О разрешимости в замкнутой форме нелокальной задачи для уравнения смешанного типа второго рода
The paper is devoted to the solvability of a nonlocal problem for a fractional differential equation of the mixed type of the second kind.
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3156 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О разрешимости в замкнутой форме нелокальной задачи для уравнения смешанного типа второго рода / Н.А. Вирченко, О.А. Репин // Доп. НАН України. — 2007. — № 10. — С. 15-23. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859834490369605632 |
|---|---|
| author | Вирченко, Н.А. Репин, О.А. |
| author_facet | Вирченко, Н.А. Репин, О.А. |
| citation_txt | О разрешимости в замкнутой форме нелокальной задачи для уравнения смешанного типа второго рода / Н.А. Вирченко, О.А. Репин // Доп. НАН України. — 2007. — № 10. — С. 15-23. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | The paper is devoted to the solvability of a nonlocal problem for a fractional differential equation of the mixed type of the second kind.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:34:19Z |
| format | Article |
| fulltext |
Використовуючи властивостi 1 i 2, якi стосуються рiвнянь (2) i (3), (4) i (5) вiдповiд-
но, а також результати пп. II i III, можна отримати анзаци, редукованi рiвняння i точнi
розв’язки таких рiвнянь:
u00 +
2
3
u−
5
3 u2
1 − u−
2
3 u11 = 0,
u00 − euu2
1 − euu11 = 0.
1. Amines W.F., Lohner R. J. Group properties of utt = [f(u)ux]x // Int. J. Non-Linear Mech. – 1981. – 16,
No 5/6. – P. 439–447.
2. Фущич В. I., Сєров М. I., Репета В.К. Умовна симетрiя, редукцiя i точнi розв’язки нелiнiйного хви-
льового рiвняння // Доп. АН України. – 1991. – № 5. – С. 29–34.
3. Nikitin A.G., Barannyk T.A. Solitary wave and other solutions for nonlinear heat equations // Centr.
Eur. J. Math. – 2004. – 2, No 5. – P. 840–858.
Надiйшло до редакцiї 21.02.2007Нацiональний унiверситет
харчових технологiй, Київ
УДК 517.944
© 2007
Н.А. Вирченко, О. А. Репин
О разрешимости в замкнутой форме нелокальной
задачи для уравнения смешанного типа второго рода
(Представлено академиком НАН Украины И. И. Ляшко)
The paper is devoted to the solvability of a nonlocal problem for a fractional differential equation
of the mixed type of the second kind.
Дробные производные и интегралы имеют много приложений [1], возникли они из потреб-
ностей применений (в теории дифференциальных и интегральных уравнений, в механике,
математической физике, химической физике, гидрологии, теории гравитации и др.).
Использование дробного исчисления в теории дифференциальных уравнений смешан-
ного типа открывает возможности решения и исследования сложных задач аэродинамики,
гидродинамики и др., а также решения новых краевых задач.
1. Уравнение смешанного типа. Рассмотрим уравнение смешанного типа
0 =
{
uxx − Dα
0+,yu, y > 0,
uxx − (−y)muyy, y < 0, 0 < m < 1,
(1)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №10 15
где Dα
0+,y — частная производная Римана–Лиувилля порядка α, 0 < α < 1, от функции
u(x, y) по второй переменной [1, c. 341]:
(Dα
0+,yu)(x, y) =
d
dy
1
Γ(1 − α)
y
∫
0
u(x, t)
(y − t)1−α
dt, 0 < α < 1, y > 0. (2)
Пусть D — область, которая представляет собой объединение верхней полуплоскости
D+ = {(x, y) : − ∞ < x < +∞, y > 0} и области D−, лежащей в нижней полуплоскости
(y < 0), ограниченной характеристиками
AC : x −
2
2 − m
(−y)(2−m)/2 = 0, BC : x +
2
2 − m
(−y)(2−m)/2 = 1
уравнения (1) и отрезком [0, 1] прямой y = 0.
Обозначим через J = (0, 1) единичный интервал прямой y = 0, а через Θ0(x) — аф-
фикс точки пересечения характеристики уравнения (1), выходящей из точки (x, 0) ∈ J ,
с характеристикой AC:
Θ0(x) =
x
2
− i
(
1
1 − 2β
x
2
)1−2β
,
где
β =
m
2(m − 2)
, −
1
2
< β < 0. (3)
Пусть Iα,β,η
0+ — оператор обобщенного дробного интегро-дифференцирования с гипергео-
метрической функцией Гаусса 2F1(a, b; c; z), введенный в [2] и имеющий при действительных
α, β, η и x > 0 вид
(Iα,β,η
0+ f)(x) =
x−α−β
Γ(α)
x
∫
0
(x − t)α−1
2F1
(
α + β,−α; η; 1 −
t
x
)
f(t) dt, α > 0, (4)
(Iα,β,η
0+ f)(x) =
(
d
dx
)n
(Iα+n,β−n,η−n
0+ f)(x), α 6 0, n = [−α] + 1; (5)
в частности
(I0,0,η
0+ f)(x) = f(x). (6)
Заметим, что если α > 0, то справедливы формулы
(Iα,−α,η
0+ f)(x) = (Iα
0+f)(x), (I−α,α,η
0+ f)(x) = (Dα
0+f)(x), (7)
где Iα
0+ и Dα
0+ — операторы дробного интегрирования и дифференцирования Римана–
Лиувилля порядка α > 0 [1].
Для уравнения (1) изучим следующую нелокальную задачу. Найти решение u(x, y) урав-
нения (1) в области D, удовлетворяющее краевым условиям
y1−αu|y=0 = 0, −∞ < x 6 0, 1 6 x < ∞, (8)
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №10
A(Ia,b,β−a−1
0+ u[θ0])(x) + B(Ia+β,b,β−a−1
0+ u(t, 0))(x) = g(x), x ∈ J, (9)
а также условия сопряжения
lim
y→0+0
y1−αu(x, y) = lim
y→0−0
u(x, y), x ∈ J, (10)
lim
y→0+0
y1−α(y1−αu(x, y))y = lim
y→0−0
uy(x, y), x ∈ J. (11)
Здесь g(x) ∈ C1(J)
⋂
C2(J) — заданная функция, α > −β, b > 2β−1, A и B — действитель-
ные числа, удовлетворяющие некоторым дополнительным условиям, которые будут указа-
ны далее.
Будем искать решение u(x, y) поставленной задачи в классе дважды дифференцируемых
функций в области D таких, что
y1−αu(x, y) ∈ C(D+), u(x, y) ∈ C(D−),
y1−α(y1−αu)y ∈ C(D+)
⋃
{(x, y) : 0 < x < 1, y = 0},
uxx ∈ C(D+)
⋃
C(D−), uyy ∈ C(D−).
2. Единственность решения задачи. Пусть существует решение исследуемой задачи.
Введем обозначения
lim
y→0+0
y1−αu(x, y) = τ1(x), lim
y→0−0
u(x, y) = τ2(x),
lim
y→0+0
y1−α(y1−αu(x, y))y = ν1(x), lim
y→0−0
uy(x, y) = ν2(x).
Известно (см., напр., [3, 4]), что решение уравнения (1) в полуплоскости y > 0, удовлет-
воряющее условию (8) и условию
lim
y→0+0
y1−αu(x, y) = τ1(x), x ∈ J,
дается формулой
u(x, y) =
1
∫
0
G(x, y, t)τ1(t) dt, (12)
где
G(x, y, t) =
Γ(α)
2
yα/2−1e
1,α/2
1,α/2(−|x − t|y−α/2),
ep,q
b,c =
∞
∑
k=0
zk
Γ(p + kb)Γ(q − ck)
, b > c.
Также известно (см., напр., [3]), что функциональное соотношение между τ1(x) и ν1(x),
принесенное из параболической части D+ на линию y = 0, имеет вид
ν1(x) =
1
Γ(1 + α)
τ ′′
1 (x). (13)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №10 17
Найдем соотношение между τ2(x) и ν2(x), принесенное на линию y = 0 из гиперболи-
ческой части D− области D.
В полуплоскости y < 0 уравнение (1) в характеристических координатах ξ, ν переходит
в уравнение Эйлера–Дарбу–Пуассона
uξη −
β
η − ξ
(uη − uξ) = 0. (14)
Известно, что обобщенное решение уравнения (14) с начальными данными Коши
u(x, 0) = τ2(x) = Γ(1 − 2β)(I1−2β
0+ T )(x),
lim
y→0−0
uy(x, y) = [2(1 − 2β)]−2β lim
η→ξ
(η − ξ)2β(uξ − uη) = ν2(x)
(15)
имеет вид [5]
u(ξ, η) =
ξ
∫
0
T (t)(η − t)−β(ξ − t)−βdt +
η
∫
ξ
N(t)(η − t)−β(t − ξ)−βdt, (16)
где
N(t) =
1
2 cos πβ
T (t) − χ2ν2(t), χ2 = [2(1 − 2β)]2β−1 Γ(2 − 2β)
Γ2(1 − β)
,
причем функции T (x) и ν2(x) непрерывны в интервале (0, 1) и интегрируемы на отрез-
ке [0, 1], τ(0) обращается в нуль порядка не меньше −2β.
Из (16) определим u[θ0(x)], положив ξ = 0 и η = x:
u[θ0(x)] = k1(I
1−β,2β−1,β−1
0+ T (t))(x) + k2(I
1−β,2β−1,β−1
0+ ν2(t))(x), (17)
где
k1 =
Γ(1 − β)
2 cos πβ
, k2 = −Γ(1 − β)χ2.
Подставляя (17) в (9) и применяя соотношение
Iα,β,η
0+ Iγ,δ,α+η
0+ f(x) = Iα+γ,β+δ,η
0+ f(x), γ > 0 (18)
(см., напр., [1, c. 327]), получаем
A(Ia+1−β,b+2β−1,β−a−1
0+ (k1T (t) + k2ν2(t)))(x) + B(Ia+β,b,β−a−1
0+ u(t, 0))(x) = g(x). (19)
Применяя к обеим частям (19) оператор Iβ−a−1,1−b−2β,0
0+ , используя (18) и (6), имеем
A[k1T (x) + k2ν2(x)] + B(I2β−1,1−2β,β−a−1
0+ τ2(t))(x) = (Iβ−a−1,1−b−2β,0
0+ g(t))(x). (20)
Поскольку на основании (7)
B(I2β−1,1−2β,β−a−1
0+ τ1(t))(x) =
B
Γ(1 − 2β)
(D1−2β
0+ τ2(t))(x),
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №10
то из (20) получаем
T (x) = −
Ak2Γ(1 − 2β)
Ak1Γ(1 − 2β) + B
ν2(x) +
g1(x)
Ak1Γ(1 − 2β) + B
,
где
g1(x) = Γ(1 − 2β)(Iβ−a−1,1−b−2β,0
0+ g(t))(x). (21)
Подставляя (21) в (15), находим
(Ak1Γ(1 − 2β) + B)τ2(x) = −Ak2Γ
2(1 − 2β)(I1−2β
0+ ν2(t))(x) + Φ(x), (22)
где
Φ(x) = Γ(1 − 2β)(I1−2β
0+ g1(t))(x).
Теперь рассмотрим соответствующую однородную задачу (g(x) ≡ 0) и применим ту же,
что и в работах [3, 6], методику.
Оценим интеграл
J1 =
1
∫
0
τ2(x)ν2(x) dx.
Согласно условиям (10) и (11) имеем
J1 =
1
∫
0
τ1(x)ν1(x) dx.
Интегрируя по частям и учитывая, что τ1(0) = τ1(1) = 0, получаем
J1 =
1
Γ(1 + α)
1
∫
0
τ1(x)τ ′′
1 (x) dx = −
1
Γ(1 + α)
1
∫
0
(τ ′′
1 (x))2dx 6 0. (23)
Покажем, что для гиперболической области D− справедливо неравенство J1 > 0.
При g(x) = 0 равенство (22) принимает вид
τ2(x) =
k3
Γ(1 − 2β)
x
∫
0
(x − t)−2βν2(t) dt,
где k3 = −
Ak2
Ak1Γ(1 − 2β) + B
. Тогда
J1 =
k3
Γ(1 − 2β)
1
∫
0
ν2(x) dx
x
∫
0
(x − t)−2βν2(t) dt.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №10 19
Будeм считать, что выполняются следующие условия: A < 0, Ak1Γ(1 − 2β) + B > 0 или
A > 0, Ak1Γ(1 − 2β) + B < 0. При выполнении этих условий k3 < 0.
Воспoльзуемcя теперь следующей формулой для гамма-функции [7, c. 385]:
∞
∫
0
sµ−1 cos ksds =
Γ(µ)
kµ
cos
µπ
2
, k > 0, 0 < µ < 1.
Взяв в ней k = |x − t|, µ = −2β, запишем
|x − t|2β =
1
Γ(−2β) cos πβ
∞
∫
0
s−2β−1 cos(s|x − t|) ds, −
1
2
< β < 0.
После некоторых вычислений находим
J1 =
k3 sin πβ
π
∞
∫
0
s−2β−1
[( 1
∫
0
ν2(x) cos sxdx
)2
+
( 1
∫
0
ν2(x) sin sxdx)2
)]
ds > 0. (24)
Из полученных нами неравенств (23) и (24) вытекает, что J1 = 0 и
1
∫
0
(τ ′
1(x))2dx = 0.
Отсюда, в силу того, что τ1(0) = τ1(1) = 0, получим τ1(x) = 0 для всех x ∈ J . А тогда
u(x, y) ≡ в области D, что и доказывает единственность решения исходной задачи.
3. Существование решения задачи. Учитывая условия (10) и (11), положим τ1(x) =
= τ2(x) = τ(x), ν1(x) = ν2(x) = ν(x). Дифференцируя дважды равенство (22) по x, мы
получаем соотношение
[Ak1Γ(1 − 2β) + B]τ ′′(x) = −Ak2Γ
2(1 − 2β)
d2
dx2
(I1−2β
0+ ν(t))(x) + Φ′′(x)
или
τ ′′(x) = µ1(D
1+2β
0+ ν(t))(x) + µ2Φ
′′(x), (25)
где µ1 = −
Ak2Γ
2(1 − 2β)
Ak1Γ(1 − 2β) + B
, µ2 =
1
Ak1Γ(1 − 2β) + B
.
Принимая во внимание (13), (25) и условия сопряжения (10), (11), приходим к уравнению
дробного порядка
µ1(D
1+2β
0+ ν(t))(x) − Γ(1 + α)ν(x) = −µ2Φ
′′(x). (26)
Известно [1], что общее решение дифференциального уравнения дробного порядка
Dα
0+(x) − λy(x) = h(x), α > 0,
n = −[−α], n − 1 < α 6 n,
(27)
дается формулой
y(x) =
n
∑
k=1
ckx
α−kEα,1+α−k(λxα) +
x
∫
0
(x − t)α−1Eα,α(λ(x − t)α)h(t) dt, (28)
где c1, c2, . . . , cn — произвольные постоянные, Eα,β(z) — функция Миттаг–Леффлера [8, 9].
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №10
Уравнение (26) — это уравнение вида (27) c y(x) = ν(x), α = 1 + 2β, 0 < 1 + 2β < 1,
λ = Γ(1 + α)/µ1, h(x) = −(µ2/µ1)Φ
′′(x). Поэтому общее решение уравнения (26) будет
иметь вид
ν(x) = c1x
2βE1+2β,1+2β
(
Γ(1 + α)
µ1
x1+2β
)
−
−
µ2
µ1
x
∫
0
(x − t)2βE1+2β,1+2β
(
Γ(1 + α)
µ1
(x − t)1+2β
)
Φ′′(t) dt. (29)
Подставим ν(x) в (22) и получим явный вид для τ(x):
(Ak1Γ(1 − 2β) + B)τ(x) =
= −Ak2Γ
2(1 − 2β)c1
(
I1−2β
0+ t2βE1+2β,1+2β
(
Γ(1 + α)
µ1
t1+2β
))
(x) −
−
(
I1−2β
0+
t
∫
0
(t − s)2βE1+2β,1+2β
(
Γ(1+α)
µ1
(t − s)1+2β
)
)
Φ′′(s) ds(x) + Φ(x). (30)
Преобразуем правую часть равенства (30):
(
I1−2β
0+ t2βE1+2β,1+2β
(
Γ(1 + α)
µ1
t1+2β
))
(x) =
=
1
Γ(1 − 2β)
x
∫
0
(x − t)−2βt2β
∞
∑
m=0
(
Γ(1 + α)
µ1
t1+2β
)m
Γ((2β + 1)m + 2β + 1)
dt =
=
∞
∑
m=0
(
Γ(1 + α)
µ1
)m
x1+(1+2β)m
Γ(1 − 2β)Γ((2β + 1)m + 2β + 1)
1
∫
0
z2β+(1+2β)m(1 − z)−2βdz =
=
∞
∑
m=0
x
(
Γ(1 + α)
µ1
x1+2β
)m
Γ(1 − 2β)Γ((2β + 1)m + 2β + 1)
B(1 − 2β, 1 + 2β + (1 + 2β)m) =
= x
∞
∑
m=0
(
Γ(1 + α)
µ1
x1+2β
)m
Γ((1 + 2β)m + 2)
= xE1+2β,2
(
Γ(1 + α)
µ1
x1+2β
)
. (31)
Мы использовали здесь интегральное представление бета-функции [9].
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №10 21
Для преобразования второго слагаемого в (28) применим последовательную формулу
Дирихле [9], осуществим перестановку операций суммировaния и интегрирования (такая
перестановка возможна в силу вышеуказанных условий):
(
I1−2β
0+
t
∫
0
(t − s)2βE1+2β,1+2β
(
Γ(1 + α)
µ1
(t − s)1+2βΦ′′(s) ds
)
)
(x) =
=
1
Γ(1−2β)
x
∫
0
(x−t)−2βdt
t
∫
0
(t−s)2βE1+2β,1+2β
(
Γ(1+α)
µ1
(t−s)1+2β
)
Φ′′(s) ds=
=
1
Γ(1 − 2β)
x
∫
0
Φ′′(s) ds
x
∫
0
(x − t)−2β(t − s)2β
∞
∑
m=0
(
Γ(1+α)
µ1
(t − s)1+2β
)
Γ((1 + 2β)m + 1 + 2β)
dt =
=
∞
∑
m=0
(
Γ(1+α)
µ1
)m
Γ((1 + 2β)m + 2)
x
∫
0
Φ′′(s)(x − s)(1+2β)m+1ds =
=
x
∫
0
(x − s)E1+2β,2
(
Γ(1 + α)
µ1
(x − s)1+2β
)
Φ′′(s) ds. (32)
С учетом равенств (31) и (32) функция τ(x) может быть переписана в виде
(Ak1Γ(1 − 2β) + B)τ(x) = −Ak2Γ
2(1 − β)c1xE1+2β,2
(
Γ(1 + α)
µ1
x1+2β
)
−
−
x
∫
0
(x − t)E1+2β,2
(
Γ(1 + α)
µ1
(x − t)1+2β
)
Φ′′(t) dt + Φ(x), (33)
где c1 — произвольная постоянная.
Соотношения (29) и (33) дают возможность получить в замкнутой форме решение исхо-
дной задачи в областях D+ и D−, проверить выполнение краевых условий (8), (9), условий
сопряжения (10), (11) и принадлежность решения заданному классу функций в области D,
что и доказывает существование решения исходной задачи.
1. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые
их приложения. – Минск: Наука и техника, 1987. – 688 с.
2. Saigo M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric function // Math. Rep.
Kyushu Univ. – 1978. – 11, No 2. – P. 135–143.
3. Килбас А.А., Репин О.А. Аналог задачи Бицадзе–Самарского для уравнения смешанного типа с
дробной производной // Дифференц. уравнения. – 2003. – 39, № 5. – С. 638–644.
4. Геккиева С.Х. Об одном аналоге задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с дробной прои-
зводной // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук. – 2001. – 5, № 2. – С. 18–22.
5. Кароль И.Л. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического ти-
па // Докл. АН СССР. – 1953. – 88, № 2. – С. 197–200.
6. Килбас А.А., Репин О.А. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа с частной произво-
дной Римана-Лиувилля и операторами обобщенного дробного интегрирования в коаевом условии //
Труды Института математики. Минск. – 2004. – 12, № 2. – С. 75–81.
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №10
7. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. – Москва: Изд-во иностр. лит., 1957. –
438 с.
8. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. –
Москва: Наука, 1966. – 672 с.
9. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. – Москва: Наука, 1973. – 296 с.
Поступило в редакцию 16.02.2007НТУ Украины “Киевский
политехнический институт”
Самарский государственный
экономический университет
УДК 512.544
© 2007
Л.А. Курдаченко, I. Я. Субботiн, В.А. Чупордя
Про обмежено артiновi фiнiтарнi модулi
(Представлено членом-кореспондентом НАН України В. П. Моторним)
We consider a following special case of Artinian finitary modules. Let D be a Dedekind domain
and G is a group. The DG-module A is said to be bounded Artinian finitary, if A is Artinian
finitary, and there are the numbers bF (A) = b, bd(A) = d, b,d ∈ N and a finite subset
bσ(A) = τ ⊆ Spec(D) such that lF (A/CA(g)) 6 b, ld(A/CA(g)) 6 d and AssD(A/CA(g)) ⊆
⊆ τ for every element g ∈ G. Here, we study the bounded Artinian finitary modules under
some natural restriction.
Нехай F — поле, G — група i A — FG-модуль. Будемо говорити, що A — фiнiтарний мо-
дуль, або що G — фiнiтарна лiнiйна група, якщо для кожного елемента g ∈ G фактормодуль
A/CA(g) має скiнченну вимiрнiсть над F . Вивчення фiнiтарних лiнiйних груп було першим
кроком на шляху розвитку теорiї нескiнченно вимiрних лiнiйних груп. Зараз теорiя фiнi-
тарних лiнiйних груп розвинута досить добре, накопичено багато цiкавих результатiв (див.,
напр., [1]). Цей iстотний прогрес вказує на можливiсть розширення теорiї фiнiтарних груп
у рiзних напрямках. Беручи до уваги той факт, що артiновi та нетеровi модулi над кiльцями
є природними узагальненнями векторних просторiв скiнченної вимiрностi, Б. Верфрiц [2]
ввiв до розгляду таке узагальнення фiнiтарних груп i фiнiтарних модулiв, як скiнченно фiнi-
тарнi групи. Нехай R — кiльце, G — група, A — RG-модуль. Група G називається скiнченно
фiнiтарною, якщо для кожного елемента g ∈ G фактормодуль A/CA(g) є скiнченним.
Важливим типом скiнченно фiнiтарних модулiв є мiнiмально нескiнченнi модулi, тобто
модулi кожний власний фактормодуль яких є скiнченним. Цi модулi, детально розглядалися
в книзi [3, гл. 6–8].
У роботi [4] Б. Верфрiц ввiв артiново-фiнiтарнi та нетерово-фiнiтарнi групи. Група G
називається артiново-фiнiтарною (вiдповiдно, нетерово-фiнiтарною), якщо для кожного еле-
мента g ∈ G фактормодуль A/CA(g) є артiновим (вiдповiдно, нетеровим) R-модулем. У сво-
їх роботах [2, 4] Б. Верфрiц розглядає перший природний випадок, коли R = Z — кiльце
цiлих чисел.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №10 23
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-3156 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:34:19Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Вирченко, Н.А. Репин, О.А. 2009-07-02T08:13:04Z 2009-07-02T08:13:04Z 2007 О разрешимости в замкнутой форме нелокальной задачи для уравнения смешанного типа второго рода / Н.А. Вирченко, О.А. Репин // Доп. НАН України. — 2007. — № 10. — С. 15-23. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3156 517.944 The paper is devoted to the solvability of a nonlocal problem for a fractional differential equation of the mixed type of the second kind. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика О разрешимости в замкнутой форме нелокальной задачи для уравнения смешанного типа второго рода Article published earlier |
| spellingShingle | О разрешимости в замкнутой форме нелокальной задачи для уравнения смешанного типа второго рода Вирченко, Н.А. Репин, О.А. Математика |
| title | О разрешимости в замкнутой форме нелокальной задачи для уравнения смешанного типа второго рода |
| title_full | О разрешимости в замкнутой форме нелокальной задачи для уравнения смешанного типа второго рода |
| title_fullStr | О разрешимости в замкнутой форме нелокальной задачи для уравнения смешанного типа второго рода |
| title_full_unstemmed | О разрешимости в замкнутой форме нелокальной задачи для уравнения смешанного типа второго рода |
| title_short | О разрешимости в замкнутой форме нелокальной задачи для уравнения смешанного типа второго рода |
| title_sort | о разрешимости в замкнутой форме нелокальной задачи для уравнения смешанного типа второго рода |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3156 |
| work_keys_str_mv | AT virčenkona orazrešimostivzamknutoiformenelokalʹnoizadačidlâuravneniâsmešannogotipavtorogoroda AT repinoa orazrešimostivzamknutoiformenelokalʹnoizadačidlâuravneniâsmešannogotipavtorogoroda |