Еквівалентна рекурентна формула для узагальненого квазідиференціального рівняння та її застосування
The equivalence of an (n+m)-order generalized quasi-diferential equation and an (n+m)-order difference equation which will be named by the equivalent recurrent formula is established. Applications of the equivalent recurrent formula are considered.
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3125 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Еквівалентна рекурентна формула для узагальненого квазідиференціального рівняння та її застосування / Р.М. Тацій, О.О. Власій // Доповіді Національної академії наук України. — 2007. — № 9. — С. 17-20. — Бібліогр.: 7 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859728530977325056 |
|---|---|
| author | Тацій, Р.М. Власій, О.О. |
| author_facet | Тацій, Р.М. Власій, О.О. |
| citation_txt | Еквівалентна рекурентна формула для узагальненого квазідиференціального рівняння та її застосування / Р.М. Тацій, О.О. Власій // Доповіді Національної академії наук України. — 2007. — № 9. — С. 17-20. — Бібліогр.: 7 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | The equivalence of an (n+m)-order generalized quasi-diferential equation and an (n+m)-order
difference equation which will be named by the equivalent recurrent formula is established.
Applications of the equivalent recurrent formula are considered.
|
| first_indexed | 2025-12-01T11:44:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
1. Lakshmikantham V., Ram Mohapatra. Theory of Fuzzy Differential Equations and Inclusions. – Melbourne:
Florida Institute of Technology, 2003. – 178 p. (Manuscript).
2. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. – Москва; Ленинград: ОГИЗ, 1947. – 324 с.
Поступило в редакцию 18.12.2006Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
УДК 517.912
© 2007
Р.М. Тацiй, О. О. Власiй
Еквiвалентна рекурентна формула для узагальненого
квазiдиференцiального рiвняння та її застосування
(Представлено членом-кореспондентом НАН України Б. Й. Пташником)
The equivalence of an (n+m)-order generalized quasi-differential equation and an (n+m)-order
difference equation which will be named by the equivalent recurrent formula is established.
Applications of the equivalent recurrent formula are considered.
Вперше iснування точної рiзницевої схеми для диференцiальних рiвнянь другого порядку
з сумовними коефiцiєнтами було доведене А.А. Самарським в [1]. У даному повiдомлен-
нi пропонується дещо iнший пiдхiд до побудови точних рiзницевих схем, який дає змогу
одержати такi схеми для квазiдиференцiальних рiвнянь (КДР)довiльного порядку з уза-
гальненими коефiцiєнтами. У роботi [2] було одержано еквiвалентне рекурентне спiввiдно-
шення (точну рiзницеву схему) для узагальненого КДР другого порядку способом, який не
вдалося поширити для КДР вищих порядкiв.
У роботi використовуватимемо такi позначення: I — вiдкритий iнтервал дiйсної осi R;
BV +
loc(I) — простiр неперервних справа функцiй локально обмеженої на I варiацiї; L2(I) —
простiр квадратично сумовних за Лебегом на I функцiй; δ(x−xs) — функцiя Дiрака з носiєм
у точцi xs; ∆C(x) = C(x)−C(x−0) — стрибок матрицi-функцiї C(x), елементи якої належать
класу BV +
loc(I), у точцi x ∈ I; ωN — довiльне розбиття вiдрiзка [a; b] ⊂ I: ωN = {xi : a ≡
≡ x0 < x1 < · · · < xk < xk+1 < · · · < xN ≡ b}.
Розглянемо КДР
n
∑
i=0
m
∑
j=0
(−1)m−j(aij(x)y(n−i)(x))(m−j) = 0. (1)
На коефiцiєнти aij(x) накладемо такi умови:
A) a−1
00 (x) — обмежена i вимiрна на I функцiя;
B) ai0(x), a0j(x) ∈ L2(I), i = 1, . . . , n, j = 1, . . . ,m;
C) aij(x) = b′ij(x), bij(x) ∈ BV +
loc(I), i = 1, . . . , n, j = 1, . . . ,m.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №9 17
Як вiдомо [3], КДР (1) за допомогою певним чином введених квазiпохiдних y[i](x), i =
= 0, 1, . . . , r − 1, де r = m + n, зводиться до коректної диференцiальної системи першого
порядку
Y
′
(x) = C ′(x)Y (x), (2)
де Y (x) = col(y(x), y[1](x), . . . , y[r−1](x)); C(x) — матриця-функцiя, елементи якої належать
класу BV +
loc(I), (∆C(xk))
2 = 0 ∀xk ∈ I. Зауважимо, що рiвнiсть (2) розумiється в сенсi
теорiї узагальнених функцiй.
Дослiдження системи (2) дало змогу створити [3, 5] лiнiйну теорiю рiвняння (1), згiдно
з якою для системи (2) iснує фундаментальна матриця B(x, α) = {βij(x, α)}r
i,j=1, елементи
якої визначаються формулою
βij(x, α) = K [i−1]{r−j}(x, α), i, j = 1, . . . , r,
де K(x, α) — функцiя Кошi, що вiдповiдає КДР (1), K [i−1]{r−j}(x, α) — її змiшанi квазiпо-
хiднi в сенсi вихiдного i спряженого КДР.
Означення 1. Рекурентне спiввiдношення (рекурентну формулу)
r
∑
k=0
Ak(xi, xi+1, . . . , xi+r)yi+k = 0
називатимемо еквiвалентним для КДР (1), якщо yi+k = y(xi+k) — значення певного розв’яз-
ку цього рiвняння в точцi x = xi+k ∈ ωN .
Теорема 1. Нехай β
ij
s+k,s
, i, j = 1, . . . , r, — елементи фундаментальної матрицi B(x, α)
диференцiальної системи (2), обчисленi в точцi (xs+k, xs). Тодi еквiвалентна рекурентна
формула (ЕРФ) для КДР (1) має вигляд
∆0
s · ys + ∆1
s · ys+1 + · · · + ∆r
s · ys+r = 0, (3)
де
∆0
s =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
β11
s+1,s β12
s+1,s . . . β
1,r
s+1,s
β11
s+2,s β12
s+2,s . . . β
1,r
s+2,s
...
... . . .
...
β11
s+r,s β12
s+r,s . . . β
1,r
s+r,s
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
,
∆i
s = −Ai0, Ai0, i = 1, . . . , r, — алгебраїчне доповнення до елементiв першого стовпця
визначника ∆0
s.
За допомогою фундаментальної матрицi системи (2) розв’язок цiєї системи подається
у виглядi Y (x) = B(x, α)Y (α). Оскiльки згiдно з означенням B(x, α) за змiнною x є розв’яз-
ком системи (2), то для неї є справедливою [4] умова стрибка ∆B(x, α) = ∆C(x)B(x− 0, α),
звiдки випливає, що B(x, α) = (E + ∆C(x))B(x − 0, α). Матриця B(x − 0, α) є еволюцiй-
ним оператором диференцiальної системи, що вiдповiдає “неперервнiй частинi” КДР (1),
коефiцiєнти якої не мiстять дискретної компоненти.
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №9
Отже, визначальним при побудовi ЕРФ для узагальненого КДР є побудова функцiї
Кошi для “неперервної” частини цього рiвняння. Однак таку функцiю не завжди вдається
знайти. Тому постає питання замiни КДР (1) таким квазiдиференцiальним рiвнянням, для
якого можна побудувати функцiю Кошi.
Означення 2. Частково виродженим називатимемо КДР
n
∑
i=0
m
∑
j=0
(−1)m−j(αij(x)y(n−i)(x))(m−j) = 0, (4)
де αi0(x), αi0j(x), i = 1, . . . , n, j = 1, . . . ,m, — кусково-сталi на I функцiї; αij(x) =
=
N
∑
k=1
αk
ijδ(x − xk), αk
ij ∈ R, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . ,m.
Вiдомо [5], що фундаментальна матриця, яка вiдповiдає рiвнянню типу (4), будується
в замкненiй формi. Отже, ЕРФ такого рiвняння можна побудувати в явному виглядi спосо-
бом, вказаним у теоремi 1.
Розглянемо практично важливi апроксимацiї коефiцiєнтiв КДР (1). Позначимо первiснi
функцiй ai0(x), a0j(x), i = 1, . . . , n, j = 1, . . . ,m, через bi0(x), b0j(x) вiдповiдно. На вiдрiзку
[xk;xk+1) апроксимуємо функцiї bi0(x), b0j(x) (L-апроксимацiя, див., напр., [6]):
bi0(x) ≈ bN
i0(x) =
bi0(xk+1) − bi0(xk)
xk+1 − xk
x + bi0(xk), i = 1, . . . , n;
b0j(x) ≈ bN
0j(x) =
b0j(xk+1) − b0j(xk)
xk+1 − xk
x + b0j(xk), j = 1, . . . ,m.
Функцiї bij(x), i = 1, . . . , n, j = 1, . . . ,m, апроксимуємо способом, запропонованим Ф. Аткiн-
соном в [4] (D-апроксимацiя):
bij(x) ≈ bN
ij (x) = bij(xk), x ∈ [xk;xk+1).
Тодi
aN
i0(x) =
N−1
∑
k=0
bi0(xk+1) − bi0(xk)
xk+1 − xk
Θk(x), i = 1, . . . , n; (5)
aN
0j(x) =
N−1
∑
k=0
b0j(xk+1) − b0j(xk)
xk+1 − xk
Θk(x), j = 1, . . . ,m; (6)
aN
ij (x) =
N
∑
k=1
[bij(xk) − bij(xk−1)]δ(x − xk), i = 1, . . . , n, j = 1, . . . ,m, (7)
де Θk(x) — характеристична функцiя промiжку [xk;xk+1):
Θk(x) =
{
1, x ∈ [xk;xk+1),
0, x ∈ I \ [xk;xk+1).
У результатi апроксимацiї (5)–(7) одержимо рiвняння
n
∑
i=0
m
∑
j=0
(−1)m−j(aN
ij (x)y
(n−i)
N (x))(m−j) = 0, (8)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №9 19
яке є частково виродженим рiвнянням типу (4), а отже, для нього ЕРФ будується в явному
виглядi.
Описана апроксимацiя справджує всi умови теореми про збiжнiсть [7], що дозволяє
сформулювати таке твердження:
Теорема 2. Розв’язки частково виродженого КДР (8) разом з квазiпохiдними до
(r − 1)-го порядку включно рiвномiрно за змiнною x збiгаються до вiдповiдних розв’язкiв
та їх квазiпохiдних КДР (1):
lim
N→∞
max
k
|x
k+1−x
k
|→0
|y[i](x) − y
[i]
N (x)| = 0, i = 0, 1, . . . , r − 1.
1. Самарский А.А. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями:
Учеб. пособие для ун-тов. – Москва: Высш. шк., 1987. – 296 с.
2. Стасюк М.Ф., Власiй О.О. Рекурентне спiввiдношення для узагальненого квазiдиференцiального
рiвняння другого порядку // Вiсн. НУ “Львiв. полiтехнiка”. Прикл. математика. – 2000. – № 407. –
С. 82–87.
3. Тацiй Р.М., Пахолок Б. Б. Про структуру фундаментальної матрицi квазiдиференцiального рiвнян-
ня // Доп. АН УРСР. Сер. А. – 1989. – № 4. – С. 25–28.
4. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи: Пер. с англ. – Москва: Мир, 1968. –
749 с.
5. Кiсiлевич В., Стасюк М., Тацiй Р. Конструкцiя елементiв фундаментальної матрицi квазiдиферен-
цiальних рiвнянь з узагальненими коефiцiєнтами // Вiсн. НУ “Львiв. полiтехнiка”. Фiз.-мат. науки. –
2004. – № 518. – С. 30–35.
6. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. – Москва: Наука, 1967. – 472 с.
7. Власiй О. Про збiжнiсть наближених розв’язкiв квазiдиференцiальних рiвнянь з мiрами // Вiсн. НУ
“Львiв. полiтехнiка”. Фiз.-мат. науки. – 2005. – № 540. – С. 62–64.
Надiйшло до редакцiї 22.01.2007Унiверситет Казимира Великого, Бидгощ, Польща
Прикарпатський нацiональний унiверситет
iм. Василя Стефаника, Iвано-Франкiвськ
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №9
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-3125 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-01T11:44:09Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Тацій, Р.М. Власій, О.О. 2009-06-30T10:45:41Z 2009-06-30T10:45:41Z 2007 Еквівалентна рекурентна формула для узагальненого квазідиференціального рівняння та її застосування / Р.М. Тацій, О.О. Власій // Доповіді Національної академії наук України. — 2007. — № 9. — С. 17-20. — Бібліогр.: 7 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3125 517.912 The equivalence of an (n+m)-order generalized quasi-diferential equation and an (n+m)-order difference equation which will be named by the equivalent recurrent formula is established. Applications of the equivalent recurrent formula are considered. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Еквівалентна рекурентна формула для узагальненого квазідиференціального рівняння та її застосування Article published earlier |
| spellingShingle | Еквівалентна рекурентна формула для узагальненого квазідиференціального рівняння та її застосування Тацій, Р.М. Власій, О.О. Математика |
| title | Еквівалентна рекурентна формула для узагальненого квазідиференціального рівняння та її застосування |
| title_full | Еквівалентна рекурентна формула для узагальненого квазідиференціального рівняння та її застосування |
| title_fullStr | Еквівалентна рекурентна формула для узагальненого квазідиференціального рівняння та її застосування |
| title_full_unstemmed | Еквівалентна рекурентна формула для узагальненого квазідиференціального рівняння та її застосування |
| title_short | Еквівалентна рекурентна формула для узагальненого квазідиференціального рівняння та її застосування |
| title_sort | еквівалентна рекурентна формула для узагальненого квазідиференціального рівняння та її застосування |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3125 |
| work_keys_str_mv | AT tacíirm ekvívalentnarekurentnaformuladlâuzagalʹnenogokvazídiferencíalʹnogorívnânnâtaíízastosuvannâ AT vlasíioo ekvívalentnarekurentnaformuladlâuzagalʹnenogokvazídiferencíalʹnogorívnânnâtaíízastosuvannâ |