Докритический рост дискообразной трещины с немалой зоной предразрушения в стареющем трансверсально-изотропном теле
We consider the long-term cracking of an aging transversally isotropic material containing a mode I penny-shaped crack with a non-small process zone under remotely applied tensile stress. Only the symmetric case, where the crack lies in the plane of isotropy, is considered. The aging material proper...
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3132 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Докритический рост дискообразной трещины с немалой зоной предразрушения в стареющем трансверсально-изотропном теле / А.А. Каминский, Г.В. Гаврилов // Доп. НАН України. — 2007. — № 9. — С. 54-58. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859769938305089536 |
|---|---|
| author | Каминский, A.A. Гаврилов, Г.В. |
| author_facet | Каминский, A.A. Гаврилов, Г.В. |
| citation_txt | Докритический рост дискообразной трещины с немалой зоной предразрушения в стареющем трансверсально-изотропном теле / А.А. Каминский, Г.В. Гаврилов // Доп. НАН України. — 2007. — № 9. — С. 54-58. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | We consider the long-term cracking of an aging transversally isotropic material containing a mode I penny-shaped crack with a non-small process zone under remotely applied tensile stress. Only the symmetric case, where the crack lies in the plane of isotropy, is considered. The aging material properties are described by the Boltzmann - Volterra's linear theory for integral operators with non-difference kernels. The modified Leonov - Panasyuk - Dugdale's crack model is used with a constant process zone assuming that the critical opening displacement is the fracture criterion. Numerical calculations are made for subcritical crack growth for the specific example of a transversally isotropic material simulating the behavior of reinforced concrete.
|
| first_indexed | 2025-12-02T06:27:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.375
© 2007
A.A. Каминский, Г. В. Гаврилов
Докритический рост дискообразной трещины с немалой
зоной предразрушения в стареющем
трансверсально-изотропном теле
(Представлено академиком НАН Украины В.Д. Кубенко)
We consider the long-term cracking of an aging transversally isotropic material containing a
mode I penny-shaped crack with a non-small process zone under remotely applied tensile stress.
Only the symmetric case, where the crack lies in the plane of isotropy, is considered. The
aging material properties are described by the Boltzmann–Volterra’s linear theory for integral
operators with non-difference kernels. The modified Leonov–Panasyuk–Dugdale’s crack model
is used with a constant process zone assuming that the critical opening displacement is the
fracture criterion. Numerical calculations are made for subcritical crack growth for the specific
example of a transversally isotropic material simulating the behavior of reinforced concrete.
Многие вязкоупругие материалы, такие как полимеры, бетон, древесина, горные породы
стареют с течением времени, особенно под влиянием внешней среды (температура, влаж-
ность и т. п.), в связи с чем изменяются их механические и реологические характеристики.
Этот фактор необходимо учитывать при исследовании процессов длительного разрушения
элементов конструкций, выполненных из этих материалов, поскольку он может в ряде слу-
чаев оказать значительное влияние на конечные результаты [1].
Большой цикл исследований докритического развития трещин в стареющих вязкоупру-
гих изотропных телах изложен в работе [1], где на основе линейной теории вязкоупругости
с применением подхода Маслова–Арутюняна и критерия критического раскрытия трещины
получены определяющие уравнения развития трещин на всех этапах их стабильного роста.
Получены решения ряда новых плоских задач механики длительного разрушения старею-
щих вязкоупругих тел с малыми относительно размера трещины зонами предразрушения,
когда можно применять концепцию коэффициентов интенсивности напряжений.
Особый интерес представляет разработка методов теоретического исследования дефор-
мирования и длительного разрушения стареющих вязкоупругих анизотропных тел с де-
фектами типа трещин с немалыми зонами предразрушения в связи с изучением проблем
разрушения горных массивов, конструкций, выполненных из дерева, армированного бето-
на и полимерных композитных материалов. Большинство исследований по этой проблеме
выполнено на основе линейной теории вязкоупругости без рассмотрения старения матери-
алов [1], поскольку его учет для анизотропных тел приводит к существенным математи-
ческим трудностям. Применение к решению этой проблемы метода операторных цепных
дробей [2, 3] снимает многие математические трудности и позволяет исследовать процессы
длительного разрушения при любой анизотропии вязкоупругих свойств материала.
Ниже исследуем докритический рост дискообразной трещины нормального отрыва
(mode I) c развитой зоной предразрушения и диаметром 2a, которая находится в старе-
ющем линейно-вязкоупругом трансверсально-изотропном теле.
54 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №9
Деформационные свойства данного материала будем описывать неразностными опера-
торами Вольтерра второго рода
Aijf(t) = A0
ij
(
f(t) +
t
∫
τ1
Aij(t, τ)f(τ) dτ
)
,
где τ1 — возраст материала, в котором к нему приложено внешнее воздействие.
Рассмотрим симметричный случай, когда трещина расположена в плоскости изотро-
пии Oxy. На бесконечности к телу приложены растягивающие нагрузки интенсивности p,
которые нормальны плоскости трещины. Величина этих нагрузок меньше критических зна-
чений, которые вызывают хрупкое разрушение тела.
В качестве модели трещины примем модифицированную модель трещины Леонова–
Панасюка–Дагдейла [1]. В данной модели полагается, что размер зоны предразрушения d
остается постоянным во время роста трещины. Данная концепция подтверждена для ряда
полимерных материалов и композитов на их основе [2], а также некоторых видов бетона
и армированного бетона [4].
Согласно этой модели, зона предразрушения у фронта движущейся дискообразной тре-
щины представляется кольцевым разрезом постоянной ширины (d = const), к берегам кото-
рого приложены самоуравновешенные напряжения σ(t). Величина этих напряжений удов-
летворяет условию конечности напряжений или, что то же самое — плавности смыкания
берегов трещины, и в нашем случае определяется выражением [5]
σ(t) = p
a(t) + d
√
d(2a(t) + d)
, (1)
где a(t) — радиус трещины в момент времени t; p — приложенные на удалении к телу
напряжения; d — длина зоны предразрушения.
В качестве критерия разрушения примем критерий критического раскрытия в вершине
трещины, который будет выполняться в каждый момент времени t растущей трещины [1]
2w(r, t)|r=a(t) = δ∗C . (2)
Для стареющего материала предположим, что величины δ∗C и d незначительно изменяю-
тся с возрастом материала и их можно считать постоянными величинами. Данный критерий
разрушения для некоторых стареющих материалов рассматривался в работах [1, 4].
Таким образом, модель зоны предразрушения основывается на следующих предполо-
жениях:
d и δ∗C — некоторые константы материала, определяемые экспериментально, согласно
методикам, приведенным в работе [6];
на берегах трещины в зоне предразрушения действуют напряжения σ(t), определяемые
из выражения (1).
В силу симметрии задачи будем полагать, что трещина распространяется в плоскости
Oxy и остается круговой в плане.
Для вывода уравнений докритического роста трещины необходимо иметь выражение
для вязкоупругого раскрытия трещины в момент времени t. Данную проблему можно ре-
шить с помощью принципа Вольтерра, справедливость которого для задач с растущими
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №9 55
трещинами приведена в работе [1]. Согласно этому принципу, решение вязкоупругой зада-
чи получается из решения аналогичной упругой задачи путем замены упругих постоянных
на соответствующие временные интегральные операторы.
В результате выражение для вязкоупругого раскрытия трещины радиусом a(t) в зоне
предразрушения a(t) 6 r 6 a(t) + d будет иметь вид [2]
δ(r, a(t)) = 2w(r, a(t)) = Tg(r, a(t)), (3)
где
g(r, a(t)) =
4
π
σ(a(t))
arcsin(a(t)/r)
∫
arcsin(a(t)/(a(t)+d))
√
a2(t) − r2 sin2 θdθ, (4)
T = L(Aij) =
√
(1 − ν31ν13)
1
E11E33
×
×
√
√
√
√
2
(
√
(1 − (ν12)2)(1 − ν31ν13)
E11
E33
− (1 + ν12)ν31
)
+
E11
G13
, ν31 =
E11
E33
ν13. (5)
В равенстве (4) напряжение σ(a(t)) определяется выражением (1).
Оператор T , как видно из (5), представляет собой сложную иррациональную функцию
от стареющих вязкоупругих операторов трансверсально-изотропного материала Aij . На-
хождение ядра T (t, τ) оператора T представляет собой сложную задачу, которую можно
эффективно решить с помощью метода операторных цепных дробей [1, 2].
В общем случае, докритический рост трещины в вязкоупругом теле проходит три по-
следовательных периода [1]: инкубационный, переходный и основной.
Cогласно теории докритического роста трещин [1], уравнения этих периодов на основе
критерия (2) и выражения для вязкоупругого раскрытия трещины в зоне предразруше-
ния (3) представляются следующими интегральными уравнениями:
tI
∫
τ1
T (tI , τ) dτ =
δ∗C
δ[a]
− 1, (6)
δ∗C = δ[a(t)] + g(a(t), a)
tI
∫
τ1
T (t, τ) dτ +
t
∫
tI
T (t, τ)g(a(t), a(τ)) dτ, (7)
tI 6 t 6 tII , a(tII) = a + d,
δ∗C = δ[a(t)] +
t
∫
t′
T (t, τ)g(a(t), a(τ)) dτ, (8)
a(t) − a(t′) = d, tII 6 t 6 tIII , a(tIII) = a∗.
Здесь обозначено
δ[x] = T 0g(x, x).
56 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №9
Из уравнения (6) определяется время окончания инкубационного периода, в течение
которого происходило раскрытие трещины без ее роста.
Уравнение (7) описывает переходный период роста трещины, во время которого она
проходит область предразрушения. В конце этого периода в материале будет сформирована
новая область предразрушения.
Заключительный период докритического роста трещины описывается уравнением (8).
В этом периоде трещина стабильно распространяется в материале до достижения критичес-
кой величины радиуса a∗, после чего трещина спонтанно переходит в режим динамического
развития. Критическое значение радиуса трещины a∗ и критическое значение раскрытия
δ∗C связаны следующим соотношением:
δ∗C = T 0 4
π
a∗
√
d√
2a∗ + d
.
Ввиду сложной структуры уравнений (6), (7), (8), их решение получим численными
методами, аналогично работам [1, 5].
Для примера рассмотрим волокнистый композит с пространственно-армированным кар-
касом по системе четырех прямых нитей c гексагональной симметрией [8]. Концентрация
волокон, уложенных параллельно сторонам равностороннего треугольника, — c1, а в нор-
мальном к плоскости его расположения направлении — c14. Полагаем, что связующее компо-
зита является стареющим вязкоупругим изотропным материалом, а волокна — материалом
с упругими свойствами.
Деформационные свойства связующего описываются одним интегральным оператором
Вольтерра
1
E
=
1
E0
(1 + λK∗) (9)
с ядром типа Маслова–Арутюняна [7]
λK(t, τ) = −E0 ∂
∂τ
(ϕ(τ)(1 − exp[−γ(t − τ)])),
где ϕ(τ) = C0 + A1/τ — функция старения; C0, A1, γ — экспериментально определяемые
параметры материала; E0 — модуль Юнга и λ = γE0. Полагаем при этом, что коэффициент
Пуассона мало изменяется со временем и ν = ν0 = const.
Данный композит будем моделировать однородной трансверсально-изотропной старею-
щей вязкоупругой средой с приведенными характеристиками, которые для упругого слу-
чая приведены в работе [8]. Вязкоупругие характеристики определим на основе принципа
Больцмана подстановкой в выражения для приведенных упругих характеристик вместо
упругой характеристики связующего 1/E0 оператора в виде (9). Получаемые при этом ра-
циональные выражения от одного оператора можно эффективно преобразовать к линей-
ной комбинации резольвентных операторов на основе подхода, который предложен в ра-
боте [3].
На рис. 1 показаны кинетические кривые роста трещины (d/a = 0,5, a∗/a = 3), по-
лученные численным решением уравнений (6)–(8) для композита (c1 = 0,2, c14 = 0,1) со
следующими характеристиками компонентов: связующее (бетон) [7] — E0 = 2 · 1010 Па,
ν0 = 0,167, C0 = 0,918 · 10−10 Па−1, A1 = 4,918 · 10−10 сут/Па, γ = 0,026 сут−1; волокна
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №9 57
Рис. 1. Кинетические кривые
(сталь) — Ea = 2 · 1011 Па, νa = 0,3. Начало отсчета времени для каждой кривой на рис. 1
(1 — τ1 = 14 сут, 2 — τ1 = 28 сут, 3 — τ1 = 120 сут) совпадает с возрастом материала
связующего композита τ1, в котором к нему была приложена внешняя нагрузка.
1. Каминский А.А. Разрушение вязкоупругих тел с трещинами. – Киев: Наук. думка, 1990. – 310 с.
2. Механика композитов: В 12 т. Т. 5 / Под общ. ред. А.Н. Гузя. – Механика разрушения / Под ред.
А.А. Каминского. – Киев: ПТОО «А.С. К.», 1996. – 340 с.
3. Гаврилов Г. В. Определение вязкоупругих характеристик композита на основе рациональной аппро-
ксимации // Доп. НАН України. – 2006. – № 3. – С. 47–50.
4. Лучко Й.Й. Методи оцiнки несучої здатностi i пiдвищення трiщиностiйкостi залiзобетонних елементiв
конструкцiй. – Львiв: Слово i комерцiя, 1997. – 435 с.
5. Kaminsky A.A., Gavrilov G.V. Initiation and stable growth of penny-shaped crack in aging viscoelastic
transversally isotropic material // Theoret. and Appl. Fracture Mechanics. – 2002. – 38. – P. 243–254.
6. Каминский А.А., Гаврилов Д.А. Длительное разрушение полимерных и композитных материалов с
трещинами. – Киев: Наук. думка, 1992. – 248 с.
7. Арутюнян Н.Х. Некоторые вопросы теории ползучести. – Москва; Ленинград: ГИТТЛ, 1952. – 324 с.
8. Хорошун Л.П., Маслов Б.П., Шикула Е.Н., Назаренко Л.В. Статистическая механика и эффектив-
ные свойства материалов. – Киев: Наук. думка, 1993. – 390 с.
Поступило в редакцию 07.02.2007Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
58 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №9
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-3132 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-02T06:27:54Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Каминский, A.A. Гаврилов, Г.В. 2009-07-01T09:25:30Z 2009-07-01T09:25:30Z 2007 Докритический рост дискообразной трещины с немалой зоной предразрушения в стареющем трансверсально-изотропном теле / А.А. Каминский, Г.В. Гаврилов // Доп. НАН України. — 2007. — № 9. — С. 54-58. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3132 539.375 We consider the long-term cracking of an aging transversally isotropic material containing a mode I penny-shaped crack with a non-small process zone under remotely applied tensile stress. Only the symmetric case, where the crack lies in the plane of isotropy, is considered. The aging material properties are described by the Boltzmann - Volterra's linear theory for integral operators with non-difference kernels. The modified Leonov - Panasyuk - Dugdale's crack model is used with a constant process zone assuming that the critical opening displacement is the fracture criterion. Numerical calculations are made for subcritical crack growth for the specific example of a transversally isotropic material simulating the behavior of reinforced concrete. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Докритический рост дискообразной трещины с немалой зоной предразрушения в стареющем трансверсально-изотропном теле Article published earlier |
| spellingShingle | Докритический рост дискообразной трещины с немалой зоной предразрушения в стареющем трансверсально-изотропном теле Каминский, A.A. Гаврилов, Г.В. Механіка |
| title | Докритический рост дискообразной трещины с немалой зоной предразрушения в стареющем трансверсально-изотропном теле |
| title_full | Докритический рост дискообразной трещины с немалой зоной предразрушения в стареющем трансверсально-изотропном теле |
| title_fullStr | Докритический рост дискообразной трещины с немалой зоной предразрушения в стареющем трансверсально-изотропном теле |
| title_full_unstemmed | Докритический рост дискообразной трещины с немалой зоной предразрушения в стареющем трансверсально-изотропном теле |
| title_short | Докритический рост дискообразной трещины с немалой зоной предразрушения в стареющем трансверсально-изотропном теле |
| title_sort | докритический рост дискообразной трещины с немалой зоной предразрушения в стареющем трансверсально-изотропном теле |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3132 |
| work_keys_str_mv | AT kaminskiiaa dokritičeskiirostdiskoobraznoitreŝinysnemaloizonoipredrazrušeniâvstareûŝemtransversalʹnoizotropnomtele AT gavrilovgv dokritičeskiirostdiskoobraznoitreŝinysnemaloizonoipredrazrušeniâvstareûŝemtransversalʹnoizotropnomtele |