Методика аналитических исследований распределения напряжений в забоях разных форм при проведении горных выработок

У статті розроблена та викладена методика аналітичних досліджень напружено-деформованого стану масиву гірських порід поблизу забоїв плоскої, сферичної та конічної форми при проведенні гірських виробок....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2008
Hauptverfasser:	Перепелица, В.Г., Шматовский, Л.Д., Коломиец, А.Н.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут геотехнічної механіки імені М.С.Полякова НАН України 2008
Schriftenreihe:	Геотехническая механика
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/31464
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Методика аналитических исследований распределения напряжений в забоях разных форм при проведении горных выработок / В.Г. Перепелица, Л.Д. Шматовский, А.Н. Коломиец // Геотехническая механика: Межвед. сб. науч. тр. — Днепропетровск: ИГТМ НАНУ, 2008. — Вип. 78. — С. 18-33. — Бібліогр.: 44 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-31464
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-314642025-02-09T14:39:49Z Методика аналитических исследований распределения напряжений в забоях разных форм при проведении горных выработок The methods of analytic recearchs of distribution stresses in the different forms faces conducting the mining workings Перепелица, В.Г. Шматовский, Л.Д. Коломиец, А.Н. У статті розроблена та викладена методика аналітичних досліджень напружено-деформованого стану масиву гірських порід поблизу забоїв плоскої, сферичної та конічної форми при проведенні гірських виробок. The methods of analytic recearchs of stressed and deformated state of rock mass near the faces, which have flat, spherical and conical forms, conducting the mining workings. 2008 Article Методика аналитических исследований распределения напряжений в забоях разных форм при проведении горных выработок / В.Г. Перепелица, Л.Д. Шматовский, А.Н. Коломиец // Геотехническая механика: Межвед. сб. науч. тр. — Днепропетровск: ИГТМ НАНУ, 2008. — Вип. 78. — С. 18-33. — Бібліогр.: 44 назв. — рос. 1607-4556 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/31464 622.023.23:539.3 ru Геотехническая механика application/pdf Інститут геотехнічної механіки імені М.С.Полякова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	У статті розроблена та викладена методика аналітичних досліджень напружено-деформованого стану масиву гірських порід поблизу забоїв плоскої, сферичної та конічної форми при проведенні гірських виробок.
format	Article
author	Перепелица, В.Г. Шматовский, Л.Д. Коломиец, А.Н.
spellingShingle	Перепелица, В.Г. Шматовский, Л.Д. Коломиец, А.Н. Методика аналитических исследований распределения напряжений в забоях разных форм при проведении горных выработок Геотехническая механика
author_facet	Перепелица, В.Г. Шматовский, Л.Д. Коломиец, А.Н.
author_sort	Перепелица, В.Г.
title	Методика аналитических исследований распределения напряжений в забоях разных форм при проведении горных выработок
title_short	Методика аналитических исследований распределения напряжений в забоях разных форм при проведении горных выработок
title_full	Методика аналитических исследований распределения напряжений в забоях разных форм при проведении горных выработок
title_fullStr	Методика аналитических исследований распределения напряжений в забоях разных форм при проведении горных выработок
title_full_unstemmed	Методика аналитических исследований распределения напряжений в забоях разных форм при проведении горных выработок
title_sort	методика аналитических исследований распределения напряжений в забоях разных форм при проведении горных выработок
publisher	Інститут геотехнічної механіки імені М.С.Полякова НАН України
publishDate	2008
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/31464
citation_txt	Методика аналитических исследований распределения напряжений в забоях разных форм при проведении горных выработок / В.Г. Перепелица, Л.Д. Шматовский, А.Н. Коломиец // Геотехническая механика: Межвед. сб. науч. тр. — Днепропетровск: ИГТМ НАНУ, 2008. — Вип. 78. — С. 18-33. — Бібліогр.: 44 назв. — рос.
series	Геотехническая механика
work_keys_str_mv	AT perepelicavg metodikaanalitičeskihissledovanijraspredeleniânaprâženijvzaboâhraznyhformpriprovedeniigornyhvyrabotok AT šmatovskijld metodikaanalitičeskihissledovanijraspredeleniânaprâženijvzaboâhraznyhformpriprovedeniigornyhvyrabotok AT kolomiecan metodikaanalitičeskihissledovanijraspredeleniânaprâženijvzaboâhraznyhformpriprovedeniigornyhvyrabotok AT perepelicavg themethodsofanalyticrecearchsofdistributionstressesinthedifferentformsfacesconductingtheminingworkings AT šmatovskijld themethodsofanalyticrecearchsofdistributionstressesinthedifferentformsfacesconductingtheminingworkings AT kolomiecan themethodsofanalyticrecearchsofdistributionstressesinthedifferentformsfacesconductingtheminingworkings
first_indexed	2025-11-26T23:18:40Z
last_indexed	2025-11-26T23:18:40Z
_version_	1849896875945099264
fulltext	18 Выпуск № 78 УДК 622.023.23:539.3 Докт. техн. наук, профессор В.Г. Перепелица, канд. техн. наук Л.Д. Шматовский, канд. физ.-мат. наук А.Н. Коломиец МЕТОДИКА АНАЛИТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В ЗАБОЯХ РАЗНЫХ ФОРМ ПРИ ПРОВЕДЕНИИ ГОРНЫХ ВЫРАБОТОК У статті розроблена та викладена методика аналітичних досліджень напружено-деформо- ваного стану масиву гірських порід поблизу забоїв плоскої, сферичної та конічної форми при проведенні гірських виробок THE METHODS OF ANALYTIC RECEARCHS OF DISTRIBUTION STRESSES IN THE DIFFERENT FORMS FACES CONDUCTING THE MINING WORKINGS The methods of analytic recearchs of stressed and deformated state of rock mass near the faces, which have flat, spherical and conical forms, conducting the mining workings 1. Краткий обзор и состояние вопроса. Интенсивное развитие механики горных пород, которое отвечало бы современным требованиям горного произ- водства, немыслимо без опережающего развития теоретических методов иссле- дования напряженно-деформированного состояния породного массива. К настоящему времени выполнено большое число аналитических и экспе- риментальных исследований, в которых в той или иной мере рассматривались вопросы построения полей напряжений в горных массивах. Существенный вклад в решение этой проблемы внесен советскими учеными А.Н. Динником, К.В. Руппенейтом, Ю.М. Либерманом, Г.Н. Кузнецовым, М.А. Слободовым, Г.Т. Нестеренко, С.А. Батугиным, И.А. Турчаниновым, Г.А. Крупенниковым, а также зарубежными учеными А. Геймом, Ж. Талобром, К. Терцаги, Г. Лиманом и другими. Горные породы с точки зрения механики – объект сложный и противоречи- вый. Будучи неоднородными в малом, они достаточно однородны в большом объеме, несмотря на наличие в их структуре газонасыщенных трещин и пор. Поэтому в любой фиксированный момент времени в зависимости от рассмат- риваемого объема для одной и той же литологической разности могут быть ис- пользованы модели либо сплошной гетерогенной газонасыщенной или дис- персной среды. Общие положения теории по исследованию напряженно- деформированного состояния породного массива как двухфазной системы из- ложены в работах Р.И. Нигматуллина [1], Л.П. Хорошуна и Ю.Н. Подильчука [2]. Полученные на основе таких подходов аналитические зависимости для компонент тензора напряжений и системы разрешающих дифференциальных уравнений при заданных начальных и граничных условиях будут замкнутыми только при известных характеристиках твердой и газовой фаз, а также характе- ристик пористого скелета, определяемых экспериментально или теоретически из представления состава и структуры скелета породы. Вместе с тем, усложне- ние модели породного массива приводит к значительным затруднениям в дове- "Геотехническая механика" 19 дении задач до инженерных решений, а корректировка результатов путем вве- дения гипотез о поведении горных пород – к необходимости применения раз- личного рода эмпирических коэффициентов, физическая сущность которых и методы их определения зачастую остаются необъяснимыми. Современные технологии проведения выработок в газонасыщенном горном массиве включают его дегазацию. Это обстоятельство позволяет упростить мо- дель и свести исследования напряженно-деформированного состояния массива горных пород к решению методами теории деформируемого твердого тела гра- ничных задач, совершенно аналогичных по постановке соответствующим зада- чам для анизотропной упруго-деформируемой среды, решаемым при отсутст- вии в массиве трещин и пор. В общем случае анизотропии физико- механические свойства среды характеризуются 21 константой. Вместе с тем, как показано [3, 4], в зависимости от взаимной ориентировки сети трещин породный массив может рассматриваться как анизотропная среда, деформируемость которой описывается девятью или пятью, реже тринадцатью упругими постоянными. Так, для слоистых осадочных пород, гранитов, некото- рых эффузивов и пирокластических преобразований наиболее распространен- ными являются системные и полигональные типы сети трещин. Породный мас- сив с системной сетью трещин может рассматриваться как ортотропная (девять упругих констант), а массив с полигональной сетью трещин – как трансвер- сально-изотропная среда (пять упругих констант). При более сложном распределении ориентировки трещин, породный массив рассматривается как анизотропная среда, деформируемость которой может быть описана тринадцатью упругими константами. Если установлено, что тип сети трещин представлен трещинами неупорядо- ченной ориентировки (хаотические сети), то породный массив с такой сетью трещин может рассматриваться как изотропная среда [5]. Так как характер проявления горного давления представляет собой нераз- рывный процесс упругого деформирования и последующего разупрочнения массива горных пород, то многие исследования в области горной геомехани- ки описывались методами теории упругого или упругопластического дефор- мируемого твердого тела, теории накопления повреждений или предельного равновесия и др. Среди этих методов, принципиально применяемых для опи- сания напряженно-деформированного состояния горного массива, наиболь- шее практическое применение получили методы теории упругого и упруго- пластического деформируемого тела. Это обусловлено тем, что информация о характере напряженно-деформированного состояния уже на стадии упругого деформирования предоставляет возможность разработать методы управления горным давлением на последующих стадиях деформирования и разрушения массива горных пород. Основными типами граничных задач геомеханики яв- ляются задачи по исследованию напряженно-деформируемого состояния мас- сива конечных размеров и задачи концентрации напряжений в окрестности капитальных, подготовительных и очистных выработок. В качестве основных в этой области выступают прямые численные методы, метод теории функций 20 Выпуск № 78 комплексного переменного [6], метод интегральных уравнений [7, 8], методы суперпозиции и однородных решений [9-12]. Первые исследования напряженного состояния горного массива с горизон- тальной выработкой, выполненные в рамках плоской задачи механики де- формируемого твердого тела, отражены в работах А.И. Динника, А.Б. Морга- евского, Г.Н.Савина [13]. Впоследствии Г.Н.Савин, обобщил формулы А.И. Динника на случай ортотропного массива. Существенный вклад в изучение распределения напряжений вокруг выработок в анизотропном горном массиве внесли С.Г.Лехницкий [14] и А.С. Космодамианский [15-17], который также разработал эффективный подход к решению упругопластических задач для массива, ослабленного рядом круговых выработок. Л.А.Галин в работе [18] построил точное аналитическое решение задачи об упругопластическом распределении напряжений в плоскости с круговым отверстием. Проявления горного давления, в окрестности очистной выработ- ки исследовалось в работах С.Г. Михлина [19], С.А. Христиановича, Г.И. Ба- ренблата [20], С.В. Кузнецова [21-23], Д.И. Шермана [24]. Наиболее полные исследования напряженно-деформированного состояния породного массива при отработке пластов в угледобывающих шахтах выпол- нены в работе [25]. Здесь, методом функций комплексного переменного рас- смотрены задачи о напряженно-деформированном состоянии анизотропного породного массива, содержащего очистную выработку как в случае пологих так и крутопадающих пластов, установлены основные закономерности де- формирования в зависимости от скорости подвигания забоя. В этих работах изложен анализ широкого круга граничных задач геомеха- ники в двумерной постановке, который отражает сложившийся к настоящему времени уровень понимания ряда аспектов деформирования породного мас- сива, содержащего выработки различной формы. Следует отметить, что гипо- теза о двумерном напряженно-деформируемом состоянии вокруг горных вы- работок приемлема лишь в случаях протяженных капитальных и подготови- тельных выработок, когда проходка их уже завершена, либо рассматриваемое сечение находится на достаточно большом расстоянии от фронта ведения горных работ [26]. В зоне ведения горных работ и местах сопряжения горных выработок на- блюдается повышенная концентрация напряжений, что приводит ко все более настоятельной необходимости учета пространственного напряженно- деформируемого состояния горного массива. Последнее, как выясняется [27], зачастую предстает в качестве фактора, впоследствии существенно влияюще- го не только на устойчивость горных выработок, но и на динамические про- явления горного давления. Поэтому основной задачей, на которой сосредото- чены в последние годы усилия ученых, связанных с практическим примене- нием механики твердого деформируемого тела, является разработка методов исследования напряженно-деформированного состояния в трехмерной поста- новке. В монографии [28] А.Н. Гузь разработал теорию и исследовал в рамках статического подхода отдельные классы задач устойчивости выработок с уче- "Геотехническая механика" 21 том упругих и упругопластических свойств горных пород, основанную на не- линейной и линеаризированной механике деформируемого твердого тела. В отличие от принятого в нормативных документах определения термина ус- тойчивости горных выработок, как меры деформированности горных пород, определяемой в рамках различных вариантов линейной механики, в указан- ной работе рассматривается устойчивость состояния равновесия контура гор- ных выработок, когда наряду с основной невозмущенной формой равновесия породного массива возможно существование смежного равновесного состоя- ния при одной и той же внешней нагрузке. Явление потери устойчивости в этой работе предлагается рассматривать в качестве интегрального критерия прочности сильно сжатых участков горных пород с большими градиентами вектора напряжений. Отмечено, что при применении такого критерия неточ- ности постановочного характера, которые имеют место при решении кон- кретных задач, в меньшей мере оказывают влияние на конечный результат, чем при применении локальных критериев прочности горных пород. Переход из одного равновесного состояния в другое сопровождается развитием боль- ших перемещений и деформаций в приконтурной зоне выработки. В работе И.Ю.Бабича, А.Н.Гузя [29] указано, что это явление может послужить причи- ной возникновения различных нежелательных горных явлений (внезапных выбросов, горных ударов и т.д.). В работе А.Н. Гузя, В.Н. Чехова [30] в ана- логичной линеаризированной постановке развита трехмерная теория складко- образования в слоистой толще горных пород. В работах А.Ф.Булата, В.Н.Чехова [31, 32] дана постановка и предложен подход к исследованию трехмерных линеаризированных задач устойчивости горных пород в приза- бойной части очистной выработки на больших глубинах залегания полезных ископаемых. Рассмотрено два класса задач: - об устойчивости угольного пла- ста при действии сжимающего опорного давления переменного характера; - об устойчивости пород почвы и кровли в призабойной зоне при действии вдоль простирания слоев сжимающих тектонических нагрузок и, направлен- ной в ортогональном направлении, реакции взаимодействия крепи с пород- ным массивом. Некоторые пространственные задачи для анизотропного и газонасыщенного массива горных пород рассмотрены Ю.Н. Подильчуком [33]. Вместе с тем следует отметить, что изучением закономерностей распреде- ления напряжений и разработкой способов их изменения в забоях различных форм применительно к устойчивости выработок практически никто не зани- мался. Поэтому большое число практически важных вопросов, связанных с формой и скоростью перемещения обнажений при проходке горных выработок остаются открытыми и требуют проведения аналитических исследований в точной трехмерной постановке. Целью настоящего исследования является раз- работка методики и решение геомеханических задач по определению парамет- ров пространственного напряженно-деформированного состояния массива гор- ных пород в зависимости от формы поверхности забоя и скорости перемещения обнажений в процессе проведения подготовительных выработок на глубоких 22 Выпуск № 78 горизонтах угольных шахт. 2. Постановка задачи и основные соотношения механики упруго- деформируемого твердого тела. Экспериментальные исследования, выпол- ненные в 80-е годы ХХ века показали, что с увеличением глубины разработки в породном обнажении имеет место искусственная трещиноватость хаотической ориентации. Анализ полученных данных показал, что искусственная трещино- ватость массива горных пород наблюдается на расстоянии от контура выработ- ки до 7,0-7,2 м [34]. Это позволяет существенным образом упростить механическую модель по- родного массива и рассматривать исследуемый процесс его деформирования в рамках изотропного упруго-деформируемого тела. Начальные напряжения нетронутого массива горных пород будем характе- ризовать следующими компонентами [35]: yyy γσ =)0( ; )0()0( yyxx σσ = ; )0()0( yyzz λσσ = , (1) где )0( yyσ , )0( xxσ , )0( zzσ - компоненты тензора напряжений; λ - коэффициент бокового распора; y - глубина рассматриваемой точки массива (Рис. 1). Рассмотрим напряженно-деформируемое состояние массива горных пород, вмещающего горизонтальную цилиндрическую выработку радиуса h , один из торцов которой az = _ может подвигаться с некоторой скоростью υ положитель- ном направлении оси выработки _ z. Рис. 1 – Распределение начальных напряжений в массиве горных пород В процессе решения задачи будем пользоваться цилиндрической системой координат ( _ r , 1θ , _ z), начало которой 0 _ =z возьмем на равном удалении a от ли- нии забоя подготовительной выработки и ее сопряжения с другой выработкой (Рис. 2). При этом чтобы исключить взаимовлияние торцов выработки на ха- рактер напряженно-деформированного состояния в окрестности каждого из них "Геотехническая механика" 23 будем считать, что полудлина выработки ha >> . Обнаженную поверхность забоя полусферической формы будем описывать при помощи сферических координат R и θ . Начальные напряжения (1) в цилиндрической системе координат примут вид: Hrr γσσ θθ −== )0()0( ; Hzz γλσ 0 )0( −= ; 0=rzσ , (2) где H - глубина от земной поверхности до оси подготовительной выработ- ки; γ - объемный вес толщи горных пород; 0λ - коэффициент бокового распора. Как видно, напряжения в массиве горных пород симметричны относительно оси вращения _ z и не зависят от угловой координаты 1θ . При проведении горной выработки полные напряжения Hrrr γσσ −= ; Hγσσ θθθ −= ; (2.3) Hzzz γλσσ 0−= ; rzrz στ = , где rrσ , θθσ , zzσ и rzσ - дополнительные нормальные и касательные напря- жения, обусловленные проведением горной выработки. При отсутствии крепи полные напряжения на контуре и торце выработки равны нулю, а дополнительные определяются из формул (3). Изменением начальных напряжений по высоте выработки можно пренеб- речь, тогда дополнительные напряжения на контуре выработки: при hr = _ ; aza ≤≤− Hrr γσ = ; 0=rzσ . (4) На поверхности забоя: а) плоская форма: az = ; hr ≤≤ _ 0 zzσ = Hγλ0 ; rzσ = 0 (5) б) Сферическая форма 2/0 πθ ≤≤ ; 24 Выпуск № 78 0 _0 z h arctg=θ а) плоская форма поверхности забоя; б) сферическая форма поверхности забоя; с) коническая форма поверхности забоя. Рис. 2 – Расчетная схема: "Геотехническая механика" 25 θγ θ θ θσθσ sin cos sin cossin _ _ H haz r rzrr = += =   +   ; (6) θγλ θ θ θσθσ cos cos sin cossin 0 _ _ H haz hr zzrz = += =   +   ; с) Коническая форма 0zaza +≤≤ ; θγλ θ θσθσ sin )( cossin 0 00 _ H tgzazr rzrr = −+=  −   ; (7) θλγ θ θσθσ cos )( cossin 00 H tgzazr zzrz −= −+=  −   . Задача состоит в определении и исследовании напряженно- деформированного состояния углепородного массива в призабойной зоне с це- лью выявления основополагающих механических закономерностей, обеспечи- вающих эффективное и безопасное проведение горных выработок. Следует отметить, что в трехмерной постановке геомеханических задач, аналогичных со сформулированными выше, рассмотрено небольшое число ра- бот. Как отмечено в [36], анализ напряженного состояния выполнялся лишь для упругого слоя и полупространства с цилиндрическим отверстием. Основная сложность при решении задач о напряженно-деформированном состоянии кон- тинуума, содержащего цилиндрическую полость, состоит в том, что при ис- пользовании известных решений [37, 38, 39] уравнений равновесия в цилинд- рической системе координат нет возможности непосредственно удовлетворять граничным условиям на боковой поверхности и торцах цилиндрической полос- ти. Так, например, в работе Васильева В.З. [40] задача о напряженном состоя- нии упругого полупространства вблизи торца цилиндрической выемки сведена к решению сложной контактной задачи для полупространства и слоя с цилинд- рической полостью. Дальнейшие исследования будем осуществлять, введя подвижную систему координат ( = r , = z), которая связана с неподвижной системой известным преобра- зованием Галилея 26 Выпуск № 78 tzz υ−= = _ ; _ rr = = . В этом случае уравнения динамического равновесия массива горных пород [39] примут следующий вид: 0 )1(2 111 2 2 2_ 2 122 2 = ∂∂ ∂ − +   ∂ ∂+− ∂ ∂+ ∂ ∂    zr U U zrrrr z r ν β ; (8) 0 1 )21( 1 2 2_ 2 22 2 =   ∂ ∂++ ∂ ∂   −+  + ∂ ∂    ∂ ∂ zr U zrr U rrz βν , где r и z - безразмерные координаты, 1− = = hrr ; 1− = = hzz ; h - радиус цилиндрической полости; rU и zU - компоненты вектора перемещений соответственно в направлениях _ r и _ z; ν - коэффициент Пуассона; 2 1 _ 2 1 )1(2 21 к− − −= ν νβ ; 2 2 _ 2 2 21 )1(2 к− − −= ν νβ ; E h к )1( )21)(1( 22 2 1 ν ννρυ − −+= ; E h к 22 2 2 )21)(1(2 ννρυ −+= , E - модуль Юнга; ρ - плотность; υ - скорость подвигания забоя. Нормальные и касательные напряжения rrσ , zzσ и rzσ с помощью функций перемещений выражается так       ∂ ∂+   − + ∂ ∂    = z U r U r U q zrr rr ν νσ 10 ;    +   ∂ ∂+ ∂ ∂    −   = r U z U r U q rzr ν νσ θθ 1011 ; (9)    ∂ ∂+   + ∂ ∂    −   = z U r U r U q zrr zz ν νσ 10 ;    ∂ ∂+ ∂ ∂    = r U z U q zr rz 1σ ; 1 0 )21)(1( 1 − −+ −= Ehq νν ν ; )1(2 1 1 ν+ = −Eh q . Таким образом, для реализации сформулированной выше проблемы необхо- димо в первую очередь провести комплекс теоретических по разработке мето- дики уравнений равновесия упруго-деформируемого тела в цилиндрической системе координат с тем, чтобы в процессе исследования поля напряжений в "Геотехническая механика" 27 окрестности забоя выработки использовать уже известные способы решения граничных задач механики упруго-деформируемого твердого тела. 3. Интегрирование уравнений динамического равновесия. Известные общие решения уравнений динамического равновесия в цилиндрической сис- теме координат, где компоненты вектора упругих смещений выражаются через функции, удовлетворяющие скалярным волновым уравнениям [39, 41, 42], не обеспечивают необходимый функциональный произвол для удовлетворения граничных условий на боковой поверхности (4) и торцах горной выработки (5, 6). В связи с этим необходимо разработать подходы к решению уравнений ди- намического равновесия (8) в форме, позволяющей строго удовлетворять крае- вым условиям на боковой поверхности hr = _ и на торцах в процессе проведения горной выработки. Решение системы уравнений (8) будем искать в форме: zb ab r U r ∂ ∂ − −− ∂ ∂= ψ λ λϕ 1 ; zrrc ba U z ∂ ∂−  + ∂ ∂    − −= ϕψ λ λ 1 1 , (10) где ),( zrϕ и ),( zrψ - некоторые функции; λ , a , b , с – произвольные постоянные. Подставив выражения (10) в уравнения (8) и сделав соответствующую пере- группировку слагаемых, получим следующую систему дифференциальных уравнений: 012111 = ∂ ∂+ ∂ ∂ z L r L ψωϕ ; 0 1 2 22221 =  + ∂ ∂   + ∂ ∂ ψωϕν rr L z L , (11) где ijL ( i , j = 1, 2) – дифференциальные операторы второго порядка. 2 2 2 122 2 11 11 zrrrr L ∂ ∂−− ∂ ∂+ ∂ ∂= β ; 2 2 1 1 2 122 2 12 1 11 zb ab rrrr L ∂ ∂ − −−− ∂ ∂+ ∂ ∂= −− ω λ λβ ; 2 2 2 22 2 21 1 zrrr L ∂ ∂− ∂ ∂+ ∂ ∂= β ; 2 2 1 2022 2 22 11 zrrrr L ∂ ∂−− ∂ ∂+ ∂ ∂= −ωω ; 2 1 2 1 1 к+ − = ν νβ ; 2 2 2 2 211 к ν ν ν νβ −−−= ; b ab c ba λ λ λ λ ν ω − −− − − − = 11)1(2 1 1 ; c ba λ λνω − −−= 1 )21(2 ; c ba b ab λ λβν λ λω − −−− − −= − 1 )21( 1 2 20 . 28 Выпуск № 78 Полагая 2 2 1 )1( λ λβ b c −= ; λ λλβλ )]1(1[ 2 1 bc ba −+−= ; 2 1 2 1 2 1 22 1 2 1 2,1 2 ])(4)2(2[ λβ βλβλβλβ −−−±− =b ; 2 1 2 1 16,1 βλβ ≤≤ , уравнения (11) представим в таком виде 0111 =φL ; 0212 =φL (12) где обозначено zr ∂ ∂+ ∂ ∂= ψωϕφ 11 ; ψωϕνφ   + ∂ ∂   + ∂ ∂= rrr 1 2 22 . (2.13) Решение уравнений (2.12) находим, воспользовавшись методом Фурье [43] αααβααβα π φ dzirYBrJA )exp()()()()( 1 0111111111 −  +  = ∫ ∞ ∞− ; (14) αααβααβα π φ dzirYBrJA )exp()()()()( 1 0202220222 −  +  = ∫ ∞ ∞− , где )(αjjA и )(αjjB ( j =1, 2) – произвольные функции аргумента α ; 10 −=i ; )( rJ jn αβ и )( rY jn αβ , (n=0, 1; j =1, 2)- функции Бесселя n -го порядка соответ- ственно первого и второго рода. Внося выражения (14) в равенства (13), получим следующую систему неод- нородных дифференциальных уравнений αααβααβα π ψωϕ dzirYBrJA zr )exp()()()()( 1 0111111111 −  +  = ∂ ∂+ ∂ ∂ ∫ ∞ ∞− ; (15) αααβααβα π ψωϕν dzirYBrJA rrr )exp()()()()( 11 2 0201120222 −  +  =  + ∂ ∂   + ∂ ∂ ∫ ∞ ∞− . Поочередно исключая в (15) функции ϕ и ψ и учитывая следующие свойст- ва функций Бесселя [44] "Геотехническая механика" 29 )( 1 )()( 101 rJ r rJrJ r αααα −=      ∂ ∂ ; )( 1 )()( 101 rY r rYrY r αααα −=      ∂ ∂ ; )()( 10 rJrJ r ααα −=      ∂ ∂ ; )()( 10 rYrY r ααα −=      ∂ ∂ , приходим к двум неоднородным дифференциальным уравнениям относительно искомых функций ),( zrϕ и ),( zrψ αααβααβα ω ωα αβααβαβααβ π ϕ ω ων dzirYBrJAi rYBrJA zrrr )exp()()()()( )()()()( 2 1 2 1 020222022 2 1 0 10111101112 2 2 1 2 2 −      +  − −+    =   ∂ ∂− ∂ ∂+ ∂ ∂    ∫ ∞ ∞− (16) .)exp()()()()( 2 )()()()( 2 1 2 11 011111111 2 00 21222122 2 2 2 2 2 1 22 2 αααβααβα ω να αβααβα ω αβ π ψ ω ων dzirYBrJAi rYBrJA zrrrr −      +  + +  +      −=   ∂ ∂−− ∂ ∂+ ∂ ∂    ∫ ∞ ∞− Решение этих уравнений, как известно, разыскивается в виде суммы = += ϕϕϕ _ ; = += ψψψ _ , (17) где обозначено _ ϕ и _ ψ - общие решения однородных, а = ϕ и = ψ - частные ре- шения соответствующих неоднородных уравнений (2.16). Однородные решения находим, как и выше методом разделения перемен- ных, а неоднородные решения возьмем в такой форме ;)exp()()()()( )( )()()()( 2 1 0202220222 2 2 32 11 0 101110112 1 2 3 1 1 αααβααβα ββω ωα αβααβα ββ βα π ϕ dzirYBrJAi rYBrJA −      +   − − −  +   −   = − −∞ ∞− = ∫ (18) .)exp()()()()( )( 2 )()()()( )(2 1 0111111112 1 2 32 1 0 212221222 2 2 32 2 1 αααβααβα ββω να αβααβα ββω βα π ψ dzirYBrJA i rYBrJA −      +   − + +  +   −   −= − −∞ ∞− = ∫ 30 Выпуск № 78 В результате аналитические зависимости для функций ϕ и ψ , описываемых уравнениями (16), запишем в таком виде ;)exp()()()()( )()()()( )( )()()()( 2 1 030123012 202220222 2 2 32 1 1 0 101110112 1 2 3 1 1 αααβααβα αβααβα ββω ωα αβααβα ββ βα π ϕ dzirYBrJA rYBrJA i rYBrJA K −    ++ +  +   − − −  +   −   = − −∞ ∞− ∫ (19) ;)exp()]()()()([ )()()()( )( 2 )()()()( )(2 1 031213121 111111112 1 2 32 1 0 212221222 2 2 32 2 1 αααβααβα αβααβα ββω να αβααβα ββω βα π ψ dzirYBrJA rYBrJA i rYBrJA −    −− −  +   − + +  +   −   −= − −∞ ∞− ∫ 213 /2 ωνωβ = . Принимая во внимание особенности поведения функций Бесселя первого и второго рода, окончательные выражения для искомых функций перемещений rU и zU запишем на основании формул (10) и (19) ;)exp()()( 1 )()( )()()()(Re 2 1 03121031123 21224011113 αααβα λ λααβααβ αβαωαβαω π dzirJA b ab irJA rJAirJAU r −   − −++ ++  −= ∫ ∞ ∞− 12 1 2 3 1 22 2 13 )( 1 2 −− −   − −−  = ββω λ λνωβω b ab ; 12 1 2 3 1 2124 )( 1 −− −   − −+  = ββω λ λωβω b ab ; (20) ;)exp()()()()( 1 )()()()(Re 2 1 03012030213 20226101150 αααβαααβα λ λαβ αβαωαβαω π dzirJAirJA c ba rJArJAiU z −  − − −+ ++  = ∫ ∞ ∞− "Геотехническая механика" 31 12 1 2 3 1 1215 )( 1 2 −− −  − − −   = ββωω λ λνβω c ba ; 12 1 2 3 1 2 2 216 )( 1 −− −   − −−  = ββω λ λβωω c ba . Следует отметить, что за счет выбора констант λ и b ( 2 1 2 1 16,1 βλβ ≤≤ ) най- денные решения уравнений динамического равновесия (8) имеют достаточный функциональный произвол для решения сформулированных выше граничных задач механики горных пород. Аналитические зависимости для компонент тензора напряжений получаем при помощи формул (8) и (20). ;)exp()( 111 )( )1( 21 1 )( )( 1 )( 1 21 )( )( 1 )( 1 21 )( )( 1 )( 1 21 )(Re 2 030331210 30 2 331 3 12 2064221 4 220 1053111 3 11 0 αααβ λ λ ν ν λ λαβαβ ν ν λ λαα αβ ν νβααβ ν νβαα αβω ν νωβααβ ν νωα αβω ν νωβααβ ν νωα π σ dzirJ b ab c ba rJ rb ab Ai rJrJ r A rJrJ r Ai rJrJ r A q rr −          − −+ −− −   − − − − −   + +      − +  − − −   + +      − +  − − −   + +      − −  − − −       = ∫ ∞ ∞− (21) ;)exp()( 111 )( )1( 21 1 )()(1 1 )( 1 21 )( )( 1 )( 1 21 )( )( 1 )( 1 1 )(Re 2 030331 21030 2 331 3 12 2062421 4 220 1053111 3 11 0 αααβ λ λ λ λ ν ναβαβ ν ν λ λ αααββ ν νααβ ν νβαα αβωβω ν νααβ ν νωα αβ ν νωωβααβ ν ωα π σθθ dzirJ b ab c ba rJ rb ab AirJrJ r A rJrJ r Ai rJrJ r A q −          − −+ − −    − + − − − −   × ×+     +   − + − −   + +     +   − + − −   = +   −  −  + −      −= ∫ ∞ ∞− ;)exp()( 111 )( )(1 1 )()( 1 )( )( 1 )(Re 2 0303 2 210 30 2 3 2 1220642220 1053111 0 αααβ λ λ λ λ ν νβαα αββ ν ναααβωωβ ν ναα αβωωβ ν ναα π σ dzirJ c ba b ab Ai rJArJAi rJA q zz −       − −+ − − −  + +  + −  +     + −  − −  − −      −= ∫ ∞ ∞− 32 Выпуск № 78 .)exp()( 11 )( )()(2)()( )()(Re 2 031 2 3 2 21 313 2 1202126422 11153110 1 αααβ λ λβ λ λαα αββαααββωωαα αββωωαα π σ dzirJ c ba b ab A rJAirJA rJAi q rz −       − −− − −   + ++  −  + +  −      = ∫ ∞ ∞− Далее, внося соответствующие аналитические зависимости компонент тен- зора напряжений (21) в условиях на контуре выработки (4)-(6), определение не- известных функций )2,1,)(( =jiAij α и вычисление неопределенных интегралов (21) осуществляется по стандартным схемам решения граничных задач метода- ми интегральных преобразований [8, 41, 43]. ЛИТЕРАТУРА 1. Нигматуллин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. – М.: Наука, 1978. – 278 с. 2. Хорошун Л.П., Подильчук Ю.Н. О представлении уравнений статики двухкомпонентных смесей // Прикл. Механика. – 1981. – Т. 17, № 4. – С. 16-23. 3. Беликов Б.П., Александров К.С., Рыжова Т.В. Упругие свойства породообразующих минералов и горных пород. – М.: Наука, 1968. 4. Справочник физических констант горных пород / Под ред. С.Кларка. – М.: Мир, 1969. – 542 с. 5. Руппенейт К.В. Деформируемость трещиноватых горных пород. – М.: Недра, 1975. – 224 с. 6. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. – М.: Наука, 1966. – 707 с. 7. Снеддон И. Преобразования Фурье. – М.: Изд-во иностр. лит., 1955. – 667 с. 8. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. – Л.: Наука, 1967. – 402 с. 9. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф. Пространственные задачи теории упругости и пластичности. – Киев, Наук. думка, 1985. – Т. 3. – С. 280. 10. Байда Э.Н. Некоторые пространственные задачи теории упругости. – Л.: Изд-во Ленингр. университета, 1983. – 231 с. 11. Прокопов В.К. Обзор работ по однородным решениям теории упругости и их приложениям // Тр. Ле- нингр. политехн. ин-та. – 1967. – № 279. – С. 31-46. 12. Космодамианский А.С. Пространственные задачи теории упругости для многосвязных пластин // Прикл. Механика. – 1983. – 19, № 12. – С. 3-21. 13. Динник А.Н., Моргаевский В.Б., Савин Г.Н. Распределение напряжений вокруг подземных горных вы- работок // Труды совещания по управлению горным давлением. – М.-Л.: АН СССР, 1938. – С. 7-55. 14. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. – М.-Л.: Гостехиздат, 1947. – 335 с. 15. Космодамианский А.С. Плоская задача теории упругости для пластин с отверстиями, вырезами и вы- ступами. – Киев: Вища школа, 1975. – 225 с. 16. Космодамианский А.С. Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями или полостями. – Киев-Донецк: Вища школа, 1976. – 200 с. 17. Космодамианский А.С., Шалдырван В.А. Толстые многосвязные пластины. – Киев: Наук. думка, 1978. – 240 с. 18. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. – М.: Наука, 1980. – 380 с. 19. Михлин С.Г. О напряжениях в породе над угольных пластом. – Изв. АН СССР, отдел техн. Наук. – 1942. – № 7-8. – С. 13-29. 20. Христианович С.А. Механика сплошной среды. – М.: Наука, 1981. – 483 с. 21. Кузнецов С.В. Некоторые закономерности и соотношения, определяющие посадку лавы // Физ.-техн. пробл. разраб. полезн. Ископаемых. – 1965. – № 5. – С. 3-19. 22. Кузнецов С.В. Влияние касательных напряжений на контактной поверхности пласта и породы на на- пряженное состояние горного массива // Физ.-техн. пробл. разраб. полезн. Ископаемых. – 1969. – № 5. – С. 10- 20. 23. Кузнецов С.В. Общие закономерности, характерные особенности перераспределения напряжений в массивах горных пород при развитии выработанного пространства // Физ.-техн. пробл. разраб. полезн. Иско- паемых. – 1988. – № 6. – С. 18-31. "Геотехническая механика" 33 24. Шерман Д.И. Упругая весомая полуплоскость, ослабленная отверстием эллиптической формы, доста- точно близко расположенным от ее границы // Пробл. механики сплошной среды. – М.: Изд-во АН СССР, 1961. – С. 527-563. 25. Булат А.Ф., Витушко О.В., Гоман О.Г. Напряженно-деформированное состояние анизотропного пород- ного массива при отработке угольных пластов. - Днепропетровск: ИГТМ НАН Украины, 2000. – 216 с. 26. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. – Киев: Наук. думка, 1968. – 888 с. 27. Гузь А.Н. О задачах устойчивости в механике горных пород // Проблемные вопросы механики горных пород. - Алма-Ата: Наука, 1972. 28. Гузь А.Н. Основы теории устойчивости горных выработок. – Киев: Наук. думка, 1977. – 204 с. 29. Бабич И.Ю., Гузь А.Н. Потеря устойчивости, как возможный механизм образования выбросов // Прикл. механика. – 1977. – 13, № 5. – С. 19-23. 30. Гузь А.Н., Чехов В.Н. Линеаризированная теория складкообразования в толще земной коры // Прикл. механика. – 1975. – № 1. – С. 3-17. 31. Булат А.Ф., Чехов В.Н. Задачи устойчивости боковых пород при отработке угольных пластов на боль- ших глубинах // Прикл. механика. – 1992. – № 12. – С. 24-31. 32. Булат А.Ф., Чехов В.Н. Трехмерные задачи устойчивости боковых пород в окрестности очистной выра- ботки при управлении НДС массива // Прикл. механика. – 1994. – № 8. – С. 42-48. 33. Подильчук Ю.Н. Пространственные задачи механики горных пород. – Киев: Наук. Думка, 1983. – 158 с. 34. Усаченко Б.М., Кириченко В.Я., Шмиголь А.В. Охрана подготовительных выработок глубоких гори- зонтов шахт Западного Донбасса. – М.: ЦНИЭИ уголь, 1992. – 168 с. 35. Крупенников Г.А. и др. Распределение напряжений в породных массивах. – М.: Недра, 1972. – 143 с. 36. Гринченко В.Т. Равновесие и установившиеся колебания упругих тел конечны размеров. – Киев: Наук. думка, 1978. – 264 с. 37. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. – М.: Наука, 1977. – 415 с. 38. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. – М.: Гостехиздат, 1955. – 491 с. 39. Ляв А. Математическая теория упругости. – М.-Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1935. – 674 с. 40. Васильев В.З. Напряжения в упругом изотропном полупространстве вблизи торца вертикальной цилин- дрической выемки // Прикл. механика. – 1967. – 3, 7. – с. 107-117. 41. Снеддон И. Преобразования Фурье. – М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1955. – 668 с. 42. Перепелица В.Г., Коломиец А.Н., Шматовский Л.Д. Решение задачи о напряженно-деформированном состоянии горного массива при его гидроразрыве [Текст] // Доповіді НАН України. – 2006. - № 12. – С. 44-51. 43. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физи- ки. – М.: Высшая школа, 1970. – 708 с. 44. Ватсон Г.Н. Теория Бесселевых функций. – М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1949. – 798 с.

Методика аналитических исследований распределения напряжений в забоях разных форм при проведении горных выработок

Institution

Ähnliche Einträge