Математическая модель и метод расчета температурного состояния капсулы, движущейся в формующей среде
On the basis of an approximate mathematical model, the calculation of time variations of the temperature field of a composite droplet (external layer and contents) is executed. A droplet moves in a molding liquid and, as a result of the external layer jellification, transforms into a capsule. The ti...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3134 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Математическая модель и метод расчета температурного состояния капсулы, движущейся в формующей среде / Б.И. Басок, Б.В. Давыденко, А.И. Тесля // Доп. НАН України. — 2007. — № 9. — С. 62-68. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860127538107383808 |
|---|---|
| author | Басок, Б.И. Давыденко, Б.В. Тесля, А.И. |
| author_facet | Басок, Б.И. Давыденко, Б.В. Тесля, А.И. |
| citation_txt | Математическая модель и метод расчета температурного состояния капсулы, движущейся в формующей среде / Б.И. Басок, Б.В. Давыденко, А.И. Тесля // Доп. НАН України. — 2007. — № 9. — С. 62-68. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | On the basis of an approximate mathematical model, the calculation of time variations of the temperature field of a composite droplet (external layer and contents) is executed. A droplet moves in a molding liquid and, as a result of the external layer jellification, transforms into a capsule. The time period before the jellification process beginning is considered.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:42:57Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
9 • 2007
ТЕПЛОФIЗИКА
УДК 536.24:544.77
© 2007
Член-корреспондент НАН Украины Б.И. Басок, Б.В. Давыденко,
А.И. Тесля
Математическая модель и метод расчета
температурного состояния капсулы, движущейся
в формующей среде
On the basis of an approximate mathematical model, the calculation of time variations of the
temperature field of a composite droplet (external layer and contents) is executed. A droplet
moves in a molding liquid and, as a result of the external layer jellification, transforms into a
capsule. The time period before the jellification process beginning is considered.
Капсулированные продукты широко применяются в пищевой промышленности и медици-
не. Одним из способов получения капсул является монодисперсное дробление бинарной
коаксиальной струи, внутренняя составляющая которой представлена капсулируемой жид-
костью, а наружная — жидкостью вещества оболочки капсулы. Составные капли, полу-
ченные в результате дробления бинарной струи, направляются в формующую жидкость,
в среде которой жидкая оболочка затвердевает. Обычно это происходит вследствие изме-
нения ее температуры. Если, например, вещество оболочки представляет собой раствор
агароида, желатина или подобных ему веществ, то в результате охлаждения ниже 40 ◦С
такой раствор из жидкого превращается в желеобразный. Оболочка при этом имеет форму
сферического слоя.
Для выбора оптимального температурного режима капсулирования, а также с целью по-
следующего создания эффективных капсулирующих устройств, рассмотрим метод расчета
температурного поля составной сферической капли, имеющей в начальный момент времени
жидкую оболочку и жидкую сердцевину, свободно движущейся под действием силы тяже-
сти в вязкой формующей среде. Жидкости, составляющие оболочку и сердцевину, а также
формующая жидкость — несмешивающиеся. Считается, что сердцевина имеет форму сфе-
ры, а оболочка — сферического слоя. Оболочка и сердцевина принимаются концентриче-
скими. Теплофизические свойства всех компонентов системы предполагаются постоянными
вплоть до момента начала желирования оболочки. В начальный момент времени темпера-
туры сердцевины, оболочки и формующей жидкости составляют соответственно tс, tо и tф
(tо > tф). В формующей среде оболочка капли остывает. С момента достижения наружной
поверхностью оболочки температуры tж начинается процесс желирования оболочки.
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №9
Жидкие среды, составляющие рассматриваемую систему, имеют весьма высокую вяз-
кость, а их плотности — близкие по значениям. В связи с этим, можно предположить, что
скорость движения капли под действием силы тяжести в формующей среде будет сравни-
тельно низкой. Кроме того, при таких условиях за достаточно короткий промежуток време-
ни капля приобретает постоянную скорость движения (равновесную скорость или скорость
витания) и все гидродинамические процессы становятся стационарными [1]. Это позволяет
описать задачу движения капсулы системой уравнений Стокса. В сферических координатах
с началом в центре массы капли эта система, записанная в безразмерной форме, имеет вид:
∂V
∂R
+
2V
R
+
1
R
∂U
∂θ
+
U ctg(θ)
R
= 0; (1)
σβ
∂P
∂R
= −G
σβ
ζβ
(1 − ζβ) cos(θ) +
∂2V
∂R2
+
1
R2
∂2V
∂θ2
+
2
R
∂V
∂R
+
ctg(θ)
R2
∂V
∂θ
−
2V
R2
−
−
2
R2
∂U
∂θ
−
2ctg(θ)
R2
U ; (2)
σβ
R
∂P
∂θ
=G
σβ
ζβ
(1−ζβ) sin(θ)+
∂2U
∂R2
+
1
R2
∂2U
∂θ2
+
2
R
∂U
∂R
+
ctg(θ)
R2
∂U
∂θ
+
2
R2
∂V
∂θ
−
U
R2 sin2(θ)
, (3)
где
U =
u
w
; V =
v
w
; R =
r
rk
; ζβ =
ρ0
ρβ
; σβ =
µ0
µβ
;
P =
p∗rk
µ0w
; G =
gr2
kρ0
µ0w
; p∗ = p + ρ0gz − pат,
r, θ — сферические координаты (радиальная и угловая); z — вертикальная координата; v,
u — радиальная и касательная составляющие скорости в подвижной системе координат;
w — равновесная скорость вертикального движения центра массы капли; p — давление;
pат — атмосферное давление; g — ускорение силы тяжести; rk — внешний радиус оболочки
капсулы; µ — динамический коэффициент вязкости; ρ — плотность; β — индекс, характе-
ризующий отношение физической величины к той или иной жидкой среде: β = 0 — фор-
мующая жидкость, в среде которой движется капля; β = 1 — жидкость оболочки; β = 2 —
жидкость содержимого капсулы оболочки.
Граничными условиями для уравнений (1)–(3) будут:
θ = 0;π : Uβ = 0;
∂Vβ
∂θ
= 0; β = 0; 1; 2; (4)
R → ∞ : V → − cos(θ); U → sin(θ); P → 0; (5)
R = 1 : V1 = V0 = 0; U1 = U0;
∂
∂R
(
U1
R
)
R=1
= σ1
∂
∂R
(
U0
R
)
R=1
; (6)
R = Ro : V1 = V2 = 0; U1 = U2;
∂
∂R
(
U1
R
)
R=Ro
=
σ1
σ2
∂
∂R
(
U2
R
)
R=Ro
; (7)
R = 0 : U2;V2;P2 — величины конечные,
где Ro = ro/rk, ro — внутренний радиус оболочки капсулы.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №9 63
Система уравнений (1)–(3) описывает движение капли в вязкой среде с малой скоростью.
Один из методов ее решения рассмотрен в [2]. Условие (4) означает, что рассматриваемая
задача симметрична относительно вертикальной оси. Эти условия позволяют для любого β
представить решение системы уравнений (1)–(3) в виде
V = f(R) cos(θ), U = −q(R) sin(θ), P =
h(R)
σβ
cos(θ).
Подстановка этих выражений в уравнения (1)–(3) приводит к системе обыкновенных
дифференциальных уравнений вида
f ′ +
2
R
(f − q) = 0,
h′ = −G
(
1
ζβ
− 1
)
σβ + f ′′ +
2
R
f ′ +
4
R2
(q − f),
h
R
= −G
(
1
ζβ
− 1
)
σβ + q′′ +
2
R
q′ +
2
R2
(f − q).
Решение полученной системы методом исключения приводит к дифференциальному
уравнению четвертого порядка для определения f
R3f ′′′′ + 8R2f ′′′ + 8Rf ′′
− 8f ′ = 0.
Решение данного уравнения в каждой из рассматриваемых сред имеет следующий вид:
для среды формующей жидкости
f0 = b0 + b1R
−1 + b3R
−3;
для среды жидкости оболочки
f1 = c0 + c2R
2 + d1R
−1 + d3R
−3;
для среды капсулируемой жидкости
f2 = a0 + a2R
2,
где a, b, c, d — коэффициенты, определяемые из граничных условий (5)–(7).
Определив fβ, можно из оставшихся дифференциальных уравнений найти функции qβ
и hβ , а затем — поля скоростей и давлений в каждой из сред. Для нахождения равнове-
сной скорости движения капсулы необходимо рассчитать результирующую силу сопротив-
ления F , действующую на капсулу со стороны формующей жидкости. Для этого исполь-
зуется формула
F = 2πr2
k
π
∫
0
[(
−p∗ + 2µ0
∂v
∂r
)
cos(θ) − µ0
∂
∂r
(
u
r
)
sin(θ)
]
r=rk
sin(θ) dθ.
Подставляя в нее функции u, v, p∗, найденные для внешнего течения, получим
F = −4πrkb1wµ0 +
4
3
πgr3
kρ0.
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №9
Приравнивая значение F весу капсулы, получим уравнение для определения равнове-
сной скорости w, из которого следует, что
w =
r3
k(ρ1 − ρ0) + r3
o(ρ2 − ρ1)
3rkb1µ0
.
Теплоперенос в системе формующая жидкость — оболочка капсулы — содержимое кап-
сулы описывается уравнением энергии, в котором, в отличие от уравнений динамики (2), (3),
нестационарный и конвективный члены сохранены вследствие высоких значений чисел
Прандтля, характерных для рассматриваемых жидкостей. В сферических координатах
уравнение энергии имеет вид
Pr
(
∂T
∂ Fo
+ ReV
∂T
∂R
+ Re
U
R
∂T
∂θ
)
=
1
ηβ
(
∂2T
∂R2
+
2
R
∂T
∂R
+
1
R2
∂2T
∂θ2
+
ctg(θ)
R2
∂T
∂θ
)
, (8)
где T =
t − tф
to − tф
; ηβ =
a0
aβ
; Fo =
τµ0
ρ0r2
k
; Re =
wrkρ0
µ0
; Pr =
µ0
ρ0a0
; t — температура; a —
коэффициент температуропроводности; τ — время.
Уравнение (8) решается при следующих граничных условиях:
R = 0 : T2 — величина конечная
θ = 0;π :
∂Tβ
∂θ
= 0; β = 0; 1; 2;
R → ∞ : T → 0;
R = 1 : T1 = T0;
∂T1
∂R
∣
∣
∣
∣
R=1
= κ1
∂T0
∂R
∣
∣
∣
∣
R=1
; (9)
R = Ro : T1 = T2;
∂T1
∂R
∣
∣
∣
∣
R=Ro
=
κ1
κ2
∂T2
∂R
∣
∣
∣
∣
R=Ro
, (10)
где κβ = λ0/λβ , λ — коэффициент теплопроводности.
Начальными условиями для уравнения (8) будут: при Fo = 0: T0 = 0; T1 = 1; T2 =
= (tс − tф)/(to − tф).
Для решения уравнения (8) воспользуемся методом, предложенным в [3]. Для областей
оболочки капсулы (Ro < R < 1) и ее содержимого (0 < R < Ro, Ro = ro/rk) перейдем
от переменной T к переменной H = TR. Это позволит задать при R = 0 условие H = 0.
Уравнение (8) в переменных H, R, θ будет иметь вид
R2
∂H
∂ Fo
+ReVβR
(
R
∂H
∂R
−H
)
+Re UβR
∂H
∂θ
=
1
ηβ Pr
(
R2
∂2H
∂R2
+
∂2H
∂θ2
+ctg(θ)
∂H
∂θ
)
, (11)
где Vβ и Uβ — скорости, которые рассчитываются по формулам, выведенным для области
содержимого капсулы (β = 2) и оболочки капсулы (β = 1).
Во внешней области (1 < R < ∞) удобно от радиальной переменной R перейти к S =
= 1/R. Это дает возможность рассматривать задачу внешнего теплопереноса в ограничен-
ной области (0 < S < 1). Уравнение (8) в переменных T , S, θ примет вид:
1
S2
∂T
∂ Fo
− ReV
∂T
∂S
+ Re
U
S
∂T
∂θ
=
1
Pr
(
S2
∂2T
∂S2
+
∂2T
∂θ2
+ ctg(θ)
∂T
∂θ
)
. (12)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №9 65
Рис. 1. Картина течения жидкостей в оболочке капсулы и ее содержимом
Для скоростей V и U , входящих в уравнение (12), используются зависимости, получен-
ные для области внешнего течения (β = 0). В новых переменных записываются и усло-
вия (9), (10) на границах раздела сред.
Для решения уравнений (11) и (12) применяется метод конечных разностей. В узлах,
лежащих на границах раздела сред, разностные уравнения переноса заменяются условиями
сопряжения (9), (10), записанными также в разностной форме.
В качестве примера расчета температурного поля капсулы в процессе ее движения
и охлаждения в формующей среде рассматривается случай, соответствующий технологии
производства имитированной красной зернистой икры [4]. В соответствии с данной техно-
логией, в качестве формующей жидкости используется растительное масло, охлажденное
до температуры tф = 10 ◦С. Диаметры оболочки: внешний — 2rk = 6 мм, внутренний —
2rо = 4,8 мм.
Вещество оболочки — раствор агароида с начальной температурой tо = 65 ◦С. Содержи-
мое капсулы — раствор капсулируемых веществ (вкусовых добавок и пищевого красителя)
в растительном масле, который имеет начальную температуру tс = 25 ◦С. Расчеты выпол-
нены для следующих значений теплофизичних свойств компонентов системы:
C0 = 2150 Дж/(кг · К); ρ0 = 923 кг/м3; µ0 = 0,1 Н · с/м2; λ0 = 0,135 Вт/(м · К);
C1 = 3232 Дж/(кг · К); ρ1 = 1083 кг/м3; µ1 = 0,2 Н · с/м2; λ1 = 0,432 Вт/(м · К);
C2 = 2150 Дж/(кг · К); ρ2 = 915 кг/м3; µ2 = 0,09 Н · с/м2; λ2 = 0,132 Вт/(м · К).
Поля скоростей течения жидкостей, составляющих бинарную каплю, представлены на
рис. 1. Как видно из рисунка, движение обоих компонентов капсулы имеет циркуляционный
характер, более сложный, чем в случае однородной капли [1]. Образованию и поддержанию
вихревых течений жидкостей оболочки и ее содержимого способствуют касательные на-
пряжения на поверхностях раздела сред.
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №9
Рис. 2. Изменение во времени полей температуры (◦С) в оболочке капсулы и ее содержимом: a — τ = 1,6 с;
б — τ = 2,4 с; в — τ = 4,5 с; г — τ = 6,2 с
Результаты расчета температурного поля капсулы приведены на рис. 2. Характер тепло-
переноса в системе формующая жидкость — оболочка — содержимое определяется особен-
ностями течений компонентов капсулы. Главную роль в этом процессе играет внутренняя
конвекция. Наиболее интенсивно теплоотдача протекает в области передней лобовой части
оболочки, где внешний температурный пограничный слой формующей жидкости наиболее
тонкий. Охлажденная с внешней стороны жидкость оболочки переносится вихревым тече-
нием во внутреннюю область, что способствует понижению ее температуры. Вместе с тем,
теплота переносится и к более холодному веществу содержимого капсулы.
Течение содержимого капсулы (сердцевины) также имеет вихревую структуру, вслед-
ствие чего нагретая у поверхности жидкость сердцевины переносится в ее центральную
часть. При этом температура центральной части сердцевины растет более интенсивно, чем
температура участков, расположенных ближе к центрам вихревого течения.
Сложный механизм теплопереноса в бинарной капле сказывается на характере изотерм,
которые приведены на рис. 2. Как видно из рисунков, функция распределения температуры
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №9 67
в радиальном направлении имеет как локальные минимумы, так и максимумы, расположе-
ние которых зависит от времени. Вследствие внутренних циркуляционных течений уровень
теплоотдачи от оболочки капсулы к формирующей жидкости оказывается более высоким
по сравнению с уровнем теплоотдачи от твердой сферы при тех же значениях чисел Рей-
нольдса.
Температура оболочки достигает значения t = 30 ◦С приблизительно за 6,2 с. При
этой температуре начинается процесс желирования вещества оболочки. После завершения
процесса желирования движение жидкости внутри капсулы прекращается, и ее дальней-
шее охлаждение протекает подобно охлаждению твердой сферы, движущейся в жидкости.
В этот период изотермы становятся концентрическими. Процесс теплообмена при этом ста-
новится менее интенсивным и дальнейший темп охлаждения снижается.
Результаты данных исследований, а также метод расчета температурного состояния
капсулы в процессе ее охлаждения можно использовать при разработке технологии произ-
водства жидких капсулированных продуктов.
1. Кравченко Ю.С., Давыденко Б. В., Тесля А.И. Движение сферической капли в вязкой среде под
действием силы тяжести // Пром. теплотехника. – 2003. – 25, № 4. – С. 20–25.
2. Кочин Н. Е., Кибель И.А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. Т. 2. – Москва: ФИЗМАТГИЗ,
1963. – 727 с.
3. Oliver D. L.R., Chung J. N. Unsteady conjugate heat transfer from a translating fluid sphere at a moderate
Reynolds numbers // Int. J. Heat Mass Transfer. – 1990. – 33, No 3. – P. 401–404.
4. Перцевой Ф.В., Савгира Ю.А., Камсулина Н.В. и др. Технология получения растительных масел и
пищевых продуктов, обогащенных каротиноидами. – Харьков, 2002. – 230 с.
Поступило в редакцию 14.03.2007Институт технической теплофизики
НАН Украины, Киев
68 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №9
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-3134 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:42:57Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Басок, Б.И. Давыденко, Б.В. Тесля, А.И. 2009-07-01T09:27:13Z 2009-07-01T09:27:13Z 2007 Математическая модель и метод расчета температурного состояния капсулы, движущейся в формующей среде / Б.И. Басок, Б.В. Давыденко, А.И. Тесля // Доп. НАН України. — 2007. — № 9. — С. 62-68. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3134 536.24:544.77 On the basis of an approximate mathematical model, the calculation of time variations of the temperature field of a composite droplet (external layer and contents) is executed. A droplet moves in a molding liquid and, as a result of the external layer jellification, transforms into a capsule. The time period before the jellification process beginning is considered. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Теплофізика Математическая модель и метод расчета температурного состояния капсулы, движущейся в формующей среде Article published earlier |
| spellingShingle | Математическая модель и метод расчета температурного состояния капсулы, движущейся в формующей среде Басок, Б.И. Давыденко, Б.В. Тесля, А.И. Теплофізика |
| title | Математическая модель и метод расчета температурного состояния капсулы, движущейся в формующей среде |
| title_full | Математическая модель и метод расчета температурного состояния капсулы, движущейся в формующей среде |
| title_fullStr | Математическая модель и метод расчета температурного состояния капсулы, движущейся в формующей среде |
| title_full_unstemmed | Математическая модель и метод расчета температурного состояния капсулы, движущейся в формующей среде |
| title_short | Математическая модель и метод расчета температурного состояния капсулы, движущейся в формующей среде |
| title_sort | математическая модель и метод расчета температурного состояния капсулы, движущейся в формующей среде |
| topic | Теплофізика |
| topic_facet | Теплофізика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3134 |
| work_keys_str_mv | AT basokbi matematičeskaâmodelʹimetodrasčetatemperaturnogosostoâniâkapsulydvižuŝeisâvformuûŝeisrede AT davydenkobv matematičeskaâmodelʹimetodrasčetatemperaturnogosostoâniâkapsulydvižuŝeisâvformuûŝeisrede AT teslâai matematičeskaâmodelʹimetodrasčetatemperaturnogosostoâniâkapsulydvižuŝeisâvformuûŝeisrede |