Контроллеры простых точных идеалов групповых алгебр абелевых групп без кручения конечного ранга
We develop some methods which allow studying properties of the controller of a faithful prime ideal I of the group algebra kA of a torsion-free Abelian group A of finite rank over a field k. We apply some results of the theory of fields such as the Kummer theory and properties of the multiplicative gro...
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3126 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Контроллеры простых точных идеалов групповых алгебр абелевых групп без кручения конечного ранга / А.В. Тушев // Доп. НАН України. — 2007. — № 9. — С. 21-24. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859640218839154688 |
|---|---|
| author | Тушев, А.В. |
| author_facet | Тушев, А.В. |
| citation_txt | Контроллеры простых точных идеалов групповых алгебр абелевых групп без кручения конечного ранга / А.В. Тушев // Доп. НАН України. — 2007. — № 9. — С. 21-24. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | We develop some methods which allow studying properties of the controller of a faithful prime ideal I of the group algebra kA of a torsion-free Abelian group A of finite rank over a field k. We apply some results of the theory of fields such as the Kummer theory and properties of the multiplicative groups of fields. Using these methods, in particular, we obtain an independent proof of a new version of the Brookes theorem on the controllers of prime ideals of the group algebra kA.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:20:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.544
© 2007
А.В. Тушев
Контроллеры простых точных идеалов групповых
алгебр абелевых групп без кручения конечного ранга
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.П. Моторным)
We develop some methods which allow studying properties of the controller of a faithful prime
ideal I of the group algebra kA of a torsion-free Abelian group A of finite rank over a field k.
We apply some results of the theory of fields such as the Kummer theory and properties of the
multiplicative groups of fields. Using these methods, in particular, we obtain an independent
proof of a new version of the Brookes theorem on the controllers of prime ideals of the group
algebra kA.
Пусть R — кольцо, G — группа и пусть I — правый идеал группового кольца RG. Идеал I
называется точным, если I† = G
⋂
(1 + I) = 1. Будем говорить, что подгруппа H группы G
контролирует идеал I, если
I = (I
⋂
RH)RG. (1)
Пересечение c(I) всех подгрупп группы G, контролирующих идеал I, называется конт-
роллером идеала I.
Пусть U — правый RH-модуль, где подгруппа H группы G. Тогда можно определить
тензорное произведение U ⊗ RHRG, которое является правым RG-модулем, называемым
RG-модулем, индуцированным с RH-модуля U . При этом
M = U ⊗ RHRG (2)
тогда и только тогда, когда
M = ⊕t∈T Ut, (3)
где T — правая трансверсаль подгруппы H в группе G, т. е. T — множество представителей
правых смежных классов группы G по подгруппе H.
Предположим, что M = aRG — циклический RG-модуль, порожденный ненулевым эле-
ментом a ∈ M . Пусть I = AnnkG(a) и пусть U = akH, где H — подгруппа группы G. Не
трудно показать, что в приведенных выше обозначениях равенство (1) выполняется тогда
и только тогда, когда выполняется равенство (3). Таким образом, в данном случае равенст-
ва (1), (2) и (3) означают одно и то же.
Пусть k — поле, A — абелева группа без кручения конечного ранга. В работе рассматри-
ваются свойства контроллеров точных простых идеалов групповой алгебры kA. Основная
идея исследований заключается в том, что в случае, когда P — точный простой идеал груп-
повой алгебры kA, факторкольцо kA/P может быть вложено как область целостности k[A]
в некоторое поле F , а так как идеал P точный, то при этом группа A становится подгруп-
пой мультипликативной группы поля F . Это позволяет применить к изучению области k[A]
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №9 21
методы теории полей. Такой подход использовался в работах [1–3], при этом к изучению
области целостности k[A] применялась теория нормирований полей. В настоящей работе
применяются другие методы теории полей, такие как теория Куммера и свойства мульти-
пликативных групп полей. Впервые такие методы были применены в работе [4] (см. [4, лем-
мы 2, 5]), где было доказано равенство (3) для модулей над абелевыми группами конечного
ранга. В дальнейшем эти методы развивались в работах [5–8]. В свою очередь, свойства
факторкольца k[A] ∼= kA/P существенным образом определяются свойствами идеала P .
Для того чтобы доказать равенство (1), мы доказываем равенства (2) и (3) для kA-моду-
ля k[A].
Пусть A — абелева группа, B — подгруппа группы A. Множество isA(B), состоящее из
элементов a ∈ A таких, что an ∈ B для некоторого натурального числа n, является под-
группой группы A, которую называют изолятором подгруппы B в группе A. Подгруппа B
называется плотной в группе A, если isA(B) = A. Если же isA(B) = B, то подгруппа B
называется изолированной в группе A.
Пусть k — подполе поля f , G — подгруппа мультипликативной группы f∗ поля f . То-
гда поле k(G) можно рассматривать как kG-модуль, а поле k можно рассматривать как
k(G
⋂
k∗)-модуль. Следовательно, можно определить тензорное произведение k⊗k(G∩k∗)kG,
при этом соотношение k(G) = k⊗ k(G∩k∗)kG означает, что k(G) = ⊕t∈T kt, где T — трансвер-
саль подгруппы G
⋂
k∗ в группе G. Если |G/G
⋂
k∗| = m < ∞, то соотношение k(G) = k ⊗
⊗k(G∩k∗)kG имеет место тогда и только тогда, когда [k(G) : k] = m. Связь между |G/G
⋂
k∗|
и [k(G) : k] изучается в теории Куммера (см. [9, гл. VIII, теорема 10]).
Теорема 1. Пусть k — подполе поля f , G — подгруппа мультипликативной груп-
пы f∗ поля f такие, что факторгруппа Gk∗/k∗ является периодической такой, что
char k /∈ π(Gk∗/k∗), для любого простого числа p ∈ (π(t(Gk∗))
⋂
π(Gk∗/k∗)) поле k содер-
жит примитивный корень из 1 степени p и подполе k содержит примитивный корень
из 1 степени 4, если факторгруппа Gk∗/k∗ содержит элемент порядка 4. Тогда k(G) =
= k ⊗ k(k∗∩G)kG = ⊕t∈T kt, где T — трансверсаль подгруппы k∗
⋂
G в G.
Следствие 1. Пусть k — подполе поля f и предположим, что поле k содержит все
корни из 1. Пусть G — подгруппа мультипликативной группы f∗ поля f и пусть B =
= k∗
⋂
G. Предположим, что факторгруппа G/B является периодической, причем char k /∈
/∈ π(G/B). Тогда k(A) = k⊗kBkA = ⊕t∈T kt, где T — трансверсаль подгруппы B в группе G.
Теорему 1 можно рассматривать как обобщение теоремы 13 из [9, гл. VIII] на случай
расширений бесконечной степени.
Абелева группа называется минимаксной, если она обладает конечным рядом, каждый
фактор которого либо циклический, либо квазициклический. Если A — абелева мини-
максная группа, то спектр Sp(A) группы A состоит из простых чисел p таких, что груп-
па A обладает бесконечной p-секцией. Не трудно заметить, что множество Sp(A) коне-
чное.
Будем говорить, что поле k регулярное, если его мультипликативная группа счетная и,
кроме того, ее можно представить в виде прямого произведения периодической и свободной
абелевой групп. Поле k называется конечно порожденным, если оно получено присоедине-
нием конечного множества к минимальному подполю поля k.
Предложение 1. Пусть f — алгебраически замкнутое поле, k — конечно порожденное
подполе поля f . Пусть π — конечное множество простых чисел такое, что char f /∈ π,
X — множество всех корней из 1 поля f , Xπ — множество всех корней из 1 степе-
ни qn, где n ∈ N и q ∈ π. Пусть p — простое число, A — минимаксная подгруппа без
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №9
кручения мультипликативной группы f∗ поля f такая, что Sp(A) ⊆ {p} и пусть B —
конечно порожденная плотная подгруппа группы A такая, что факторгруппа A/B явля-
ется p-группой. Тогда:
(i) поле k является регулярным, а группа t(k∗) является конечной;
(ii) поле k(Xπ) является регулярным, а группа t((k(Xπ))∗) является локально цикли-
ческой черниковской группой;
(iii) если char f = p, s = k(X)(B) и h = k(X)(A), то поле s является регулярным,
а факторгруппа h∗/s∗ является p-группой.
Применение теоремы 1 и предложения 1 позволяет доказать следующую теорему.
Теорема 2. Пусть k — конечно порожденное поле, A — абелева группа без кручения
конечного ранга, P — простой точный идеал групповой алгебры kA. Тогда:
(i) если поле k имеет нулевую характеристику, то контроллер c(P ) идеала P является
конечно порожденной подгруппой группы A;
(ii) если поле k имеет положительную характеристику p, то контроллер c(P ) идеа-
ла P является минимаксной подгруппой группы A такой, что Sp(c(P )) ⊆ {p}.
Пусть k — поле, A — абелева группа без кручения конечного ранга, на которой действует
группа операторов Γ, I — идеал групповой алгебры kA. Подгруппа SΓ(I) группы Γ, состо-
ящая из элементов γ ∈ Γ таких, что I
⋂
kB = Iγ
⋂
kB для некоторой конечно порожденной
плотной подгруппы B группы A, называется стандартизатором идеала I в группе Γ (см. [3]).
Теорема 2 играет ключевую роль в доказательстве следующей теоремы.
Теорема 3. Пусть k — конечно порожденное поле, пусть A — абелева группа без кру-
чения конечного ранга, на которой действует группа операторов Γ, и пусть P — простой
точный идеал групповой алгебры kA. Предположим, что SΓ(P ) = Γ. Тогда:
(i) если поле k имеет нулевую характеристику, то идеал P контролируется Γ-инва-
риантной конечно порожденной подгруппой S группы A;
(ii) если поле k имеет положительную характеристику p, то идеал P контролируется
Γ-инвариантной минимаксной подгруппой S группы A такой, что Sp(S) ⊆ {p}.
Пусть A — абелева группа без кручения конечного ранга, на которой действует группа
операторов Γ. Элементы группы A, имеющие конечные орбиты, при действии группы Γ
образуют подгруппу ∆Γ(A) группы A. Пусть p — простое число, обозначим через Λp
Γ(A)
изолятор в группе A подгруппы, порожденной всеми элементами a ∈ A, для которых груп-
па Γ обладает подгруппой Γa конечного индекса такой, что любой элемент γ ∈ Γa действует
на элементе a следующим образом: aγ = apm
, где m — некоторое целое число.
Теорема A из работы Брукса [3] утверждает, что если k — поле и P — простой точный
идеал групповой алгебры kA такой, что SΓ(P ) = Γ, то идеал P контролируется подгруппой
∆Γ(A). Для случая, когда группа A является конечно порожденной и |Γ: NΓ(P )| < ∞,
аналогичный результат был доказан Роузблэйдом в [2, теорема D].
Однако недавно выяснилось, что оригинальное доказательство [3, теорема A] явля-
ется неверным. Более того, существует пример, который показывает, что эта теорема
вообще неверна в случае, когда поле k имеет положительную характеристику. Как об
этом любезно информировал автора К. Брукс, он сформулировал новую версию сво-
ей теоремы для случая поля положительной характеристики. В новой версии теоремы
A работы [3] для случая поля положительной характеристики p К. Брукс предполо-
жил, что подгруппу ∆Γ(A) можно заменить на подгруппу группы A, порожденную все-
ми элементами a ∈ A такими, что для любого элемента γ ∈ Γ найдется натуральное
число n такое, что aγn
= apm
для некоторого целого числа m. В теореме 4 нам уда-
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №9 23
лось несколько уточнить предположение Брукса, доказав, что подгруппу ∆Γ(A) мож-
но заменить подгруппой Λp
Γ(A). При этом ключевую роль в доказательстве играет тео-
рема 3.
Теорема 4. Пусть k — поле, A — абелева группа без кручения конечного ранга, на
которой действует группа операторов Γ, P — простой точный идеал групповой алгебры
kA. Предположим, что SΓ(P ) = Γ. Тогда:
(i) если поле k имеет нулевую характеристику, то идеал P контролируется подгруп-
пой ∆Γ(A);
(ii) если поле k имеет положительную характеристику p то идеал P контролируется
подгруппой Λp
Γ(A).
1. Bergman G.M. The logarithmic limit-set of an algebraic variety // Trans. Amer. Math. Soc. – 1971. –
157. – P. 459–469.
2. Roseblade J. E. Prime ideals in group rings of polycyclic groups // Proc. London Math. Soc. – 1976. – 36,
No 3. – P. 385–447.
3. Brookes Ch. J. B. Ideals in group rings of soluble groups of finite rank // Math. Proc. Cambridge. Phil.
Soc. – 1985. – 97. – P. 27–49.
4. Тушев А.В. Нетеровы модули над абелевыми группами конечного свободного ранга // Укр. мат.
журн. – 1991. – 43, № 7, 8. – С. 1042–1048.
5. Segal D. On the group rings of abelian minimax groups // J. Algebra. – 2001. – 237. – P. 64–94.
6. Тушев A. В. О нетеровых модулях над минимаксными абелевыми группами // Укр. мат. журн. –
2002. – 54, № 7. – С. 969–980.
7. Тушев A. В. Индуцированные представления абелевых групп конечного ранга // Там же. – 2003. –
55, № 9. – С. 974–985.
8. Tushev A.V. On deviation in groups // Ill. J. Math. – 2003. – 47, No 1/2. – P. 539–550.
9. Ленг С. Алгебра. – Москва: Мир, 1968. – 564 c.
Поступило в редакцию 19.01.2007Днепропетровский национальный университет
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №9
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-3126 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:20:44Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Тушев, А.В. 2009-06-30T10:47:33Z 2009-06-30T10:47:33Z 2007 Контроллеры простых точных идеалов групповых алгебр абелевых групп без кручения конечного ранга / А.В. Тушев // Доп. НАН України. — 2007. — № 9. — С. 21-24. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3126 512.544 We develop some methods which allow studying properties of the controller of a faithful prime ideal I of the group algebra kA of a torsion-free Abelian group A of finite rank over a field k. We apply some results of the theory of fields such as the Kummer theory and properties of the multiplicative groups of fields. Using these methods, in particular, we obtain an independent proof of a new version of the Brookes theorem on the controllers of prime ideals of the group algebra kA. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Контроллеры простых точных идеалов групповых алгебр абелевых групп без кручения конечного ранга Article published earlier |
| spellingShingle | Контроллеры простых точных идеалов групповых алгебр абелевых групп без кручения конечного ранга Тушев, А.В. Математика |
| title | Контроллеры простых точных идеалов групповых алгебр абелевых групп без кручения конечного ранга |
| title_full | Контроллеры простых точных идеалов групповых алгебр абелевых групп без кручения конечного ранга |
| title_fullStr | Контроллеры простых точных идеалов групповых алгебр абелевых групп без кручения конечного ранга |
| title_full_unstemmed | Контроллеры простых точных идеалов групповых алгебр абелевых групп без кручения конечного ранга |
| title_short | Контроллеры простых точных идеалов групповых алгебр абелевых групп без кручения конечного ранга |
| title_sort | контроллеры простых точных идеалов групповых алгебр абелевых групп без кручения конечного ранга |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3126 |
| work_keys_str_mv | AT tuševav kontrolleryprostyhtočnyhidealovgruppovyhalgebrabelevyhgruppbezkručeniâkonečnogoranga |