Комбинационный анализ переходных процессов в электроцепях с распределенными параметрами
A mathematical interpretation of transient processes in electrocircuits with distributed parameters is given. A line without losses on the idling and the short-circuit mode is considered.
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3135 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Комбинационный анализ переходных процессов в электроцепях с распределенными параметрами / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2007. — № 9. — С. 69-76. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859629798457868288 |
|---|---|
| author | Божко, А.Е. |
| author_facet | Божко, А.Е. |
| citation_txt | Комбинационный анализ переходных процессов в электроцепях с распределенными параметрами / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2007. — № 9. — С. 69-76. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | A mathematical interpretation of transient processes in electrocircuits with distributed parameters is given. A line without losses on the idling and the short-circuit mode is considered.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:09:26Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
9 • 2007
ЕНЕРГЕТИКА
УДК 621.3(0758)
© 2007
Член-корреспондент НАН Украины А.Е. Божко
Комбинационный анализ переходных процессов
в электроцепях с распределенными параметрами
A mathematical interpretation of transient processes in electrocircuits with distributed parame-
ters is given. A line without losses on the idling and the short-circuit mode is considered.
Решения, представленные в данной работе, сочетают в себе анализ переходных процес-
сов в электроцепях с распределенными параметрами, классические методы (в частности
операционные) и теорию, относящуюся к новой концепции о переходных процессах в элект-
роцепях [1, 2]. Последняя развивает классическую теорию математически и дополняет фи-
зическую картину, происходящую в длинных линиях при переходных процессах в них.
Схема электроцепи с распределенными параметрами изображена на рис. 1 [3], где R0 —
продольное активное сопротивление единицы длины линии; L0 — индуктивность единицы
длины линии; C — емкость единицы длины линии; g0 — поперечная проводимость единицы
длины линии; x — расстояние, отсчитываемое от начала линии; dx — рассматриваемый
участок линии; zH — сопротивление (нагрузка) в конце линии; U1 — напряжение между
проводами линии; i — ток в начале рассматриваемого участка dx; ∂i/∂x dx — приращение
тока на пути dx; ∂i/∂x — скорость изменения тока в направлении x; ∂U/∂x — скорость
изменения напряжения в направлении x; ∂U/∂x dx — приращение напряжения на пути dx.
Предположим, что параметры линии, напряжение в начале линии U = U1 и нагрузка
zH известны. При решении задачи необходимо определить напряжение U(t, x) и ток i(t, x),
где t — время в любой точке линии. В данном случае эти величины являются функциями
времени t (от начального момента включения t = 0) и расстояния x от начала линии. Будем
считать, что в момент включения (t = 0) линия не обладает электрической и магнитной
энергиями, т. е. в линии нет тока i и напряжения U . А это значит, что вместо функций,
зависящих от t и x (оригиналов), можно рассматривать изображения (Карсона), зависящие
от p и x, где p — комплексная величина с положительной вещественной частью, достаточно
большой, чтобы ϕ(p) = p
∞
∫
0
f(t)e−ptdt была конечной (ϕ(p) — изображение f(t)) [4]. Для
более простого понимания теоретического анализа переходного процесса в линии будем
рассматривать линию без потерь, т. е. случай, когда R0 и g0 значительно меньше величин
ωL0 и ωC0 соответственно. Здесь ω — круговая частота (ω = 2πf , f — частота, [f ] — герц).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №9 69
Рис. 1
При рассмотрении электроцепей с распределенными параметрами вводятся следующие
величины [3]: ν =
√
z0y0 =
√
(R0 + jωL0)(g0 + jωC0) = α + jβ — постоянная распростране-
ния; α — коэффициент затухания (затухание волны на единицу длины линии); β — коэф-
фициент фазы (изменение фазы волны на единицу длины линии); zb = z0/ν =
√
z0/y0 =
=
√
(R0 + jωL0)/(g0 + jωC0) — волновое сопротивление, j =
√
−1.
Для линии синусоидального тока без потерь при zbc =
√
L0/C0, для постоянного тока
ω = 0 zbn =
√
R0/g0. Изображения напряжения и тока в некоторой точке линии без потерь
имеют вид [4]
U(p) = U1(p)
zH(p) ch(τ − τx) + zb sh p(τ − τx)
zH(p) ch pτ + zb sh pτ
; (1)
I(p) =
U1(p)
zb
zH(p) sh p(τ − τx) + zb ch p(τ − τx)
zH(p) ch pτ + zb sh pτ
, (2)
zH(p) — изображение Карсона полного сопротивления на конце линии (нагрузки); τ —
время распространения волны со скоростью v вдоль линии длиной l (τ = l/v, v — скорость
света 3·105 км/с); τx = x/v — время распространения волны вдоль участка линии длиной x;
(τ − τx) — время распространения отраженной волны от конца линии до точки наблюдения
в конце участка x.
Рассмотрение переходных процессов в линии в данной работе ограничим режимами
холостого хода (zH = ∞) и короткого замыкания (zH = 0) при включении на вход линии
в момент t = 0 постоянного скачкообразного напряжения U1 = E · 1(t). С учетом новой
концепции [1, 2] это напряжение может быть представлено в виде
U1 · 1(t) = E(1 − e−γt) + e−γt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt, (3)
где γ — коэффициент затухания; Uak, ωk — амплитуда и круговая частота k-й гармоники;
Uak = Ua1/(πωk);
n
∑
k=1
Uak = E.
Изображение Карсона оригинала (3) следующее:
U1(p) = E
γ
p + γ
+
n
∑
k=1
Uakp(p + γ)
(p + γ)2 + ω2
k
. (4)
70 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №9
Подставив (4) в (1) и (2), получим
U(p) = E
γ
(p + γ)
zH(p) ch p(τ − τx) + zbΠ sh p(τ − τx)
zH(p) ch pτ + zbΠ sh pτ
+
+
zH(p) ch p(τ − τx) + zbC sh p(τ − τx)
zH(p) ch pτ + zbC sh pτ
n
∑
k=1
Uakp(p + γ)
(p + γ)2 + ω2
k
; (5)
I(p) =
E
zbΠ
γ
(p + γ)
zH(p) ch p(τ − τx) + zbΠ sh p(τ − τx)
zH(p) ch pτ + zbΠ sh pτ
+
+
zH(p) ch p(τ − τx) + zbC sh p(τ − τx)
zbC [zH(p) ch pτ + zbC sh pτ ]
n
∑
k=1
Uakp(p + γ)
(p + γ)2 + ω2
k
. (6)
Для режима холостого хода (RH = ∞). Выражения (5) и (6) примут вид
Uxx(p) =
[
Eγ
p + γ
+
n
∑
k=1
Uakp(p + γ)
(p + γ)2 + ω2
k
]
ch p(τ − τx)
ch pτ
; (7)
Ixx(p) =
[
E
zbΠ
γ
(p + γ)
+
1
zbC
n
∑
k=1
Uakp(p + γ)
(p + γ)2 + ω2
k
]
sh p(τ − τx)
ch pτ
. (8)
Несмотря на то что zH = ∞, ток i(t, x) в линии существует ввиду того, что имеются кон-
туры, соединяющие провода линии (см. рис. 1). Нахождение оригиналов изображений (7)
и (8) можно осуществить с помощью способа Даламбера, приведенного в работе [4]. Для
этого представим гиперболические функции в (7) и (8) в следующем виде [5]:
ch p(τ − τx)
ch pτ
=
ep(τ−τx) + e−p(τ−τx)
epτ + e−pτ
=
e−pτx + e−p(2τ−τx)
1 + e−2pτ
; (9)
sh p(τ − τx)
ch pτ
=
ep(τ−τx) − e−p(τ−τx)
epτ + e−pτ
=
e−pτx − e−p(2τ−τx)
1 + e−2pτ
. (10)
Заметим, что выражение 1/(1 + e−2pτ ) является суммой убывающей геометрической
прогрессии [5] с a1 = 1 и q = e−2pτ . Действительно, сумма этой прогрессии
Sn =
a1[1 − (e−2pτ )n]
1 + e−2pτ
при n = ∞ равна 1/(1 + e−2pτ ). Сама геометрическая прогрессия имеет вид 1 − e−2pτ +
+ e−4pτ − e−6pτ · · · . Подставляя эту прогрессию в (7) и (8), соответственно получим
Uxx(p) =
[
Eγ
p + γ
+
n
∑
k=1
Uakp(p + γ)
(p + γ)2 + ω2
k
]
[e−pτ + e−p(2τ−τx) − e−p(2τ+τx) −
− e−p(4τ−τx) + e−p(4τ+τx) − · · · ]; (11)
Ixx(p) =
[
Eγ
zbΠ(p + γ)
+
1
zbC
n
∑
k=1
Uakp(p + γ)
(p + γ)2 + ω2
k
]
[e−pτx − e−p(2τ−τx) − e−p(2τ+τx) +
+ e−p(4τ−τx) + e−p(4τ+τx) − e−p(6τ−τx) − e−p(6τ+τx) + · · · ]. (12)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №9 71
Известно [4], что единичная функция 1(t1) имеет изображение Карсона e−pt1 . Учитывая
это свойство, получим оригиналы изображений (10) и (11) с использованием таблиц [4]
в виде
Uxx(t) =
[
E(1 − e−γt) + e−γt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt
]
×
× [1(τx) + 1(2τ − τx) − 1(2τ + τx) − 1(4τ − τx) + 1(4τ + τx) · · · ], (13)
i(t) =
[
E
zbΠ
(1 − e−γt) +
1
zbC
e−γt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt
]
×
× [1(τx) − 1(2τ − τx) − 1(2τ + τx) + 1(4τ − τx) + 1(4τ + τx) · · · ]. (14)
Выразим единичные функции 1(τx), 1(2τ − τx), 1(2τ + τx), 1(4τ + τx), (4τ + τx), явля-
ющиеся скачкообразными и входящие в выражения (13), (14), в виде суммы слагаемых,
определяемых по новой концепции о переходных процессах [2]. В результате получим
U(t) =
[
E(1 − e−γt) + e−γt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt
]
×
×
〈{
(−e−γτx) + e−γτx
n
∑
k=1
Uxk cos ωxkτx
}
+
+
{
[1 − e−γ(2τ−τx)] + e−γ(2τ−τx)
n
∑
k=1
Uxk cos[ωxk(2τ − τx)]
}
−
−
{
[1 − e−γ(2τ+τx)] + e−γ(2τ+τx)
n
∑
k=1
Uxk cos[ωxk(2τ + τx)]
}
−
−
{
[1 − e−γ(4τ+τx)] + e−γ(4τ−τx)
n
∑
k=1
Uxk cos[ωxk(4τ − τx)]
}
+
+
{
[1 − e−γ(4τ+τx)] + e−γ(4τ+τx)
n
∑
k=1
Uxk cos[ωxk(4τ + τx)]
}〉
, (15)
ixx(t) =
[
E
zbΠ
(1 − e−γt) +
1
zbC
e−γt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt
]
×
×
〈[
(1 − e−γτx) + e−γτx
n
∑
k=1
Uxk cos ωxkτx
]
−
−
{
[(1 − e−γ(2τ−τx))] + e−γ(2τ−τx)
n
∑
k=1
Uxk cos ωxk(2τ − τx)
}
−
−
{
[(1 − e−γ(2τ+τx))] + e−γ(2τ+τx)
n
∑
k=1
Uxk cos ωxk(2τ + τx)
}
+
72 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №9
+
{
[(1 − e−γ(4τ−τx))] + e−γ(4τ−τx)
n
∑
k=1
Uxk cos ωxk(4τ − τx)
}
+
+
{
[(1 − e−γ(4τ+τx))] + e−γ(4τ+τx)
n
∑
k=1
Uxk cos ωxk(4τ + τx)
}〉
, (16)
где Uxk = Ux1/(πωxk);
n
∑
k=1
Uxk = 1.
В выражении (16) знаменатель при постоянных напряжениях zbΠ, а при гармоничес-
ких — zbC . Далее в выражениях (15) и (16) считаем, что для всех единичных функций
коэффициент затухания γ один и тот же. Также считаем, что число затухающих гармоник
с частотами ωk, ωxk также одинаковое. Итак, напряжение и ток в любой точке линии на
холостом ходу при включении ее на E · 1(t) изменяется в соответствии с (15) и (16) по
сложным законам, включающим в себя скачки их, затухающие экспоненты и ряды затуха-
ющих гармоник, называемых, в общем, нами пачкой волн. Первая пачка волн напряжения
появляется в наблюдаемой точке x в момент τx = x/v сразу же после включения ЭДС
E · 1(t). Вторая пачка волн, отраженных от конца линии, имеет тот же знак, что и первая,
но прибывает к точке наблюдения x через время 2(τ − τx), т. е. с запаздыванием, определя-
емым двойным пробегом (падающей и отраженной пачки волн) участка линии (l−x) и т. д.
Так как zH = ∞, то отраженная пачка волн имеет тот же знак, что и падающая, и поэтому
напряжение удваивается. При отражении пачки волн от начала линии знак волн противо-
положный падающим волнам и поэтому напряжение становится номинальным. Пачки волн
тока i(t) появляются в точке наблюдения x в те же моменты времени, что и напряжения
U(t), но при отражении от конца линии меняют свой знак и поэтому ток i(t) падает до нуля.
При отражении пачки волн тока i(t) от начала линии пачка волн сохраняет свой знак с па-
дающими волнами и i(t) изменяется от нуля до величины, определяемой выражением (16).
Далее рассмотрим режим короткого замыкания. В этом случае zH = 0 и zH(p) = 0
и выражения (1) и (2) принимают вид соответственно
U(p) = U1(p)
sh p(τ − τx)
sh pτ
; I(p) =
U1(p)
zb
ch p(τ − τx)
ch pτ
,
или, с учетом разложения скачкообразной функции U1(t) = E · 1(t),
U(p) =
[
E
γ
p + γ
+
n
∑
k=1
Uakp(p + γ)
(p + γ)2 + ω2
k
]
sh p(τ − τx)
sh pτ
; (17)
I(p) =
[
E
zbΠ
γ
p + γ
+
1
zbC
n
∑
k=1
Uakp(p + γ)
(p + γ)2 + ω2
k
]
ch p(τ − τx)
sh pτ
. (18)
Решение также осуществим с помощью метода Даламбера. Преобразуем (17) и (18) в ря-
ды изображений, а затем, пользуясь таблицами [4], получим оригиналы U(t) и i(t). Здесь
также представим ch pτ = (epτ + e−pτ )/2 и sh pτ = (epτ − e−pτ )/2. Тогда (17) и (18) запишем
так:
U(p) =
[
E
γ
p + γ
+
n
∑
k=1
Uakp(p + γ)
(p + γ)2 + ω2
k
]
e−pτx − e−p(2τ−τx)
1 − e−2pτ
; (19)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №9 73
I(p) =
[
E
zbΠ
γ
p + γ
+
1
zbC
n
∑
k=1
Uakp(p + γ)
(p + γ)2 + ω2
k
]
e−pτx + e−p(2τ−τx)
1 − e−2pτ
. (20)
В (19), (20) выражение (1 − e−2pτ )−1 является суммой убывающей геометрической про-
грессии с a1 = 1, q = e−2pτ . Поэтому
U(p) =
[
E
γ
p + γ
+
n
∑
k=1
Uak
p(p+γ)
(p+γ)2+ω2
k
]
[e−pτx−e−p(2τ−τx)][1+e−2pτ +e−4pτ +· · · ]=
=
[
E
γ
p + γ
+
n
∑
k=1
Uakp(p + γ)
(p + γ)2 + ω2
k
]
[e−pτx − e−p(2τ−τx) + e−p(2τ+τx) −
− e−p(4τ−τx) + e−p(4τ+τx) · · · ], (21)
I(p) =
[
E
zbΠ
γ
p+γ
+
1
zbC
n
∑
k=1
Uakp(p+γ)
(p+γ)2+ω2
k
]
[e−pτx +e−p(2τ−τx)][1+e−2pτ +e−4pτ +· · · ]=
=
[
E
zbΠ
γ
p + γ
+
1
zbC
n
∑
k=1
Uakp(p + γ)
(p + γ)2 + ω2
k
]
[e−pτx + e−p(2τ−τx) + e−p(2τ+τx) −
− e−p(4τ−τx) + e−p(4τ+τx) · · · ]. (22)
Имея в виду теорему запаздывания, по которой f(t − t1) · 1(t1) ⇄ e−pt1F (p), где
F (p) ⇄ f(t), на основании таблиц оригиналов [4] получим
U(t) =
[
E(1 − e−γt) + e−γt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt
]
×
× [(1 − τx) − 1(2τ − τx) + 1(2τ + τx) − 1(4τ − τx) + 1(4τ + τx) · · · ]; (23)
i(t) =
[
E
zbΠ
(1 − e−γt) +
e−γt
zbC
n
∑
k=1
Uak cos ωkt
]
×
×[(1 − τx) + 1(2τ − τx) + 1(2τ + τx) + 1(4τ − τx) + 1(4τ + τx) · · · ]. (24)
В выражениях (23), (24) представим единичные функции 1(τx), 1(2τ − τx), 1(2τ + τx),
1(4τ + τx), (4τ + τx), . . . в виде суммы составляющих, определяемых по новой концепции
о переходных процессах [3]. В результате получим
U(t) =
[
E(1 − e−γt) + e−γt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt
]
×
×
〈{
(1 − e−γ(τ−τx)) + e−γ(τ−τx)
n
∑
k=1
Uxk cos ωxk(τ − τx)
}
−
−
{
[1 − e−γ(2τ−τx)] + e−γ(2τ−τx)
n
∑
k=1
Uxk cos ωxk(2τ − τx)
}
+
74 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №9
+
{
[1 − e−γ(2τ+τx)] + e−γ(2τ+τx)
n
∑
k=1
Uxk cos ωxk(2τ + τx)
}
−
−
{
[1 − e−γ(4τ−τx)] + e−γ(4τ−τx)
n
∑
k=1
Uxk cos ωxk(4τ − τx)
}
+
+
{
[1 − e−γ(4τ+τx)] + e−γ(4τ+τx)
n
∑
k=1
Uxk cos ωxk(4τ + τx)
}
· · ·
〉
, (25)
ixx(t) =
[
E
zbΠ
(1 − e−γt) +
e−γt
zbC
n
∑
k=1
Uak cos ωkt
]
×
×
〈[
(1 − e−γ(τ−τx)) + e−γ(τ−τx)
n
∑
k=1
Uxk cos ωxk(τ − τx)
]
+
+
{
[(1 − e−γ(2τ−τx))] + e−γ(2τ−τx)
n
∑
k=1
Uxk cos ωxk(2τ − τx)
}
+
+
{
[(1 − e−γ(2τ+τx))] + e−γ(2τ+τx)
n
∑
k=1
Uxk cos ωxk(2τ + τx)
}
+
+
{
[(1 − e−γ(4τ+τx))] + e−γ(4τ−τx)
n
∑
k=1
Uxk cos ωxk(4τ − τx)
}
+
+
{
[(1 − e−γ(4τ+τx))] + e−γ(4τ+τx)
n
∑
k=1
Uxk cos ωxk(4τ + τx)
}〉
. (26)
В выражении (26) при раскрытии скобок при постоянных числителях в знаменателе
стоят zbΠ, а при гармонических — zbC .
В выражениях (25), (26) величины коэффициентов затухания γ для всех разложений
представлены одинаковыми. Эти коэффициенты значительно больше коэффициентов за-
тухания, связанных с параметрами линии. В этих же формулах число гармоник n также
для всех разложений взято одно и то же, так как фронты всех одиночных функций одни
и те же. Поскольку в (25) сумма, соответствующая ряду, состоящему из единичных функ-
ций, имеет перед слагаемыми чередующиеся знаки (±), то напряжение U(t) изменяется
при t = 0 от 0 и при t = ∞ до E. В (26) слагаемые ряда складываются. Поэтому ток i(t)
растет до бесконечности при числе слагаемых, равном бесконечности, что соответствует
режиму короткого замыкания. Заметим, что если принять γ = ∞, то формулы, представ-
ленные в соответствии с новой концепцией о переходных процессах, преобразовываются
в выражения, определяемые прежней теорией [4]. Однако, по новой концепции, в линии
наблюдается, кроме одной волны (падающей и отраженной), пачка соответствующих волн,
затухающих с коэффициентом γ волн. Эти волны могут проходить не только по линии, но
и по межпроводным емкостям.
Таким образом, в результате применения при рассмотрении переходных процессов
в электроцепи с распределенными параметрами новой концепции [2, 3] выявляются до-
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №9 75
полнительные физические явления в линиях при включении их на постоянное скачкообраз-
ное напряжение, представляющее собой совокупность быстро затухающих пачек падающих
и отраженных волн.
1. Божко А. Е. К концепции о переходных процессах в электроцепях // Доп. НАН України. – 2003. –
№ 12. – С. 72–75.
2. Божко А.Е. Новая интерпретация переходных процессов в электрических цепях // Там само. –
2004. – № 9. – С. 83–87.
3. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. – Москва: Высш. шк., 1978. – 528 с.
4. Гинзбург С. Г. Методы решения задач по переходным процессам в электрических цепях. – Москва:
Сов. радио, 1959. – 404 с.
5. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. – Москва: ГИТТЛ, 1956. – 608 с.
Поступило в редакцию 28.11.2005Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
76 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №9
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-3135 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:09:26Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Божко, А.Е. 2009-07-01T09:28:15Z 2009-07-01T09:28:15Z 2007 Комбинационный анализ переходных процессов в электроцепях с распределенными параметрами / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2007. — № 9. — С. 69-76. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3135 621.3(0758) A mathematical interpretation of transient processes in electrocircuits with distributed parameters is given. A line without losses on the idling and the short-circuit mode is considered. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Енергетика Комбинационный анализ переходных процессов в электроцепях с распределенными параметрами Article published earlier |
| spellingShingle | Комбинационный анализ переходных процессов в электроцепях с распределенными параметрами Божко, А.Е. Енергетика |
| title | Комбинационный анализ переходных процессов в электроцепях с распределенными параметрами |
| title_full | Комбинационный анализ переходных процессов в электроцепях с распределенными параметрами |
| title_fullStr | Комбинационный анализ переходных процессов в электроцепях с распределенными параметрами |
| title_full_unstemmed | Комбинационный анализ переходных процессов в электроцепях с распределенными параметрами |
| title_short | Комбинационный анализ переходных процессов в электроцепях с распределенными параметрами |
| title_sort | комбинационный анализ переходных процессов в электроцепях с распределенными параметрами |
| topic | Енергетика |
| topic_facet | Енергетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3135 |
| work_keys_str_mv | AT božkoae kombinacionnyianalizperehodnyhprocessovvélektrocepâhsraspredelennymiparametrami |