Идентификация градиентными методами параметров задач диффузии двухкомпонентных веществ в нанопористых средах
На основі результатів теорії оптимального керування станами багатокомпонентних розподілених систем отримані явні вирази градієнтів функціоналів-нев'язок для ідентифікації параметрів дифузії та сорбції двокомпонентних речовин в нанопористих середовищах. On the basis of the theory of optimal cont...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/31095 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Идентификация градиентными методами параметров задач диффузии двухкомпонентных веществ в нанопористых средах / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Доп. НАН України. — 2010. — № 12. — С. 42-49. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860195002835009536 |
|---|---|
| author | Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. |
| author_facet | Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. |
| citation_txt | Идентификация градиентными методами параметров задач диффузии двухкомпонентных веществ в нанопористых средах / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Доп. НАН України. — 2010. — № 12. — С. 42-49. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | На основі результатів теорії оптимального керування станами багатокомпонентних розподілених систем отримані явні вирази градієнтів функціоналів-нев'язок для ідентифікації параметрів дифузії та сорбції двокомпонентних речовин в нанопористих середовищах.
On the basis of the theory of optimal control over the states of multicomponent distributed systems, the expressions of the gradients of functionals-residuals are built for the identification of parameters of diffusion and sorption of two-component substances in nanoporous media.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:08:19Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.6
© 2010
Академик НАН Украины И.В. Сергиенко,
академик НАН Украины В.С. Дейнека
Идентификация градиентными методами параметров
задач диффузии двухкомпонентных веществ
в нанопористых средах
На основi результатiв теорiї оптимального керування станами багатокомпонентних
розподiлених систем отриманi явнi вирази градiєнтiв функцiоналiв-нев’язок для iден-
тифiкацiї параметрiв дифузiї та сорбцiї двокомпонентних речовин в нанопористих се-
редовищах.
В настоящее время в различных областях (медицине, нефтехимии и др.) широко исполь-
зуются нанопористые материалы, в которых массоперенос имеет сложный характер, где
происходит взаимовлияние движущегося вещества по межчастичному поровому пространс-
тву и по поровому пространству достаточно мелких с большими сорбционными свойствами
составляющих пористой среды.
Вопросы математического моделирования массопереноса в нанопористых средах рас-
сматривались, например, в работах [1–4 и др.].
В данной работе на примере задачи диффузии двухкомпонентного вещества в нано-
пористой среде на основе результатов теории оптимального управления состояниями рас-
пределенных систем [5, 6], а также на основе [7] получены явные выражения градиентов
функционалов-невязок для идентификации градиентными методами [8] различных пара-
метров рассматриваемых задач.
1. Дифференциальная разномасштабная разноразмерная математическая
модель. Учитывая [4], математическую модель диффузии двухкомпонентного вещества
в слоистой нанопористой пластине запишем так. В каждой из областей ΩmT концентрации
U1(t, x), U2(t, x) двухкомпонентного вещества, диффундирующего по макропорам, удовле-
творяют системе равенств
∂
∂t
(
U1(t, x)
U2(t, x)
)
=
∂
∂x
(
Dinter
∂
∂x
(
U1(t, x)
U2(t, x)
))
−
1
Rm
Dintra
∂
∂r
(
q1(t, r, x)
q2(t, r, x)
) ∣∣∣∣
r=Rm
,
r ∈ (0, Rm), (t, x) ∈ ΩmT
, m = 1, n + 1,
(1)
где Ωm = (lm−1, lm), 0 = l0 < l1 < · · · < lm+1 = l < ∞; l — толщина пластины; t ∈ (0, T );
ΩmT = (0, T ) × Ωm.
Диффузия вещества с концентрациями q1, q2 в сферической составляющей радиусом Rm
с центром в точке x ∈ Ωm пористой среды описывается уравнением
∂
∂t
(
q1(t, r, x)
q2(t, r, x)
)
=
1
r2
Dintra
∂
∂r
(
r2
∂
∂r
(
q1(t, r, x)
q2(t, r, x)
))
,
r ∈ (0, Rm), 0 < Rm ≪ l, m = 1, n+ 1.
(2)
42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №12
Начальные условия приняты однородными
U(t = 0, x) = 0, q(t = 0, r, x) = 0, x ∈ Ωm, r ∈ (0, Rm), m = 1, n + 1. (3)
Краевые условия для концентраций U1, U2:
Dinter
∂
∂x
U
∣∣∣∣
x=0
= 0, U |x=l = U(t), t ∈ (0, T ), (4)
где U =
(
U1(t, x)
U2(t, x)
)
, U =
(
U1(t)
U2(t)
)
; Dinter, Dintra — матрицы коэффициентов диффузии по
макро и микропорам, соответственно.
Краевые условия для концентраций q =
(
q1(t, r, x)
q2(t, r, x)
)
в каждой точке x ∈ Ωm, m =
= 1, n+ 1:
Dintra
∂
∂r
(
q1(t, r, x)
q2(t, r, x)
) ∣∣∣∣
r=0
= 0,
(
q1(t, r, x)
q2(t, r, x)
) ∣∣∣∣
r=Rm
=
(
k1 0
0 k2
)(
U1(t, x)
U2(t, x)
)
, t ∈ (0, T ),
(5)
где ki = ki(t) > 0, i = 1, 2.
B каждой точке x = lm, m = 1, n, условия сопряжения имеют вид:
[U ]|x=lm = 0, t ∈ (0, T ), (6)
[
Dinter
∂
∂x
U
]∣∣∣∣
x=lm
= 0, t ∈ (0, T ), (7)
где [φ]|x=lm = φ+|lm − φ−|lm , φ±|lm = φ(t, lm ± 0).
2. Разномасштабная математическая модель диффузии вещества в слабой по-
становке. Пусть вектор-функция U =
(
U1(t, x)
U2(t, x)
)
— составляющая классического решения
дифференциальной задачи (1)–(7). Домножим обе части равенства (1) на произвольную
функцию v(x) ∈ H10 = {v(x) = (v1(x), v2(x)) : v|Ωi
∈W 1
2 (Ωi), i = 1, n + 1, [v]|x=lm = 0, m =
= 1, n, v(l) = 0} и результат проинтегрируем по области Ω, где Ω =
n+1⋃
m=1
Ωm. Имеем
(
∂U
∂t
, v
)
+ a1(U, v) = l1(q, v), t ∈ (0, T ), (8)
где
(φ,ψ) =
∫
Ω
2∑
i=1
φiψidx, a1(U, v) =
2∑
i,j=1
∫
Ω
Dinterij
∂Uj
∂x
∂vi
∂x
dx,
l1(q, v) = −
n+1∑
m=1
1
Rm
∫
Ωm
Dintra
∂
∂r
q
∣∣∣∣
r=Rm
vdx.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №12 43
Обе части равенства (2) при каждом x ∈ Ωm, m = 1, n+ 1, домножим на произвольную
функцию w(r) ∈ H20 = {v(r) = (v1(r), v2(r)) : v(r) ∈ W 1
2 (0, Rm), v(Rm) = 0}. Получим
Rm∫
0
r2
∂q
∂t
wdr + a2(q, w) = 0, x ∈ Ωm, m = 1, n+ 1, t ∈ (0, T ). (9)
На основании (3), (5) имеем
U |t=0 = 0, q|t=0 = 0, r ∈ (0, Rm), x ∈ Ωm, m = 1, n + 1, (10)
U |x=l = U(t), q|r=Rm = kU, x ∈ Ωm, m = 1, n + 1, t ∈ (0, T ), (11)
где k =
(
k1 0
0 k2
)
, a2(q, w) =
2∑
i,j=1
Rm∫
0
r2Dintraij
∂qj
∂r
∂wi
∂r
dr.
Определение 1. Обобщенным решением дифференциальной задачи (1)–(7) называется
вектор-функция (U, q) ∈ H1×H2, которая ∀ (v,w) ∈ H10×H20 удовлетворяет равенствам (8)–
(11), где
H1 =
{
v = (v1(t, x), v2(t, x)) :
n+1∑
m=1
T∫
0
∫
Ωm
2∑
i=1
(
v2i +
(
∂vi
∂t
)2
+
(
∂vi
∂x
)2)
dxdt <∞,
[v]|x=lm = 0, m = 1, n, v(t, l) = U(t), t ∈ (0, T )
}
,
H2 =
{
v(t, r, x) = (v1(t, r, x), v2(t, r, x)) :
n+1∑
m=1
T∫
0
∫
Ωm
2∑
i=1
Rm∫
0
(
v2i +
(
∂vi
∂t
)2
+
(
∂vi
∂r
)2)
drdxdt <∞
}
.
3. Идентификация коэффициентов диффузии. Пусть в задаче (1)–(7) коэффи-
циенты диффузии, т. е. элементы матриц Dinter, Dintra, являются неизвестными. При этом
предполагаем, что в некоторых точках di ∈ Ω известны концентрации U , q
U(t, di) = f1i (t), q
(
t,
Ri
2
, di
)
= f2i (t), i = 1, n + 1, t ∈ (0, T ), (12)
где f1i = (f1i1, f
1
i2), f
2
i = (f2i1, f
2
i2).
Замечание 1. Количество точек di может быть произвольным, а наблюдения могут вес-
тись за различными величинами Ul, ql, l = 1, 2. Кроме того, как частный случай, могут
быть неизвестными лишь некоторые составляющие матриц Dinter, Dintra, и неизвестными
они могут быть лишь на отдельных областях Ωm.
Тем самым получена задача (1)–(7), (12), состоящая в определении элементов матриц
Dinter, Dintra, при которых решение u = (U, q) дифференциальной задачи (1)–(7) удовлетво-
ряет равенствам (12).
44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №12
Составим функционал-невязку
J(u) =
1
2
n+1∑
i=1
T∫
0
2∑
j=1
(
(Uj(u; t, di)− f1ij)
2 +
(
qj
(
u; t,
Ri
2
, di
)
− f2ij
)2)
dt, (13)
где u = (u1, u2) ∈ U = C4
+([0, T ]) × C4
+([0, T ]), C+ = {v(t) ∈ C([0, T ]) : v > 0}, ul = {ulij}
2
i,j=1,
ulij = ulij(t), l = 1, 2. Здесь u1ij, u
2
ij — восстанавливаемые, наперед неизвестные элементы
матриц Dinter, Dintra, соответственно.
Вместо задачи (1)–(7), (12) будем решать задачу (13), (8)–(11), состоящую в определении
элемента u ∈ U , при котором выполняется условие
J(u) = inf
v∈U
J(v) (14)
с ограничениями (8)–(11).
Приближение un+1 решения u ∈ U задачи (13), (8)–(11) будем находить с помощью
итерационного процесса
un+1 = un − βnpn, n = 0, 1, . . . , n∗, (15)
начиная с некоторого начального приближения u0 ∈ U , где направление спуска pn и коэф-
фициент βn определяются выражениями [8]:
для метода минимальных ошибок
pn = J ′
un
, βn =
‖en‖
2
‖J ′
un
‖2
; (16)
для метода скорейшего спуска
pn = J ′
un
, βn =
‖J ′
un
‖2
‖AJ ′
un
‖2
; (17)
для метода сопряженных градиентов
pn = J ′
un
+ γnpn−1, γ0 = 0, γn =
‖J ′
un
‖2
‖J ′
un−1
‖2
, βn =
(J ′
un
, pn)
‖Apn‖2
, (18)
где J ′
un
— градиент функционала J(u) в точке u = un, en = Aun − f , Aun =
=
(
{Ul(un; t, di)}
2,n+1
l=1,i=1,
{
ql
(
un; t,
Ri
2
, di
)}2,n+1
l=1,i=1
)
, f = (f1, f2), f l = {f lij(t)}
n+1,2
i=1,j=1, l = 1, 2.
На каждом шаге определения (n + 1)-го приближения un+1 решения u ∈ U задачи на
основе [7] сопряженная задача состоит в определении вектор-функции ψ = (ψ1, ψ2), которая
удовлетворяет системе равенств
−
∂ψ1
∂t
=
∂
∂x
(
u1T
∂ψ1
∂x
)
+ (U(u; t, dm)− f1m(t))δ(x − dm), (t, x) ∈ ΩmT , m = 1, n+ 1,
−
Rm∫
0
(
r2
∂ψ2
∂t
, w
)
dr +
Rm∫
0
r2
(
u2T
∂ψ2
∂r
,
∂w
∂r
)
dr +
1
Rm
(
u2
∂w
∂r
∣∣∣∣
r=Rm
, ψ1
)
=
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №12 45
=
2∑
j=1
(
qj
(
un; t,
Rm
2
, dm
)
−f2mj
)
wj
(
Rm
2
, dm
)
δ(x−dm), m = 1, n+1, ∀w ∈ H20,
ψ1|t=T = 0, ψ2|t=T = 0, r ∈ (0, Rm), (t, x) ∈ ΩmT , (19)
ψ1|x=l = 0, u1T
∂ψ1
∂x
∣∣∣∣
x=0
= 0,
ψ2|r=Rm = kψ1, x ∈ Ωm, m = 1, n+ 1, t ∈ (0, T ),
где знак “T ” обозначает транспонирование.
Следуя [7], на основании (19), с учетом [5, 6], пренебрегая членами второго порядка
малости, получаем
〈J ′
un
,∆un〉 = lim
λ→0
J(un + λ∆un)− J(un)
λ
≈
n+1∑
m=1
T∫
0
∫
Ωm
(
∂
∂x
(
∆u1
∂U
∂x
)
, ψ1
)
dxdt−
−
n+1∑
m=1
1
Rm
T∫
0
∫
Ωm
(
∆u2
∂q
∂r
∣∣∣∣
r=Rm
, ψ1
)
dxdt+
+
n+1∑
m=1
T∫
0
∫
Ωm
Rm∫
0
(
∆u2
∂
∂r
(
r2
∂q
∂r
)
, ψ2
)
drdxdt+
T∫
0
(
∆u1
∂U
∂x
, ψ1
)∣∣∣∣x=0dt+
+
n+1∑
m=1
T∫
0
∫
Ωm
(
r2∆u2
∂q
∂r
∣∣∣∣
r=0
, ψ2
)∣∣∣∣
r=0
dxdt. (20)
Следовательно,
J ′
un
≈ ψ̃n, (21)
где
ψ̃n = {ψ̃m
n }n+1
m=1, ψ̃m
n = {ψ̃ml
n }2l=1, ψ̃ml
n = {ψ̃ml
nij
}2i,j=1,
ψ̃m1
n11
=
∫
Ωm
∂2U1
∂x2
ψ1
1dx+
∂U1
∂x
ψ1
1
∣∣∣∣
x=0
χ(2−m),
ψ̃m1
n12
=
∫
Ωm
∂2U2
∂x2
ψ1
1dx+
∂U2
∂x
ψ1
1
∣∣∣∣
x=0
χ(2−m),
ψ̃m1
n21
=
∫
Ωm
∂2U1
∂x2
ψ1
2dx+
∂U1
∂x
ψ1
2
∣∣∣∣
x=0
χ(2−m),
ψ̃m1
n22
=
∫
Ωm
∂2U2
∂x2
ψ1
2dx+
∂U2
∂x
ψ1
2
∣∣∣∣
x=0
χ(2−m), χ(2−m) =
{
0 при 2−m 6= 1,
1 при 2−m = 1,
46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №12
ψ̃m2
n11
=
∫
Ωm
Rm∫
0
(
∂
∂r
(
r2
∂q1
∂r
)
ψ2
1
)
drdx−
1
Rm
∫
Ωm
∂q1
∂r
∣∣∣∣
r=Rm
ψ1
1dx+
∫
Ωm
r2
∂q1
∂r
∣∣∣∣
r=0
ψ2
1dx, (22)
ψ̃m2
n12
=
∫
Ωm
Rm∫
0
∂
∂r
(
r2
∂q2
∂r
)
ψ2
1drdx−
1
Rm
∫
Ωm
∂q2
∂r
∣∣∣∣
r=Rm
ψ1
1dx+
∫
Ωm
r2
∂q2
∂r
∣∣∣∣
r=0
ψ2
1dx,
ψ̃m2
n21
=
∫
Ωm
Rm∫
0
∂
∂r
(
r2
∂q1
∂r
)
ψ2
2drdx−
1
Rm
∫
Ωm
∂q1
∂r
∣∣∣∣
r=Rm
ψ1
2dx+
∫
Ωm
r2
∂q1
∂r
∣∣∣∣
r=0
ψ2
2 |r=0dx,
ψ̃m2
n22
=
∫
Ωm
Rm∫
0
∂
∂r
(
r2
∂q2
∂r
)
ψ2
2drdx−
1
Rm
∫
Ωm
∂q2
∂r
∣∣∣∣
r=Rm
ψ1
2dx+
∫
Ωm
r2
∂q2
∂r
∣∣∣∣
r=0
ψ2
2 |r=0dx,
‖J ′
un
‖2 ≈
n+1∑
m=1
2∑
l=1
2∑
i,j=1
T∫
0
(ψ̃ml
nij
)2dt.
Наличие приближения ψ̃n градиента J ′
un
позволяет использовать градиентные методы (15)
для решения задачи (8)–(11), (13).
Замечание 2. Следуя [7], на основании выражения (20) можем легко получить прибли-
жение градиента J ′
un
для случая параметрического представления параметров Dinter, Dintra,
т. е. для случаев, когда восстанавливаемые элементы uml
ij ищутся в виде
uml
ij =
Sl∑
p=1
αml
ijpϕ
ml
p (t) > 0, (23)
где {ϕml
p (t)}Sl
p=1 — система линейно независимых функций.
Замечание 3. Следуя [7], приближение ψ̃n градиента J ′
un
можем также получить на осно-
вании слабой задачи (8)–(11) определения приращения θ состояния u, соответствующего
приращению ∆u восстанавливаемого параметра u ∈ U .
4. Идентификация коэффициентов диффузии двухкомпонентного вещества
в наносоставляющих. Пусть состояние системы описывается дифференциальной зада-
чей (1)–(7), в которой коэффициенты матрицы Dintra, отвечающие за сорбиционные свой-
ства системы, являются неизвестными. При этом в некоторых точках di ∈ Ωi, i = 1, n + 1,
известны распределения концентрации U = U(t, di) и концентрации q = q
(
t, Ri/2, di
)
, за-
данные равенствами
U(t, di) = f1i (t), (24)
q
(
t,
Ri
2
, di
)
= f2i (t), i = 1, n + 1, t ∈ (0, T ). (25)
Тем самым получена задача (1)–(7), (24), (25), состоящая в нахождении функции u = u(t) =
= {umij (t)}
n+1;2
m=1;i,j=1 ∈ U = C
4(n+1)
+ ([0, T ]), при которой составляющие U(t, x), q(t, r, x) реше-
ния u = (U, q) задачи (1)–(7) удовлетворяют равенствам (24), (25).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №12 47
Поскольку концентрации U , q задачи (1)–(7) связаны вторым соотношением системы (5),
то ограничение (24) можно переписать так:
q(t, Rm, x) = Kf1m(t), x ∈ Ωm, m = 1, n+ 1, t ∈ (0, T ). (26)
Следовательно, вместо задачи (1)–(7), (24), (25) можем рассматривать следующую зада-
чу идентификации: необходимо определить функцию u ∈ U , при которой решения q(t, r, x)
задачи, заданной равенствами
∂
∂t
q =
1
r2
u
∂
∂r
(
r2
∂
∂r
q
)
, r ∈ (0, Rm), x = dm, m = 1, n+ 1,
q(0, r, dm) = 0, r ∈ (0, Rm), m = 1, n + 1,
u
∂q
∂r
∣∣∣∣
r=0
= 0, x = dm, t ∈ (0, T ), m = 1, n + 1,
(27)
и ограничениями (26), удовлетворяет равенствам (25).
Функционал-невязку определим так:
J(u) =
n+1∑
m=1
Jm(um), (28)
где
Jm(um) =
1
2
T∫
0
2∑
i=1
(
qi
(
um; t,
Rm
2
, dm
)
− f2i (t)
)2
dt. (29)
Поскольку при каждом фиксированном u ∈ U решение q задачи (27), (26) для различных
x = dm являются независимыми, то
inf
v∈U
J(v) =
n+1∑
m=1
inf
v∈Um
Jm(vm).
Следовательно, идентификацию параметров U можно провести последовательно, иденти-
фицировав каждый um ∈ Um = C4
+([0, T ]) задачи (26), (27), (29) для каждой области Ωm
отдельно.
Для каждого приближения un решения u ∈ U = C4
+([0, T ]) сопряженная задача имеет
вид
−
∂ψ
∂t
=
1
r2
∂
∂r
(
r2uTn
∂
∂r
ψ
)
+
1
r2
(
q
(
un; t,
R
2
)
− f2(t)
)
δ
(
r −
R
2
)
, t ∈ (0, T ),
uTn
∂ψ
∂r
∣∣∣∣
r=0
, ψ(t, R) = 0,
ψ(T, r) = 0, r ∈ (0, R), R = Rm.
Следуя [7], для градиента J ′
un
функционала (29) имеем пиближение:
J ′
un
≈ ψ̃n,
48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №12
где
ψ̃n = {ψ̃ij
n }
2
i,j=1, ψ̃11
n =
R∫
0
∂
∂r
(
r2
∂q1(un)
∂r
)
ψ1dr + lim
r→0
r2
∂q1(un)
∂r
ψ1,
ψ̃12
n =
R∫
0
∂
∂r
(
r2
∂q2(un)
∂r
)
ψ1dr + lim
r→0
r2
∂q2(un)
∂r
ψ1,
ψ̃21
n =
R∫
0
∂
∂r
(
r2
∂q1(un)
∂r
)
ψ2dr + lim
r→0
r2
∂q1(un)
∂r
ψ2,
ψ̃22
n =
R∫
0
∂
∂r
(
r2
∂q2(un)
∂r
)
ψ2dr + lim
r→0
r2
∂q2(un)
∂r
ψ2, ‖J ′
un
‖2 ≈ ‖ψ̃n‖
2 =
2∑
i,j=1
T∫
0
(ψ̃ij
n )
2dt.
Для задачи (29), (26), (27) справедливы замечания, аналогичные замечаниям 2, 3, выска-
занным по отношению к задаче идентификации (1)–(7), (13).
1. Kärger J., Ruthven D. Diffusion and adsorption in porous solids // Handbook of Porous Solids / Ed. by
F. Shuth, K.W. Sing, J. Weitkamp. – Weinheim: Wiley-VCH, 2002. – P. 2089–2173.
2. N’Gokoli-Kekele P. Springuel-Huet M.-A., Fraissard J. An analytical study of molecular transport in a
zeolite crystallite bed // Adsorption. – 2002. – 8 (3). – P. 35–44.
3. Kärger J., Ruthven D. Diffusion in zeolites and other microporous solids. – New York: Wiley, 1992. – 605 p.
4. Петрик М.Р., Фрессард Ж., Михалик Д.М. Моделирование и анализ концентрационных полей не-
линейной компетитивной двухкомпонентной диффузии в среде нанопористих частиц // Проблемы
управления и информатики. – 2009. – № 4. – С. 73–82.
5. Дейнека В. С., Сергиенко И.В. Оптимальное управление неоднородными распределенными система-
ми. – Киев: Наук. думка, 2003. – 506 с.
6. Sergienko I. V., Deineka V. S. Optimal control of distributed systems with conjugation conditions. – New
York: Kluwer, 2005. – 400 p.
7. Сергиенко И.В., Дейнека В.С. Системный анализ многокомпонентных распределенных систем. –
Киев: Наук. думка, 2009. – 640 с.
8. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных
задач. – Москва: Наука, 1988. – 288 с.
Поступило в редакцию 22.06.2010Институт кибернетики им. В.М. Глушкова
НАН Украины, Киев
Academician of the NAS of Ukraine I.V. Sergienko,
Academician of the NAS of Ukraine V. S. Deineka
Identification of parameters of problems of diffusion of two-component
substances in nanoporous media by gradient methods
On the basis of the theory of optimal control over the states of multicomponent distributed systems,
the expressions of the gradients of functionals-residuals are built for the identification of parameters
of diffusion and sorption of two-component substances in nanoporous media.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №12 49
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-31095 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:08:19Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. 2012-02-22T20:45:39Z 2012-02-22T20:45:39Z 2010 Идентификация градиентными методами параметров задач диффузии двухкомпонентных веществ в нанопористых средах / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Доп. НАН України. — 2010. — № 12. — С. 42-49. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/31095 519.6 На основі результатів теорії оптимального керування станами багатокомпонентних розподілених систем отримані явні вирази градієнтів функціоналів-нев'язок для ідентифікації параметрів дифузії та сорбції двокомпонентних речовин в нанопористих середовищах. On the basis of the theory of optimal control over the states of multicomponent distributed systems, the expressions of the gradients of functionals-residuals are built for the identification of parameters of diffusion and sorption of two-component substances in nanoporous media. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика Идентификация градиентными методами параметров задач диффузии двухкомпонентных веществ в нанопористых средах Identification of parameters of problems of diffusion of two-component substances in nanoporous media by gradient methods Article published earlier |
| spellingShingle | Идентификация градиентными методами параметров задач диффузии двухкомпонентных веществ в нанопористых средах Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. Інформатика та кібернетика |
| title | Идентификация градиентными методами параметров задач диффузии двухкомпонентных веществ в нанопористых средах |
| title_alt | Identification of parameters of problems of diffusion of two-component substances in nanoporous media by gradient methods |
| title_full | Идентификация градиентными методами параметров задач диффузии двухкомпонентных веществ в нанопористых средах |
| title_fullStr | Идентификация градиентными методами параметров задач диффузии двухкомпонентных веществ в нанопористых средах |
| title_full_unstemmed | Идентификация градиентными методами параметров задач диффузии двухкомпонентных веществ в нанопористых средах |
| title_short | Идентификация градиентными методами параметров задач диффузии двухкомпонентных веществ в нанопористых средах |
| title_sort | идентификация градиентными методами параметров задач диффузии двухкомпонентных веществ в нанопористых средах |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/31095 |
| work_keys_str_mv | AT sergienkoiv identifikaciâgradientnymimetodamiparametrovzadačdiffuziidvuhkomponentnyhveŝestvvnanoporistyhsredah AT deinekavs identifikaciâgradientnymimetodamiparametrovzadačdiffuziidvuhkomponentnyhveŝestvvnanoporistyhsredah AT sergienkoiv identificationofparametersofproblemsofdiffusionoftwocomponentsubstancesinnanoporousmediabygradientmethods AT deinekavs identificationofparametersofproblemsofdiffusionoftwocomponentsubstancesinnanoporousmediabygradientmethods |