Моделирование динамики хаотических и синергетических процессов в сложных системах
Приведено результати і аналіз моделювання динаміки хаотичних та синергетичних процесів в складних системах на основі пружинних маятників методами аналітичної механіки. Results and the analysis of modeling of dynamics chaotic and synergetic processes in complicated systems on the basis of spring pend...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Геотехническая механика |
|---|---|
| Datum: | 2008 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут геотехнічної механіки імені М.С.Полякова НАН України
2008
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/31480 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Моделирование динамики хаотических и синергетических процессов в сложных системах / А.А. Яланский, Алекс. А. Яланский, Н.А. Иконников // Геотехническая механика: Межвед. сб. науч. тр. — Днепропетровск: ИГТМ НАНУ, 2008. — Вип. 78. — С. 163-172. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859593926655082496 |
|---|---|
| author | Яланский, А.А. Яланский, Алекс. А. Иконников, Н.А. |
| author_facet | Яланский, А.А. Яланский, Алекс. А. Иконников, Н.А. |
| citation_txt | Моделирование динамики хаотических и синергетических процессов в сложных системах / А.А. Яланский, Алекс. А. Яланский, Н.А. Иконников // Геотехническая механика: Межвед. сб. науч. тр. — Днепропетровск: ИГТМ НАНУ, 2008. — Вип. 78. — С. 163-172. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Геотехническая механика |
| description | Приведено результати і аналіз моделювання динаміки хаотичних та синергетичних процесів в складних системах на основі пружинних маятників методами аналітичної механіки.
Results and the analysis of modeling of dynamics chaotic and synergetic processes in complicated systems on the basis of spring pendulums by methods of analytical mechanics are described.
|
| first_indexed | 2025-11-27T19:22:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
"Геотехническая механика" 163
УДК 622.831:001.891.573:004.942
А.А. Яланский, Алекс. А. Яланский,
Н.А. Иконникова
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ХАОТИЧЕСКИХ И
СИНЕРГЕТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В СЛОЖНЫХ СИСТЕМАХ
Приведено результати і аналіз моделювання динаміки хаотичних та синергетичних
процесів в складних системах на основі пружинних маятників методами аналітичної
механіки.
MODELING OF DYNAMICS CHAOTIC AND SYNERGETIC
PROCESSES IN COMPLICATED SYSTEMS
Results and the analysis of modeling of dynamics chaotic and synergetic processes in compli-
cated systems on the basis of spring pendulums by methods of analytical mechanics are described.
Изучение динамики структур литосферы как форм самоорганизации геоло-
гической среды необходимо для прогнозирования землетрясений, горных уда-
ров, выбросов пород, угля и газа, устойчивости подземных и наземных соору-
жений.
Спонтанное образование и развитие сложных упорядоченных структур в от-
крытых системах называют самоорганизацией, а теорию самоорганизации – си-
нергетикой. Выделяют три необходимые (но не всегда достаточные) условия
самоорганизации с образованием диссипативных структур: отклонения от рав-
новесия должны превышать критическое значение, т.е. система должна нахо-
диться в области существования бифуркаций; объем системы должен быть дос-
таточно большим и превышать критический объем, в котором происходит не-
обходимое количество незатухающих флуктуаций, создающих упорядочен-
ность в системе; наличие положительной обратной связи [1].
Бифуркации являются ключевым фактором пространственно-временной са-
моорганизации, они возникают, прежде всего, в открытых системах, в которые
возможен приток внешней энергии. Такими системами априори являются на-
пряженные породные массивы и строительные конструкции, электрические се-
ти и горные машины. Неконтролируемый приток энергии, например, в резуль-
тате проявлений горного давления, короткого замыкания, может приводить к
весьма тяжелым последствиям.
Среди разнообразных диссипативных структур следует отметить: простран-
ственно неоднородные (пористость, слоистость, трещиноватость); периодиче-
ские во времени (автоколебания); периодические пространственно-временные
(волны); сосуществование нескольких стационарных состояний (бистабиль-
ность, тристабильность, аттрактор); структуры со скейлинговыми свойствами
(пространственно самоподобными – фрактальными); динамические структуры с
хаотическим поведением [1]. Особо остановимся на двух последних типах дис-
сипативных структур: фракталах и динамическом хаосе.
Фрактальные объекты – это множества в одно-, двух-, трехмерном про-
странствах, обладающие рядом специфических свойств, точно строгого опреде-
ления которых не существует, можно лишь качественно указать на их типич-
164 Выпуск № 78
ные черты: наличие тонкой структуры и «изрезанности» деталей сколь угодно
малого размера; иррегулярность объектов, не позволяющая описывать их на
традиционном геометрическом языке метрических (евклидовых) или топологи-
ческих пространств; регулярное или стохастическое подобие отдельных частей
фрактала всему фракталу (иерархия самоподобия деталей объекта на различных
масштабных уровнях); возможность задания программы с помощью несложной
рекурсивной процедуры или порождающего алгоритма, ведущих к постепен-
ному измельчению или укрупнению деталей [2].
Открытие детерминированного хаоса в динамических системах стало миро-
воззренческим переворотом, который позволил по-новому посмотреть на хо-
рошо изученные системы. Суть открытия заключается в том, что детерминиро-
ванная, полностью прогнозируемая система в некоторых случаях ведет себя
хаотически, то есть непрогнозируемо. Впервые явление детерминированного
хаоса было рассмотрено в работе американского ученого Е. Лоренца (1963 год),
в частности, он описал наблюдавшийся им в численных экспериментах аттрак-
тор в трехмерном фазовом пространстве с разбегающимися в разные стороны
фазовыми кривыми при моделировании конвекции атмосферного воздуха и
указал на связь этого явления с турбулентностью [3].
В работе [4] на примере системы математических маятников предложена
методика аналитического моделирования хаотических процессов в материаль-
ных системах на основе методов аналитической механики с использованием
уравнений Лагранжа. Рассмотрим возможности этой методики для оценки и
прогноза динамического состояния реальных технических систем.
Как известно, в технике часто встречаются объекты, которые при опреде-
ленных допущениях можно условно представить как k -массовую систему пру-
жинных математических или физических маятников (железнодорожные, руд-
ничные и шахтные составы, транспортные системы непрерывного действия,
гидротранспорт пульпы, внутримельничная загрузка, линии электропередачи,
различные строительные сооружения, в том числе подземные выработки, про-
тяженные мосты, перекрытия и арочные конструкции и тому подобное). При
этом, также известны труднообъяснимые случаи крушения поездов, обрушения
мостов, например моста Такома Нэрроуз, Вашингтон, который разрушился в
1940 году через четыре месяца после введения в строй из-за упругих крутиль-
ных колебаний от воздействия ровного, но сравнительно сильного ветра (около
42 милей в час) [5].
Вначале рассмотрим материальную систему, схема которой представлена на
рис. 1 (а) – систему пружинных маятников, состоящую из трех грузов с масса-
ми 1m , 2m и 3m и пружин с жесткостями 1c , 2c и 3c . Прямая, по которой дви-
жутся грузы, горизонтальная и абсолютно гладкая. За обобщенные координаты
целесообразно принять расстояния центров грузов в текущем положении отно-
сительно положения, при котором все пружины находятся в свободном состоя-
нии. Тогда можно пренебречь размерами грузов при условии их центральной
симметрии и длинами пружин, если они достаточно велики, чтобы исключить
соударения грузов. В работе [6] приводятся уравнения движения такой систе-
"Геотехническая механика" 165
мы. Выполненные нами расчеты с помощью Mathcad показали, что для системы
трех пружинных маятников практически сохраняется детерминированное дви-
жение, при этом необходимо учесть, что методы приближенных вычислений
сами вносят весьма малую нелинейность.
а)
б)
Примечание: грузы считать материальными точками, длина пружины 0
il равна расстоянию
между центрами масс грузов в состоянии равновесия сил
Рис. 1 – Расчетная схема для моделирования динамики 3-массовой (а) и k -массовой (б) сис-
тем пружинных маятников
Схема k -массовой системы пружинных маятников представлена на
рис. 1 (б). Получим уравнения движения центров масс грузов, составляющих
такую систему. Кинетическая Т и потенциальная П энергии системы равны:
1−jx jx 1+jx
0
1l
0
1+jl
1−jm jm
x
kx
1m
0
jl
0
1−jl
1x
jF 1+jF jm
1+jm km
1c 2c 1−jc jc 1+jc kc
kF km1F 2F 1m
0
kl
1−jm 1+jm
x
1−jF
1x 2x 3x
0
1l
0
2l
0
3l
0
il ,
1m 2m 3m
см. примечание
1l∆
x
x
166 Выпуск № 78
222
11 2
1
...
2
1
...
2
1
kkjj xmxmxm &&& ++++=Τ , (1)
( ) ( )21
2
1
2
11 2
1
...
2
1
...
2
1
−− −++−++=Π kkkjjj xxcxxcxc , 1...2 −∈ kj . (2)
Составив функцию Лагранжа Π−Τ=L , находим ее частные производные
по координатам и скоростям изменения координат во времени:
( )12211
1
xxcxc
x
L −+−=
∂
∂
, …,
( ) ( )jjjjjj
j
xxcxxc
x
L −+−−=
∂
∂
++− 111 , …, (3)
( )1−−−=
∂
∂
kkk
k
xxc
x
L
;
11
1
xm
x
L
&
&
=
∂
∂
, …, jj
j
xm
x
L
&
&
=
∂
∂
, …, kk
k
xm
x
L
&
&
=
∂
∂
. (4)
Итак, уравнения движения центров масс грузов в рассматриваемой системе
имеют вид:
( ) 01221111 =−−+ xxcxcxm && , …,
( ) ( ) 0111 =−−−+ ++− jjjjjjjj xxcxxcxm && , …, (5)
( ) 01 =−+ −kkkkk xxcxm && .
Хаотическое детерминированное движение – это движение, в котором су-
ществует значительная зависимость от начальных условий, а фазовая траекто-
рия системы возвращается в ограниченную область пространства [7]. При этом
весьма малая неточность в начальном состоянии системы обусловливает боль-
шую разницу между параметрами системы в ее конечном состоянии, см. рис. 2
(четыре маятника). Для такого движения характерно наличие непрерывного
спектра частот, расположенного ниже частоты бифуркации.
Ранее были известны три вида динамического движения: равновесие, перио-
дическое движение (граничный цикл) и квазипериодическое движение. Эти со-
стояния получили название аттракторов, так как все переходные процессы со
временем затухают и система «притягивается» к одному из перечисленных со-
стояний. Хаотические колебания представляют новый класс движения, который
"Геотехническая механика" 167
а)
б) в)
г) д)
Рис. 2 – Некоторые графики фазовых траекторий системы из 4-х пружинных маятников
в координатных системах )( ji vfx = ; «o » – начальная точка траектории,
« + » – конечная точка при =n 5×104
168 Выпуск № 78
связан с состоянием, называемым странным аттрактором [7]. Понятие странно-
го аттрактора также появилось в связи с работой Лоренца по атмосферным яв-
лениям, а появление странного поведения системы (хаоса) при решении про-
стого детерминистического дифференциального уравнения использовано Рю-
элем и Такенсом для объяснения гидродинамической турбулентности. Хаоти-
ческие фазовые портреты странных аттракторов наблюдаются для чрезвычайно
простых нелинейных динамических систем в трехмерном фазовом пространст-
ве, например, в упругой сферической оболочке. Поэтому Росслер чисто образ-
но, но весьма точно, сказал: «Если колебание является типичным поведением
двумерных динамических систем, то хаос точно так же характерен для трех-
мерных динамических систем». При этом хаос графически можно представить
как «бесконечное число неустойчивых периодических и несчетное количество
непериодических повторяющихся траекторий» [5].
Классическим аттракторам отвечают классические геометрические «обра-
зы» в трехмерном фазовом пространстве: равновесному состоянию – точки,
граничному циклу – замкнутые кривые, квазипериодическому движению – по-
верхности. Странный аттрактор, как оказалось, связан с таким геометрическим
образом, как фрактал. Фрактал является удобным способом получения инфор-
мации об объектах, для которых традиционный процесс измерения длин, пло-
щадей, объемов не дает полных результатов [7]. Хаотические явления в дисси-
пативных нелинейных системах подчиняются регулярным законам и за ними
«стоит» не бесформенный хаос, а хаос со спрятанным порядком – фрактальная
структура, рис. 2 (см. асимметричный фрактал).
В соответствии с наличием устойчивых и неустойчивых математических
образований (складок Уитни, каустик и бикаустик, различных перестроек) чис-
то абстрактно в природе возможно как самопроизвольное возникновение про-
цессов самоорганизации, образования фракталов, так и процессов динамиче-
ского хаоса, в том числе динамического детерминированного хаоса, при этом
они в зависимости от положения равновесия могут быть устойчивыми или не-
устойчивыми, а в соответствии с теорией вероятностей о наличии возможных
«мягких», «медленных» или «диких» состояний случайности, которые описы-
ваются распределениями Гаусса, Вейбулла, Коши, Парето и так далее, потеря
устойчивости может быть мягкой или жесткой [2, 3, 8 – 10].
При мягкой потере устойчивости устанавливается колебательный перио-
дический режим, который на начальном этапе мало отличается от состояния
равновесия, при этом амплитуда колебаний из чисто энергетических соображе-
ний пропорциональная квадратному корню из условной величины закритично-
сти (величины отличия исходного параметра от критического значения, при ко-
тором равновесие начинает терять свою устойчивость), рис. 3, а.
Теория мягкой потери устойчивости равновесных состояний приложима во
всех областях науки (механике, электротехнике, физике, химии, биологии, эко-
номике и так далее) как для колебательных систем с конечным числом степеней
свободы, так и для сплошных диссипативных и мелкослоистых сред (осадоч-
ные и трещиноватые горные породы, шихтованные сердечники, статоры, рото-
"Геотехническая механика" 169
а)
б)
в)
Рис. 3 – Изменение динамического поведения системы: а) мягкая потеря устойчивости;
б) жесткая потеря устойчивости; в) сценарий хаотизации
170 Выпуск № 78
ры, якоря), в которых возбуждаются вынужденные колебания.
При жесткой потере устойчивости система уходит из стационарного
режима равновесия скачком и переходит на другой режим движения, как пра-
вило, установившийся колебательный периодический режим, рис. 3, б. Устано-
вившиеся режимы движения получили название аттракторов, так как они «при-
тягивают» соседние режимы (переходные процессы). Режим, установившийся
после потери устойчивости равновесного состояния, называется странный ат-
трактор (не равновесие и не предельный цикл). Такой режим означает, что в
системе наблюдаются сложные непериодические колебания, для внешнего экс-
периментатора – турбулентные.
Переход от устойчивого состояния равновесия к странному аттрактору мо-
жет совершаться непосредственно сразу скачком при жесткой потере устойчи-
вости (рис. 3, б), так и после возникновения мягкой потери устойчивости
(рис. 3, а). «Сценарий» хаотизации колебательного процесса приведен на
рис. 3, в, исходя из которого наиболее простым и доступным способом контро-
ля мягкой потери устойчивости является спектральный анализ акустических и
электрических сигналов с учетом их поляризации, а информативными парамет-
рами последовательно могут служить: развитие устойчивого предельного цикла
(бифуркация Гопфа), удвоение периода (бифуркация Питчфорка), удвоенный
цикл, потеря его устойчивости, странный аттрактор, рис. 4. Потеря устойчиво-
сти в однопараметрическом семействе системы возможна следующими спосо-
бами: 1) столкновение с неустойчивым циклом; 2) удвоение; 3) смерть или ро-
ждение тора [3, 7].
Примером мягкой потери устойчивости в природе может служить образова-
ние циклонов, торнадо, смерчей при температурной конвекции воздуха, приме-
ром жесткой потери устойчивости могут служить землетрясения, оползни, из-
вержения вулканов. В горной механике под детерминированным хаосом пони-
мают нерегулярное или хаотическое движение, вызванное нелинейностью сре-
ды, но для которой динамические законы движения однозначно определяют
эволюцию состояния системы во времени. В барабане мельницы наблюдается
сдвиговая турбулентность пульпы, особенно на разделе фаз пульпа-футеровка,
при этом детерминированный хаос может возникать в локальных областях сег-
мента загрузки. Из всех возможных вариантов реализуются лишь те, для кото-
рых затрачивается наименьшее количество энергии, т.е. диссипация энергии
системы должна быть минимальной [11].
В электродинамических системах, гидравлических и теплогидравлических
контурах возможно возникновение всего многообразия колебаний, в том числе
параметрических, феррорезонансных и хаотических. Параметрический меха-
низм колебаний возникает за счет того, что рабочее оборудование, системы ох-
лаждения и другие компоненты постоянно, даже при проектных режимах рабо-
ты, подвергаются вибрации со стороны вращающихся механизмов (насосы,
турбины, генераторы, двигатели) и перекачиваемой рабочей среды. Следует
подчеркнуть, что все эти механизмы имеют высокую добротность. Исследова-
ния возбуждения субгармонических (комбинационных) и хаотических колеба-
"Геотехническая механика" 171
а)
б)
Рис. 4 – Волновые процессы и самоорганизация в системе пружинных маятников (15 грузов):
а) этап возбуждения колебаний (отображение в виде поверхности); б) этапы развития
процесса: возбуждение колебаний – хаотизация – упорядочивание – … (отображение
в виде карты эквипотенциальных линий, темным цветом выделены волны,
организующие фрактальную структуру
172 Выпуск № 78
ний показало, что механизмом перехода к сложным неупорядоченным хаотиче-
ским колебаниям является механизм перекрытия резонансов. Область гармони-
ческих вынужденных колебаний возникает при низких напряжениях, затем воз-
никают субгармонические колебания и только при высоких напряжениях воз-
никают хаотические неуправляемые колебания [12]. В этом случае под высоки-
ми напряжениями как электрических сетей, так и механических конструкций
следует понимать не просто их величину, а напряжения, при которых в элек-
трической или механической системах возникают нелинейные эффекты за счет
нелинейности изменения каких-либо характеристик системы, например, за счет
магнитного насыщения, диссипации энергии или волн, гистерезисных или пла-
стических свойств материала.
Таким образом, в открытых неравновесных системах, обладающих нели-
нейностью, всегда возможны флуктуации, способные привести к образованию
новых типов структур и функциональных связей, при этом эволюция структуры
определяется последовательностью событий в соответствии со схемой: функ-
ция – структура – флуктуация – функция; функция – флуктуация – структура –
функция [13]. Эта эволюция систем подтверждается как результатами матема-
тического моделирования (рис. 4, б), так и результатами обширных экспери-
ментальных исследований [14]. Введение в модели чисто нелинейных элемен-
тов значительно расширяет их возможности.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Процеси самоорганізації в матеріалах різної природи: Навч. посіб. / А.П. Шпак, Ю.А. Куницький,
В.А. Прокопенко, С.Ю. Смик. – К.: ІМ ім. Г.В. Курдюмова НАН України, 2004. – 113 с.
2. Булат А.Ф., Дырда В.И. Фракталы в геомеханике. – К.: Наук. думка, 2005. – 358 с.
3. Арнольд В.И. Теория катастроф. – Изд. 3-е, дополненное. – М.: Наука, 1990. – 128 с.
4. Иконникова Н.А. Особенности моделирования динамики хаотических процессов в детерминированных
системах методами аналитической механики // Геотехническая механика: Межведомственный сборник научных
трудов. Вып. 73. – Днепропетровск: ИГТМ, 2007. – С. 263-280.
5. Томпсон Дж. М.Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике: Пер. с англ. – М.: Мир, 1985. –
254 с.
6. Бутенин Н.В., Фуфаев Н.А. Введение в аналитическую механику. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.,
1991. – 256 с.
7. Горобець Ю.І., Кучко А.М., Вавилова І.Б. Фрактальна геометрія у природознавстві: Навчальний посіб-
ник. – К.: Наук. думка, 2008. – 232 с.
8. Постон Т., Стюард И. Теория катастроф и ее приложения. / Пер. с англ. – М.: Мир, 1980. – 608 с.
9. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф / Пер. с англ. – М.: Мир, 1984. – Т. 1. – 350 с. – Т. 2. – 285 с.
10. Гребенкин С.С., Дегтярь Р.В., Рябичев В.Д. Теория катастроф в обосновании потери устойчивости вме-
щающих пород кровли в очисных забоях // Школа підземної розробки. Міжнародна науково-практична конфе-
ренція 17-22 вересня 2007 року. Збірник наукових праць. – Дніпропетровськ: НГУ, 2007. – С. 155-157.
11. Франчук В.П., Настоящий В.А., Маркелов А.Е., Чижик Е.Ф. Рабочие поверхности и футеровки бара-
банных и вибрационных мельниц: Монография. – Кременчуг: Изд-во Щербатых А.В., 2008. – 384 с.
12. Золотухин И.А. Анализ колебаний в многоконтурных электрических моделях теплогидравлических
систем. Автореф. дис. кандидата технических наук / Московский энергетический институт. – М., 2008. – 19 с.
13. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах / Пер. с англ. – М.: Мир, 1979. –
512 с.
14. Открытие № 318 Закономерность пространственно-временной структурно-фазовой самоорганизации
грунтовых и породных массивов вокруг протяженных подземных выработок / Л.В. Байсаров, М.А. Ильяшов,
В.В. Левит, Т.А. Паламарчук, В.Н. Сергиенко, В.Б. Усаченко, А.А. Яланский // Научные открытия, идеи, гипо-
тезы (1992-2007). Информационно-аналитический обзор. – М.: МААНОН, 2008. – С. 298-299.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-31480 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1607-4556 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-27T19:22:55Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут геотехнічної механіки імені М.С.Полякова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Яланский, А.А. Яланский, Алекс. А. Иконников, Н.А. 2012-03-09T13:20:59Z 2012-03-09T13:20:59Z 2008 Моделирование динамики хаотических и синергетических процессов в сложных системах / А.А. Яланский, Алекс. А. Яланский, Н.А. Иконников // Геотехническая механика: Межвед. сб. науч. тр. — Днепропетровск: ИГТМ НАНУ, 2008. — Вип. 78. — С. 163-172. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1607-4556 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/31480 622.831:001.891.573:004.942 Приведено результати і аналіз моделювання динаміки хаотичних та синергетичних процесів в складних системах на основі пружинних маятників методами аналітичної механіки. Results and the analysis of modeling of dynamics chaotic and synergetic processes in complicated systems on the basis of spring pendulums by methods of analytical mechanics are described. ru Інститут геотехнічної механіки імені М.С.Полякова НАН України Геотехническая механика Моделирование динамики хаотических и синергетических процессов в сложных системах Modeling of dynamics chaotic and synergetic processes in complicated systems Article published earlier |
| spellingShingle | Моделирование динамики хаотических и синергетических процессов в сложных системах Яланский, А.А. Яланский, Алекс. А. Иконников, Н.А. |
| title | Моделирование динамики хаотических и синергетических процессов в сложных системах |
| title_alt | Modeling of dynamics chaotic and synergetic processes in complicated systems |
| title_full | Моделирование динамики хаотических и синергетических процессов в сложных системах |
| title_fullStr | Моделирование динамики хаотических и синергетических процессов в сложных системах |
| title_full_unstemmed | Моделирование динамики хаотических и синергетических процессов в сложных системах |
| title_short | Моделирование динамики хаотических и синергетических процессов в сложных системах |
| title_sort | моделирование динамики хаотических и синергетических процессов в сложных системах |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/31480 |
| work_keys_str_mv | AT âlanskiiaa modelirovaniedinamikihaotičeskihisinergetičeskihprocessovvsložnyhsistemah AT âlanskiialeksa modelirovaniedinamikihaotičeskihisinergetičeskihprocessovvsložnyhsistemah AT ikonnikovna modelirovaniedinamikihaotičeskihisinergetičeskihprocessovvsložnyhsistemah AT âlanskiiaa modelingofdynamicschaoticandsynergeticprocessesincomplicatedsystems AT âlanskiialeksa modelingofdynamicschaoticandsynergeticprocessesincomplicatedsystems AT ikonnikovna modelingofdynamicschaoticandsynergeticprocessesincomplicatedsystems |