Про розв'язність диференціальних рівнянь у неархімедовому банаховому просторі в класі аналітичних вектор-функцій
Для певного класу неоднорідних диференціальних рівнянь у банаховому просторі над полем p-адичних комплексних чисел розв'язується проблема існування і єдиності аналітичного розв'язку. For a certain class of inhomogeneous differential equations in a Banach space over the field of complex p-a...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/31099 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про розв'язність диференціальних рівнянь у неархімедовому банаховому просторі в класі аналітичних вектор-функцій / В.М. Горбачук // Доп. НАН України. — 2010. — № 12. — С. 7-13. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859626202210238464 |
|---|---|
| author | Горбачук, В.М. |
| author_facet | Горбачук, В.М. |
| citation_txt | Про розв'язність диференціальних рівнянь у неархімедовому банаховому просторі в класі аналітичних вектор-функцій / В.М. Горбачук // Доп. НАН України. — 2010. — № 12. — С. 7-13. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Для певного класу неоднорідних диференціальних рівнянь у банаховому просторі над полем p-адичних комплексних чисел розв'язується проблема існування і єдиності аналітичного розв'язку.
For a certain class of inhomogeneous differential equations in a Banach space over the field of complex p-adic numbers, the problem of existence and uniqueness of a holomorphic solution is considered.
|
| first_indexed | 2025-11-29T11:19:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
12 • 2010
МАТЕМАТИКА
УДК 517.43+517.5
© 2010
В.М. Горбачук
Про розв’язнiсть диференцiальних рiвнянь
у неархiмедовому банаховому просторi в класi
аналiтичних вектор-функцiй
(Представлено членом-кореспондентом НАН України Ю.С. Самойленком)
Для певного класу неоднорiдних диференцiальних рiвнянь у банаховому просторi над по-
лем p-адичних комплексних чисел розв’язується проблема iснування i єдиностi аналi-
тичного розв’язку.
Розглядається рiвняння вигляду
Ay(m)(λ)− y(λ) = f(λ), (1)
де A — лiнiйний неперервний оператор у банаховому просторi B над деяким полем K
з нормою | · |K , а f(λ) — B-значна вектор-функцiя, аналiтична в областi {λ : |λ|K < r},
0 < r 6 ∞. Вiдомо [1, гл. 6, лема 2.1], що у випадку, коли m = 1, K — поле комплексних
чисел C, оператор A має обернений A−1, заданий на всьому просторi B, а f(λ) — цiла
функцiя мiнiмального експоненцiального типу (тобто ∀ ε > 0, ∃ cε > 0: ‖f(λ)‖ 6 cεe
ε|λ|),
рiвняння (1) має єдиний цiлий розв’язок мiнiмального експоненцiального типу. Цей резуль-
тат був поширений у [2] на випадок довiльного обмеженого A. Зокрема встановлено, що
якщо A — квазiнiльпотентний оператор (спектральний радiус дорiвнює нулевi), а f(λ) —
цiла вектор-функцiя експоненцiального типу, то рiвняння (1) однозначно розв’язне в класi
вектор-функцiй експоненцiального типу, тип яких не перевищує тип f(λ). Показано також,
що за умови lim
n→∞
n
√
n!‖An‖ = 0 для будь-якої вектор-функцiї f(λ), аналiтичної в крузi
{λ : |λ| 6 r}, iснує єдиний розв’язок рiвняння (1), аналiтичний у цьому ж самому крузi.
Мета роботи — дослiдити рiвняння (1) на розв’язнiсть (1) у випадку, коли K — поле
комплексних p-адичних чисел.
1. Покладемо K = Ω, де Ω = Ωp — поповнення алгебраїчного замикання поля Qp p-адич-
них чисел (p — просте число), яке, у свою чергу, є поповненням поля Q рацiональних чисел
вiдносно p-адичної норми
|a|p = p−ν для a = pν
n
m
∈ Q,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №12 7
де цiлi числа n i m взаємно простi з p (деталi щодо поля Ω див. у [3–7]). Припустимо також,
що B — банахiв простiр над Ω з нормою ‖ · ‖ : B 7→ R+, яка має такi властивостi:
1) ‖x‖ = 0 ⇔ x = 0;
2) ∀λ ∈ Ω, ∀x ∈ B : ‖λx‖ = |λ|p‖x‖;
3) ∀x, y ∈ B : ‖x + y‖ 6 max{‖x‖, ‖y‖};
4) простiр B є повним по нормi ‖ · ‖.
Розглянемо тепер степеневий ряд
y(λ) =
∞
∑
n=0
cnλ
n, cn ∈ B, λ ∈ Ω. (2)
Цей ряд збiгається в точцi λ тодi i тiльки тодi, коли
lim
n→∞
‖cn‖|λ|
n
p = 0.
Пiд його радiусом збiжностi зазвичай розумiється число
r = r(y) =
(
lim
n→∞
n
√
‖cn‖
)−1
.
Якщо r > 0, то ряд (2) визначає B-значну вектор-функцiю (або просто вектор-функцiю)
у вiдкритому крузi D(0, r−) = {λ ∈ Ω : |λ|p < r}. Його збiжнiсть є абсолютною i рiвномiрною
в довiльному замкненому крузi D(0, τ) = {λ ∈ Ω: |λ|p 6 τ}, τ ∈ (0, r).
Для числа α > 0 позначимо через Aα = Aα(B) множину всiх вектор-функцiй y(λ)
вигляду (2), для яких
r(y) > α i lim
n→∞
‖cn‖α
n = 0.
Лiнiйна множина Aα з нормою
‖y‖α = sup
n∈N0={0}
⋃
N
‖cn‖α
n
утворює банахiв простiр над полем Ω. Оскiльки
‖y‖α2
> ‖y‖α1
при α1 < α2, y ∈ Aα2
,
вкладення
Aα2
⊆ Aα1
,
iндуковане звуженням на область визначення, є неперервним. Простiр
Ar− = Ar−(B) = proj lim
α↑r
Aα
складається з вектор-функцiй, аналiтичних в D(0, r−). Збiжнiсть послiдовностi {yn ∈
∈ Ar−}n∈N до вектор-функцiї y у просторi Ar− означає, що
∀α ∈ (0, r) : lim
n→∞
‖yn − y‖α = 0.
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №12
2. Повернемось до рiвняння (1) i припустимо, що A — неперервний оператор у B,
а f ∈ Ar− з деяким r > 0. Пiд розв’язком цього рiвняння в крузi D(0, r−) розумiтиме-
мо вектор-функцiю y(λ) : D(0, r−) 7→ B з Ar− , що задовольняє (1) у крузi D(0, r−).
Позначимо через s величину
s = s(A) = lim
n→∞
n
√
‖An‖.
Якщо B — банахiв простiр над полем C, то s є не що iнше, як спектральний радiус опе-
ратора A.
Теорема 1. Нехай A — неперервний оператор у банаховому просторi B над полем Ω,
а вектор-функцiя
f(λ) =
∞
∑
n=0
bnλ
n, bn ∈ B, (3)
належить до Ar− з r > s1/m. Тодi в класi Ar− iснує єдиний розв’язок y(λ) рiвняння (1).
Цей розв’язок задається формулою
y(λ) = −
∞
∑
n=0
Anf (nm)(λ) =
∞
∑
n=0
cnλ
n, (4)
де
cn = −
∞
∑
k=0
(mk + n)!
n!
Akbmk+n, (5)
причому має мiсце неперервна залежнiсть розв’язку вiд правої частини рiвняння, тобто
якщо послiдовнiсть {fn ∈ Ar−}n∈N збiгається до нуля в просторi Ar− , то й послiдовнiсть
{yn(λ)}n∈N вiдповiдних розв’язкiв з простору Ar− збiгається до нуля в цьому ж самому
просторi.
Позначимо через A∞ = A∞(B) простiр усiх цiлих вектор-функцiй iз значеннями в B:
A∞ = proj lim
α→∞
Aα.
Теорема 2. Нехай у рiвняннi (1) f(λ) — цiла вектор-функцiя. Тодi в класi A∞ iснує
єдиний розв’язок y(λ) цього рiвняння. Розв’язок y(λ) неперервно залежить вiд f(λ) в то-
пологiї простору A∞.
Наслiдок 1. Якщо f(λ) — многочлен, то рiвняння (1) має єдиний розв’язок y(λ) у класi
многочленiв. Бiльше того, степенi многочленiв f(λ) та y(λ) збiгаються.
3. Вектор-функцiя y(λ) називається локально аналiтичною в нулi, якщо iснує α > 0 таке,
що y ∈ Aα. Простiр A0 = A0(B) усiх таких функцiй надiляється топологiєю iндуктивної
границi банахових просторiв Aα:
A0 = ind lim
α→0
Aα.
Послiдовнiсть {yn ∈ A0}n∈N збiгається в A0, якщо всi вектор-функцiї yn(λ) належать до Aα
з деяким α i ця послiдовнiсть збiгається у просторi Aα.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №12 9
Нехай f ∈ A0. Природно постає питання, за яких додаткових умов на вектор-функцiю
f(λ) i оператор A iснує локально аналiтичний в нулi розв’язок рiвняння (1) i як описати
усi такi розв’язки у випадку неєдиностi. Щоб вiдповiсти на це запитання, введемо простiр
цiлих векторiв експоненцiального типу замкненого оператора (див. [8]).
Отже, нехай B — довiльний замкнений оператор в B. Для числа β > 0 покладемо
Eβ(B) =
{
x ∈
⋂
n∈N0
D(Bn) | ∃c = c(x) > 0,∀ k ∈ N0 : ‖B
kx‖ 6 cβk
}
(D(·) — область визначення оператора). Лiнiйна множина Eβ(B) утворює банахiв простiр
вiдносно норми
‖x‖Eβ
= sup
n∈N0
‖Bnx‖
βn
.
Елементи простору
E(B) = ind lim
β→∞
Eβ(B) =
⋃
β>0
Eβ(B)
називаються цiлими векторами експоненцiального типу оператора B. Пiд типом σ(x) =
= σ(x,B) вектора x ∈ E(B) розумiється число
σ(x) = lim
n→∞
‖Bnx‖1/n.
У випадку, коли D(B) = B, простiр E(B) збiгається з B i
∀x ∈ B : σ(x) 6 ‖B‖.
Якщо оператор B має обмежений обернений B−1, визначений на всьому просторi B,
i s(B−1) = 0, то E(B) = {0}.
Теорема 3. Нехай A — неперервний оператор в B, для якого нуль не є власним зна-
ченням, i f ∈ Ar− з r > s1/m(A). Тодi iснує локально аналiтичний розв’язок рiвняння (1)
i цей розв’язок є єдиним тодi i тiльки тодi, коли E(A−1) = {0}. Якщо ж E(A−1) 6= {0},
то будь-який локально аналiтичний у нулi розв’язок y(λ) має вигляд
y(λ) = z(λ) +
m−1
∑
k=0
Fk(λ,A
−1)xk, xk ∈ E(A−1),
де
Fk(λ,A
−1)x =
∞
∑
n=0
A−nx
(mn+ k)!
λnm+k, (6)
а z(λ) — єдиний розв’язок рiвняння (1) з класу Ar− , який визначається теоремою 1 за
допомогою (4), (5).
Зазначимо (див. [9]), що радiус збiжностi r(Fk(·, A
−1)x) ряду (6) не залежить вiд k
i обчислюється за формулою
r(Fk(·, A
−1)x) = σ−1/m(x)p−1/(p−1)
(тут σ(x) = σ(x,A−1) — тип вектора x ∈ E(A−1)).
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №12
Наслiдок 2. Нехай f ∈ Ar− з r > s1/m(A). Покладемо
fn(λ) =
n
∑
k=0
bkλ
k,
тобто fn(λ) — частинна сума ряду (3) для f(λ). Тодi розв’язок yn(λ) рiвняння (1) з правою
частиною fn(λ) замiсть f(λ) є многочленом, причому при n → ∞ послiдовнiсть yn(λ)
збiгається у просторi Ar− до розв’язку y(λ) рiвняння (1).
4. Розглянемо задачу Кошi
{
Ay(m)(λ)− y(λ) = f(λ),
y(k)(0) = yk, k = 0, 1, . . . ,m− 1,
(7)
яка полягає у вiдшуканнi локально аналiтичної в нулi вектор-функцiї
y(λ) =
∞
∑
n=0
cnλ
n,
що задовольняє (7). Як випливає з теореми 3, ця задача не завжди розв’язна. Тому зако-
номiрним є питання, за яких умов на f(λ) i початковi данi {yk}
m−1
k=0 розглядувана проблема
має розв’язок i, якщо це так, чи є цей розв’язок єдиним. Вiдповiдь дає така теорема.
Теорема 4. Нехай A — неперервний оператор в B, для якого точка 0 не є власним
значенням. Тодi за умови, що f ∈ Ar− з деяким r > s1/m(A), задача Кошi (7) однозначно
розв’язна в A0 тодi i тiльки тодi, коли yk − k!ak ∈ E(A−1), k = 0, 1, . . . ,m− 1, де
ak = −
1
k!
∞
∑
n=0
Anf (nm+k)(0), k = 0, 1, . . . ,m− 1.
Наслiдок 3. Нехай s = s(A) = 0. Тодi задача Кошi (7) має єдиний розв’язок y(λ) в A0
тодi i тiльки тодi, коли yk = k!ak, k = 0, 1, . . . ,m − 1.
Наслiдок 4. Якщо оператор A−1 є обмеженим, то задача (7) однозначно розв’язна
в A0 для будь-яких yk ∈ B.
5. Покажемо, як наведенi результати можуть бути застосованi до диференцiальних рiв-
нянь з частинними похiдними.
Нехай B — простiр функцiй ϕ(x) iз значеннями в Ω, аналiтичних на n-вимiрнiй кулi
Dn(0, ρ) =
{
x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Ωn : ‖x‖p =
(
n
∑
i=1
|xi|
2
p
)1/2
6 ρ
}
,
тобто функцiй ϕ(x) вигляду
ϕ(x) =
∑
α
ϕαx
α, ϕα ∈ Ω,
для яких
lim
|α|→∞
|ϕα|pρ
|α| = 0,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №12 11
де α = (α1, α2, . . . , αn), αi ∈ N0, |α| = α1 + α2 + · · · + αn, xα = xα1
1 xα2
2 · · · xαn
n . Простiр B
є банаховим над полем Ω вiдносно норми
‖ϕ‖ = sup
α
|ϕ|pρ
|α|.
Диференцiальнi оператори
ϕ 7→
∂ϕ
∂xi
=
∑
α
αiϕαx
α1
1 · · · xαi−1
i · · · xαn
n , i = 1, 2, . . . , n,
є обмеженими в B, i
∥
∥
∥
∥
∂ϕ
∂xi
∥
∥
∥
∥
=
1
ρ
.
Оператор множення
T : ϕ 7→ θϕ, ϕ ∈ B,
на елемент θ ∈ B також обмежений, i
‖T‖ = ‖θ‖.
Розглянемо рiвняння
∂m
∂tm
q
∑
|β|=0
aβ(x)D
βu(t, x)− u(t, x) = f(t, x), (t, x) ∈ D(0, r−)×Dn(0, ρ), f ∈ Ar−(B),
де β = (β1, β2, . . . , βn), βi ∈ N0, aβ ∈ B, Dβ =
∂|β|
∂x
β1
1 · · · xβn
n
. Це рiвняння можна подати
у виглядi (1), якщо за A взяти оператор
ϕ 7→ Aϕ =
q
∑
|β|=0
aβD
βϕ, ϕ ∈ B.
Iз спiввiдношення
∥
∥
∥
∥
∥
q
∑
|β|=0
aβD
βϕ
∥
∥
∥
∥
∥
6 max
β
‖aβD
βϕ‖ 6 max
β
‖aβ‖‖D
βϕ‖ 6 max
β
{ρ−|β|‖aβ‖}‖ϕ‖
випливає, що оператор A обмежений в B i
‖A‖ 6 max
β
{ρ−|β|‖aβ‖}.
Згiдно з теоремою 1, при r > γ1/m, де γ = max
β
{ρ−|β|‖aβ‖}, iснує єдиний розв’язок рiвнян-
ня (8), аналiтичний у D(0, r−) × Dn(0, ρ).
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №12
1. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом про-
странстве. – Москва: Наука, 1970. – 534 с.
2. Gefter S., Stulova T. On holomorphic solutions of some implicit linear differential equation in a Banach
Space // Operator Theory: Advances and Applications. – 2009. – 191. – P. 323–332.
3. Коблиц Н. p-Адические числа, p-адический анализ и дзета-функции. – Москва: Мир, 1982. – 192 с.
4. Dwork B., Gerotto G., Sullivan F. J. An introduction to G-functions. – Princeton: Princeton University
Press, 1994. – 323 p.
5. Schikhof W.H. Ultrametric calculus, an introduction to p-adic analysis. – London: Cambridge University
Press, 1984. – 306 p.
6. Хренников А.Ю. Неархимедов анализ и его приложения. – Москва: Физматлит, 2003. – 216 с.
7. Владимиров В. С., Волович И.В., Зеленов Е.И. p-Адический анализ и математическая физика. –
Москва: Физматлит, ВО “Наука”, 1994. – 352 с.
8. Радыно Я.В. Пространство векторов экспоненциального типа // Докл. АН БССР. – 1983. – 27, № 9. –
С. 791–793.
9. Gorbachuk M.L., Gorbachuk V. I. On the Cauchy problem for differential equations in a Banach space over
the field of p-adic numbers // Proc. Steklov Inst. Math. – 2004. – 245. – P. 91–97.
Надiйшло до редакцiї 16.03.2010НТУ України “Київський полiтехнiчний iнститут”
V.M. Gorbachuk
On the solvability of differential equations in a non-Archimedean
Banach space in a class of holomorphic vector functions
For a certain class of inhomogeneous differential equations in a Banach space over the field of
complex p-adic numbers, the problem of existence and uniqueness of a holomorphic solution is
considered.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №12 13
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-31099 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-29T11:19:22Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Горбачук, В.М. 2012-02-22T20:57:21Z 2012-02-22T20:57:21Z 2010 Про розв'язність диференціальних рівнянь у неархімедовому банаховому просторі в класі аналітичних вектор-функцій / В.М. Горбачук // Доп. НАН України. — 2010. — № 12. — С. 7-13. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/31099 517.43+517.5 Для певного класу неоднорідних диференціальних рівнянь у банаховому просторі над полем p-адичних комплексних чисел розв'язується проблема існування і єдиності аналітичного розв'язку. For a certain class of inhomogeneous differential equations in a Banach space over the field of complex p-adic numbers, the problem of existence and uniqueness of a holomorphic solution is considered. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Про розв'язність диференціальних рівнянь у неархімедовому банаховому просторі в класі аналітичних вектор-функцій On the solvability of differential equations in a non-Archimedean Banach space in a class of holomorphic vector functions Article published earlier |
| spellingShingle | Про розв'язність диференціальних рівнянь у неархімедовому банаховому просторі в класі аналітичних вектор-функцій Горбачук, В.М. Математика |
| title | Про розв'язність диференціальних рівнянь у неархімедовому банаховому просторі в класі аналітичних вектор-функцій |
| title_alt | On the solvability of differential equations in a non-Archimedean Banach space in a class of holomorphic vector functions |
| title_full | Про розв'язність диференціальних рівнянь у неархімедовому банаховому просторі в класі аналітичних вектор-функцій |
| title_fullStr | Про розв'язність диференціальних рівнянь у неархімедовому банаховому просторі в класі аналітичних вектор-функцій |
| title_full_unstemmed | Про розв'язність диференціальних рівнянь у неархімедовому банаховому просторі в класі аналітичних вектор-функцій |
| title_short | Про розв'язність диференціальних рівнянь у неархімедовому банаховому просторі в класі аналітичних вектор-функцій |
| title_sort | про розв'язність диференціальних рівнянь у неархімедовому банаховому просторі в класі аналітичних вектор-функцій |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/31099 |
| work_keys_str_mv | AT gorbačukvm prorozvâznístʹdiferencíalʹnihrívnânʹunearhímedovomubanahovomuprostorívklasíanalítičnihvektorfunkcíi AT gorbačukvm onthesolvabilityofdifferentialequationsinanonarchimedeanbanachspaceinaclassofholomorphicvectorfunctions |