Решение граничных обратных задач многокомпонентных эллиптических распределенных систем
The technology of development of computational algorithms used to solve inverse boundary problems for multicomponent elliptic distributed systems with main and natural heterogeneous conjugation conditions is presented. Explicit formulas of the Frechet derivatives for gradient computational algorithm...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3129 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Решение граничных обратных задач многокомпонентных эллиптических распределенных систем / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Доп. НАН України. — 2007. — № 9. — С. 35-41. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859761676510822400 |
|---|---|
| author | Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. |
| author_facet | Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. |
| citation_txt | Решение граничных обратных задач многокомпонентных эллиптических распределенных систем / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Доп. НАН України. — 2007. — № 9. — С. 35-41. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | The technology of development of computational algorithms used to solve inverse boundary problems for multicomponent elliptic distributed systems with main and natural heterogeneous conjugation conditions is presented. Explicit formulas of the Frechet derivatives for gradient computational algorithms are obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-02T03:50:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 536.24
© 2007
Академик НАН Украины И.В. Сергиенко, академик НАН Украины
В.С. Дейнека
Решение граничных обратных задач
многокомпонентных эллиптических распределенных
систем
The technology of development of computational algorithms used to solve inverse boundary
problems for multicomponent elliptic distributed systems with main and natural heterogeneous
conjugation conditions is presented. Explicit formulas of the Frechet derivatives for gradient
computational algorithms are obtained.
В работе [1] предложена технология использования прямых и соответствующих сопряжен-
ных задач в слабых постановках теории оптимального управления [2, 3] для реализации
градиентных методов [4] минимизации функционалов-невязки в граничных обратных зада-
чах теплопроводности многокомпонентных тел. Эта технология достаточно универсальна
и легко распространяется на обратные задачи других классов распределенных систем.
В данной работе представлена технология построения вычислительных алгоритмов ре-
шения обратных граничных задач многокомпонентных эллиптических распределенных си-
стем с главными и естественными неоднородными условиями сопряжения. Получены явные
выражения производных Фреше для построения градиентных вычислительных алгоритмов.
1. Смешанная краевая задача. Рассмотрим задачу восстановления плотностей пото-
ков на части Γ2 границы Γ = ∂Ω связной ограниченной строго липшицевой области Ω ∈ Rn,
математическая задача которой состоит в следующем.
Пусть на области Ω определено эллиптическое уравнение
−
n∑
i,j=1
∂
∂xi
(
kij
∂y
∂xj
)
+ f̃ , (1)
где kij = kji(x) ∈ C(Ω)
⋂
C1(Ω), f ∈ C(Ω), |f | < ∞,
n∑
i,j=1
kijξiξj > α0
n∑
i=1
ξ2i , ∀ξi, ξj ∈ R1, α0 = const > 0. (1′)
На части Γ1 границы Γ (Γ = Γ1
⋃
Γ2, Γ1
⋂
Γ2 = ∅) задано неоднородное условие Дирихле
y = ϕ, (2)
а на части Γ2 — условие Неймана
n∑
i,j=1
kij
∂y
∂xj
cos(ν, xi) = u, (3)
где ν — внешняя нормаль к части Γ2 границы Γ.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №9 35
Предполагаем, что на N (n− 1)-мерных областях γj , разбивающих область Ω на N + 1
связных строго липшицевых областей Ωj
(
Ω =
N+1⋃
j=1
Ωj
N⋃
i=1
γi
)
, известны следы решения
y = y(x) краевой задачи (1)–(3):
y|γi
= fi, i = 1, N. (4)
Требуется найти неизвестную функцию u ∈ L2(Γ2), при которой решение y = y(u) = y(u;x)
краевой задачи (1)–(3) удовлетворяет равенствам (4).
Решение u(x) задачи (1)–(4) будем искать приближенно, следуя [4], минимизируя функ-
ционал-невязку
J(u) =
N∑
i=1
ρi‖Aiu− fi‖
2
L2(γi)
(5)
на гильбертовом пространстве U = L2(Γ2), в предположении выполнения равенств (1)–(3),
где ρi — весовые коэффициенты. Предположим
Au = {Aiu}
N
i=1, Aiu = y(u;x)|γi
, i = 1, N.
Итерационная последовательность для нахождения приближения un+1 решения u зада-
чи (1)–(3), (5) имеет вид
un+1 = un − βnpn, n = 0, 1, . . . , n∗, (6)
и начинается с некоторого начального приближения u0, где направление спуска pn и коэф-
фициент βn определяются выражениями [4]:
для метода минимальных ошибок
pn = J ′
un
, βn =
‖en‖
2
‖J ′
un
‖2
, (7)
для метода скорейшего спуска
pn = J ′
un
, βn =
‖J ′
un
‖2
‖AJ ′
un
‖2
, (8)
для метода сопряженных градиентов
pn = J ′
un
+ γnpn−1, γ0 = 0,
γn =
‖J ′
un
‖2
‖J ′
un−1
‖2
, βn =
(J ′
un
, pn)
‖Apn‖2
,
(9)
где en = Aun − f .
Следуя [2, 3, 5], можно записать
〈J ′
u, v − u〉 = (y(u) − f, y(v) − y(u))L2(γ), (10)
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №9
где y(v) = {yi(v)}
N
i=1, yi(v) = y(v)|γi
, i = 1, N , (ϕ,ψ)L2(γ) =
N∑
i=1
ρi(ϕ,ψ)L2(γi), (ϕ,ψ)L2(γi) =
=
∫
γi
ϕψ dγi, y(v) — обобщенное решение краевой задачи (1)–(3) при u = v.
Определение 1. При каждом фиксированном u ∈ U обобщенным решением краевой
задачи (1)–(3) называется функция y = y(u) = y(u;x) ∈ H, которая ∀w(x) ∈ H0 удовлет-
воряет тождеству
a(y,w) = l(u;w), (11)
где
H0 = {v(x) ∈W 1
2 (Ω): v|Γ1
= 0}, H = {v(x) ∈W 1
2 (Ω): v|Γ1
= ϕ},
a(y,w) =
∫
Ω
n∑
i,j=1
kij
∂y
∂xj
∂w
∂xi
dx, l(u;w) = (f̃ , w) + (u,w)L2(Γ2).
Для каждого приближения un = un(x) решения u(x) задачи (1)–(3), (5) введем в рас-
смотрение следующую сопряженную краевую задачу:
−
n∑
i,j=1
∂
∂xi
(
kij
∂ψ
∂xj
)
= 0, x ∈ Ω \ γd,
ψ|Γ1
= 0,
n∑
i,j=1
kij
∂ψ
∂xj
cos(ν, xi) = 0, x ∈ Γ2,
[ψ] = 0, [qψ] = −ρi(yi(un;x) − fi(x)), x ∈ γi, i = 1, N,
(12)
где [ϕ]|γi
= ϕ+ − ϕ−, ϕ+ = {ϕ}+ = ϕ(x) при x ∈ ∂Ωi+1
⋂
γi, ϕ
− = {ϕ}− = ϕ(x) при
x ∈ ∂Ωi
⋂
γi, ν — нормаль к γi, направленная в область Ωi+1, γd =
N⋃
i=1
γi.
Определение 2. При каждом фиксированном un = un(x) обобщенным решением крае-
вой задачи (12) называется функция ψ(x) ∈ H̃0 = {v(x) : v|Ωi
∈W 1
2 (Ωi), i = 1, N + 1, [v]|γi
=
= 0, i = 1, N, v|Γ1
= 0}, которая ∀w(x) ∈ H̃0 удовлетворяет тождеству
a(ψ,w) = lψ(yn;w), (13)
где
lψ(yn;w) =
N∑
i=1
ρi(yi(un; ·) − fi(·), w)L2(γi). (14)
Выбирая в тождестве (13) вместо функции w разность yn+1−yn, с учетом (11), получаем
N∑
i=1
ρi(yi(un) − fi, yi(un+1) − yi(un))L2(γi) = (ψ,∆un)L2(Γ2).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №9 37
Следовательно,
J ′
un
= ψ̃n = ψ, x ∈ Γ2. (15)
Таким образом, для реализации метода минимальных ошибок (6), (7) (для определе-
ния (n + 1)-го приближения un+1 решения u задачи (1)–(3), (5)) направление спуска pn
и коэффициент βn можем определить с помощью выражений (7).
Решив задачу нахождения функции z ∈ H, которая ∀ w ∈ H0 удовлетворяет тождеству
a(z,w) = l(ψ̃n;w), (16)
определим вектор
AJ ′
un
= {zi(ψ̃n)}
N
i=1, (17)
где zi(ψ̃n) = z(ψ̃n;x)|γi
, i = 1, N .
С учетом (17), для определения (n + 1)-го приближения un+1 решения u задачи (1)–
(3), (5) можем использовать метод скорейшего спуска (8). Поскольку мы получили J ′
un
,
pn−1, J
′
un−1
, то можем вычислить направление спуска pn с помощью (9).
Подставляя в функционал l(ψ̃n;w) тождества (16), вместо функции ψ̃n функцию pn,
в качестве решения задачи (16) с функционалом l(pn;w) получим функцию z(pn), т. е. по-
лучим вектор
Apn = {zi(pn)}
N
i=1. (18)
Учитывая (18), можем использовать метод сопряженных градиентов (6), (9) для определе-
ния (n + 1)-го приближения un+1 решения u(x) задачи (1)–(3), (5).
2. Задача с условиями сопряжения тонкого составного включения. Пусть на
области Ω = Ω1
⋃
Ω2(Ω1
⋂
Ω2 = ∅, ∂Ω1
⋂
∂Ω2 = γ 6= ∅, Ω1,Ω2 ∈ Rn; Ω1,Ω2 — ограниченные
связные строго липшицевы области) определено эллиптическое уравнение
−
n∑
i,j=1
∂
∂xi
(
kij(x)
∂y
∂xj
)
= f̃ , (19)
где kij|Ωl
= kji|Ωl
∈ C(Ωl)
⋂
C1(Ωl),
n∑
i,j=1
kijξiξj > α0
n∑
i=1
ξ2i , ∀ξi, ξj ∈ R1, ∀x ∈ Ωl, i, j = 1, n;
f̃ |Ωl
∈ C(Ωl), l = 1, 2; |f̃ | < ∞.
На границе Γ =
3⋃
l=1
Γl(Γ = (∂Ω1
⋃
∂Ω2) \ γ) заданы смешанные краевые условия
y|Γ1
= ϕ, (20)
n∑
i,j=1
kij
∂y
∂xj
cos(ν, xi) = u1, x ∈ Γ2, (21)
n∑
i,j=1
kij
∂y
∂xj
cos(ν, xi) = −αy + u2, x ∈ Γ3, (22)
где α = const > 0.
38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №9
На составном тонком включении γ условия сопряжения имеют вид
R1q
−
y +R2q
+
y = [y] + δ, (23)
[qy] = ω, (24)
где δ, ω ∈ L2(γ) — известные функции, qy =
n∑
i,j=1
kij
∂y
∂xj
cos(ν, xi), ν — нормаль к γ, на-
правленная в область Ω2.
Также предполагаем, что область Ω разбита поверхностями γi на области Ωi, Ωi+1, i =
= 1, N . Области Ωi ∈ Rn — ограниченные связные строго липшицевы. На поверхностях γi
известно решение краевой задачи (19)–(24):
y|γi
= fi, x ∈ γi, i = 1, N. (25)
Тем самым мы получили задачу: найти функцию u = (u1, u2)
T ∈ U = L2(Γ2) × L2(Γ3),
при которой решение y = y(u) = y(u;x) краевой задачи (19)–(24) удовлетворяет равенст-
вам (25).
Как и в предыдущем разделе, решение u будем искать приближенно, следуя [4], мини-
мизируя функционал-невязку (5) с ограничениями (19)–(24).
Определение 3. При каждом фиксированном u ∈ U обобщенным решением краевой
задачи (19)–(24) называется функция y(u;x) ∈ H, которая ∀w(x) ∈ H0 удовлетворяет тож-
деству
a(y,w) = l(u;w), (26)
где H0 = {v(x) : v|Ωi
∈ W 1
2 (Ωi), i = 1, 2; v|Γ1
= 0}, H = {v(x) : v|Ωi
∈ W 1
2 (Ωi), i =
= 1, 2; v|Γ1
= ϕ}, a(y,w) =
∫
Ω
n∑
i,j=1
kij
∂y
∂xj
∂w
∂xi
dx+
∫
γ
[y][w]
R1 +R2
dγ+
∫
Γ3
αyw dΓ3, l(u;w) = (f̃ , w)+
+
∫
γ
R2ω − δ
R1 +R2
[w]dγ −
∫
γ
ωw+dγ + (u1, w)L2(Γ2) + (u2, w)L2(Γ3).
Для каждого приближения un решения u ∈ U задачи (19)–(24), (5) введем в рассмотре-
ние следующую сопряженную задачу:
−
n∑
i,j=1
∂
∂xi
(
kij
∂ψ
∂xj
)
= 0, x ∈ Ω \ γd,
ψ|Γ1
= 0,
n∑
i,j=1
kij
∂ψ
∂xj
cos(ν, xi) = 0, x ∈ Γ2,
n∑
i,j=1
kij
∂ψ
∂xj
cos(ν, xi) = −αψ, x ∈ Γ3,
[ψ] = 0, [qψ] = −ρi(yi(un;x) − fi(x)), x ∈ γi, i = 1, N,
[qψ] = 0, {qψ}
± =
[ψ]
R1 +R2
, x ∈ γ,
(27)
где γd =
N⋃
i=1
γi.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №9 39
Определение 4. При каждом фиксированном un обобщенным решением краевой зада-
чи (27) называется функция ψ(x) ∈ H0, которая ∀w ∈ H0 удовлетворяет тождеству
a(ψ,w) = lψ(yn;w), (28)
где функционал lψ(yn;w) определен выражением (14).
На основании (28), (26) получаем
N∑
i=1
ρi(yi(un) − fi, yi(un+1) − yi(un))L2(γi) = (ψ̃,∆un)L2(Γ2)×L2(Γ3). (29)
Следовательно,
J ′
un
= ψ̃ = ψ̃n, (30)
где ψ̃n = (ψ(un)|Γ2
, ψ(un)|Γ3
)T.
Таким образом, для реализации метода минимальных ошибок (7) (для определения
(n+ 1)-го приближения un+1 решения u задачи (19)–(24), (5)) направление спуска pn и ко-
эффициент βn можем определить с помощью выражений (7).
Решив задачу нахождения функции z ∈ H, которая ∀w ∈ H0 удовлетворяет тождеству
a(z,w) = l(ψ̃n;w), (31)
определим вектор
AJ ′
un
= {zi(ψ̃n)}
N
i=1, (32)
где zi(ψ̃n) = z(ψ̃n;x)|γi
, i = 1, N .
С учетом (32) для определения (n + 1)-го приближения un+1 решения u задачи (19)–
(24), (5) можем использовать метод скорейшего спуска (8). Поскольку мы получили J ′
un
,
pn−1, J
′
un−1
, то можем вычислить направление спуска pn с помощью формул (9).
Подставляя в функционал l(ψ̃n;w) тождества (31), вместо функции ψ̃n функцию pn,
в результате решения задачи (31) с функционалом l(pn;w) получим решение z(pn), т. е. по-
лучим вектор
Apn = {zi(pn)}
N
i=1. (33)
Учитывая (9), (33), можем использовать метод сопряженных градиентов (6), (9) для опре-
деления (n + 1)-го приближения un+1 решения u задачи (19)–(24), (5).
3. Задача со смешанными неоднородными условиями сопряжения. Пусть в об-
ласти Ω = Ω1
⋃
Ω2 определено уравнение (19). На границе Γ заданы смешанные краевые
условия (20)–(22). На разрезе γ области Ω имеем следующие условия:
[y] = δ, [qy] = ω. (34)
Заданы условия (4) и функционал-невязка (5).
Определение 4. Обобщенным решением краевой задачи (19)–(22), (34) при каждом
фиксированном u ∈ U называется функция y = y(u) = y(u;x) ∈ H, которая ∀w ∈ H0
удовлетворяет тождеству
a(y,w) = l(u;w), (35)
40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №9
где H0 = {v(x) : v|Ωi
∈ W 1
2 (Ωi), i = 1, 2; v|Γ1
= 0, [v] = 0}, H = {v(x) : v|Ωi
∈ W 1
2 (Ωi), i =
= 1, 2; v|Γ1
= ϕ, [v] = δ}, a(y,w) =
∫
Ω
n∑
i,j=1
kij
∂y
∂xj
∂w
∂xi
dx +
∫
Γ3
αyw dΓ3,
l(u;w) = (f̃ , w) −
∫
γ
ωw+dγ + (u1, w)L2(Γ2) + (u2, w)L2(Γ3). (35′)
Для каждого приближения un решения u ∈ U сопряженная задача состоит в нахождении
функции ψ ∈ H0, которая ∀ w ∈ H0 удовлетворяет тождеству
a(ψ,w) = lψ(yn;w), (36)
где функционал lψ(yn;w) определен выражением (14).
На основании (36), (35) получаем равенства вида (29), (30), что обеспечивает возмо-
жность реализации метода минимальных ошибок (6), (7) для определения (n + 1)-го при-
ближения un+1 решения u задачи (19)–(22), (34), (5).
Имея J ′
un
, с учетом представлений (35′), можем решить задачу нахождения функции
z ∈ H, которая ∀ w ∈ H0 удовлетворяет тождеству вида (31).
Тем самым определим все величины, необходимые для реализации метода скорейшего
спуска (6), (8).
Определив вектор Apn, реализуем метод сопряженных градиентов (6), (9).
1. Сергиенко И.В., Дейнека В. С. Решение граничных обратных задач теплопроводности для составного
стержня // Пробл. управления и информатики. – 2007. – № 2. – С. 75–97.
2. Дейнека В. С., Сергиенко И.В. Оптимальное управление неоднородными распределенными система-
ми. – Киев: Наук. думка, 2003. – 506 с.
3. Sergienko I. V., Deineka V. S. Optimal control of distributed systems with conjugation conditions. – New
York: Kluwer, 2005. – 400 p.
4. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных
задач. – Москва: Наука, 1988. – 288 с.
5. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными произво-
дными. – Москва: Мир, 1972. – 414 с.
6. Дейнека В.С., Сергиенко И.В. Модели и методы решения задач в неоднородных средах. – Киев:
Наук. думка, 2001. – 606 с.
Поступило в редакцию 29.03.2007Институт кибернетики им. В.М. Глушкова
НАН Украины, Киев
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №9 41
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-3129 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-02T03:50:32Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. 2009-07-01T09:22:21Z 2009-07-01T09:22:21Z 2007 Решение граничных обратных задач многокомпонентных эллиптических распределенных систем / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Доп. НАН України. — 2007. — № 9. — С. 35-41. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3129 536.24 The technology of development of computational algorithms used to solve inverse boundary problems for multicomponent elliptic distributed systems with main and natural heterogeneous conjugation conditions is presented. Explicit formulas of the Frechet derivatives for gradient computational algorithms are obtained. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Інформатика та кібернетика Решение граничных обратных задач многокомпонентных эллиптических распределенных систем Article published earlier |
| spellingShingle | Решение граничных обратных задач многокомпонентных эллиптических распределенных систем Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. Інформатика та кібернетика |
| title | Решение граничных обратных задач многокомпонентных эллиптических распределенных систем |
| title_full | Решение граничных обратных задач многокомпонентных эллиптических распределенных систем |
| title_fullStr | Решение граничных обратных задач многокомпонентных эллиптических распределенных систем |
| title_full_unstemmed | Решение граничных обратных задач многокомпонентных эллиптических распределенных систем |
| title_short | Решение граничных обратных задач многокомпонентных эллиптических распределенных систем |
| title_sort | решение граничных обратных задач многокомпонентных эллиптических распределенных систем |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3129 |
| work_keys_str_mv | AT sergienkoiv rešeniegraničnyhobratnyhzadačmnogokomponentnyhélliptičeskihraspredelennyhsistem AT deinekavs rešeniegraničnyhobratnyhzadačmnogokomponentnyhélliptičeskihraspredelennyhsistem |