Особенности моделирования динамики хаотических процессов в детерминированных системах методами аналитической механики
Розглянуті особливості моделювання перебігу та динаміки хаотичних процесів у детермінованих механічних та електромеханічних системах, у складі яких є ексцентрично неврівноважені маси, що обертаються навколо нефіксованих центрів. The peculiarities of dynamics modeling of chaotic processes in determin...
Saved in:
| Published in: | Геотехническая механика |
|---|---|
| Date: | 2007 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут геотехнічної механіки імені М.С.Полякова НАН України
2007
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/31457 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Особенности моделирования динамики хаотических процессов в детерминированных системах методами аналитической механики / Н.А. Иконникова // Геотехническая механика: Межвед. сб. науч. тр. — Днепропетровск: ИГТМ НАНУ, 2007. — Вип. 73. — С. 263-280. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859719435832524800 |
|---|---|
| author | Иконникова, Н.А. |
| author_facet | Иконникова, Н.А. |
| citation_txt | Особенности моделирования динамики хаотических процессов в детерминированных системах методами аналитической механики / Н.А. Иконникова // Геотехническая механика: Межвед. сб. науч. тр. — Днепропетровск: ИГТМ НАНУ, 2007. — Вип. 73. — С. 263-280. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Геотехническая механика |
| description | Розглянуті особливості моделювання перебігу та динаміки хаотичних процесів у детермінованих механічних та електромеханічних системах, у складі яких є ексцентрично неврівноважені маси, що обертаються навколо нефіксованих центрів.
The peculiarities of dynamics modeling of chaotic processes in determined mechanical and electromechanical systems, where there are eccentric unbalanced masses, which are rotated relatively to the shifting unfixed centers, has been examined.
|
| first_indexed | 2025-12-01T08:58:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
"Геотехническая механика" 263
УДК 001.891.573: 004.942
Н.А. Иконникова
ОСОБЕННОСТИ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИКИ ХАОТИЧЕСКИХ
ПРОЦЕССОВ В ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМАХ МЕТОДАМИ
АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Розглянуті особливості моделювання перебігу та динаміки хаотичних процесів у детер-
мінованих механічних та електромеханічних системах, у складі яких є ексцентрично неврів-
новажені маси, що обертаються навколо нефіксованих центрів.
PECULIARITIES OF MODELING THE DYNAMICS OF CHAOTIC
PROCESSES IN THE DETERMINED SYSTEMS BY ANALYTICAL
MECHANICS’ METHODS
The peculiarities of dynamics modeling of chaotic processes in determined mechanical and
electromechanical systems, where there are eccentric unbalanced masses, which are rotated rela-
tively to the shifting unfixed centers, has been examined.
Моделирование динамики детерминированных систем, для которых воз-
можны и характерны хаотические режимы, является достаточно сложной и на
столько же неоднозначной задачей, насколько множественны варианты функ-
ционирования этих систем. Результаты моделирования часто критически чувст-
вительны как к незначительным изменениям параметров систем, так и к выбору
метода и шага численного интегрирования. Также имеет значение алгоритм и
реализованная точность вычислений.
Задачи статьи. Выявить, проработать и описать особенности моделирова-
ния хаотических режимов механических и электромеханических систем. Опре-
делить влияние допустимой погрешности итераций и порядка вычислений ве-
личин угловых ускорений эксцентрически смещенных масс внутри одной ите-
рации на поведение детерминированных систем при моделировании динамики
развития хаотических процессов. Сформулировать критерии выбора допусти-
мой погрешности итераций.
Основная часть. Рассмотрим, например, механические и электромеханиче-
ские системы, в которых имеются эксцентрически неуравновешенные массы,
вращающиеся относительно смещающихся нефиксированных центров враще-
ния (маятниковые и рычажные механизмы, упруго деформирующиеся коленча-
тые и распределительные валы, кулачковые и молоточковые механизмы, меха-
низмы с рабочими органами-эксцентриками, раскачивающиеся грузы на упруго
деформирующихся стрелах подъемных кранов, а также внутримельничная за-
грузка шаровых мельниц и мельниц принудительного самоизмельчения.). Что
касается барабанных мельниц, то шаровая загрузка представляет собой физиче-
ский маятник с точкой подвеса на оси барабана. И, хотя центры осей барабана и
вращающегося интенсификатора (если таковой имеется) в нормальных режи-
мах без учета упругих деформаций конструктивных элементов мельницы явля-
ются неподвижными, элементарные сегменты загрузки описывают сложные
криволинейные траектории с нестабильными смещающимися центрами. Меха-
ника движения сегмента загрузки, определяемая сложным гранулометрическим
264 Выпуск № 73
составом, наличием твердой и жидкой фазы, взаимодействием с футеровками
барабана и интенсификатора, а также взаимодействием с соседними сегмента-
ми, является довольно сложной и приводит к появлению гравитационно-
фрикционных колебаний. В результате вращающий момент двигателя электро-
привода мельницы становится пульсирующим даже в установившемся режиме,
что приводит к усилению негативного влияния электропривода на сеть и ухуд-
шению параметров качества электроэнергии. В вибрационных мельницах осо-
бенности конструкции (такие как: наличие гибких валов, упругих подвесок и
мембран, эластичных муфт и эксцентриковых вибровозбудителей) вызывают
вынужденные колебания, причем совершенно ясно, что центры вращения экс-
центриков и элементов загрузки постоянно и хаотично смещаются. В то же
время этот хаос является детерминированным, т. е. строго определенным сово-
купностью физических параметров системы.
Весьма часто при моделировании перечисленных выше механизмов и сис-
тем на основе уравнений динамики возникают ошибки, связанные с тем, что
центр вращения определен неправильно, либо значительно смещается в про-
странстве за время одного шага интегрирования. Если эти системы проявляют
себя как хаотические, то обнаружить ошибку, визуально качественно анализи-
руя графики переходных процессов, достаточно сложно. Однако, рассчитав
полную энергию такой системы на каждом шаге интегрирования, можно уви-
деть, что она изменяется даже в пределах временного интервала одного перио-
да колебаний наиболее инерционного звена, что противоречит фундаменталь-
ному закону физики. Если координаты центров вращения определены неверно,
то действующие на центры масс силы раскладываются на нормальные и тан-
генциальные составляющие вдоль ошибочных радиусов и касательных к траек-
ториям. Неверно определенные тангенциальные составляющие сил дают оши-
бочные значения линейных тангенциальных (а, следовательно, и угловых) ус-
корений. Неверно определенные нормальные составляющие при жестких неде-
формируемых связях между массами дают ошибочную картину перераспреде-
ления сил, т. е. взаимного воздействия масс друг на друга. Так, на рис. 1 на
примере плоской задачи для двухплечевой маятниковой системы показано, что
в некоторых случаях центры вращения совпадают с центрами масс (а) или ося-
ми шарнирных соединений (б). Однако в общем случае центры вращения могут
находиться в пределах геометрического места точек, определяемого наличест-
вующими степенями свободы (в), и, смещаясь в процессе движения масс, опи-
сывать сложную траекторию (г). На рис. 1 (в) показано, что при шаге модели-
рования, стремящемся к нулю ( )0→∆= th , центр вращения массы 2m находит-
ся на пересечении высот треугольников BAO2 и CBO2 . В принятом прибли-
жении ( )0→h данные треугольники являются равнобедренными, и хорды AB
и BC образуют часть окружности – элементарный участок траектории движе-
ния массы 2m . Таким образом, для того чтобы определить направление вектора
мгновенной скорости 2υr , необходимо выполнить два шага моделирования, что
требует предварительного разложения сил, приложенных к центру массы 2m на
"Геотехническая механика" 265
а) б)
в) г)
Рис. 1 – Определение координат центров вращения масс системы маятников
для случая плоской задачи
а) плечо 1 закреплено жестко, плечо 2 – шарнирно;
б) плечо 1 закреплено шарнирно, плечо 2 – жестко;
в) оба плеча соединены шарнирно, центр вращения 2O
не совпадает ни с центром вращения 1O , ни с центром массы 1m ;
г) центр вращения 2O смещается и в общем случае описывает сложную траекторию.
21 OO ≡
1m
2m
2l
1l
2R
11 lR =
1O
2O
2O′
2O
1O
2R
2υr
A
B C
2O
1m
2m
2l
1l
it
1−it
htt ii +=+1
266 Выпуск № 73
нормальную и тангенциальную составляющие (т. е. координаты центра враще-
ния должны быть предварительно известны). В случае абсолютно жестких ры-
чагов маятниковой системы моделирование, тем не менее, возможно выполнить
методом итерационных приближений. Критерием адекватности программной
модели будем считать постоянство полной энергии замкнутой системы.
Второй путь – вывод выражений, описывающих кинематику системы [1].
Для этого используем уравнения Лагранжа. Проф. Дж. М. Т. Томпсон указывал:
«Уравнения Лагранжа продолжают играть в механике фундаментальную роль
благодаря тому, что основанный на них подход является более общим, чем век-
торный подход Ньютона: они естественным образом привели… к представле-
нию о минимуме общей потенциальной энергии… в состоянии устойчивого
равновесия консервативной системы» [2].
Если материальная система обладает идеальными связями, то ее движение
можно математически описать уравнениями Лагранжа второго рода, т. е. сис-
темой дифференциальных уравнений второго порядка:
ii
i
TT
dt
d
Q
αα ∂
∂−
∂
∂=
&
, (1)
где: ni ...,,2,1= ; iQ – обобщенные силы; T – кинетическая энергия системы;
iα& – обобщенные скорости; iα – обобщенные координаты.
Обобщенные силы можно найти как коэффициенты при вариациях обоб-
щенных координат в выражении для виртуальной работы:
∑
=
⋅++⋅+⋅=⋅=
n
i
nnii QQQQA
1
2211 ... δαδαδαδαδ . (2)
Кинетическую энергию можно выразить через обобщенные скорости iα& и
обобщенные координаты iα .
Рассмотрим материальную систему в виде тройного математического маят-
ника, массы грузов которого равны: 1m , 2m , 3m ; длины плеч маятника равны:
1l , 2l , 3l ; обобщенные координаты равны: 1α , 2α , 3α (рис. 2).
Рис. 2 – Кинематическая расчетная схема системы
"Геотехническая механика" 267
Координаты грузов определим по следующим формулам:
111 cosα⋅= lx , 111 sinα⋅= ly ,
22112 coscos αα ⋅+⋅= llx , 22112 sinsin αα ⋅+⋅= lly , (3)
3322113 coscoscos ααα ⋅+⋅+⋅= lllx , 3322113 sinsinsin ααα ⋅+⋅+⋅= llly .
Кинетическую энергию системы определим по формуле:
( ) ( )++⋅++⋅=⋅+⋅+⋅= 2
2
2
22
2
1
2
11
2
33
2
22
2
11 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
yxmyxmvmvmvmT &&&&
( )2
3
2
332
1
yxm && +⋅+ . (4)
Подставляя выражения производных:
1111 sin αα && ⋅⋅−= lx , 1111 cos αα && ⋅⋅= ly ,
2221112 sinsin αααα &&& ⋅⋅−⋅⋅−= llx , 2221112 coscos αααα &&& ⋅⋅+⋅⋅= lly ,
3332221113 sinsinsin αααααα &&&& ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−= lllx , (5)
3332221113 coscoscos αααααα &&&& ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= llly ,
получим:
( ) ( ) +⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅++= 2
3
2
33
2
2
2
232
2
1
2
1321 2
1
2
1
2
1 ααα &&& lmlmmlmmmT
( ) ( ) ( )+−⋅⋅⋅⋅⋅+−⋅⋅⋅⋅⋅++ 313131321212132 coscos αααααααα &&&& llmllmm
( )3232323 cos αααα −⋅⋅⋅⋅⋅+ &&llm . (6)
Таким образом, из полученной формулы следует, что кинетическая энергия
есть функция обобщенных координат и обобщенных скоростей.
Частные производные кинетической энергии материальной системы равны:
( ) ( ) ( )+−⋅⋅⋅⋅++⋅⋅++=
∂
∂
21221321
2
1321
1
cos αααα
α
&&
&
llmmlmmm
T
( )313313 cos ααα −⋅⋅⋅⋅+ &llm ,
( ) ( ) ( )313131321212132
1
sinsin αααααααα
α
−⋅⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅⋅+−=
∂
∂
&&&& llmllmm
T
,
( ) ( ) ( )+−⋅⋅⋅⋅++⋅⋅+=
∂
∂
21121322
2
232
2
cos αααα
α
&&
&
llmmlmm
T
(7)
( )323323 cos ααα −⋅⋅⋅⋅+ &llm ,
( ) ( ) ( )323232321212132
2
sinsin αααααααα
α
−⋅⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅⋅+=
∂
∂
&&&& llmllmm
T
,
( ) ( )3223233113133
2
33
3
coscos ααααααα
α
−⋅⋅⋅⋅+−⋅⋅⋅⋅+⋅⋅=
∂
∂
&&&
&
llmllmlm
T
,
( ) ( )32323233131313
3
sinsin αααααααα
α
−⋅⋅⋅⋅⋅+−⋅⋅⋅⋅⋅=
∂
∂
&&&& llmllm
T
.
Виртуальная работа равна:
332211 xgmxgmxgmA δδδδ ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= . (8)
Подставляя:
268 Выпуск № 73
1111 sin δααδ ⋅⋅−= lx ,
2221112 sinsin δααδααδ ⋅⋅−⋅⋅−= llx , (9)
3332221113 sinsinsin δααδααδααδ ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−= lllx ,
получим окончательное выражение для виртуальной работы, откуда найдем
обобщенные силы как коэффициенты при вариациях обобщенных координат:
( ) ( ) −⋅⋅⋅⋅+−⋅⋅⋅⋅++−= 22232111321 sinsin δααδααδ lgmmlgmmmA
3333 sin δαα ⋅⋅⋅⋅− lgm ; (10)
( ) 113211 sinα⋅⋅⋅++−= lgmmmQ ,
( ) 22322 sinα⋅⋅⋅+−= lgmmQ , (11)
3333 sinα⋅⋅⋅−= lgmQ .
Запишем уравнения Лагранжа второго рода – уравнения движения данной
материальной системы:
11
1 αα ∂
∂−
∂
∂= TT
dt
d
Q
&
;
22
2 αα ∂
∂−
∂
∂= TT
dt
d
Q
&
; (12)
33
3 αα ∂
∂−
∂
∂= TT
dt
d
Q
&
.
Подставив обобщенные силы, частные производные кинетической энергии
системы и выполнив некоторые математические операции, получим оконча-
тельные уравнения движения материальной системы:
( ) ( ) +⋅⋅++=⋅⋅⋅++− 1
2
132111321 sin αα &&lmmmlgmmm
( ) ( ) ( ) +⋅−⋅⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅++ 3313132212132 coscos αααααα &&&& llmllmm (13)
( ) ( ) ( ) 2
331313
2
2212132 sinsin αααααα && ⋅−⋅⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅++ llmllmm ;
( ) ( ) ( ) ( ) +⋅−⋅⋅⋅++⋅⋅+=⋅⋅⋅+− 12121322
2
2322232 cossin ααααα &&&& llmmlmmlgmm
( ) ( ) ( ) +⋅−⋅⋅⋅+−⋅−⋅⋅⋅+ 2
1212132332323 sincos αααααα &&& llmmllm (14)
( ) 2
332323 sin ααα &⋅−⋅⋅⋅+ llm ;
( ) +⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅⋅− 1313133
2
33333 cossin ααααα &&&& llmlmlgm
( ) ( ) −⋅−⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅+ 2
131313232323 sincos αααααα &&& llmllm (15)
( ) 2
232323 sin ααα &⋅−⋅⋅⋅− llm .
Добавим к оси вращения первого маятника маховик массой мm , радиусом
R . Момент инерции маховика равен суммарному моменту инерции ротора или
якоря электродвигателя и вращающихся частей зубчатой передачи, приведен-
"Геотехническая механика" 269
ному к валу (оси вращения) первого плеча маятника. Теперь к кинетической
энергии материальной системы добавится кинетическая энергия вращения ма-
ховика мT , и формула для ее определения примет вид:
мTTTTT +++= 321 , (16)
где: 1T , 2T , 3T – кинетические энергии соответственно первого, второго и
третьего маятников;
2
1
2
1 2
1
2
1 αω &⋅=⋅= JJTм , (17)
где: J – момент инерции маховика, 1ω – угловая скорость вращения маховика
и первого маятника, т. к. они находятся на одной оси вращения;
2
1
2
33
2
22
2
11 2
1
2
1
2
1
2
1 α&⋅+⋅+⋅+⋅= JvmvmvmT . (18)
( ) ( ) +⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅++= 2
3
2
33
2
2
2
232
2
1
2
1321 2
1
2
1
2
1 ααα &&& lmlmmlmmmT
( ) ( ) ( )+−⋅⋅⋅⋅⋅+−⋅⋅⋅⋅⋅++ 313131321212132 coscos αααααααα &&&& llmllmm
( ) 2
13232323 2
1
cos ααααα &&& ⋅+−⋅⋅⋅⋅⋅+ Jllm . (19)
Частные производные кинетической энергии материальной системы равны:
( ) ( ) ( )+−⋅⋅⋅⋅++⋅⋅++=
∂
∂
21221321
2
1321
1
cos αααα
α
&&
&
llmmlmmm
T
( ) 1313313 cos αααα && ⋅+−⋅⋅⋅⋅+ Jllm ,
( ) ( ) ( )313131321212132
1
sinsin αααααααα
α
−⋅⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅⋅+−=
∂
∂
&&&& llmllmm
T
,
( ) ( ) ( )+−⋅⋅⋅⋅++⋅⋅+=
∂
∂
21121322
2
232
2
cos αααα
α
&&
&
llmmlmm
T
( )323323 cos ααα −⋅⋅⋅⋅+ &llm , (20)
( ) ( ) ( )323232321212132
2
sinsin αααααααα
α
−⋅⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅⋅+=
∂
∂
&&&& llmllmm
T
,
( ) ( )3223233113133
2
33
3
coscos ααααααα
α
−⋅⋅⋅⋅+−⋅⋅⋅⋅+⋅⋅=
∂
∂
&&&
&
llmllmlm
T
,
( ) ( )32323233131313
3
sinsin αααααααα
α
−⋅⋅⋅⋅⋅+−⋅⋅⋅⋅⋅=
∂
∂
&&&& llmllm
T
.
Виртуальная работа равна:
мм xgmxgmxgmxgmA δδδδδ ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= 332211 ; (21)
т. к. 0=мхδ , то
( ) ( ) −⋅⋅⋅⋅+−⋅⋅⋅⋅++−= 22232111321 sinsin δααδααδ lgmmlgmmmA
3333 sin δαα ⋅⋅⋅⋅− lgm . (22)
Обобщенные силы равны:
270 Выпуск № 73
( ) 113211 sinα⋅⋅⋅++−= lgmmmQ ,
( ) 22322 sinα⋅⋅⋅+−= lgmmQ , (23)
3333 sinα⋅⋅⋅−= lgmQ .
Уравнения Лагранжа второго рода для рассматриваемой материальной сис-
темы имеют вид:
( ) ( )( ) +⋅+⋅++=⋅⋅⋅++− 1
2
132111321 sin αα &&Jlmmmlgmmm
( ) ( ) ( ) +⋅−⋅⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅++ 3313132212132 coscos αααααα &&&& llmllmm (24)
( ) ( ) ( ) 2
331313
2
2212132 sinsin αααααα && ⋅−⋅⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅++ llmllmm ;
( ) ( ) ( ) ( ) +⋅−⋅⋅⋅++⋅⋅+=⋅⋅⋅+− 12121322
2
2322232 cossin ααααα &&&& llmmlmmlgmm
( ) ( ) ( ) +⋅−⋅⋅⋅+−⋅−⋅⋅⋅+ 2
1212132332323 sincos αααααα &&& llmmllm (25)
( ) 2
332323 sin ααα &⋅−⋅⋅⋅+ llm ;
( ) +⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅⋅− 1313133
2
33333 cossin ααααα &&&& llmlmlgm
( ) ( ) −⋅−⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅+ 2
131313232323 sincos αααααα &&& llmllm (26)
( ) 2
232323 sin ααα &⋅−⋅⋅⋅− llm .
Угловые ускорения маятников являются взаимозависимыми величинами,
поэтому для их определения используем метод итерационных приближений.
Анализ полученных нами формул и известных ранее выражений для двухмас-
совой маятниковой системы показывает, что в общем случае угловое ускорение
каждого маятника определяется следующими составляющими: слагаемым,
включающим конструктивные параметры системы; слагаемыми числом 1−n ,
включающими в качестве сомножителя квадраты угловых скоростей остальных
маятников; и, наконец, слагаемыми числом 1−n , включающими в качестве со-
множителя угловые ускорения остальных маятников (где n – количество маят-
ников). Следует также отметить, что каждая из указанных составляющих вклю-
чает в качестве сомножителя синусы или косинусы углов, определяющих те-
кущее мгновенное положение масс, т. е. пространственное состояние системы.
При определении угловых ускорений на каждом шаге моделирования предло-
жена следующая последовательность вычислений:
– определение угловых ускорений каждого из маятников с учетом всех со-
ставляющих, не зависящих от угловых ускорений остальных маятников (на-
чальный шаг);
– последовательное уточнение угловых ускорений каждого из маятников
методом итерационных приближений с учетом всех составляющих; в слагае-
мые, зависящие от угловых ускорений остальных маятников, подставляем зна-
чения, полученные на начальном шаге, а затем – значения, полученные на пре-
дыдущей итерации.
"Геотехническая механика" 271
Очевидно, что для систем, используемых в технических приложениях, т. е.
для систем с конечными массами и ограниченными геометрическими размера-
ми, а также для упрощенных адекватных моделей таких систем сходимость
итерационных вычислений обеспечивается в любом случае. Однако важным
является вопрос выбора допустимой погрешности итераций и порядка вычис-
лений величин угловых ускорений внутри одной итерации. Если изменить ус-
тановленный порядок, то полученные значения угловых ускорений также изме-
нятся, хотя и на меньшую величину, чем допустимая погрешность итераций.
Тем не менее, эти незначительные изменения могут оказаться существенными с
точки зрения определения текущих координат центров масс в конкретный мо-
мент времени, поскольку системы динамического хаоса являются весьма чувст-
вительными к начальным условиям. Известный физик-релятивист К. Ланцош
утверждал: «Аналитическая механика представляет собой много больше, чем
эффективный инструмент для решения динамических проблем, встречающихся
в физике и технике. Вряд ли существует другая такая математическая наука, в
которой строгая абстрактная модель и экспериментальные данные столь хоро-
шо согласуются и поддерживают друг друга» [3]. Однако, ныне известно, что
для детерминированных систем, в которых наблюдается динамический хаос,
сколь угодно малые изменения начальных условий приводят со временем к
значительным отклонениям траектории, в связи с чем определение координат
системы математическим моделированием в заданный момент времени невоз-
можно, даже если имеется только лишь единственное решение при данных на-
чальных условиях.
При использовании численных методов для решения дифференциальных
уравнений координаты системы в момент времени 1+it определяются на основе
их значений в момент времени it , являющихся, по сути, начальными условия-
ми. На каждом шаге интегрирования происходит возмущение начальных усло-
вий, обусловленное ошибкой интегрирования. Поэтому очевидно, что измене-
ние допустимой погрешности итераций и порядка вычислений величин угло-
вых ускорений внутри одной итерации при определении угловых ускорений
эксцентрически смещенных масс также существенно влияет на полученные
траектории (а не только изменение шага интегрирования по времени).
Как было отмечено, критерием адекватности модели можно считать посто-
янство полной энергии замкнутой системы. Выполнено моделирование трех-
массовой системы маятников при различных значениях шага интегрирования и
допустимой погрешности итераций (табл. 1). Во всех случаях общая энергия
системы растет практически линейно во времени крайне медленными темпами
(менее 3 десятитысячных долей процента на один шаг интегрирования), рис. 3.
Незначительный рост значения полной энергии объясняется погрешностью
численного интегрирования, однако на протяжении десятков циклов даже са-
мых низкочастотных колебаний энергия системы практически не изменяется,
что говорит об адекватности модели. Тем не менее, анализируя рис. 3 и табл. 1
можно заметить, что при одном и том же значении шага интегрирования по
времени уменьшение допустимой погрешности итераций с 0,1 о. е. до 0,01 о. е.
272 Выпуск № 73
приводит к существенному выполаживанию графика потенциальной энергии
(пары графиков 1 – 2 и 5 – 6 на рис. 3). В то же время дальнейшее уменьшение
допустимой погрешности итераций с 0,01 о. е. до 0,0001 о. е. практически не
улучшает качество моделирования (группы графиков «A» и «B»). При этом
число итераций растет в 1,5 – 1,6 раз. В этой связи предлагается принимать до-
пустимую погрешность итераций равной 0,01 о. е. при ограниченном вычисли-
тельном быстродействии ЭВМ, на которой производится моделирование и зна-
чительной сложности модели. Если же время вычислительного эксперимента не
является критичным параметром, то допустимую погрешность итераций можно
принять равной 0,001 – 0,0001 о. е. В то же время уменьшение шага интегриро-
вания по времени в данном случае обеспечит более значительный эффект, чем
дальнейшее уменьшение допустимой погрешности итераций (группы графиков
«A» и «B» на рис. 3).
Рис. 3 – Изменение общей энергии модели системы, обусловленное
погрешностью моделирования
Порядок вычисления угловых ускорений внутри одной итерации влияет на
полученные значения в пределах допустимой погрешности, а, следовательно, и
на форму траектории, которую отрабатывает система. Однако в любом случае
модель остается адекватной: характер хаотического процесса и энергетические
характеристики системы не изменяются. На рис. 4 приведены траектории трех-
массовой системы связанных маятников в фазовом пространстве ( )xy при раз-
личных порядках вычисления угловых ускорений внутри одной итерации:
321 εεε →→ (а), 231 εεε →→ (б), 132 εεε →→ (в), 123 εεε →→ (г). Выпол-
нено моделирование для всех возможных порядков вычислений. На рис. 4 вы-
делены тождественные области «A», «B» и «C», которые иллюстрируют бли-
зость начальных участков траекторий. В дальнейшем траектории расходятся,
явные отличия указаны стрелками. Конечные положения маятников сущест-
A
B
"Г
еотехническая м
еханика"
273
A
B
C
И. п.
A
B
C
И. п.
A
B
C
И. п.
Рис. 4 – Влияние изменения порядка вычислений угловых ускорений в пределах одной итерации на форму траектории: характер
процесса остается неизменным (И. п. – исходное положение)
а) б)
г) в)
274 Выпуск № 73
венно различны. Однако характер процесса при этом не изменяется. Таким об-
разом, порядок вычисления угловых ускорений эксцентрически смещенных
вращающихся масс внутри одной итерации можно считать несущественным с
точки зрения характера протекающих процессов и энергетических характери-
стик системы.
На рис. 5 и 6 приведены графики траекторий, описываемых системой в фа-
зовом пространстве ( )xy и во времени.
Таблица 1 – Перечень значений шага счета по времени и допустимой относительной по-
грешности итерационных приближений при вычислении угловых ускорений эксцентрически
смещенных вращающихся масс
№
п/п
Шаг счета по
времени,
с
Относительная
погрешность ите-
раций,
о. е.
Число ите-
раций
Номер графика на рис. 3
1 0,001 0,1 6 1
2 0,001 0,01 10 2
3 0,001 0,001 14 3
4 0,001 0,0001 16 4
Группа
«А»
5 0,0005 0,1 4 5
6 0,0005 0,01 8 6
7 0,0005 0,001 12 7
Группа
«B»
8 0,0001 0,001 8 8
На рис. 7 представлены результаты моделирования трехплечевой системы
маятников с маховиком, жестко закрепленным на оси вращения первого маят-
ника. Несмотря на то, что с точки зрения кинематики добавление такого махо-
вика аналогично увеличению массы груза 1m (поскольку центр вращения 1O
неподвижен относительно системы координат), полученные для данной меха-
нической системы выражения интересны с точки зрения анализа происходящих
процессов. Видно, что момент инерции маховика входит только в одно из трех
уравнений Лагранжа как сомножитель в слагаемом 1α&&⋅J , поэтому данная ме-
ханическая система может быть дополнена, например редуктором с заданным
передаточным числом i или упруго-деформируемым валом с жесткостью c (в
последнем случае добавится еще одна степень свободы).
Рассмотрим случай, когда момент инерции маховика значительно превыша-
ет моменты инерции масс 1m , 2m и 3m , посчитанные как моменты инерции ма-
териальных точек, вращающихся относительно 1O (в расчетах используем мак-
симально возможные радиусы окружностей вращения 2-го и 3-го грузов
212 llR += , 3213 lllR ++= ). Как видно из рис. 7, а, точки траекторий центров
масс грузов 2m и 3m составляют сложные фигуры явно фрактального характе-
ра. В их структуре можно увидеть подобие отдельных структурных элементов,
составленных разными участками траекторий, наблюдаемое в разных масшта-
бах (мелких и крупных). Например, фиг. A , образованная участком окружности
"Геотехническая механика" 275
а)
б)
Рис. 5 – Колебания трехплечевой маятниковой системы в плоскости x - y : а) погрешность
итерационных приближений 1,0=∆ε ; б) погрешность итерационных приближений
001,0=∆ε ; характер процесса однотипен, однако траектории отличаются
276 Выпуск № 73
Рис. 6 – Графики изменения координат во времени для центров масс трехплечевой системы
маятников
"Геотехническая механика" 277
а)
б)
Рис. 7 – Траектории, описываемые исследуемой механической системой при преобладающем
влиянии момента инерции маховика: а) 75 тыс. точек; б) 255 тыс. точек
A
B
a b
c
B
A
т.1
C
B
A
a b d c
278 Выпуск № 73
«c » радиуса 2R и участками кривых «a » и «b» (где «a », «b» и «c » – кривые,
ограничивающие геометрическое место точек траектории центра массы груза
2m ), имеет геометрическое подобие с фиг. B , образованной участками той же
траектории. Множество подобных фигур, в т. ч. и зеркальных, можно построить
также на криволинейных отрезках траектории 3-го груза.
Для обеих траекторий также характерными являются структурные элемен-
ты, подобные фиг. С (четырехугольники, образованные замкнутой ломанной,
состоящей из криволинейных отрезков – участков траектории). Данные элемен-
ты можно найти в различных местах рисунка, причем некоторые из них смеще-
ны друг относительно друга, а некоторые являются вложенными друг в друга;
некоторые из них пространственно отделены от остальных, а некоторые имеют
общие вершины или стороны. Таким образом, очевидным является фракталь-
ный характер фазовых траекторий рассматриваемой системы (который можно
также описать как «сеточный» или «ячеистый»).
С другой стороны фиг. A на рис. 7, а можно рассматривать как часть види-
мого контура тора, спроектированного на плоскость (где т. 1 – точка пересече-
ния видимых контуров). Кроме того, фиг. C также приближается к плоскому
отображению четырехугольного участка поверхности гладкого тора. При уве-
личении числа точек моделирования (рис. 7, б) мелкие структурные элементы
становятся неразборчивыми ввиду низкой разрешающей способности рисунка.
Однако геометрическое подобие рассматриваемых фигур плоскому отображе-
нию четырехугольного участка поверхности гладкого тора становится еще бо-
лее очевидным.
На рис. 8 приведены результаты моделирования движения той же системы
маятников при других начальных условиях. Данные рисунки вызывают у на-
блюдателя стойкую иллюзию того, что он рассматривает траектории движения
маятников в трехмерном пространстве, а не на плоскости (что не удивительно,
т. к. рассматриваемая система имеет три степени свободы). Тот факт, что слож-
ные фигуры, образованные точками траекторий центров масс, во-первых, име-
ют фрактальный характер, и, во-вторых, приближаются к гладким отображени-
ям поверхностей на плоскость, позволяет нам утверждать, что движение данной
системы можно анализировать с позиций теории катастроф (тории особенно-
стей и бифуркаций) [4, 5]. Задачей такого анализа может быть прогнозирование и
предупреждение выходов из строя (поломок) оборудования, а также оценка воздейст-
вия отдельных подсистем на работу системы в целом, например оценка влияния элек-
троустановки на питающую сеть.
Выводы:
1. Некоторые электромеханические и механические системы включают ме-
ханизмы и узлы с несколькими степенями свободы, характеризующиеся слож-
ным вращательно-колебательным движением сосредоточенных и распределен-
ных масс по криволинейным траекториям различных порядков; при этом цен-
тры вращения могут совпадать с центрами масс и/или с осями шарнирных со-
единений, либо находятся в пределах геометрического места точек, определяе-
мого имеющимися степенями свободы и геометрическими размерами деталей
"Геотехническая механика" 279
а) б)
в) г)
Рис. 8 – Фазовые траектории, описываемые центрами масс маятников, движущихся в одной
плоскости: траектории приближаются к отображениям различных криволинейных поверхно-
стей на указанную плоскость
280 Выпуск № 73
этих механизмов; в общем случае центры вращения смещаются в процессе
движения масс, описывая сложные траектории.
2. Одним из необходимых условий адекватности программной модели ме-
ханической или электромеханической системы с эксцентрически неуравнове-
шенными вращающимися относительно нефиксированных центров массами яв-
ляется достоверное определение координат центров вращения и векторов мгно-
венной скорости, в частности методом итерационных приближений.
3. Порядок вычисления внутри одной итерации взаимозависимых угловых
ускорений эксцентрически неуравновешенных масс для системы, проявляющей
себя как генератор динамического хаоса, существенно влияет на численные
значения текущих координат центров этих масс в каждый последующий мо-
мент времени после прохождения ближайшей области локальной неустойчиво-
сти, однако не изменяет качественно характер протекающих процессов и общие
энергетические характеристики модели.
4. При одном и том же значении шага интегрирования по времени уменьше-
ние допустимой погрешности итераций от 0,1 о. е. до 0,01 о. е. существенно
улучшает качество модели по критерию постоянства полной энергии системы;
дальнейшее уменьшение допустимой погрешности итераций практически не
влияет на качество моделирования и не целесообразно, поскольку уменьшение
шага счета по времени является в данном случае более эффективным.
5. Траектории центров масс системы связанных маятников даже в приложе-
нии к плоской задаче образуют сложные фигуры, имеющие фрактальный ха-
рактер, которые могут рассматриваться как гладкие отображения поверхностей
на плоскость, имеющие складки и сборки. Следовательно, движение таких сис-
тем можно анализировать с точки зрения теории катастроф для выявления (а в
технических приложениях – для прогнозирования и предупреждения) скачко-
образных изменений, возникающих в виде внезапных ответов на плавное изме-
нение условий (в технических приложениях – постепенный износ деталей,
плавное увеличение нагрузок, нарушение температурных режимов, ухудшение
параметров изоляции, плавное насыщение магнитных систем и др. факторы по
отдельности и в комплексе).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Бутенин Н.В., Фуфаев Н.А. Введение в аналитическую механику. – М.: Наука, 1991. – 256 с.
2. Томпсон Дж. М. Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике: Пер. с англ. – М.: Мир, 1985. –
254 с.
3. Ланцош К. Вариационные принципы механики. – М.: Мир, 1965. – 408 с.
4. Булат А.Ф., Дырда В.И. Фракталы в геомеханике. – К.: Наук. Думка, 2005. – 358 с.
5. Усаченко Б.М., Паламарчук Т.А., Слащева Е.А. Исследование синергетических и волновых процессов в
массиве горных пород // Горный информационно-аналитический бюллетень. – М.: МГГУ, 2000. – № 8. – С. 182-
184.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-31457 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1607-4556 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T08:58:23Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Інститут геотехнічної механіки імені М.С.Полякова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Иконникова, Н.А. 2012-03-08T22:56:55Z 2012-03-08T22:56:55Z 2007 Особенности моделирования динамики хаотических процессов в детерминированных системах методами аналитической механики / Н.А. Иконникова // Геотехническая механика: Межвед. сб. науч. тр. — Днепропетровск: ИГТМ НАНУ, 2007. — Вип. 73. — С. 263-280. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1607-4556 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/31457 001.891.573: 004.942 Розглянуті особливості моделювання перебігу та динаміки хаотичних процесів у детермінованих механічних та електромеханічних системах, у складі яких є ексцентрично неврівноважені маси, що обертаються навколо нефіксованих центрів. The peculiarities of dynamics modeling of chaotic processes in determined mechanical and electromechanical systems, where there are eccentric unbalanced masses, which are rotated relatively to the shifting unfixed centers, has been examined. ru Інститут геотехнічної механіки імені М.С.Полякова НАН України Геотехническая механика Особенности моделирования динамики хаотических процессов в детерминированных системах методами аналитической механики Peculiarities of modeling the dynamics of chaotic processes in the determined systems by analytical mechanics’ methods Article published earlier |
| spellingShingle | Особенности моделирования динамики хаотических процессов в детерминированных системах методами аналитической механики Иконникова, Н.А. |
| title | Особенности моделирования динамики хаотических процессов в детерминированных системах методами аналитической механики |
| title_alt | Peculiarities of modeling the dynamics of chaotic processes in the determined systems by analytical mechanics’ methods |
| title_full | Особенности моделирования динамики хаотических процессов в детерминированных системах методами аналитической механики |
| title_fullStr | Особенности моделирования динамики хаотических процессов в детерминированных системах методами аналитической механики |
| title_full_unstemmed | Особенности моделирования динамики хаотических процессов в детерминированных системах методами аналитической механики |
| title_short | Особенности моделирования динамики хаотических процессов в детерминированных системах методами аналитической механики |
| title_sort | особенности моделирования динамики хаотических процессов в детерминированных системах методами аналитической механики |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/31457 |
| work_keys_str_mv | AT ikonnikovana osobennostimodelirovaniâdinamikihaotičeskihprocessovvdeterminirovannyhsistemahmetodamianalitičeskoimehaniki AT ikonnikovana peculiaritiesofmodelingthedynamicsofchaoticprocessesinthedeterminedsystemsbyanalyticalmechanicsmethods |