Применение логического распределения для оценки изменчивости и масштабного фактора прочностных характеристик
Показана можливість на основі логістичної функції розподілу міцності гірської породи для одного об’єму прогнозувати функцію розподілу для зразків іншого об’єму. Possibility in the basis of logistical function of distribution of rock's strength for one volume is shown to predict function of dist...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Геотехническая механика |
|---|---|
| Datum: | 2008 |
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут геотехнічної механіки імені М.С.Полякова НАН України
2008
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/31483 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Применение логического распределения для оценки изменчивости и масштабного фактора прочностных характеристик / Б.М. Усаченко, С.И. Скипочка, Г.Т. Рубец, Н.Т. Бобро // Геотехническая механика: Межвед. сб. науч. тр. — Днепропетровск: ИГТМ НАНУ, 2008. — Вип. 78. — С. 190-196. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859693478002294784 |
|---|---|
| author | Усаченко, Б.М. Скипочка, С.И. Рубец, Г.Т. Бобро, Н.Т. |
| author_facet | Усаченко, Б.М. Скипочка, С.И. Рубец, Г.Т. Бобро, Н.Т. |
| citation_txt | Применение логического распределения для оценки изменчивости и масштабного фактора прочностных характеристик / Б.М. Усаченко, С.И. Скипочка, Г.Т. Рубец, Н.Т. Бобро // Геотехническая механика: Межвед. сб. науч. тр. — Днепропетровск: ИГТМ НАНУ, 2008. — Вип. 78. — С. 190-196. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Геотехническая механика |
| description | Показана можливість на основі логістичної функції розподілу міцності гірської породи для одного об’єму прогнозувати функцію розподілу для зразків іншого об’єму.
Possibility in the basis of logistical function of distribution of rock's strength for one volume is shown to predict function of distribution for samples of other volume.
|
| first_indexed | 2025-12-01T00:05:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
190 Выпуск № 78
УДК 519.2:622.011.43
Д-р техн. наук Усаченко Б.М.,
д-р техн. наук Скипочка С.И.,
канд. техн. наук Рубец Г.Т.,
Бобро Н.Т.
(ИГТМ НАН Украины)
ПРИМЕНЕНИЕ ЛОГИСТИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ДЛЯ ОЦЕНКИ ИЗМЕНЧИВОСТИ И МАСШТАБНОГО
ФАКТОРА ПРОЧНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Показана можливість на основі логістичної функції розподілу міцності гірської породи
для одного об’єму прогнозувати функцію розподілу для зразків іншого об’єму
APPLICATION OF LOGISTICAL DISTRIBUTION FOR ESTIMATION
OF VARIABILITY AND THE SCALE FACTOR OF
THE STRENGTH’S CHARACTERISTICS
Possibility in the basis of logistical function of distribution of rock's strength for one volume is
shown to predict function of distribution for samples of other volume
Функция логистического распределения была выведены в 1845 г. Верхюл-
стом в связи с определением количества населения для данной страны в разные
периоды времени [1]. Позже эта функция получила очень широкое распростра-
нение для статистического анализа, высоты, веса, численности растений и жи-
вотных, а также описания различных процессов развития человеческих популя-
ций, бактериальных колоний, железных дорог и т.п. Для этих целей ею иногда
сильно злоупотребляли и делались даже попытки доказать всеобщность «закона
логистического развития»[2].
В биологических испытаниях подопытные животные или бактерии подвер-
гались воздействию доз некоторого яда или вещества. Для различных доз дан-
ного вещества наблюдается определенная вероятность реагирования (смертно-
сти или выживания). Кривую, отображающая зависимость вероятности смерт-
ности от дозы, называли кривой «доза-эффект» [3].
Другим важным источником возникновения логистического распределения
является асимптотическая теория экстремальных значений [1]. Полусумма
крайних значений V = (x1+ xn)/2, называемая еще «центром» или срединным
значением распределения, при увеличении значений n сходится к логистиче-
скому распределению. Здесь x1 и xn - минимальное и максимальное значения
выборки объема n, взятой из симметричного распределения экспоненциального
типа. Поэтому в тех практических ситуациях, когда исследуемая случайная ве-
личина возникает, как средняя крайних значений выборки целесообразно ис-
пользовать логистическую кривую вероятностей.
В работе [4] предлагается применить эту кривую для исследования устало-
стной прочности металлов. Авторы предполагают, что величина напряжения x,
играющего роль дозы, связана с долей образцов F (x) (эффект), выдержавших
испытание при напряжении x логистической функцией
"Геотехническая механика" 191
( ) ( )[ ],
exp1
1
σµ−−+
=
x
xF (1)
где µ - параметр сдвига (расположения); σ - параметр масштаба.
Для плотности распределения f (x) = F′ (x) из (1) получим:
( ) ( )[ ]
( )[ ]{ }2/exp1
/exp
σµσ
σµ
−−+
−−=
x
x
xf . (2)
Это распределение называют еще гиперболическим законом ошибок или за-
коном Sech2x (квадрат гиперболического секанса), так как функцию распреде-
ления F (x) и плотность можно переписать в виде:
( ) ( )
−=
−+=
σ
µ
σσ
µ
2
sec
4
1
;
2
1
2
1 2 x
hxf
x
thxF .
Форма распределения относительно параметра µ очень мало отличается от
функции нормального распределения. При изменении x от -∞ до +∞ функция
(1), так же как и нормальная, изменяется от 0 до 1. Учитывая этот факт и сим-
метричность f (x), предпочтительнее выражение (1) функции нормального рас-
пределения. Логистическое распределение обладает тем же аналитическим
преимуществом, что плотность распределения f (x) и переменная x выражаются
через функцию распределения F (x):
( ) ( ) ( )[ ] ( )
( )
−
+=−=
xF
xF
xxFxFxf
1
ln,1
1 σµ
σ
. (3)
Четыре начальных момента для (2) запишутся как:
υ1 = µ = xmod = xmed ;
2
2
2 3
2 σπµυ += ; µσπµυ 223
3 += , 4
2
2224
4 15
2
2 σπµσπµυ ++= . (4)
При этом дисперсия равна 2
2
2 3
σπµ = , третий центральный момент - µ3 = 0,
четвертый центральный момент - 4
4
4 15
7 σπµ = . Нормированные коэффициенты
асимметрии и эксцесса - 2,4,0
2
2
4
22/3
2
3
1 ====
µ
µβ
µ
µβ
Величина коэффициента эксцесса показывает, что плотность логистическо-
го распределения более островершинная, чем плотность нормального распре-
деления. Логистическое распределение может быть использовано для аппрок-
симации нормированной функции нормального распределения
192 Выпуск № 78
( ) dtetФ
t t
∫
∞−
−
= 2
2
2
1
π
,
в виде:
( )
−+
=
t
tF
3
exp1
1
π
,
и, соответственно, для плотностей:
( ) ( )
−+
−⋅
==
−
t
t
tfet
t
3
exp13
3
exp
,
2
1 2
2
π
ππ
π
ϕ . 5)
Таблицы функции F (t) и f (t) для значений t = 0.00 (0.01) 1.00.(0.05) 3.00
приведены в работе [5]. В этой же работе даны таблицы квантилей t распреде-
ления F (t), т.е. корней решения уравнений.
( ) ( )tFdttfp
t
== ∫
∞−
.
Величина t представляет собой такое значение, при котором функции рас-
пределения F (t) принимает значение p. Для t приведено соответствующее зна-
чение плотности вероятности f (t) . Квантили tp затабулированы для различных
p [5].
Оценку параметров распределения (2) можно проводить методом моментов,
а выборочные характеристики среднего значения
−
x и стандартного отклонения
s
2/12
1
1
,
1
−=⋅=
−
=
−
∑ xxf
n
sxf
n
x ii
m
i
i , (6)
где n - объем выборки; xi - середины интервалов группирования; fi - частоты
попадaния признака в каждый интервал; m - количество интервалов.
Если числовой материал не группируется в интервалы, то в формулах сле-
дует положить fi = 1 и m = n . Для неизвестных параметров имеем:
sx
π
σµ 3
, ==
−
. Кроме этого, оценка параметров может быть осуществлена ме-
тодом наименьших квадратов [2] с использованием значений переменных xi и
"Геотехническая механика" 193
соответствующих им накопленных частот Fi как для группированного мате-
риала, так и негруппированного. Дело в том, что кривую (2) путем преобразо-
ваний можно привести к линейной зависимости относительно неизвестных па-
раметров µ и σ:
σ
µ
σ
−=
−
x
F
F 1
1
ln . (7)
Система нормальных уравнений для (7) будет:
.0
1
1
ln
,0
1
1
ln
1
1
=
−−
−
=
−−
−
∑
∑
=
=
xx
Fi
Fi
x
Fi
Fi
m
i
i
i
m
i
σ
µ
σ
σ
µ
σ
(8)
Решив систему (8), для σ и µ получаем:
∑∑
∑ ∑ ∑
∑ ∑
==
= = =
= =
−
−=
−
⋅−
−
−
=
m
i
m
i
im
i
m
i
m
i
ii
m
i
m
i
ii
Fi
Fi
n
x
n
Fi
Fi
m
x
mFi
Fi
x
m
x
m
x
m
11
1 1 1
1
2
1
2
1
ln
1
;
1
ln
11
1
ln
1
11
σµσ .
В настоящее время имеется много работ и подходов, которые ставят своей
целью учесть влияния структурной неоднородности на процессы деформирова-
ния и разрушения горных пород с помощью вероятностно-статистических ме-
тодов. Одним из важных вопросов в этом направлении является параметриза-
ция совокупностей механических характеристик, т.е. теоретические предполо-
жения о виде закона распределения рассматриваемых случайных величин и его
связь с масштабным фактором [10].
Для прочностных свойств образцов одинакового объема, испытанных в од-
нородных условиях в достаточно большом количестве, мы получаем статисти-
ческое распределение прочности данного материала или функцию вероятности
разрушения материала при данном напряженном состоянии. В зависимости от
материала, характера распределения ориентаций и размеров дефектов, характе-
ристики прочности могут иметь различные вероятностные распределения: нор-
мальное, логарифмически-нормальное, Вейбулла и др. [6].
Нами предпринята попытка на основе логистической функции распределе-
ния прочности горной породы для одного объема испытанных образцов при-
ближенно прогнозировать функцию распределения или среднее значение и
стандартное отклонение прочности для образцов другого объема, отличного от
первого. Такой подход является оправданным с той точки зрения, что сейчас
накоплено большое число массовых определений прочностных свойств для
различных типов пород и эта информация, кроме своего обычного назначения,
194 Выпуск № 78
может быть использована также для оценки масштабного фактора на основе
статистической теории экстремальных значений [7].
Этот подход основывается на таких положениях статистической теории
масштабного фактора [8]:
а) функция вероятности разрушения для любого объема материала при дан-
ном напряженном состоянии представляет собой логистическую кривую;
б) считается, что образец состоит из некоторого числа «первичных» элемен-
тов, кривая распределения прочности которых известна и, которые соединены
последовательным образом.
Образец считается разрушенным тогда, когда разрушается один, самый сла-
бый элемент из всей совокупности. Наглядной интерпретацией такой идеализи-
рованной модели является цепь, состоящая из звеньев. Прочность такой цепи
равна прочности ее наиболее слабого звена.
Со статистической точки зрения мы имеем здесь случай изучения распреде-
ления наименьшей порядковой статистики вариационного ряда при условии,
что исходная совокупность имеет логистическое распределение. Такие вопросы
изучает статистика экстремальных значений, важность применения которой
значительно возрастает в задачах прочности и разрушения материалов [1].
Рассмотрим распределение наименьшей порядковой статистики для функ-
ции (1). Для нормированного распределения F (t) = 1/ (1+e-x) минимальное зна-
чение выборки объема n, имеет распределение:
( ) ( ) σµ /,
1
1
1 −=
+
−= − xt
e
tФ
n
t
(9)
Среднее значение и стандартное отклонение распределения минимальных
значений (9) будет:
µt = Ψ (1) – Ψ (n), ( ) ( ),111 ψψσ += nе (10)
где ψ (n) - логарифмическая производная гамма-функции [9],
( ) ( )
( ) ( ) ;
6
1,
1
6
;1,
1
2
1
1
1
2
2
1
1
0
πψπψ
ψψ
=−=
−=+−=
∑
∑
−
=
−
=
n
k
n
k
k
n
c
k
cn
(11)
где с – постоянная Эйлера, равная 0,577216.
Формулы (10) можно переписать по-другому:
2/1
1
1
2
21
1
1
3
,
1
−=−= ∑∑
−
=
−
=
n
k
t
n
k
t kk
πσµ . (12)
"Геотехническая механика" 195
Для исходной переменной x распределения (1) с учетом (12) получаем:
,tx µσµµ ⋅+= σx = σt · σ. (13)
Эти формулы применимы при небольших значениях n (n<50-100) и пред-
ставляют собой точные результаты. Средние значения и стандартные отклоне-
ния стандартизованных переменных, выраженные в функции n = 1 (1) 50, пред-
ставлены в табл. 1.
При больших n (n > 100-200) можно получить асимптотические результаты
для µt и σt следующим образом. Из [9] для µt получаем:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑
∞
=
−
= −++−
+
−
−−−−=−=
2
1
1 2...1112
1
1ln
1
k
n
k
t knnnn
Ak
n
nc
k
µ , (14)
где ( ) ( ) ( )dxxkxxx
k
Ak −−−−= ∫ 1...21
1 1
0
.
Таблица 1 – Средние значения и стандартные отклонения
n µ t σt n µ t σt
1 0.0000 1.8138 26 -3.8160 1.2977
2 -1.0000 1.5132 27 -3.8544 1.2972
3 -1.5000 1.4282 28 -3.8915 1.2966
4 -1.8333 1.3888 29 -3.9272 1.2961
5 -2.0833 1.3661 30 -3.9616 1.2957
6 -2.2833 1.3514 31 -3.9950 1.2952
7 -2.4500 1.3411 32 -4.0272 1.2949
8 -2.5929 1.3334 33 -4.0585 1.2945
9 -2.7179 1.3276 34 -4.0888 1.2941
10 -2.8290 1.3229 35 -4.1182 1.2938
11 -2.9290 1.3191 36 -4.1468 1.2935
12 -3.0199 1.3159 37 -4.1746 1.2932
13 -3.1032 1.3133 38 -4.2016 1.2929
14 -3.1801 1.3111 39 -4.2279 1.2926
15 -3.2516 1.3091 40 -4.2535 1.2924
16 -3.3182 1.3074 41 -4.2785 1.2921
17 -3.3807 1.3059 42 -4.3029 1.2919
18 -3.4395 1.3046 43 -4.3267 1.2917
19 -3.4951 1.3034 44 -4.3500 1.2915
20 -3.5477 1.3024 45 -4.3727 1.2913
21 -3.5977 1.3014 46 -4.3949 1.2911
22 -3.6454 1.3006 47 -4.4166 1.2909
23 -3.6908 1.2998 48 -4.4380 1.2907
24 -3.7343 1.2990 49 -4.4588 1.2906
25 -3.7760 1.2984 50 -4.4792 1.2904
196 Выпуск № 78
При n → ∞, членами, содержащими n2 в знаменателе (14) суммы, можно
пренебречь, так как при этом допускается ошибка не больше 1/ [12n (n - 1)].
Подобным образом в выражении для σt сумму ∑
−
=
1
1
2
1n
k k
можно заменить через
π
2/6, совершая при этом ошибку не превосходящую 1/(n-1)2.
Окончательно, с учетом сделанных упрощений и приближений, для средне-
го и стандартного отклонения наименьшей порядковой статистики стандарти-
зированной переменной t = (x – µ) / σ получаем:
( ) ( ) 6
,
12
1
1ln
πσµ ≈
−
−−−−= tt n
nc . (15)
Для исходной случайной величины, учитывая (15), эти характеристики бу-
дут:
( ) ( ) .
6
,
12
1
1ln σπσσµµ =
−
+−+−= xx n
nc (16)
Таким образом, в зависимости от величины n при логистическом распреде-
лении прочностных параметров для оценки среднего значения и стандартного
отклонения прочности образцов, объемом в n раз большим, чем исходный,
можно использовать формулы (13) с таблицами или асимптотические формулы
(16).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гумбель Э. Статистика экстремальных значений/Э. Гумбель.- М.: Мир, 1965.- 258 с.
2. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Том 2 / В. Феллер. – М.: Мир, 1967.- 350 с.
3. Ван дер Варден. Математическая статистика / Ван дер Варден. - М.: ИЛ, 1960.- С. 31-37.
4. Soni A.H. Statistical analysis of fatigue limits using the logistic function / A.H. Soni, R.E. Little // Res and
Stand. – 1964. - 4. № 9. – Р.79-87.
5. Оуэн Д.Б. Сборник статистических таблиц/ Д.Б. Оуэн. - М.: Физматгиз, 1966.- 310 с.
6. Глушко В.Т. Статистический метод обработки данных о прочностных свойствах реальных горных пород
/ В.Т. Глушко, Г.Т. Рубец, Н.Т. Бобро // Сб. научных трудов НИГРИ. - Кривой Рог, 1971.- С. 15-21.
7. Рубец Г.Т. Статистический метод оценки масштабного фактора при нормальном распределении прочно-
сти горной породы / Г.Т. Рубец // Механика и разрушение горных пород: сб. науч. тр. ИГТМ АН УССР. – К.:
Наукова думка, 1974. – Вып.2.- С. 8-14.
8. Ломакин В.Д. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел / В.Д. Ломакин. - М.: Нау-
ка, 1970. - 260 с.
9. Градштейн И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Градштейн, И.М. Пыжик. - М.:
Наука, 1971.- 210 с.
10. Писаренко Г.С. Статистичні теорії міцності та їх застосування до металокерамічних матеріалів / Г.С.
Писаренко, В.Т. Трощенко. - К.: Вид-во АН УССР, 1961.- 390 с.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-31483 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1607-4556 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T00:05:47Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут геотехнічної механіки імені М.С.Полякова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Усаченко, Б.М. Скипочка, С.И. Рубец, Г.Т. Бобро, Н.Т. 2012-03-09T13:32:18Z 2012-03-09T13:32:18Z 2008 Применение логического распределения для оценки изменчивости и масштабного фактора прочностных характеристик / Б.М. Усаченко, С.И. Скипочка, Г.Т. Рубец, Н.Т. Бобро // Геотехническая механика: Межвед. сб. науч. тр. — Днепропетровск: ИГТМ НАНУ, 2008. — Вип. 78. — С. 190-196. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1607-4556 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/31483 519.2:622.011.43 Показана можливість на основі логістичної функції розподілу міцності гірської породи для одного об’єму прогнозувати функцію розподілу для зразків іншого об’єму. Possibility in the basis of logistical function of distribution of rock's strength for one volume is shown to predict function of distribution for samples of other volume. ru Інститут геотехнічної механіки імені М.С.Полякова НАН України Геотехническая механика Применение логического распределения для оценки изменчивости и масштабного фактора прочностных характеристик Application of logistical distribution for estimation of variability and the scale factor of the strength’s characteristics Article published earlier |
| spellingShingle | Применение логического распределения для оценки изменчивости и масштабного фактора прочностных характеристик Усаченко, Б.М. Скипочка, С.И. Рубец, Г.Т. Бобро, Н.Т. |
| title | Применение логического распределения для оценки изменчивости и масштабного фактора прочностных характеристик |
| title_alt | Application of logistical distribution for estimation of variability and the scale factor of the strength’s characteristics |
| title_full | Применение логического распределения для оценки изменчивости и масштабного фактора прочностных характеристик |
| title_fullStr | Применение логического распределения для оценки изменчивости и масштабного фактора прочностных характеристик |
| title_full_unstemmed | Применение логического распределения для оценки изменчивости и масштабного фактора прочностных характеристик |
| title_short | Применение логического распределения для оценки изменчивости и масштабного фактора прочностных характеристик |
| title_sort | применение логического распределения для оценки изменчивости и масштабного фактора прочностных характеристик |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/31483 |
| work_keys_str_mv | AT usačenkobm primenenielogičeskogoraspredeleniâdlâocenkiizmenčivostiimasštabnogofaktorapročnostnyhharakteristik AT skipočkasi primenenielogičeskogoraspredeleniâdlâocenkiizmenčivostiimasštabnogofaktorapročnostnyhharakteristik AT rubecgt primenenielogičeskogoraspredeleniâdlâocenkiizmenčivostiimasštabnogofaktorapročnostnyhharakteristik AT bobront primenenielogičeskogoraspredeleniâdlâocenkiizmenčivostiimasštabnogofaktorapročnostnyhharakteristik AT usačenkobm applicationoflogisticaldistributionforestimationofvariabilityandthescalefactorofthestrengthscharacteristics AT skipočkasi applicationoflogisticaldistributionforestimationofvariabilityandthescalefactorofthestrengthscharacteristics AT rubecgt applicationoflogisticaldistributionforestimationofvariabilityandthescalefactorofthestrengthscharacteristics AT bobront applicationoflogisticaldistributionforestimationofvariabilityandthescalefactorofthestrengthscharacteristics |