О законе полного тока при полигармонических электродвижущих силах на входе электроцепей
Виводяться формули у векторному обчислюванні закону повного струму у випадку полігармонічної електрорухомої сили на вході електроланки. The formulas in vector calculus for the complete current law for electric circuits with polyharmonic input voltage are deduced....
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/30804 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О законе полного тока при полигармонических электродвижущих силах на входе электроцепей / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2010. — № 11. — С. 73-76. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859801083197521920 |
|---|---|
| author | Божко, А.Е. |
| author_facet | Божко, А.Е. |
| citation_txt | О законе полного тока при полигармонических электродвижущих силах на входе электроцепей / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2010. — № 11. — С. 73-76. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Виводяться формули у векторному обчислюванні закону повного струму у випадку полігармонічної електрорухомої сили на вході електроланки.
The formulas in vector calculus for the complete current law for electric circuits with polyharmonic input voltage are deduced.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:12:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
11 • 2010
ЕНЕРГЕТИКА
УДК 621(0375.8)
© 2010
Член-корреспондент НАН Украины А.Е. Божко
О законе полного тока при полигармонических
электродвижущих силах на входе электроцепей
Виводяться формули у векторному обчислюваннi закону повного струму у випадку по-
лiгармонiчної електрорухомої сили на входi електроланки.
В известных роботах, например, [1–3] и других, закон полного тока математически отражает
физический процесс в электроцепи при действии на ее входе вектора моноэлектродвижу-
щей силы. Однако в практике вибрационных испытаний на надежность машин, приборов,
их узлов и деталей с использованием электромагнитных (ЭМВС), электродинамических
(ЭДВС) вибростендов часто применяется метод испытания изделий на действие полигар-
монических вибраций и ударов. Известно [3], что удар как импульс может быть представ-
лен рядом Фурье, т. е. интерпретироваться в полигармоническом виде. А это значит, что
на входе ЭМВС, ЭДВС в этом случае будет электродвижущая сила (ЭДС), описываемая
выражением
EΣ(t) =
n
∑
α=1
Ek(t) =
n
∑
α=1
Eaα sin(ωαt± ϕα), (1)
где Eaα — амплитуда; ωα — частота; ϕα — угол сдвига α-й гармоники Uα; n — число гармоник
в EΣ(t).
Каждая Eα представляет собой вектор, вращающийся против часовой стрелки с часто-
той ωα от начальной фазы ϕα, α = 1, n.
Графически эти векторы можно изобразить так, как показано на рис. 1.
Проекции Eα, α = 1, n на ось ординат при оси абсцисс, обозначающей время t, будут
синусоиды Eaα sin(ωαt ± ϕα).
На основании (1) и рис. 1 суммарная ЭДС на входе электроцепи является вектором.
Вследствие того, что все векторы Eα приложены ко входу электроцепи в одной точке, для
отдельной гармоники Eα можно записать закон полного тока в виде [2, 3]
∫
C
Hαdl = w
∫
S
δIαdS, (2)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №11 73
Рис. 1
где Hα — напряженность магнитного поля в ЭМВС, ЭДВС; l — средняя длина магнитной
силовой линии в контуре C; S — площадь поперечного сечения провода электрической
обмотки; δIα — вектор плотности тока в точке; w — число витков обмотки.
Величина
∫
S
δIαdS равна интенсивности тока Iα, проходящего по виткам w обмотки стен-
да. Так как EΣ =
n
∑
α=1
Eα, то выражение (2) принимает вид
n
∑
α=1
∫
C
Hαdl =
n
∑
α=n
w
∫
S
δIαdS (3)
или
n
∑
α=1
∫
C
Hαdl =
n
∑
α=1
Iαw. (4)
Величина
n
∑
α=1
Hα = HΣ, являясь векторной суммой Hα, α = 1, n, представляет собой вектор
HΣ. Величина
n
∑
α=1
Iαw = w
n
∑
α=1
Iα = wIΣ.
С учетом данного представления выражение (4) запишем в виде
∫
C
HΣdl = wIΣ, (5)
т. е. выражение (5) является интегральной формой закона полного тока [3].
Продолжим далее представление закона полного тока в различных формах векторного
исчисления. Заметим, что в данном случае рассматриваем линейные электроцепи, для ко-
торых справедлив принцип суперпозиции. Примем во внимание формулу Стокса в виде [3]
∫
S
n rot adσ =
∫
C
adM . Для нашего случая
∫
C
HΣdl =
∫
S
rotHΣdS. (6)
74 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №11
Сравнивая (3) с (6), видим, что
rotHΣ =
n
∑
α=1
δIα = δIΣ, (7)
rotHΣ представляет собой векторную величину в проекциях на оси x, y, z, равную [3]
rotHΣ = i
(
∂HzΣ
∂y
−
∂HyΣ
dz
)
+ j
(
∂HxΣ
∂z
−
∂HzΣ
dx
)
+ k
(
∂HyΣ
∂x
−
∂HxΣ
dy
)
, (8)
где i, j, k — орты по соответствующим осям координат x, y, z; HxΣ, HyΣHzΣ — проекции
HΣ на оси x, y, z, соответственно.
В свою очередь, каждый вектор
Hα = iHxα + jHyα + kHzα. (9)
Используя (9) для представления HΣ в проекциях на координаты x, y, z, получим
HΣ = iHxΣ + jHyΣ + kHzΣ =
n
∑
α=1
Hα = i
n
∑
α=1
Hxα + j
n
∑
α=1
Hyα + k
n
∑
α=1
Hzα, (10)
откуда видим, что
HxΣ =
n
∑
α=1
Hxα; HyΣ =
n
∑
α=1
Hyα; HzΣ =
n
∑
α=1
Hzα. (11)
Рассмотрим теперь вектор δIΣ в системе координат x, y, z. В виде проекций на эти оси
координат он равен
δIΣ = iδxIΣ = jδyIΣ + kδzIΣ. (12)
Теперь подставим (8), (10)–(12) в (7). В результате получим
δIΣ = iδxIΣ = jδyIΣ + kδzIΣ = rotHΣ = i
(
n
∑
α=1
∂Hzα
∂y
−
n
∑
α=1
∂Hyα
∂z
)
+
+ j
(
n
∑
α=1
∂Hxα
∂z
−
n
∑
α=1
∂Hzα
∂x
)
+ k
(
n
∑
α=1
∂Hyα
∂x
−
n
∑
α=1
∂Hxα
∂y
)
=
= i
n
∑
α=1
(
∂Hzα
∂y
−
∂Hyα
∂z
)
+ j
n
∑
α=1
(
∂Hxα
∂z
−
∂Hzα
∂x
)
+ k
n
∑
α=1
(
∂Hyα
∂x
−
∂Hyα
∂z
)
=
=
n
∑
α=1
[
i
(
∂Hzα
∂y
−
∂Hyα
∂z
)
+ j
(
∂Hxα
∂z
−
∂Hzα
∂x
)
+ k
(
∂Hyα
∂x
−
∂Hyα
∂z
)]
=
=
n
∑
α=1
rotHα. (13)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №11 75
В то же время
δxIΣ =
n
∑
α=1
(
∂Hzα
∂y
−
∂Hyα
∂z
)
, δyIΣ =
n
∑
α=1
(
∂Hxα
∂z
−
∂Hzα
∂x
)
,
δzIΣ =
n
∑
α=1
(
∂Hyα
∂x
−
∂Hyα
∂z
)
.
Так как в электроцепи токи Iα текут по проводу с одним для всех токов сечением S, то
плотности токов σα = Iα/S. Заметим, что выражение (7) отражает закон полного тока
в дифференциальной форме [2], но для многочастотной входной ЭДС.
Также следует отметить, что, согласно работе [4], в электроцепи с реактивными элемен-
тами при входной полигармонической ЭДС автоматически видоизменяется структура этой
цепи. Каждой α-й гармонике ЭДС соответствует α-е реактивное сопротивление ωαL, где
L — индуктивность цепи. В этом случае каждая гармоника тока iα(t) встречает полное α-е
сопротивление вида zα =
√
R2 + (ωαL)2 и тогда
iα(t) =
Eα sin(σαt+ ϕα −Ψα)
√
R2 + (ωαL)2
,
где Ψα = arctg(ωαL/R), сдвиг iα(t) от Eα(t).
Плотность тока
δα(t) =
iα(t)
S
=
Eα(t)
S
√
R2 + (ωαL)2
= [iEαx(t) + jEαy(t) + kEαz(t)]
1
Szα
.
Величина
Eαx(t)
Szα
= δαx(t),
Eαy(t)
Szα
= δαy(t),
Eαz(t)
Szα
= δαz(t).
Таким образом, данное исследование показало возможные связи векторных сумм вели-
чин HΣ, Hα, δΣ, σα, α = 1, n, и их проекций на координатные оси в случае, когда ЭДС на
входе электроцепи является полигармоническим воздействием.
1. Даревский А.И., Кухаркин Е.С. Теоретические основы электротехники. Ч. II. Основы электромаг-
нитного поля / Под ред. проф. П.А. Ионкина. – Москва: Высш. шк., 1965. – 284 с.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле. – Москва: Высш. шк.,
1978. – 232 с.
3. Андре Анго. Математика для электро- и радиоинженеров. – Москва: Наука, 1965. – 780 с.
4. Божко А.Е. Сингуларисная теория сигналов и систем. – Харьков: Изд-во Харьков. политехн. ин-та,
2009. – 414 с.
Поступило в редакцию 25.05.2009Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
Corresponding Member of the NAS of Ukraine A.E. Bozhko
On the complete current law for electric circuits with polyharmonic
input voltage
The formulas in vector calculus for the complete current law for electric circuits with polyharmonic
input voltage are deduced.
76 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №11
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-30804 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:12:36Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Божко, А.Е. 2012-02-14T18:27:25Z 2012-02-14T18:27:25Z 2010 О законе полного тока при полигармонических электродвижущих силах на входе электроцепей / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2010. — № 11. — С. 73-76. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/30804 621(0375.8) Виводяться формули у векторному обчислюванні закону повного струму у випадку полігармонічної електрорухомої сили на вході електроланки. The formulas in vector calculus for the complete current law for electric circuits with polyharmonic input voltage are deduced. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Енергетика О законе полного тока при полигармонических электродвижущих силах на входе электроцепей On the complete current law for electric circuits with polyharmonic input voltage Article published earlier |
| spellingShingle | О законе полного тока при полигармонических электродвижущих силах на входе электроцепей Божко, А.Е. Енергетика |
| title | О законе полного тока при полигармонических электродвижущих силах на входе электроцепей |
| title_alt | On the complete current law for electric circuits with polyharmonic input voltage |
| title_full | О законе полного тока при полигармонических электродвижущих силах на входе электроцепей |
| title_fullStr | О законе полного тока при полигармонических электродвижущих силах на входе электроцепей |
| title_full_unstemmed | О законе полного тока при полигармонических электродвижущих силах на входе электроцепей |
| title_short | О законе полного тока при полигармонических электродвижущих силах на входе электроцепей |
| title_sort | о законе полного тока при полигармонических электродвижущих силах на входе электроцепей |
| topic | Енергетика |
| topic_facet | Енергетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/30804 |
| work_keys_str_mv | AT božkoae ozakonepolnogotokapripoligarmoničeskihélektrodvižuŝihsilahnavhodeélektrocepei AT božkoae onthecompletecurrentlawforelectriccircuitswithpolyharmonicinputvoltage |