Подібність автомодельних потоків газу та двофазного середовища з нестисливою компонентою
Запропоновано перетворення між визначальними рівняннями для ідеального газу і двофазного середовища з довільним об'ємним вмістом конденсованої фази. Доведено, що рух двофазного середовища в перетвореній системі координат з визначеною точністю подібний до руху ідеального газу, що дозволяє викори...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/31101 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Подібність автомодельних потоків газу та двофазного середовища з нестисливою компонентою / В.О. Вахненко // Доп. НАН України. — 2010. — № 12. — С. 97-104. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859718771635126272 |
|---|---|
| author | Вахненко, В.О. |
| author_facet | Вахненко, В.О. |
| citation_txt | Подібність автомодельних потоків газу та двофазного середовища з нестисливою компонентою / В.О. Вахненко // Доп. НАН України. — 2010. — № 12. — С. 97-104. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Запропоновано перетворення між визначальними рівняннями для ідеального газу і двофазного середовища з довільним об'ємним вмістом конденсованої фази. Доведено, що рух двофазного середовища в перетвореній системі координат з визначеною точністю подібний до руху ідеального газу, що дозволяє використовувати для розв'язання ударно-хвильових задач відомі методи газодинаміки ідеального газу. На прикладі задачі про сильну стадію вибуху в двофазному середовищі продемонстровано можливості розробленого методу.
We suggest the transformation between the equations for a perfect gas and those for a two-phase medium with any volume occupied by a condensed phase. It is proved that the motion of the two-phase medium in a transformed coordinate system is similar with certain accuracy to that of a perfect gas. This means that the methods developed for a perfect gas can be used to solve shock-wave problems. The scope for the suggested transformation is demonstrated by reference to the strong explosion state in a two-phase medium.
|
| first_indexed | 2025-12-01T08:57:52Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3
© 2010
В.О. Вахненко
Подiбнiсть автомодельних потокiв газу
та двофазного середовища з нестисливою
компонентою
(Представлено членом-кореспондентом НАН України В. А. Даниленком)
Запропоновано перетворення мiж визначальними рiвняннями для iдеального газу i дво-
фазного середовища з довiльним об’ємним вмiстом конденсованої фази. Доведено, що
рух двофазного середовища в перетворенiй системi координат з визначеною точнiстю
подiбний до руху iдеального газу, що дозволяє використовувати для розв’язання удар-
но-хвильових задач вiдомi методи газодинамiки iдеального газу. На прикладi задачi про
сильну стадiю вибуху в двофазному середовищi продемонстровано можливостi розроб-
леного методу.
У даному повiдомленнi порiвнюються рухи iдеального газу i двокомпонентного середовища,
яке складається з компонент, що стискаються i не стискаються. Вiдомо [1–3], що коли об’єм-
на частка конденсованої фази мала, рух двофазного середовища подiбний до руху iдеаль-
ного газу в межах одношвидкiсної моделi. Якщо ми не обмежуємо наш розгляд величиною
об’ємної частки конденсованої фази, тодi основнi гiдродинамiчнi рiвняння мiстять цю вели-
чину як додаткову змiнну в газодинамiчних рiвняннях. Це значно ускладнює розв’язування
гiдродинамiчних рiвнянь i потребує розвитку методiв, наведених, наприклад, в статтях [4, 5].
Зосередимося на перетвореннi системи рiвнянь iдеального газу в систему рiвнянь дво-
фазного середовища з будь-яким об’ємом конденсованої фази. Завдяки такому зв’язку, ме-
тоди, якi розвинутi для iдеального газу, можуть бути використанi для розв’язання хвильо-
вих задач двокомпонентних середовищ.
Ранiше нами було отримано перетворення лише для плоских рухiв [6, 7] в ейлерових
координатах (r, t) мiж системами рiвнянь, якi описують обидва середовища. Було показа-
но, що в цьому випадку рух двокомпонентного середовища в трансформованих координатах
подiбний до руху iдеального газу. В цих роботах також аналiзувалися i порiвнювалися сис-
теми рiвнянь, якi описують газ i двокомпонентне середовище в ейлерових координатах для
одновимiрних рухiв як цилiндричної, так i сферичної симетрiй. На той час було отримано
перетворення, що мало iстотне обмеження, а саме, для цилiндричної та сферичної симетрiй
час змiнюється неоднаково для рiзних точок простору [6, 7].
1. Система рiвнянь в лагранжевих координатах. Нами зроблено зусилля, щоб
обiйти це обмеження. Певною мiрою нам це вдалося завдяки стимулюючiй пiдтримцi ко-
лег. Одна з iдей полягає в тому, щоб записати систему рiвнянь у лагранжевих координатах
(ξ, τ). Розглянемо двофазне середовище, яке складається з рiвномiрно розподiленого в га-
зовiй фазi конденсованого компонента, що займає довiльний об’єм ε. Припустимо, що: а —
конденсована фаза нестислива; б — газ задовольняє рiвнянню стану iдеального газу; в —
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №12 97
швидкостi конденсованої фази й газу рiвнi. Закони збереження маси, iмпульсу та енергiї
для одновимiрних рухiв у лагранжевих координатах набувають вигляду [8, 9]:
rν−1
ξν−1
(
∂r
∂ξ
)
τ
=
v
v0
, u =
(
∂r
∂τ
)
ξ
,
(
∂u
∂τ
)
ξ
+ v0
(
r
ξ
)ν−1(∂p
∂ξ
)
τ
= 0,
∂E
∂τ
+ pv0ξ
1−ν
(
∂rν−1u
∂ξ
)
τ
= 0.
(1)
Тут v — питомий об’єм. Параметр ν, який визначає симетрiю двофазного потоку, приймає
значення 1, 2 або 3 вiдповiдно для плоскої, цилiндричної або сферичної симетрiй. Другi по-
значення загальновживанi. Iндекс 0 означає величини до незбуреного середовища. Вiдзна-
чимо, що ейлерова просторова координата r = r(ξ, τ) — залежна змiнна. В межах прийнятих
припущень рiвняння стану двофазного середовища записується у виглядi [1, 5, 10]:
E =
pv(1− ε)
γ − 1
. (2)
Отже, рiвняння стану (2) не збiгається з рiвнянням стану iдеального газу з конкретним
ефективним показником адiабати γ та утримує об’ємну частку конденсованої фази як до-
даткову змiнну
ε = ε0
v0
v
. (3)
Розглядаючи адiабатичний потiк (γ = const), рiвняння енергiї зведемо до вигляду [9]:
(
∂p(v − ε0v0)
γ
∂τ
)
ξ
= 0. (4)
Таким чином, замкнена система рiвнянь складається з перших трьох рiвнянь (1) та рiв-
нянь (3), (4).
Зазначимо, що спiввiдношення мiж ейлеровою i лагранжевою просторовими координа-
тами має вигляд
dr =
ξν−1
rν−1
v
v0
dξ + udτ. (5)
Покажемо, що для стацiонарних (та, з певною точнiстю, для автомодельних) потокiв
можна знайти новi змiннi, в яких усi рiвняння повнiстю подiбнi до рiвнянь iдеального газу
та явно не залежать вiд ε. Для таких потокiв буде знайдено зв’язок (перетворення) мiж
старими нештрихованими (двофазне середовище) та новими штрихованими (iдеальний газ)
змiнними.
Такi фiзичнi аргументи дають пiдгрунтя для виключення об’єму конденсованої фази
з (1), (2), (4). Дiйсно, якщо конденсована фаза не змiнюється в об’ємi, тобто в нiй збурення
передається миттєво (умова (а)), i вона не дає внесок у тиск (умова (б)) та рухається разом
з газовою фазою (умова (в)), тодi можна сподiватися, що виключення об’єму, який займає
конденсована фаза, повинне значно спростити математичний опис руху.
98 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №12
2. Подiбнiсть стацiонарних рухiв газу та двофазного середовища. Нам потрiбно
привести початкову систему рiвнянь (1)–(4) до системи рiвнянь, яка описує iдеальний газ
(змiннi позначенi штрихом):
(
r′
ξ′
)ν−1(∂r′
∂ξ′
)
τ ′
=
v′
v′
0
, u′ =
(
∂r′
∂τ ′
)
ξ′
,
(
∂u′
∂τ ′
)
ξ′
+ v′0
(
r′
ξ′
)ν−1(∂p′
∂ξ′
)
τ ′
= 0,
(
∂p′(v′)γ
∂τ ′
)
ξ′
= 0.
(6)
Для цiєї системи рiвнянь зв’язок мiж ейлеровою i лагранжевою просторовими коорди-
натами набуває такого вигляду:
dr′ =
(
ξ′
r′
)ν−1 v′
v′
0
dξ′ + u′dτ ′. (7)
Одна з ключових вимог: перебiг часу однаковий в усiх системах координат, тобто t =
= τ = τ ′.
Хвилi в фазi, що не стискається, поширюються з безмежно великою швидкiстю. Отже,
об’єм цiєї фази може бути виключено, тодi зв’язок мiж рiвнянням (4) та останнiм рiвнян-
ням (6) має вигляд
v′ = v − ε0v0, (8)
p′ = p. (9)
Це спiввiдношення вказує, що частина об’єму, яку займає нестислива фаза, виключається,
а вся маса розподiляється рiвномiрно по всьому залишковому об’єму.
Порiвнюючи рiвняння неперервностi мiж собою, тобто першi рiвняння системи (1) та
системи (6), маємо задовольнити вимозi
ε0 + (1− ε0)
(
r′
ξ′
)ν−1(∂r′
∂ξ′
)
τ ′
=
(
r
ξ
)ν−1(∂r
∂ξ
)
τ
. (10)
Також потрiбно узгодити рiвняння iмпульсу, якi пiсля деяких перетворень набувають такого
вигляду:
(
∂u
∂τ
)
ξ
− γp0
(
r
ξ
)ν−1(v′0
v′
)γ+1 1
1− ε0
(
∂v′
∂ξ
)
τ
= 0, (11)
(
∂u′
∂τ ′
)
ξ′
− γp′0
(
r′
ξ′
)ν−1(v′0
v′
)γ+1(∂v′
∂ξ′
)
τ ′
= 0. (12)
Скористаємося пiдказкою, яку дає перетворення мiж системами рiвнянь в ейлерових
координатах для плоского випадку (ν = 1) [6, 7]. Ключове спiввiдношення мiж незалежними
(в ейлерових координатах) просторовими змiнними має вигляд (1.6в) з публiкацiї [7]:
dr′ = (1− ε)dr + εudt. (13)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №12 99
Члени з ε, що зiбранi разом, за допомогою спiввiдношення (5) набувають значення εdr −
− εudt = ε0dξ. Дана пiдказка (13) вказує, що зв’язок мiж штрихованою та нештрихованою
системами рiвнянь, можливо, набуває такої форми:
r′ν−1dr′ = rν−1dr − ε0ξ
ν−1dξ. (14)
У такий спосiб ми задовольняємо важливу умову, а саме: величина dr′ є повним диферен-
цiалом, що, в свою чергу, дозволяє нам переписати спiввiдношення (14) в iнтегральному
виглядi
r′ν = rν − ε0ξ
ν . (15)
Безпосередньо з (14) випливає зв’язок мiж масовими швидкостями
r′ν−1u′ = rν−1u. (16)
Прямою пiдстановкою цього спiввiдношення перевiряється вимога (10), яка зводиться до
перетворення
ξ′ν = (1− ε0)ξ
ν . (17)
Перетворюючи рiвняння (11), приходимо до нового рiвняння, яке, крiм усiх членiв рiвнян-
ня (12), утримує додатковий член, а саме:
u′
(
r′
r
)ν−1(∂(r/r′)ν−1
∂τ
)
ξ
. (18)
Позбутися додаткового члена можна, розглядаючи стацiонарнi потоки, а також, можливо,
описуючи автомодельний рух.
Таким чином, нами знайдено перетворення (8), (9), (15)–(17) мiж системами рiвнянь (1)–
(4) i (6) для стацiонарних потокiв, тобто можна стверджувати, що не тiльки для плоских
потокiв, а й для цилiндричної та сферичної симетрiй стацiонарний рух двофазного середо-
вища повнiстю подiбний до стацiонарного руху газу.
3. Автомодельнi потоки з ударними хвилями. Вищезазначений метод надає пев-
нi переваги для розв’язування автомодельних задач. Застосуємо метод для розв’язування
задачi про сильну стадiю вибуху в двофазному середовищi.
Нехай певна кiлькiсть енергiї E0 миттєво видiляється в безмежно малому об’ємi двофаз-
ного середовища. Обмежуючись розглядом вiдстаней поширення ударних хвиль, до яких
можна знехтувати початковою внутрiшньою енергiєю середовища в порiвняннi з E0, про-
аналiзуємо поширення ударної хвилi. Її швидкiсть визначається так:
D =
drf
dt
, (19)
де rf — координата фронту ударної хвилi; rf = rf (t) є функцiєю тiльки часу. Зазначимо,
що ξf = rf .
Визначимо новi незалежнi змiннi для систем рiвнянь, що описують двофазний потiк
(1), (3), (4):
P =
v0p
D2
, U =
u
D
, V =
v
v0
, µ =
ξ
ξf
,
η =
r
ξf
, χ =
ξf
τ0D
, z =
ξf
D2
dD
dτ
,
(20)
100 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №12
а також газ (6)
P ′ =
v′0p
′
D′2
, U ′ =
u′
D′
, V ′ =
v′
v′
0
, µ′ =
ξ′
ξ′f
,
η′ =
r′
ξ′f
, χ′ =
ξ′f
τ0D′
, z′ =
ξ′f
D′2
dD′
dτ ′
, D′ =
dξ′f
dτ
.
(21)
З спiввiдношення (15) маємо:
r′f
ν
= (1− ε0)rf
ν , r′f
ν−1
D′ = (1− ε0)rf
ν−1D. (22)
На стадiї сильної ударної хвилi за фронтом реалiзується автомодельний потiк, тобто:
а — похiднi по χ дорiвнюють нулю; б — z = z′ = −ν/2 [4, 5, 8, 9]. Тодi можна переписати
системи рiвнянь для двофазного середовища таким чином:
ην−1
µν−1
dη
dµ
= V, zU − µ
dU
dµ
+
ην−1
µν−1
dP
dµ
= 0, P (V − ε0)
γµν = const, (23)
з граничними умовами
U = P =
2(1 − ε0)
γ + 1
, V =
γ − 1 + 2ε0
γ + 1
,
а для газу — у виглядi
(
η′
µ′
)ν−1 dη′
dµ′
= V ′, z′U ′ − µ′
dU ′
dµ′
+
(
η′
µ′
)ν−1dP ′
dµ′
= 0, P ′V ′γµ′ν = const (24)
з граничними умовами
U ′ = P ′ =
2
γ + 1
, V ′ =
γ − 1
γ + 1
.
Перетворення (8), (9), (15)–(17) легко зводяться до безрозмiрного вигляду:
(1− ε0)V
′ = V − ε0, (1− ε0)P
′ = P, (1− ε0)
(
η′
η
)ν−1
U ′ = U,
ην = (1− ε0)η
′ν + ε0µ
ν , µ = µ′.
(25)
З’ясовано, що навiть для автомодельного руху з ударною хвилею (на вiдмiну вiд стацiо-
нарних рухiв) не вдалося знайти тотожне перетворення мiж системами (22) i (23). Тобто
для ν 6= 1 iснує рiзниця мiж системою, яка виникає з (23) за допомогою перетворення (25),
та системою (22). Перетворена система утримує додатковий член U ′η′
(
η′
η
)ν−1 d(η/η′)ν−1
dη
.
На прикладi задачi про точковий вибух оцiнимо похибку, яку вносить додатковий член.
Безрозмiрнi питомий об’єм V , швидкiсть U й тиск P обчислювалися двома методами.
По-перше, система рiвнянь (23) розв’язувалась для деяких конкретних значень ε0. По-дру-
ге, змiннi V , U , P знаходились за допомогою перетворення (25) з розв’язку системи рiв-
нянь для газу (24). Результати числових розрахункiв для сильної стадiї вибуху наведенi
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №12 101
Рис. 1. Профiлi безрозмiрної швидкостi. Точнi (кривi 1, 2, 3 ) та наближенi (кривi 1
′, 2
′, 3
′) розв’язки
повнiстю збiгаються
Рис. 2. Профiлi безрозмiрної густини R = V
−1. Точнi (кривi 1, 2, 3 ) та наближенi (кривi 1
′, 2
′, 3
′) розв’язки
повнiстю збiгаються
на рис. 1–4. Для наглядностi скористаємося безрозмiрною густиною замiсть безрозмiрного
питомого об’єму R = V −1. На рис. 1–4 кривi 1, 1 ′ вiдносяться до газу (ε0 = 0, γ = 1,4),
кривi 2, 2 ′ й 3, 3 ′ — до двофазного середовища з ε0 = 0,1, γ = 1,1 й ε0 = 0,5, γ = 1,005
вiдповiдно. Майже повний збiг значень спостерiгається для U , R, отриманих двома метода-
ми. На рисунках рiзницi, оскiльки вони малi, не видно. В той самий час найбiльша похибка
появляється для P (див. рис. 3). Звертаємо увагу, що тут початкова об’ємна частка ε0 = 0,5,
тобто половину початкового об’єму займає конденсована фаза. Видно, що навiть при такому
великому об’ємi, який займає нестислива компонента, найбiльша розбiжнiсть не перевищує
15%. Отже, розв’язок задачi про сильну стадiю вибуху в перетворенiй системi координат
зводиться до розв’язку системи рiвнянь (24) (тут можна скористатися вiдомими автомо-
дельними розв’язками i табличними даними, поданими, наприклад, в [8, 9, 11]), а потiм,
застосовуючи перетворення (25), оцiнити U , P , V .
102 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №12
Рис. 3. Профiлi безрозмiрного тиску. Кривi 2 й 3 — точнi розв’язки. Кривi 2
′ й 3
′ — наближенi розв’язки
Рис. 4. Профiлi об’ємної частки конденсованої компоненти
Таким чином, нами запропоновано перетворення, за допомогою якого можна з певною
точнiстю переносити вiдомi розв’язки гiдродинамiчних задач для газу на двофазнi середо-
вища з довiльною об’ємною часткою конденсованої фази.
1. Rudinger G. Some effects of finite particle volume on the dynamics of a gas-particle mixture // AIAA J. –
1965. – 3, No 7. – P. 3–10.
2. Арутюнян Г.М. Условия применимости результатов гидродинамики совершенного газа к дисперсным
средам // Изв. АН СССР. Механика жидк. газа. – 1979. – № 1. – P. 157–160.
3. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. I. – Москва: Наука, 1987. – 464 с.
4. Suzuki T., Ohyagi S., Higashino F. et al. The propagation of reacting blast waves through inert particle
clouds // Acta Astron. – 1976. – 3. – P. 517–529.
5. Pai I., Menon S., Fan Z.Q. Similarity solution of a strong shock wave propagating in a mixture of gas and
dusty particles // Int. J. Eng. Sci. – 1980. – 18, No 12. – P. 1365–1378.
6. Кудинов В.М., Паламарчук Б.И., Вахненко В.А. Затухание сильной ударной волны в двухфазной
среде // Докл. АН СССР. – 1983. – 272, № 5. – С. 1080–1083.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №12 103
7. Вахненко В.А., Паламарчук Б.И. Описание ударно-волновых процессов в двухфазных средах, со-
держащих несжимаемую фазу // Журн. прикл. мат. и техн. физ. – 1984. – № 1. – С. 105–111.
8. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. – Москва: Наука, 1983. – Ч. I-II.
9. Коробейников В.П. Задачи теории точечного взрыва. – Москва: Наука. – 1985. – 400 с.
10. Kudinov V.M., Palamarchuk B. I., Vakhnenko V.A. et al. Relaxation phenomena in two-phase media of a
foamy structure, in: Shock Waves, Explosion, and Detonations. – New York: AIAA. – 1983. – P. 96–118.
11. Кестенбойм X. С., Росляков Г. С., Чудов Л.А. Точечный взрыв. Методы расчета. Таблицы. – Москва:
Наука, 1974. – 255 с.
Надiйшло до редакцiї 22.03.2010Iнститут геофiзики iм. С. I. Субботiна
НАН України, Київ
V.O. Vakhnenko
An analogy of the self-similar flows of a gas and a two-phase medium
with noncompressive component
We suggest the transformation between the equations for a perfect gas and those for a two-phase
medium with any volume occupied by a condensed phase. It is proved that the motion of the two-
phase medium in a transformed coordinate system is similar with certain accuracy to that of a
perfect gas. This means that the methods developed for a perfect gas can be used to solve shock-
wave problems. The scope for the suggested transformation is demonstrated by reference to the
strong explosion state in a two-phase medium.
104 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №12
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-31101 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-01T08:57:52Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Вахненко, В.О. 2012-02-22T21:03:18Z 2012-02-22T21:03:18Z 2010 Подібність автомодельних потоків газу та двофазного середовища з нестисливою компонентою / В.О. Вахненко // Доп. НАН України. — 2010. — № 12. — С. 97-104. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/31101 539.3 Запропоновано перетворення між визначальними рівняннями для ідеального газу і двофазного середовища з довільним об'ємним вмістом конденсованої фази. Доведено, що рух двофазного середовища в перетвореній системі координат з визначеною точністю подібний до руху ідеального газу, що дозволяє використовувати для розв'язання ударно-хвильових задач відомі методи газодинаміки ідеального газу. На прикладі задачі про сильну стадію вибуху в двофазному середовищі продемонстровано можливості розробленого методу. We suggest the transformation between the equations for a perfect gas and those for a two-phase medium with any volume occupied by a condensed phase. It is proved that the motion of the two-phase medium in a transformed coordinate system is similar with certain accuracy to that of a perfect gas. This means that the methods developed for a perfect gas can be used to solve shock-wave problems. The scope for the suggested transformation is demonstrated by reference to the strong explosion state in a two-phase medium. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Науки про Землю Подібність автомодельних потоків газу та двофазного середовища з нестисливою компонентою An analogy of the self-similar flows of a gas and a two-phase medium with noncompressive component Article published earlier |
| spellingShingle | Подібність автомодельних потоків газу та двофазного середовища з нестисливою компонентою Вахненко, В.О. Науки про Землю |
| title | Подібність автомодельних потоків газу та двофазного середовища з нестисливою компонентою |
| title_alt | An analogy of the self-similar flows of a gas and a two-phase medium with noncompressive component |
| title_full | Подібність автомодельних потоків газу та двофазного середовища з нестисливою компонентою |
| title_fullStr | Подібність автомодельних потоків газу та двофазного середовища з нестисливою компонентою |
| title_full_unstemmed | Подібність автомодельних потоків газу та двофазного середовища з нестисливою компонентою |
| title_short | Подібність автомодельних потоків газу та двофазного середовища з нестисливою компонентою |
| title_sort | подібність автомодельних потоків газу та двофазного середовища з нестисливою компонентою |
| topic | Науки про Землю |
| topic_facet | Науки про Землю |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/31101 |
| work_keys_str_mv | AT vahnenkovo podíbnístʹavtomodelʹnihpotokívgazutadvofaznogoseredoviŝaznestislivoûkomponentoû AT vahnenkovo ananalogyoftheselfsimilarflowsofagasandatwophasemediumwithnoncompressivecomponent |