Флуктуационный подход в теории радиационно-кондуктивного теплообмена
Розглядається проблема радіаційно-кондуктивного теплообміну у діелектричному середовищі. Вивчається механізм теплообміну за допомогою випромінювання, що породжується тепловими флуктуаціями електричної поляризації. 0бчислюється густина потоку енергії випромінювання у вигляді функціонала від розподілу...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/31107 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Флуктуационный подход в теории радиационно-кондуктивного теплообмена / Ю.П. Вирченко, М.А. Сапрыкин // Доп. НАН України. — 2010. — № 12. — С. 63-69. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-31107 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-311072025-02-09T18:16:18Z Флуктуационный подход в теории радиационно-кондуктивного теплообмена Fluctuation approach in heat radiative conductivity theory Вирченко, Ю.П. Сапрыкин, М.А. Фізика Розглядається проблема радіаційно-кондуктивного теплообміну у діелектричному середовищі. Вивчається механізм теплообміну за допомогою випромінювання, що породжується тепловими флуктуаціями електричної поляризації. 0бчислюється густина потоку енергії випромінювання у вигляді функціонала від розподілу температури у середовищі. The problem of heat radiative conductance in a dielectric medium is considered. The mechanism of heat conductivity by the radiation generated by thermal fluctuations of the electrical polarization is studied. The energy flux density of the radiation is evaluated in the form of a functional of the temperature distribution in the medium. 2010 Article Флуктуационный подход в теории радиационно-кондуктивного теплообмена / Ю.П. Вирченко, М.А. Сапрыкин // Доп. НАН України. — 2010. — № 12. — С. 63-69. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/31107 519.217.5+519.218.4 ru Доповіді НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Фізика Фізика |
| spellingShingle |
Фізика Фізика Вирченко, Ю.П. Сапрыкин, М.А. Флуктуационный подход в теории радиационно-кондуктивного теплообмена Доповіді НАН України |
| description |
Розглядається проблема радіаційно-кондуктивного теплообміну у діелектричному середовищі. Вивчається механізм теплообміну за допомогою випромінювання, що породжується тепловими флуктуаціями електричної поляризації. 0бчислюється густина потоку енергії випромінювання у вигляді функціонала від розподілу температури у середовищі. |
| format |
Article |
| author |
Вирченко, Ю.П. Сапрыкин, М.А. |
| author_facet |
Вирченко, Ю.П. Сапрыкин, М.А. |
| author_sort |
Вирченко, Ю.П. |
| title |
Флуктуационный подход в теории радиационно-кондуктивного теплообмена |
| title_short |
Флуктуационный подход в теории радиационно-кондуктивного теплообмена |
| title_full |
Флуктуационный подход в теории радиационно-кондуктивного теплообмена |
| title_fullStr |
Флуктуационный подход в теории радиационно-кондуктивного теплообмена |
| title_full_unstemmed |
Флуктуационный подход в теории радиационно-кондуктивного теплообмена |
| title_sort |
флуктуационный подход в теории радиационно-кондуктивного теплообмена |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Фізика |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/31107 |
| citation_txt |
Флуктуационный подход в теории радиационно-кондуктивного теплообмена / Ю.П. Вирченко, М.А. Сапрыкин // Доп. НАН України. — 2010. — № 12. — С. 63-69. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT virčenkoûp fluktuacionnyjpodhodvteoriiradiacionnokonduktivnogoteploobmena AT saprykinma fluktuacionnyjpodhodvteoriiradiacionnokonduktivnogoteploobmena AT virčenkoûp fluctuationapproachinheatradiativeconductivitytheory AT saprykinma fluctuationapproachinheatradiativeconductivitytheory |
| first_indexed |
2025-11-29T12:37:16Z |
| last_indexed |
2025-11-29T12:37:16Z |
| _version_ |
1850128301101678592 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
12 • 2010
ФIЗИКА
УДК 519.217.5+519.218.4
© 2010
Ю.П. Вирченко, М. А. Сапрыкин
Флуктуационный подход в теории
радиационно-кондуктивного теплообмена
(Представлено академиком НАН Украины С.В. Пелетминским)
Розглядається проблема радiацiйно-кондуктивного теплообмiну у дiелектричному сере-
довищi. Вивчається механiзм теплообмiну за допомогою випромiнювання, що пород-
жується тепловими флуктуацiями електричної поляризацiї. 0бчислюється густина
потоку енергiї випромiнювання у виглядi функцiонала вiд розподiлу температури у се-
редовищi.
1. Перенос тепла в твердотельной среде осуществляется двумя механизмами — посредством
теплопроводности и электромагнитным излучением, порождаемым тепловыми возбужде-
ниями состояния среды. В соответствии с этим эволюционное уравнение для распределения
температуры T (r, t) в момент времени t должно записываться в виде [1]
ρλṪ (r, t) = κ∆T (r, t)− (∇,S(r, t)), (1)
где κ > 0 — коэффициент теплопроводности среды; ρ — плотность среды и λ — ее теп-
лоемкость (в предположении постоянства этих характеристик среды). Второе слагаемое
в правой части (1), определяемое плотностью потока энергии электромагнитного излуче-
ния S(r, t), которое переносит тепло, ответственно за механизм радиационно-кондуктивного
теплообмена. Центральным, для постановки задач радиационно-кондуктивного теплообме-
на, является вычисление плотности S(r, t) в виде функционала S(r, t) = S[T (r, t)] от рас-
пределения температуры. После этого уравнение (1) для T (r, t) становится самосогласован-
ным. Обычно плотность потока энергии S(r, t) определятся на основе феноменологических
соображений об интенсивности переноса энергии излучения [1, 2]. Однако в такого рода рас-
суждениях само электромагнитное поле, осуществляющее перенос тепла, не используется.
Это положение является неудовлетворительным с теоретической точки зрения. Оно связа-
но с отсутствием последовательной микроскопической теории радиационно-кондуктивного
теплообмена, которая должна быть основана на квантовой теории излучения и поглоще-
ния электромагнитного излучения (фотонов) молекулами среды и, следовательно, носить
статистический характер.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №12 63
В настоящей работе предлагается частичное решение этой проблемы. Для простоты, мы
ограничиваемся случаем диэлектрической среды, когда ее электромагнитные свойства пол-
ностью характеризуются динамической диэлектрической проницаемостью ε(ω), зависящей
от частоты излучения ω, и постоянной магнитной проницаемостью µ. С микроскопичес-
кой точки зрения мы будем считать, что среда состоит из молекул с ковалентной связью.
При достаточно большой температуре порядка температуры плавления материала, т. е. при
достаточно большой амплитуде тепловых колебаний, молекулы переходят в энергетически
возбужденные состояния. Релаксация возбуждений приводит к излучению фотонов с час-
тотой, пропорциональной разности соответствующих энергетических уровней с изменением
динамического состояния каждой из молекул. Излученные фотоны могут снова, после ра-
спространения в среде, поглощаться другими молекулами среды и переизлучаться. При
этом возникает механизм перекачки энергии как из фотонной подсистемы в фононную, так
и обратно. При наличии градиента температуры в среде переизлучение фотонов молекула-
ми в ее различных областях носит нескомпенсированный характер. Это положение является
следствием сильной связанности молекул твердотельной среды. Энергия, равная разности
между энергиями поглощенных и излученных фотонов, переходит в энергию неупорядо-
ченных колебаний молекул среды около их положения равновесия. Среднее же значение
этой энергии определяет температуру среды, сосредоточенной в рассматриваемом элемен-
те объема. Последовательное вычисление величины S(r, t), к которой приводит наличие
описанного физического механизма переноса тепла излучением, сводится к составлению
и решению кинетического уравнения для фотон-фононной системы.
Такой подход к описанию радиационно-кондуктивного теплообмена уже на первоначаль-
ном шаге, т. е. при составлении эффективного гамильтониана взаимодействия, оказывается
очень сложным для реализации из-за необходимости учета сильной связи системы молекул.
Поэтому мы в этой работе развиваем более простой полуфеноменологический подход. Мы
преодолеваем главный недостаток существующей теории — вводим в теорию электромагни-
тное поле, ответственное за перенос тепловой энергии. Однако при этом не конкретизиру-
ется микроскопический механизм превращения его энергии в тепловую энергию тепловых
колебаний среды. Более того, мы отказываемся от квантового описания излучения ввиду
того, что само явление радиационно-кондуктивного теплообмена не является квантовым эф-
фектом. Предлагаемая нами модель формулируется в приближении сплошной среды и она
основана на представлении о флуктуациях P̃(r, t) дипольного электрического момента со-
вокупности молекул среды в элементе объема, сосредоточенного около пространственной
точки r в момент времени t при поглощении и испускании ими фотонов. При этом кванто-
вая природа излучения электромагнитного поля в нашей модели проявляется только лишь
в том, что эти флуктуации носят случайный характер, т. е. P̃(r, t) представляет собой с ма-
тематической точки зрения случайный процесс.
2. Конструкция модели. Мы исходим из уравнений Максвелла для электромагни-
тного поля в сплошной среде
1
c
∂B
∂t
+ [∇,E] = 0,
1
c
∂D
∂t
− [∇,H] = 0, (2)
(∇,D) = 0, (∇,B) = 0, (3)
где магнитная индукция B имеет вид B = µH (H — напряженность магнитного поля).
Так как среда диэлектрическая, то в уравнения (2), (3) не включены флуктуации макро-
скопических электрических токов и зарядов. При построении связи между электрической
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №12
индукцией D в среде и напряженностью электрического поля E должны быть учтены флук-
туационные изменения электрической поляризации среды в результате процессов излуче-
ния и поглощения фотонов в каждой пространственно-временной точке (r, t). Для этого
она выражается в виде двух слагаемых: P(r, t) + P̃(r, t). Первое представляет собой поля-
ризацию, индуцированную электрической напряженностью E(r, t), распространяющегося
в среде излучения. А именно, P(r, ω) = χ(ω)E(r, ω), где E(r, ω) и P(r, ω) — соответствующие
Фурье-компоненты и χ(ω) = (ε(ω)−1)/4π — динамическая электрическая восприимчивость
среды. Второе слагаемое P̃(r, t) связано с существованием не зависящих от E(r, t) случай-
ных флуктуаций поляризации среды, которые возникают вследствие процессов поглощения
и излучения фотонов каждой из молекул. Это слагаемое представляет собой неоднородное
по пространству случайное поле, статистически независимое в каждой пространственной
точке r. Неоднородность связана с наличием неоднородности распределения температуры
в среде и с зависимостью средней амплитуды флуктуаций от температуры. Оно описывает
статистически независимые акты поглощения и излучения фотонов каждой из молекул.
Поле P̃(r, t) считается гауссовским ввиду малости флуктуаций.
Кроме того, не ограничивая общности, среднее значение флуктуаций считаем рав-
ным нулю, 〈P̃(r, t)〉 = 0, где угловые скобки здесь и далее обозначают усреднение. То-
гда статистические свойства этого поля полностью определяются парным коррелятором
〈P̃j(r, t)P̃j′(r
′, t′)〉, j, j′ = 1, 2, 3 для каждой пары пространственно-временных точек (r, t)
и (r′, t′). Вследствие пространственной независимости и изотропии флуктуаций этот корре-
лятор пропорционален δjj′δ(r− r
′), j, j′ = 1, 2, 3. Его зависимость P̃(r, t) от пространствен-
ной координаты полностью определяется мгновенным распределением температуры T (r, t)
в среде. Так как масштабы времени, один из которых характеризует поглощение и испуска-
ние фотонов, а второй — изменения распределения температуры, существенно различны,
необходимо считать, что амплитуда среднего квадрата поля P̃(r, t) является медленной
функцией времени, что не должно учитываться при усреднении случайных флуктуаций
P̃(r, t). Тогда, выполнив преобразование Фурье по быстрому времени, случайную функцию
P̃(r, ω) необходимо также считать гауссовской с нулевым средним 〈P̃(r, ω)〉 = 0, вслед-
ствие линейности этого преобразования [3]. Таким образом, случайная поляризация P̃(r, t)
полностью определяется коррелятором случайной функции P̃(r, ω). В соответствии со ска-
занным, мы считаем, что
P̃(r, ω) = U(T (r, t), ω)ϕϕϕ(r, ω), (4)
где амплитуда U(T, ω) является неслучайной функцией температуры T и частоты ω. По со-
ображениям размерности, эта функция должна быть такой, что |U(T, ω)|2 = τ~ωW (~ω/T ),
где τ−1 ≈ 2 · 1014 с−1 — характерная частота переходов между молекулярными энергетиче-
скими уровнями при характерной температуре порядка 103 K, сравнимой с температурой
плавления материала, а W (·) — плотность распределения числа фотонов по энергиям. Слу-
чайная вектор-функция ϕϕϕ(r, ω) в (4) полагается гауссовской с нулевым средним 〈ϕϕϕ(r, ω)〉 = 0
и с парным коррелятором
〈ϕj(r, ω)ϕ
∗
j′(r
′, ω′)〉 = (2π)−1δjj′δ(ω − ω′)δ(r − r
′). (5)
Зависимость от ω функции U(T, ω) приводит к тому, что временной коррелятор случайного
процесса P̃(r, t) не пропорционален δ(t − t′). Это отражает тот факт, что в предлагаемой
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №12 65
модели существенен учет корреляций на коротких временах, а длинные электромагнитные
волны практически не принимают участия в переносе тепла.
На основе известной (см., например, [4]) связи между спектральными плотностями
электрической индукции D(r, ω) и электрической поляризации среды имеем
D(r, ω) = ε(ω)E(r, ω) + 4πU(T, ω)ϕϕϕ(r, ω). (6)
Эта формула, вместе с уравнениями (2), (3), составляет основу нашей теории.
Решения уравнений (2), (3) необходимо строить с учетом двухмасштабности временно́й
зависимости полей E, H, которая состоит из быстрой зависимости фазы электромагнит-
ного поля, переносящего излучение, и медленной зависимости его амплитуды, связанной
с изменением распределения температуры. На основе таких решений должна быть вычис-
лена плотность потока энергии S = (c/4π)[E,H], усредненная по случайным изменениям
электрической поляризации P̃(r, t) и по быстрой временно́й зависимости.
Решения системы уравнений (2), (3) ищутся в виде следующих разложений:
E(r, t) =
∞∫
−∞
eiωtE(r, ω) dω, H(r, t) =
∞∫
−∞
eiωtH(r, ω) dω,
где E(r, ω) и H(r, ω) являются функционалами от распределения температуры T (r, t) и,
следовательно, через посредство этой зависимости — функциями от “медленного” времени t.
Уравнения для спектральных амплитуд E(r, ω), H(r, ω) имеют вид
iµω
c
H+ [∇,E] = 0,
iω
c
(ε(ω)E + 4πU(T, ω)ϕϕϕ)− [∇,H] = 0,
(∇, ε(ω)E + 4πU(T, ω)ϕϕϕ) = 0, (∇,H) = 0.
Тогда, для получения главного члена асимптотического разложения решений при большой
величине частоты ω, необходимо решать уравнение
k
2
(ω)E +∆E = −Cω2Uϕϕϕ, (7)
где k
2
= ω2µε(ω)/c2, C = 4πµ/c2. При этом динамическая проницаемость ε(ω) является
комплексной, что обеспечивает затухание электромагнитной волны в отсутствие возмуще-
ния в (7). Так как ε(ω) → ε при ω → ∞ с ε > 0, то ε(ω) = ε − iν/ω + o(ω−1) с ν > 0,
что приводит к следующему выражению для квадрата волнового вектора: k
2
= k2∗ − ik∗γ,
k∗ = ω(εµ)1/2/c, γ = (ν/c)(µ/ε)1/2.
Вычисление асимптотик решений уравнения (7) в приближении эйконала позволяет най-
ти спектральную амплитуду S(r, ω) плотности потока энергии S(r, t), усредненную по слу-
чайной электрической поляризации P̃(r, t),
〈S(r, ω)〉 =
c
4π
∞∫
−∞
〈[E(r, ω′),H
∗
(r, ω′ − ω)]〉 dω′. (8)
3. Решение одномерной задачи. Рассмотрим подробнее, в рамках предложенной
теории радиационно-кондуктивного теплообмена, одномерную задачу в пластине толщи-
ной L, когда поля E и H являются только функциями одной координаты x и поле E(x, t)
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №12
можно сделать поперечным так, что (∇,ϕϕϕ) = 0, E1 = 0. Плотность потока энергии вы-
числяется на основе решения уравнения (7) на отрезке x ∈ [−L/2, L/2], когда поле E име-
ет отличные от нуля компоненты E2 и E3. При этом вне отрезка ε(ω) = µ = 1, U ≡ 0
и E(x, ω) = E+,0 exp[−ik(x−L/2)] при x > L/2, E(x, ω) = E−,0 exp[ik(x+L/2)] при x < −L/2,
где E±,0 — постоянные двухкомпонентные векторы, перпендикулярные 1-й оси. Совместно
с граничными условиями на границах x = ±L/2 непрерывности поля E(x, ω) и его про-
изводной по x, получается краевая задача для стохастического уравнения (7) с условиями
E
′
(±L/2, ω) = ∓ikE(±L/2, ω). В одномерном случае в формуле (8) отлична от нуля только
первая компонента S1 ≡ S плотности потока энергии. Пусть
G(x, y, ω) =
i
2k
(
1− κ
2e−2ikL
)−1[
e−ik|x−y| + 2κe−ikL cos[k(x+ y)] + κ
2e−2ikLeik|y−x|
]
—
функция Грина рассматриваемой краевой задачи, где введен коэффициент отражения κ =
= (k − k)/(k + k). Она удовлетворяет уравнению
G′′(x, y, ω) + k
2
G(x, y, ω) = δ(x − y) (9)
и граничным условиям G′(±L/2, y, ω) = ∓ikG(±L/2, y, ω). Фурье-компоненты электричес-
кого и магнитного полей определяются формулами
E(x, ω) = −Cω2
L/2∫
−L/2
G(x, y, ω)U(T (y, t), ω)ϕϕϕ(y, ω) dy,
Hj(x, ω) = −
ic
µω
ǫ1jlE
′
l(x, ω), j = 2, 3,
ǫjlm — полностью антисимметричный псевдотензор. Используя эти разложения и форму-
лу (5) для коррелятора флуктуационного поля, находим выражение для спектральной пло-
тности потока энергии поля
〈S(x, ω)〉 = −δ(ω)
4iµ
c2
∞∫
−∞
ω′3
L/2∫
−L/2
G(x, y, ω′)G∗′(x, y′, ω′)|U(T (y, t), ω′)|2dydω′. (10)
Так как Фурье-образ потока энергии S(x, ω) обладает свойством S
∗
(x, ω) = S(x,−ω) и выра-
жение (10) четно по переменной ω, то среднее 〈S(r, ω)〉 вещественно. Тогда действительная
часть выражения в правой части (10) имеет вид
〈S(x, ω)〉 = δ(ω)
4µ
c2
∞∫
−∞
ω′3
L/2∫
−L/2
|U(T (y, t), ω′)|2 Im[G(x, y, ω′)G∗′(x, y, ω′)] dydω′.
На основании (9) имеет место
d
dx
Im[G(x, y, ω)G∗′(x, y, ω)] = Im[k
2
]|G(x, y, ω)|2 + δ(x− y) ImG(x, x, ω),
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №12 67
где Im[k
2
] = −γk∗, k∗ = ω′(n/c) и n = (ǫµ)1/2 — оптический показатель среды. Дивергенция
Фурье-образа потока энергии имеет вид
〈(∇,S(x, t))〉 = −
4µ
c2
∞∫
−∞
ω′3 ×
×
[
γn
c
ω′
L/2∫
−L/2
|U(T (y, t), ω′)|2|G(x, y, ω′)|2dy − |U(T (x, t), ω′)|2 ImG(x, x, ω′)
]
dω′. (11)
Полученное выражение пропорционально δ(ω). Это означает, что дивергенция потока энер-
гии уже не содержит быстрой зависимости от времени.
Так как k
2∗(ω) = k
2
(−ω) и G′∗(±L/2, y, ω) = ∓k(−ω)G∗(±L/2, y, ω), то функция
G∗(x, y;ω) обладает свойством G∗(x, y, ω) = G(x, y − ω). По той же причине Фурье-обра-
зы P̃(r, ω), ϕϕϕ(r, ω) удовлетворяют соотношениям P̃
∗
(r, ω) = P̃(r,−ω), ϕϕϕ∗(r, ω) = ϕϕϕ(r,−ω).
Тогда из формулы (6) следует, что U∗(T, ω) = U(T,−ω). Это свойство приводит к тому, что
подынтегральное выражение в (11) четно относительно ω.
4. Случай высоких температур. Радиационно-кондуктивный теплообмен вносит су-
щественный вклад в изменение распределения температуры в полупрозрачном диэлектрике
в том случае, когда его характерная температура достаточно высока. Характерная частота
излучаемых фотонов должна быть такой, чтобы их энергия была порядка этой температу-
ры в энергетических единицах. При характерной частоте τ−1 ≈ 2·1014 с−1 соответствующая
температура сравнима с температурой плавления диэлектрика. В рассматриваемом случае
формула (11) принимает вид
〈(∇,S(x, t))〉 = −
8µτc2
(nT0L)4
[
γ
T0L
L/2∫
−L/2
T 6(y, t)
∞∫
0
ζ5W (ζ)|G(x, y, ωy)|
2dζdy −
− T 5(x, t)
∞∫
0
ζ4W (ζ) ImG(x, x, ωx) dζ
]
, (12)
где ωy = T (y, t)ζ/~ в интеграле по безразмерной переменной ζ и введена характерная тем-
пература T0 = ~c/nL. При n = 1,5 и L = 1 см T0 = 1,5 · 10−1 K. Следовательно, отношение
типичной температуры T (y, t) ≈ 102 ÷ 103 K к T0 является большим параметром ≈ 104
и отношение T (y, t)ζ/T0 в области интегрирования по ζ представляет собой большую ве-
личину kL ≈ T (y, t)ζ/T0 − δ, где отношение δ = γL/2 характеризует оптическую длину
затухания электромагнитного поля в среде. Его типичное значение изменяется в пределах
δ = 0,1÷10 и, поэтому, второе слагаемое мало́ по сравнению с первым. Тогда, с той же точно-
стью, κ ≈ (n− 1)(n+ 1), где поправочное слагаемое имеет порядок δT0/T (y, t)ζ и является
очень малым в допустимом диапазоне изменения δ. Поэтому, при вычислении интеграла
в (12) можно положить коэффициент κ чисто вещественным, не зависящим от T и от пере-
менной интегрирования ζ. По той же причине можно положить величину k
−1
в выражении
для |G(x, y, ω)|2 равной k
−1
≈ T0L/T (y, t)ζ.
68 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №12
При наличии большого параметра T/T0 внутренний интеграл в (12) представляет со-
бой быстро осциллирующую функцию. Тогда достаточно воспользоваться главным членом
асимптотики этого интеграла при T/T0 → ∞. В результате, мы приходим к следующему
выражению для плотности потока энергии:
〈(∇,S(x, t))〉 = −
2αγ
1− (κe−δ)4
L/2∫
−L/2
T 4(y, t)
[
exp
(
−
2δ|x− y|
L
)
+
+ (κe−δ)4 exp
(
2δ|x − y|
L
)
+ 2(κe−δ)2ch
[
2δ(x + y)
L
]]
dy + 4αT 4(x, t), (13)
где введен коэффициент α =
µτc2E
n4(T0L)3
= τ
(
µ
ε
)1/2 k4B
~3c
E, E =
∞∫
0
ζ3W (ζ) dζ в том случае,
когда температура выражается в градусах, kB = 1,4 ·10−16 эрг/K — постоянная Больцмана.
В выражении (13) интегральное ядро не зависит от функции распределения W фо-
тонов. При большой величине δ ≫ 1 последними двумя слагаемыми в подынтегральном
выражении можно пренебречь, а оставшееся ядро e−2δ|x−y|/L превращается в δ-функцию
2γ−1δ(x − y). Тогда интегральное слагаемое в (13), при δ → ∞, стремится к (−4αT 4(x, t)),
и поэтому второе слагаемое в правой части эволюционного уравнения (1) обращается в нуль.
Это означает, что в случае сильного поглощения весь теплообмен определяется теплопро-
водностью. В случае слабого поглощения γ → 0 первое слагаемое в потоке энергии равно
нулю, в то время как последнее слагаемое в (13) не исчезает при γ = 0 и 〈(∇,S(x, t))〉 =
= −4αT 4(x, t), т. е. среда остывает вследствие радиационно-кондуктивного теплообмена
по закону Стефана–Больцмана. При этом вклад радиационно-кондуктивного теплообмена
в эволюцию распределения температуры, согласно уравнению (1), мал и приводит к отно-
сительной поправке ∼ 10−2, так как при E ≈ 1, в указанных выше условиях, величина
−4αT 4(x, t) имеет порядок 105 эрг/см · с·K. Слагаемое же в уравнении (1), ответственное
за теплопроводность, имеет порядок 107 эрг/см3· с при L ≈ 1 см и при коэффициенте
теплопроводности κ ≈ 104эрг/см·с· K и T = 103 K.
1. Спэрроу Э.М., Сесс Р.Д. Теплообмен излучением. – Ленинград: Энергия, 1972. – 295 с.
2. Рубцов Н.А. Теплообмен излучением в сплошных средах. – Новосибирск: Наука, 1984. – 278 с.
3. Рытов С.М., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. Т. II. Слу-
чайные поля, изд. 2-е. – Москва: Наука, 1978. – 464 с.
4. Тамм И.Е. Основы теории электричества, 11-е изд. – Москва: Физматлит, 2006. – 616 с.
Поступило в редакцию 05.05.2010Институт монокристаллов НАН Украины, Харьков
Yu.P. Virchenko, M. A. Saprykin
Fluctuation approach in heat radiative conductivity theory
The problem of heat radiative conductance in a dielectric medium is considered. The mechanism
of heat conductivity by the radiation generated by thermal fluctuations of the electrical polarization
is studied. The energy flux density of the radiation is evaluated in the form of a functional of the
temperature distribution in the medium.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №12 69
|