article published earlier |
| spellingShingle | Розв'язання тривимірних крайових задач про згин прямокутних пластин Григоренко, О.Я. Бергульов, А.C. Яремченко, C.M. Механіка |
| title | Розв'язання тривимірних крайових задач про згин прямокутних пластин |
| title_alt | Solving the 3D boundary-value problems on the bending of rectangular plates |
| title_full | Розв'язання тривимірних крайових задач про згин прямокутних пластин |
| title_fullStr | Розв'язання тривимірних крайових задач про згин прямокутних пластин |
| title_full_unstemmed | Розв'язання тривимірних крайових задач про згин прямокутних пластин |
| title_short | Розв'язання тривимірних крайових задач про згин прямокутних пластин |
| title_sort | розв'язання тривимірних крайових задач про згин прямокутних пластин |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/30725 |
| work_keys_str_mv | AT grigorenkooâ rozvâzannâtrivimírnihkraiovihzadačprozginprâmokutnihplastin AT bergulʹovac rozvâzannâtrivimírnihkraiovihzadačprozginprâmokutnihplastin AT âremčenkocm rozvâzannâtrivimírnihkraiovihzadačprozginprâmokutnihplastin AT grigorenkooâ solvingthe3dboundaryvalueproblemsonthebendingofrectangularplates AT bergulʹovac solvingthe3dboundaryvalueproblemsonthebendingofrectangularplates AT âremčenkocm solvingthe3dboundaryvalueproblemsonthebendingofrectangularplates |