Структура та динаміка гранульованих матеріалів
Проблема опису локальної структури гранульованих матеріалів розглянута на основі концепції існування структурних інваріантів. Доповнений імовірнісним сценарієм переходів проміж квазістаціонарними станами такий підхід дозволяє встановити зв'язки між параметрами локальної структури у вигляді інва...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2010 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/30803 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Структура та динаміка гранульованих матеріалів / О.І. Герасимов // Доп. НАН України. — 2010. — № 11. — С. 59-65. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-30803 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Герасимов, О.І. 2012-02-14T18:26:14Z 2012-02-14T18:26:14Z 2010 Структура та динаміка гранульованих матеріалів / О.І. Герасимов // Доп. НАН України. — 2010. — № 11. — С. 59-65. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/30803 538.9:539.215 Проблема опису локальної структури гранульованих матеріалів розглянута на основі концепції існування структурних інваріантів. Доповнений імовірнісним сценарієм переходів проміж квазістаціонарними станами такий підхід дозволяє встановити зв'язки між параметрами локальної структури у вигляді інваріантів і кінетикою впорядкування, яка має прикмети фазових перетворень. The problem of the description of a local structure of granular materials is discussed within the concept of the existence of the structural invariants. The supplement of this approach with probabilistic arguments concerning the crossover and the kinetics of transitions between the states of different measures gives the relevant picture of the evolution with a reminiscence of a phase transition between states with different structural orders. Автор глибоко вдячний А. Г. Загородньому та Н. Вандевалле за плiдне обговорення результатiв роботи. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Фізика Структура та динаміка гранульованих матеріалів Structure and dynamics of granular materials Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Структура та динаміка гранульованих матеріалів |
| spellingShingle |
Структура та динаміка гранульованих матеріалів Герасимов, О.І. Фізика |
| title_short |
Структура та динаміка гранульованих матеріалів |
| title_full |
Структура та динаміка гранульованих матеріалів |
| title_fullStr |
Структура та динаміка гранульованих матеріалів |
| title_full_unstemmed |
Структура та динаміка гранульованих матеріалів |
| title_sort |
структура та динаміка гранульованих матеріалів |
| author |
Герасимов, О.І. |
| author_facet |
Герасимов, О.І. |
| topic |
Фізика |
| topic_facet |
Фізика |
| publishDate |
2010 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Structure and dynamics of granular materials |
| description |
Проблема опису локальної структури гранульованих матеріалів розглянута на основі концепції існування структурних інваріантів. Доповнений імовірнісним сценарієм переходів проміж квазістаціонарними станами такий підхід дозволяє встановити зв'язки між параметрами локальної структури у вигляді інваріантів і кінетикою впорядкування, яка має прикмети фазових перетворень.
The problem of the description of a local structure of granular materials is discussed within the concept of the existence of the structural invariants. The supplement of this approach with probabilistic arguments concerning the crossover and the kinetics of transitions between the states of different measures gives the relevant picture of the evolution with a reminiscence of a phase transition between states with different structural orders.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/30803 |
| citation_txt |
Структура та динаміка гранульованих матеріалів / О.І. Герасимов // Доп. НАН України. — 2010. — № 11. — С. 59-65. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT gerasimovoí strukturatadinamíkagranulʹovanihmateríalív AT gerasimovoí structureanddynamicsofgranularmaterials |
| first_indexed |
2025-11-25T23:31:34Z |
| last_indexed |
2025-11-25T23:31:34Z |
| _version_ |
1850582473327509504 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
11 • 2010
ФIЗИКА
УДК 538.9:539.215
© 2010
О. I. Герасимов
Структура та динамiка гранульованих матерiалiв
(Представлено академiком НАН України А. Г. Загороднiм)
Проблема опису локальної структури гранульованих матерiалiв розглянута на основi
концепцiї iснування структурних iнварiантiв. Доповнений iмовiрнiсним сценарiєм пе-
реходiв промiж квазiстацiонарними станами такий пiдхiд дозволяє встановити зв’язки
мiж параметрами локальної структури у виглядi iнварiантiв i кiнетикою впорядкуван-
ня, яка має прикмети фазових перетворень.
Гранульованi матерiали (г. м.) є конгломерацiями великої кiлькостi дискретних твердих час-
тинок, якi можуть бути диспергованi у вакуумi чи у повiтрi, або ж поєднанi у конденсовану
речовину. Зазвичай, промiж окремими гранулами дiють лише некогезiйнi сили вiдштовху-
вального характеру, а отже г. м. набувають форми, яка зумовлена граничними умовами
(наприклад, геометрiєю об’єму, що її вмiщує), та дiєю гравiтацiйного поля. Незважаючи на
зовнiшню простоту, г. м. за певних умов можуть поводитися як подiбно, так i цiлком вiдмiнно
вiд звичайних агрегатних станiв конденсованої речовини, тобто газiв, рiдин чи твердих тiл.
Рiзноманiтнiсть типiв г. м., якi є в природi та використовуються у промисловостi (а це пiсок,
гравiй, грунти, будiвельнi, харчовi, фармакологiчнi та фармацевтичнi матерiали у грану-
льованiй формi та багато iнших), зумовлює важливiсть розумiння природи їх фiзичних
властивостей. Незважаючи на екстраординарну поведiнку г. м., яка зовнi часто виглядає як
прояв дiї саме колективних ефектiв, вони є суто механiчними системами. Поведiнка кожної
окремої гранули скорiше має сприйматися як наслiдок руху пробної частинки в оточеннi
тотожних сусiдiв. Наявнiсть непружних зiткнень, а також вiдкритий характер (вiдносно
зовнiшнiх збурень рiзної природи — перiодичних чи iмпульсних) зумовлюють складний,
суттєво нелiнiйний характер динамiки гранульованих систем [1–3].
Експериментальнi дослiдження вказують на те, що специфiчнi явища, якi вiдбуваються
у г. м., виникають завдяки непружним взаємодiям мiж частинками. Причому ми маємо
констатувати, що бiльшiсть енергiї та кiлькостi моменту iмпульсу руху дисипують внаслiдок
безпосереднього контакту мiж частинками або з границями об’єму, який обмежує систему.
Фiзичнi механiзми непружної взаємодiї частинок мiж собою та з твердою поверхнею
вивченi поки що недостатньо.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №11 59
З вищенаведених причин дослiдження динамiки г. м. на сьогоднi, головним чином, по-
в’язанi з їх моделюванням та знаходять своє обгрунтування на основi порiвняння з да-
ними числового аналiзу та результатами фiзичних експериментiв. Вiдповiднi моделi опе-
рують найчастiше рiзними уявленнями про фiзичну природу явищ та процесiв у системi, що
ускладнює побудову загального теоретичного пiдходу. Числове моделювання, яке є одним
з головних джерел параметризацiї теоретичних моделей, має використовувати послiдовний
розрахунок непружної взаємодiї, яка, навiть у випадку двох частинок, ще не до кiнця вивче-
на. А реальнi системи, окрiм суттєво багаточастинкового характеру, ще характеризуються
складною формою та дисперсiю за розмiрами гранул.
На вiдмiну вiд молекулярних конденсованих систем, г. м. допускають безпосереднє ви-
вчення локальної структури як у мiкро-, так i у мезо- та макромасштабах. До того ж,
динамiка структурних змiн, якi вiдбуваються пiд впливом зовнiшнiх збурень, також спо-
стерiгається безпосередньо.
Це особливо наочно видно у випадку двовимiрних систем. Але i тривимiрнi системи до-
пускають прецизiйне вивчення локальної структури за допомогою методу MRIT (magnetic
resonance imaging technique).
Таким чином, у випадку гранульованих систем ми маємо майже iдеальну можливiсть
безпосередньо вивчати їхню локальну структуру та динамiку, а також, що є вкрай важли-
вим, — взаємозв’язок мiж ними. Для того щоб вiдповiднi експериментальнi спостереження
були належним чином параметризованi, необхiдно мати адекватне визначення локальної
мiри стану, а також вiдповiдний метод вивчення кiнетики структурних перетворень.
Кiлькiснi параметри опису локальної структури. Обмежимо наш аналiз шляхом
розгляду дискретної множини точок {Gα} ≡ {~r(α)} (α = 0, 1, 2, . . .) iз координатами ~r(α). Цi
координати є координатами центрiв частинок (гранул), що оточують центральну частинку,
яка, у свою чергу, знаходиться на початку обраної системи координат.
Будемо вважати, що геометрична структура {Gα} може бути визначена шляхом її по-
рiвняння з альтернативною множиною точок {Γα}. Множина {Γα} має бути наперед детер-
мiнованою i являти собою зразок iдеальної (впорядкованої) структури (скажiмо, гранецен-
трованої кубiчної, гексагональної щiльної гратки тощо). Вiдомостi про {Γα} можуть бути
отриманi з альтернативних джерел iнформацiї про локальну будову обраних зразкiв. Заува-
жимо, що, наприклад, у випадку типових рiдин вибiр {Γα} є iстотно обмеженим внаслiдок
недостатньо повної iнформацiї про їхню локальну структуру [4]. Щодо г. м., їх структуру
досить легко можна спостерiгати навiть неозброєним оком.
У термiнах запропонованого пiдходу будь-яка частина системи може бути кiлькiсно опи-
сана як вiдхилення вiд обраної “iдеальної”, впорядкованої, детермiнованої множини {Γα}.
Iншими словами, ми можемо дивитися на локальну структуру як на збуджений стан попе-
редньо обраного “iдеального” впорядкованого зразка.
Формальний опис локальної структури можна здiйснити шляхом введення вiдповдiного
локального параметра впорядкування [5, 6].
Повертаючись до набору векторiв {~r(α)}, якi завдають конфiгурацiї частинок у групi,
обмежемо її розмiр масштабом r0. Роль r0 можуть вiдiгравати, скажiмо, радiуси коорди-
нацiйних сфер. Формально, множина {~r(α)} — це вже параметр, який описує структурне
впорядкування. Для газiв параметр {~r(α)} сильно флуктуює. Навпаки, для кристалiв вiн
майже не змiнюється.
У подальшому вважатимемо, що флуктуацiї {~r(α)}, якi у випадку г. м. виникають вна-
слiдок зовнiшнiх збурень, досить малi (мова тут iде, безумовно, про iншi, у порiвняннi до
60 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №11
молекулярних, порядки величин мализни). Додамо, що флуктуацiї є наслiдком як змiни
довжини, так i вiдносних кутiв мiж векторами множини {~r(α)}.
Для опису структури у масштабах, якi перевищують розмiри однiєї частинки, зручнiше
користуватися тензорними величинами. Останнi можуть бути введенi за такими правилами:
T (t)
α1...αl
=
∑
(a)
ω(~r(a))t(a)α1...αl
, T
(0)
lm =
∑
(a)
ω̃(~r(a))t
(a)
lm , (1)
де t(a)α1...αl
= ~r
(a)
α1
· · ·~r
(a)
αl
, t
(a)
lm = Ylm(Ω(a)), l = 0, 1, . . .; Ω(a) = {ϕ(a), ϑ(a)} позначає полярнi
та азимутальнi кути, що вiдповiдають напрямку ~r(a)/|~r(a)|; Ylm(Ω(a)) — сферичнi функцiї,
а ~r(a)α1
· · · ~r(a)αl
є декартiв тензор; t(a)α1...αl
— незвiдна частина тензору ~r(a)α1
· · ·~r
(a)
αl .
У (1) ω(~r(a)) та ω̃(~r(a)) — функцiї, якi визначають статистичну вагу внескiв до T (t)
α1...αl
вiд рiзних координацiйних оболонок (сфер), та до T
(0)
lm вiд рiзних орiєнтацiйних конфiгура-
цiй, вiдповiдно. Тензори T (t)
α1...αl
та T
(0)
lm можна розглядати як трансляцiйну та орiєнтацiйну
компоненти параметра порядку. Крiм того, t(a)α1...αl
i Tα1...αl
можуть бути визначенi через
лiнiйнi комбiнацiї t
(a)
lm та Tlm. Тензор Tα1...αl
належить до базису тривимiрної обертальної
групи симетрiї O3. Трансляцiйний та орiєнтацiйний параметри порядку, якi визначаються
за допомогою (1), мають 2l + 1 незалежних компонентiв, за допомогою яких можуть бути
побудованi 2(l− 1) незалежних iнварiантiв {Ψ
(k)
l }, k = 0, 1, . . . , 2(l − 1). Зауважимо, що T (0)
дає усереднене за V0 (якi оточують точку ~r0) значення густини числа частинок. Величина
T
(2)
ij = T̃
(2)
ij −
1
3
δij T̃
(2)
ii (2)
визначає густину квадрупольного моменту.
Величини T
(4)
λ1λ2λ3λ4
та T
(5)
λ1λ2λ3λ4
описують впорядкованi стани у системах iз вiдповiдною
детермiнованою кристалографiчною симетрiєю.
Рiвняння (1), записанi з урахуванням того, що всi частинки — гранули, iдентичнi одна до
одної. Якщо ця умова порушується, то потрiбно записати множину вiдповiдних тензорних
величин для кожної з компонент.
Експериментальнi дослiдження г. м. показують, що в бiльшостi випадкiв у структурi
г. м. спостерiгаються водночас впорядкованi i невпорядкованi дiлянки (доменнi структу-
ри) [12–14]. Пiд впливом зовнiшнiх збурень такi домени деформуються i змiнюють поча-
ткову симетрiю.
Локальна структура у фазовому просторi структурних iнварiантiв. Зважаю-
чи на чутливiсть структурних iнварiантiв до масштабної iєрархiї флуктуацiй, ми очiкуємо,
що для кожної величини l iснує характерний масштаб зсуву ξl, який вiдповiдає вибраному
вiдхиленню вiд Ψk
l . Флуктуацiї структурних iнварiантiв супроводжуються зменшенням ξl
iз зростанням l до границi, коли ξ можна порiвняти iз вiдповiдним ξl. У цих умовах вiдпо-
вiдний iнварiант Ψk
l флуктуює настiльки сильно, що система здатна переходити до iнших
станiв iз вiдмiнною симетрiєю.
Якщо тривимiрний домен вiдповiдає гранецентрованiй кубiчнiй, гексагональнiй густiй
або iкосаедричнiй симетрiям, вiн має складатися з однiєї центральної та 12 “зовнiшнiх” гра-
нул, якi розподiленi на однакових вiдстанях вiд центральної. Причому кожна з 12 частинок,
якi належать до обраної дiлянки, може змiнювати своє положення на поверхнi сфери радi-
усом ξ, розташованої навколо центральної гранули.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №11 61
Дотримуючись пiдходу, описаного вище, введемо два параметри порядку, а саме: про-
сторовий — Rlm i орiєнтацiйний — Qlm
Rlm =
1
N
∑
a
Ylm(Ω(a))|~r(a)|l, Qlm =
1
N
∑
a
Ylm(Ω(a)). (3)
Вiдповiднi структурнi iнварiанти, побудованi за допомогою (3), можуть бути визначенi так:
R2
l =
4π
2l + 1
l∑
m=−l
|Rlm|2, Q2
l =
2π
2l + 1
l∑
m=−l
|Qlm|2. (4)
У вiдсутностi флуктуацiй у групi гранул (Rl = Ql) структурнi iнварiанти характери-
зуються величинами, наведеними у табл. 1.
Аналiз даних, наведених у табл. 1, показує, що, зокрема, iнварiант Q6 є дуже чутли-
вим до будь-якого типу впорядкування i, таким чином, є параметром, який характеризує
рiзницю у локальнiй структурi доменiв iз рiзними типами симетрiї.
Загальна концепцiя ймовiрнiсного пiдходу. Для вивчення обмеженої множини {Γi}
обраних зразкiв введемо розподiл ймовiрностей ρ(Ψ) флуктуацiй iнварiантiв Ψl у фазовому
просторi. Припустимо, що разом iз ρ(Ψ) iснує розподiл ρn(Ψ). При цьому ρn(Ψ) описує стани,
якi можуть бути iнтерпретованi як деформованi вiдносно зразкiв з обраними симетрiями.
Покладемо, що
dW = ρn(Ψ
(0); ξ)dΨ(0) (5)
описує ймовiрнiсть знайти величину iнварiанта Ψl, яка в свою чергу завдає флуктуацiї
обраних зразкiв {Γn} в об’ємi dΨ(0) =
∏
(k)
dΨ
(0)
k поблизу {Ψ
(0)
k }. Тодi множина нерiвностей
типу
{ρn(Ψ)} < const, n = 1, 2, . . . , (6)
визначає дiлянки у фазовому просторi, якi вiдповiдають поточним деформованим станам,
що спостерiгаються.
Якщо радiус ξ є малим, розподiли ρ1(Ψ) та ρ2(Ψ) не перетинаються. У такому випадку
кожна точка Ψ являє деформований вiдносно деякого обраного зразка стан {Γi} i не може
одночасно вiдповiдати iншому {Γj}, тобто (i 6= j).
Iз зростанням флуктуацiй ξ вище вiдповiдного значення ξ > ξl два сусiднi розподiли
можуть перетинатися. У цьому випадку Ψ iз певною ймовiрнiстю може вiдповiдати двом
рiзним зразкам.
Таблиця 1. Структурнi iнварiанти {Qi}
Тип гратки Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9 Q10
Гранецентрована 0 0 0 0,1909 0 0,5745 0 0,4039 0 0,0129
кубiчна гратка
Гексагональна 0 0 0,0761 0,0972 0,2516 0,4848 0,3108 0,3170 0,1379 0,0102
густа гратка
Iкосаедрична 0 0 0 0 0 0,6633 0 0 0 0,3629
гратка
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №11
Можна ввести функцiю розпiзнавання зразкiв, яка у разi необхiдностi вибору мiж двома
видiленими станами Γ1 та Γ2 має визначатися за таким правилом:
E =
∫
min{ρ1(Ψ); ρ2(Ψ)}dΨ. (7)
Iнтегрування в (7) виконується за фазовим простором iнварiантiв, де ρi(Ψ) (i = 1, 2)
характеризує флуктуацiї вiдносно зразкiв Γ1 та Γ2. Функцiя E, яка задовольняє (7), вiдпо-
вiдає, таким чином, умовi мiнiмiзацiї помилки при розпiзнаваннi структур зразкiв.
Припустимо, що статистика флуктуацiй iнварiантiв задається ефективним гамiльтонiа-
ном F (Ψ). Обраний стан {Ψ
(0)
k } будемо вважати стацiонарним. Тодi густину ймовiрностей
флуктуацiй ρ(Ψ) можемо записати так:
ρ(Ψ) ∝ exp{−F (Ψ)}. (8)
Функцiя F (Ψ) допускає розклад у ряд Тейлора поблизу множини станiв {Ψ
(0)
k }, якi
вважаються найбiльш ймовiрними, а саме:
F (Ψ) = F (Ψ(0)) +
1
2!
∑
k,l
βklΨ
′
kΨ
′
l +
1
4!
∑
k,l,m,n
γklmnΨ
′
kΨ
′
lΨ
′
mΨ′
n + · · · . (9)
Апроксимацiя розкладу (9) квадратичною формою дозволяє отримати багатовимiрний
розподiл для ρ(Ψ) у гауссовiй формi
ρi(Ψ) =
∏
(l)
ρ
(l)
i (Ψl); ρ
(l)
i (Ψl) =
1√
2πσ
(l)
i
exp
{
−
(Ψl − 〈Ψl〉i)
2
2(σ
(l)
i )2
}
, (10)
де σ
(l)
i — середньоквадратичнi вiдхилення; Ψ′ = Ψ−Ψ(0); βkl та γklmn — матрицi, власнi зна-
чення яких можуть бути отриманi з експериментальних дослiджень локальної структури.
Кiнетичне рiвняння описує модельну флуктуацiйну кiнетику як релаксацiю структурних
iнварiантiв Ψ поблизу стацiонарного стану Ψ(0), грунтується на спiввiдношеннях (8) та (10)
i може бути записане у такому виглядi:
∂Ψ′
∂t′
= ρ{−F (Ψ′)}. (11)
Рiвняння типу (11) iз урахуванням (9) за формою є типовим диференцiйним рiвнянням iз
флуктуацiйної теорiї фазових перетворень [7] i вiдтворює вiдповiднi типи кiнетики.
Квазiстатистична модель дисипативних станiв. Для виявлення зв’язкiв геомет-
ричних та топологiчних характеристик г. м. з динамiкою їх локальних конфiгурацiй введе-
мо до розгляду конфiгурацiйну функцiю Z для множин N тотожних частинок у об’ємi V .
Функцiя Z має виглядати як сума за конфiгурацiями станiв {α}, якi забезпечують локаль-
ний мiнiмум потенцiальної енергiї U(~r1, . . . , ~rN ), тобто суто квазiстацiонарних станiв, якi
визначаються експериментально, шляхом стробоскопiчних спостережень слабко збурених
г. с. Очевидно, що кожний стоп-кадр робить нашу систему “замороженою” у поточному
квазiстацiонарному станi [8–10]. Спираючись, таким чином, на апрiорне iснування таких
квазiстацiонарних станiв, постулюємо, що ймовiрнiсть знайти частинку — гранулу у станi,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №11 63
який вiдповiдає данiй квазiстацiонарнiй конфiгурацiї, є максимальною. Вiдповiдно конфi-
гурацiйна функцiя Z має такий вигляд:
Z =
∑
α
e−βF̃α =
∑
α
1
N !Λ3N
∫
{Γα}
d~r1 · · ·
∫
d~rNe−βU(~r1,...,~rN ), (12)
де β = (kBT )
−1; Λ = h/(2πmkBT )
1/2; m — маса гранули, iнтеграл у (12) береться за
областю {Γα}, що позначає об’єми у конфiгурацiйному просторi, визначенi навколо станiв
{~r α
1 · · ·~r α
N}; F̃α — вiльна енергiя. У границях, коли {Γα} не перетинаються, спiввiдношен-
ня (12) наближаються до типового визначення конфiгурацiйного iнтегралу.
Спiльне використання концепцiї вiльного об’єму та гiпотези максимальної ймовiрностi
знайти рiзнi комiрки ємнiстю в один стан, який є одночастинково заповненим, дозволяє
розглядати вiльну енергiю як суму за вкладами {i}, що повнiстю описуються своїми гео-
метричними та топологiчними параметрами {nα
i } ≡ {n}. Як наслiдок, F̃α може бути апро-
ксимована такою формою:
F̃α = F̃ ({N(n)}),
де {N(n)} позначає кiлькiсть комiрок, кожна з яких характеризується множиною n. Вiд-
повiдно Z може бути апроксимована формою
Z =
∑
{N(n)}
Ω({N(n)})e−βF̃ ({N(n)}),
де Ω({N(n)}) — перелiк просторових розбиттiв на комiрки множини {N(n)}.
Комiрки зi станiв, що є невпорядкованими, мають рiзну форму та розмiри. Наприклад,
у випадку гранецентрованої кубiчної кристалiчної упаковки, Ω = 1. Звернемо увагу на те,
що величина Ω може бути лише промодельована або розрахована чисельно (у сенсi оцiнки
її екстремумiв). Послiдовне i самоузгоджене визначення цiєї величини є предметом окремої
задачi.
Насправдi, максимальна кiлькiсть окремих конфiгурацiй Ω задовольняє нерiвнiсть
Ω({N(n)}) 6
N !∏
(n)
N(n)!
.
У випадку, коли загальна кiлькiсть окремих конфiгурацiй вiдповiдатиме мiнiмуму загальної
потенцiальної енергiї, питома енергiя W для однiєї частинки може бути записана у виглядi
W = (lnΩ)/N .
Дослiдження зразкiв г. м. iз визначеною симетрiєю пакування дозволило встановити,
зокрема, що динамiка релаксацiї вiдповiдного параметра впорядкування навколо рiзних
стацiонарних станiв може вiдповiдати законам ростягнутої експоненти Вогеля–Фулчера,
або ж у загальному випадку описується за допомогою функцiй типу Мiттаг–Лефлера, якi
в асимптотичних границях вiдтворюють вищезазначенi закони [11–13].
Таким чином, розвинуто квазiстатистичий пiдхiд до опису динамiчної структури грану-
льованих матерiалiв, який базується на припущеннi про iснування квазiстацiонарних ста-
нiв у фазовому просторi структурних iнварiантiв. Можливi сценарiї релаксацiї вiдповiдних
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №11
параметрiв упорядкування, якi мають певнi прикмети кiнетики фазових перетворень, пiд-
тверджуються експериментальними даними [3, 11–14].
Автор глибоко вдячний А.Г. Загородньому та Н. Вандевалле за плiдне обговорення результа-
тiв роботи.
1. Jaeger H.M., Nagel S. R., Behringer R. P. The physics of granular materials // Rev. Mod. Phys. – 1996. –
68. – P. 1259–1273.
2. Duran J. Sands, Powders and Grains. – New York: Springer, 2000. – 200 p.
3. Mehta A. Granular Physics. – Cambridge: CUP, 2009. – 318 p.
4. Hansen J. P., McDonald I.R. Theory of simple liquids. – New York: Academic Press, 2006. – 416 p.
5. Patashinskii A. Z., Shumilo B. I. Theory of condensed matter based on the hypothesis of a local crystalline
order // JETP. – 1985. – 62, No 1. – P. 177–184.
6. Steinhardt P. J., Nelson D.R., Ronchetti M. Bond-orientational order in liquids and glasses // Phys.
Rev. B. – 1983. – 28. – P. 784–805.
7. Паташинский А. З., Покровский В.Л. Флуктационная теория фазовых переходов. – Москва: Наука,
1982. – 381 с.
8. Gerasimov O. I., Schram P.P. J.M., Kitahara K. Kinetics of granular segregation // Ukr. J. Phys. – 2003. –
48, No 8. – P. 885–896.
9. Gerasymov O. I., Khudyntsev N.N., Klymenkov O.A., Spivak A.Ya. The kinetics of processes occurring
in granular materials in the field of vibroaccelerations // Ibid. – 2005. – 50, No 6. – P. 624–632.
10. Герасимов О. I., Вандевалле Н., Спiвак А.Я. та iн. Стацiонарнi стани у 1D системi непружних час-
тинок // Укр. фiз. журн. – 2008. – 53, № 11. – С. 1129–1137.
11. Ribiere P., Richard P., Bideau D., Delannay R. Experimental compaction of anisotropic granular media //
Eur. Phys. J. E. – 2005. – 16, No 4. – P. 415–420.
12. Lumay G., Vandewalle N., Bodson C. et al. Linking compaction dynamics to the flow properties of pow-
ders // Appl. Phys. Lett. – 2006. – 89, No 9. – P. 093505.
13. Vandewalle N., Lumay G., Gerasymov O., Ludewig F. The influence of grain shape, friction and cohesion
on granular compaction dynamics // Eur. Phys. J. E. – 2007. – 22. – P. 241–248.
14. Reis P.M., Ingale R.A., Shattuck M.D. Crystallization of a quasi-two-dimensional granular fluid // Phys.
Rev. Lett. – 2006. – 96. – P. 258001.
Надiйшло до редакцiї 07.04.2010Одеський державний екологiчний унiверситет
О. I. Gerasymov
Structure and dynamics of granular materials
The problem of the description of a local structure of granular materials is discussed within the
concept of the existence of the structural invariants. The supplement of this approach with probabi-
listic arguments concerning the crossover and the kinetics of transitions between the states of di-
fferent measures gives the relevant picture of the evolution with a reminiscence of a phase transition
between states with different structural orders.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №11 65
|