Лагранжово-ейлеровий підхід до розв'язання оберненої задачі конвективної дифузії
We apply the variational strategy of solving inverse problems to identify the power of point sources of contamination in ground water basing on the data observed in control wells. To solve the initial-boundary problem, we use the Lagrangian - Eulerian approach to finite-difference schemes approximat...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3160 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Лагранжово-ейлеровий підхід до розв'язання оберненої задачі конвективної дифузії / С.І. Ляшко, Д.А. Клюшин, В.В. Семенов, К.В. Шевченко // Доп. НАН України. — 2007. — № 10. — С. 38-43. — Бібліогр.: 12 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859836087117021184 |
|---|---|
| author | Ляшко, С.І. Клюшин, Д.А. Семенов, В.В. Шевченко, К.В. |
| author_facet | Ляшко, С.І. Клюшин, Д.А. Семенов, В.В. Шевченко, К.В. |
| citation_txt | Лагранжово-ейлеровий підхід до розв'язання оберненої задачі конвективної дифузії / С.І. Ляшко, Д.А. Клюшин, В.В. Семенов, К.В. Шевченко // Доп. НАН України. — 2007. — № 10. — С. 38-43. — Бібліогр.: 12 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | We apply the variational strategy of solving inverse problems to identify the power of point sources of contamination in ground water basing on the data observed in control wells. To solve the initial-boundary problem, we use the Lagrangian - Eulerian approach to finite-difference schemes approximating the convection-diffusion equation. Our investigation has shown the effectiveness of the joint variational and Lagrangian - Eulerian approach to solving the inverse problems of identification of point sources of contamination in ground water.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:35:29Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
10 • 2007
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
УДК 517.977
© 2007
Член-кореспондент НАН України С. I. Ляшко, Д. А. Клюшин,
В.В. Семенов, К.В. Шевченко
Лагранжово-ейлеровий пiдхiд до розв’язання оберненої
задачi конвективної дифузiї
We apply the variational strategy of solving inverse problems to identify the power of point
sources of contamination in ground water basing on the data observed in control wells. To
solve the initial-boundary problem, we use the Lagrangian–Eulerian approach to finite-difference
schemes approximating the convection-diffusion equation. Our investigation has shown the
effectiveness of the joint variational and Lagrangian–Eulerian approach to solving the inverse
problems of identification of point sources of contamination in ground water.
1. У параболiчних задачах вiдновлення параметрiв джерел забруднення пiдземних вод, як
i в багатьох прикладних задачах iнших галузей, виникає ряд проблем, пов’язаних з тим,
що в правих частинах рiвняння стану системи мiстяться сингулярнi узагальненi функцiї
(iмпульсне, точкове, рухоме керування тощо). На перший план виходить проблема стiй-
кого розв’язання прямої та оберненої крайових задач конвективної дифузiї. Застосування
чисельних методiв для розв’язування таких задач дозволяє найбiльш повно наблизити мо-
дельнi математичнi уявлення до реальних природних умов. Але чисельнi методи розв’язу-
вання обернених задач повиннi базуватися на добре розробленiй теорiї наближених методiв
розв’язання прямих задач. В роботi А.А. Самарського [1] дослiджена загальна стратегiя
розв’язування задач iдентифiкацiї джерел для параболiчного рiвняння з використанням
варiацiйного формулювання оберненої задачi. Для згаданої вище задачi можна використо-
вувати i бiльш простi обчислювальнi алгоритми, основанi, наприклад, на прямiй реалiзацiї
методу Гальоркiна — лiнiйної суперпозицiї розв’язкiв вiд пробних точкових джерел. Досить
грунтовний огляд лiтератури вiдносно застосування чисельних методiв оптимiзацiї градi-
єнтного типу для розв’язання обернених задач наведено в роботi С. I. Кабанiхiна [2]. В ро-
ботах С. I. Ляшка [3, 4] дослiджено застосування методу Гальоркiна для багатьох систем
математичної фiзики.
Найчастiше при розв’язуваннi рiвнянь геомiграцiї застосовується метод скiнченних рiз-
ниць та метод скiнченних елементiв, загальнi положення яких описанi, наприклад, у Л. Лук-
нера, В.М. Шестакова [5], Л.Ф. Конiкова [6]. Але зробити достовiрнi розрахунки за стан-
дартними рiзницевими схемами, що апроксимують рiвняння переносу, можна лише при ви-
конаннi жорстких обмежень на кроки просторової та часової сiток. При порушеннi цих умов
38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №10
в чисельному розв’язку спостерiгаються характернi похибки двох видiв: або фронт концен-
трацiї занадто згладжений, або в ньому присутнi нефiзичнi пилоподiбнi осциляцiї. Внаслiдок
специфiки реальних задач (як правило, великi лiнiйнi розмiри областi, що дослiджується;
необхiднiсть проведення багатоварiантних прогнозних розрахункiв на довгостроковi перiо-
ди часу) застосування стандартних скiнченно-рiзницевих апроксимацiй рiвняння переносу
значно знижує ефективнiсть чисельного моделювання. Перевага лагранжово-ейлерового ме-
тоду полягає у тому, що вiн дає найкращi результати при значеннях числа Куранта бiльших
або рiвних одиницi, що дозволяє збiльшити розрахунковий крок за часом на 1–2 порядки
порiвняно з традицiйними скiнченно-рiзницевими методами [7]. Ще одна перевага полягає
в тому, що запропонований метод приводить до систем рiзницевих рiвнянь з симетричними
матрицями, що дозволяє бiльш ефективно розв’язувати вiдповiднi системи алгебраїчних
рiвнянь та значно понижує вимоги до оперативної пам’ятi комп’ютера. Тому далi викори-
стовується модифiкований метод характеристик — один з варiантiв ефективного лагранжо-
во-ейлерового чисельного методу розв’язання рiвняння переносу, спочатку запропонованого
Д. Дугласом i Т. Расселом [7], а також В.Ф. Демченком [8]. Аналiз точностi лiнiйних схем
чисельного методу наведено в роботi С. I. Ляшка, Д.А. Клюшина, А.С. Тригуба [10].
2. Постановка задачi. В обмеженiй областi G = (0, T )×Ω, Ω ∈ R
2, шукаємо розв’язок
параболiчного рiвняння:
Lu ≡
∂u
∂t
+Au =
p∑
i=1
Qi(t)δ(x − ri), x ∈ Ω, 0 < t 6 T (1)
u|(0,T )×∂Ω = 0, u|t=0 = 0, (2)
де
Au ≡
2∑
α=1
vα(x)
∂u
∂xα
−
2∑
α=1
∂
∂xα
Dα(x)
∂u
∂xα
,
u(x, t) — концентрацiя забруднення в грунтових водах; Dα(x) — коефiцiєнти дифузiї; vα(t) —
компоненти вектора швидкостi; Qi(t) — вектор невiдомих значень потужностей точкових
джерел та δ(x − ri) — δ-функцiя Дiрака, зосереджена в точцi ri ∈ Ω.
Точки rβ визначають розташування джерел з невiдомими потужностями qβ(t). Додатко-
ва iнформацiя φm(t) iнтерпретується як усереднення вимiрювань u(x, t) в околi ωm деяких
окремих точок zm ∈ Ω, m = 1,M . Треба визначити qβ(t), β = 1, p, що мiнiмiзують стандар-
тне квадратичне вiдхилення u(zm, t) вiд ϕm(t).
Використання варiацiйного формулювання оберненої задачi (див. [1]), дозволяє пере-
йти до задачi оптимального керування. Вважатимемо, що оптимальне керування належить
гiльбертовому простору (L2(0, T ))p, в якому скалярний добуток визначається виразом
〈X,Y 〉 =
p∑
β=1
T∫
0
xβ(t)yβ(t) dt.
Згладжуючий функцiонал доцiльно взяти у виглядi
Jα(Q) =
M∑
m=1
T∫
0
(
ϕm(t) −
∫
Ω
gm(x)u(t, x)dx
)2
dt+ α‖Q‖2, (3)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №10 39
де Q(t) = (Q1(t), . . . , Qp(t))
T — вектор керування; gm(x) = χωm
/diamωm — ядро усеред-
нення по областi ωm; χωm
— iндикаторна функцiя та α > 0 — параметр регуляризацiї,
що узгоджується з похибкою вимiрiв. Оптимальне керування Q∗(t) = (Q∗
1(t), . . . , Q
∗
p(t))
T
визначається з умови мiнiмуму функцiоналу, а саме:
Jα(Q∗) = min
Q∈(L2(0,T ))p
Jα(Q). (4)
3. Iснування розв’язку граничної задачi. Нехай H — поповнення простору гладких
функцiй, що задовольняють умови (2) за нормою:
‖u‖2
H =
∫
G
(
u2
t +
n∑
i=1
u2
xi
+
n∑
i,j=1
u2
xixj
)
dG, (5)
та нехай H+ — аналогiчний простiр, що мiстить гладкi функцiї, якi задовольняють граничнi
та початковi умови спряженої задачi. Розширимо оператор L на H за неперервнiстю. Маємо
таке операторне рiвняння:
Lu = f. (6)
Застосовуючи методологiю, описану в [4], отримаємо результати.
Теорема 1. Для будь-якого елемента f ∈ (H+)∗ iснує єдиний слабкий розв’язок зада-
чi (6) в розумiннi
(u,L∗v)L2(G) = 〈f, v〉+, ∀v ∈ H+, u ∈ L2(G).
Теорема 2. Нехай стан системи визначається як слабкий розв’язок задачi (6), з f =
=
p∑
i=1
Qi(t)δ(x − ri) та множина U∂ ⊂ (L2(0, T ))p замкнена i опукла. Тодi iснує єдиний
розв’язок задачi оптимального керування Jα(Q) → min
Q⊂Ug
.
4. Алгоритм. Продиференцiюємо функцiонал (3) та одержимо
J ′
α(Q) = Ψ(t) + 2αQ(t), (7)
де Ψ(t) = (ψ(t, r1), . . . , ψ(t, rp)) — вектор значень розв’язку спряженої задачi у вiдповiдних
точках.
Рiвняння Ейлера для квадратичного функцiоналу
Ψ(t) + 2αQ(t) = 0. (8)
Загальна схема алгоритму, що повторюється, складається з трьох стадiй: розв’язання прямої
задачi, розв’язання спряженої задачi, знаходження нового наближення для оптимального
керування.
1. Розв’язання прямої задачi
∂u(k)
∂t
+Au(k) = f (k), 0 < t 6 T, (9)
u(k)(0) = g(x), (10)
де f (k) =
p∑
i=1
δ(x − ri)Qi
(k)(t).
40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №10
2. Розв’язання спряженої задачi
−
∂ψ(k)
∂t
+A∗ψ(k) = 2
M∑
m=1
{
gm
(∫
Ω
gmu
(k)dx− ϕm
)}
; 0 6 t < T, (11)
ψ(k)(T ) = 0. (12)
3. Знаходження нового наближення для оптимального керування.
Q(k+1) −Q(k)
τk+1
+ Ψ(k) + 2αQ(k) = 0, k = 0, 1, . . . . (13)
Одним iз найбiльш ефективних методiв розв’язання рiвняння конвекцiї — дифузiї є ла-
гранжово-ейлеровий пiдхiд (див. [7, 8]). Запишемо рiвняння (9) в лагранжовiй формi:
∂u
∂τ
= Au+ f, (14)
де ∂/∂τ — субстанцiйна похiдна
∂
∂τ
=
∂u
∂t
+ c1
∂
∂x1
+ c2
∂
∂x2
.
Для розв’язання отриманих систем лiнiйних алгебраїчних рiвнянь застосовувалась iтера-
цiйна процедура ORTHOMIN, розроблена Вiнсамом [11]:
AnU (n,s+1) = ϕ(U (n,s)), (15)
де A — п’ятидiагональна матриця
r̃ = ϕ−AU0, r0 = (L̃DŨ)−1r̃, p0 = r0,
z0 = (L̃DŨ)−1Ar0, α(s) =
(r(s), z(s))
(z(s), z(s))
,
U (n,s+1) = U (n,s) + α(s)p(s), r(s+1) = r(s) − α(s)z(s),
t(s+1) = (L̃DŨ)−1Az(s+1), β(s) = −
(t(s+1), z(s))
(z(s), z(s))
,
p(s+1) = r(s+1) + β(s)p(s), z(s+1) = t(s+1) + β(s)z(s).
Тут s — номер iтерацiї; y0 — початкове наближення; L̃ та Ũ — компоненти неповного роз-
кладу Холецького матрицi A: L̃−1Ũ−1 ≈ E.
Можливостi розглянутого алгоритму дослiджувалися на чисельному розв’язку модель-
них обернених задач з двома джерелами та шiстьма пунктами спостереження. Розрахунки
проводилися при таких параметрах моделi:
Lx = Ly = 100, N1 = 50, N2 = 20,
K1 = K2 = 50, α = 0,
τ = 0,1, T = 50.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №10 41
Початкове наближення для джерел обране нульовим. Дослiдження проводилися при
таких функцiях джерел:
1) q1(t) =
t
10
, q2(t) =
t
20
(рис. 2, 3);
2) q1(t) = sin
(
t
5
)
, q2(t) = sin
(
t
7
)
(рис. 4, 5).
Результати чисельного моделювання iлюструють дуже високу точнiсть обчислень [12],
що гарантується запропонованим алгоритмом. Точнi та наближенi розв’язки майже збiга-
ються, за виключенням випадку, коли t → T . Крiм того, значення функцiоналу (3) дуже
швидко спадає вже пiсля 2–3 перших крокiв (див. табл. 1, 2), i надалi значення залишається
майже постiйним та досить малим. Це є свiдченням високої швидкостi збiжностi запропо-
нованого методу.
5. Таким чином, в данiй роботi доведено ефективнiсть застосування об’єднаного варi-
ацiйного та лагранжово-ейлерового методу для розв’язання обернених задач iдентифiкацiї
джерел забруднення в грунтових водах. Цей метод характеризується високою швидкiстю
збiжностi на перших iтерацiях, простим та зручним у практичному використаннi, досить
точним (крiм випадку t → T ). Тобто подальшi дослiдження повиннi бути зосередженi на
здоланнi цього недолiку.
Таблиця 1. (q1(t) = t/10, q2(t) = t/20)
Номер
iтерацiї
Значення функцiоналу
при S = 2,6
(S — параметр регуляризацiї)
Значення функцiоналу
при S = 1,5 (1, 2, 3 — iтерацiї);
S = 2,6 (наступнi iтерацiї)
Значення
функцiоналу
при S = 1,5
1 167 167 167
2 95,8 1,02 1,02
3 55,2 0,696 0,696
10 1,19 0,0369 0,122
20 0,00513 0,000459 0,0108
30 0,0000271 0,00000831 0,000965
40 0,00000126 0,00000128 0,000089
50 0,000000494 0,000000546 0,0000102
Таблиця 2. (q1(t) = sin(t/5), q2(t) = sin(t/7))
Номер
iтерацiї
Значення функцiоналу
при S = 2,6
(S — параметр регуляризацiї)
Значення функцiоналу
при S = 1,5 (1, 2, 3 — iтерацiї);
S = 2,6 (наступнi iтерацiї)
Значення
функцiоналу
при S = 1,5
1 10 10 10
2 6,83 0,592 0,592
3 4,66 0,463 0,463
10 0,323 0,0187 0,0852
20 0,00727 0,000215 0,00765
30 0,000170 0,00000849 0,000710
40 0,00000543 0,00000212 0,0000763
50 0,00000747 0,00000775 0,0000131
42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №10
1. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Разностные методы решения задач идентификации источника для
параболических задач // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислит. математика и кибернетика. – 1995. –
№ 1. – С. 47–56.
2. Kabanikhin S. I. Numerical analysis of inverse problems // J. of Inverse Ill-posed Probl. – 1995. – 3, No 4. –
P. 278–304.
3. Ляшко С.И. Обобщенное управление линейными системами. – Киев: Наук. думка, 1998. – 471 с.
4. Lyashko S. I. Generalized optimal control of linear systems with distributed parameters. – Dordrecht:
Kluwer, 2002. – 466 с.
5. Лукнер Л., Шестаков В.М. Моделирование миграции подземных вод. – Москва: Недра, 1986. – 208 с.
6. Konikov L. F., Mercer J.W. Groundwater flow and transport modeling // J. Hydrol. – 1988. – 100. –
P. 379–409.
7. Douglas J. Jr., Russel T. F. Numerical methods for convection dominated diffussion problems based on
combining the method of characteristics with element or finite difference procedures // SIAM J. Numer.
Anal. – 1982. – 19, No 5. – P. 871–885.
8. Демченко В.Ф. Разностные схемы для уравнений конвективной диффузии // Тр. Междунар. сов.
“Моделирование в ядерной энергетике”. – Варна, 1982. – Ч. 1. – С. 24–29.
9. Baptista A.M., Eric Adams E., Stolzenbach K.D. Accuracy analysis of the backwards method of characteri-
stics // Proc. of the 6-th Conf. On Finite Elements in Water Resour. (Lisbon, Portugal, June 1986). – Berlin:
Springer, 1986. – P. 477–488.
10. Ляшко С.И., Клюшин Д.А., Тригуб А.С. Моделирование и оптимизация подземного массоперено-
са. – Киев: Наук. думка, 1998. – 471 с.
11. Vinsome P.K.W. Orthomin, an iterative method for solving sparse sets of simultaneous linear
equations // Proc. 4th. Symp. on Reservoir Engineering, SPE of AIME. – Los Angeles, 1976. –
P. 150–159.
12. Lyashko S. I., Klyushin D.A., Semenov V.V., Shevchenko K.V. Identification of point contamination
source in ground water, modelling of evolving systems in ecology and economics // Internat. J. of Ecology
and Development. – 2006. – 5, № F06, FALL. – P. 36–43.
Надiйшло до редакцiї 01.03.2007Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №10 43
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-3160 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:35:29Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ляшко, С.І. Клюшин, Д.А. Семенов, В.В. Шевченко, К.В. 2009-07-02T08:20:37Z 2009-07-02T08:20:37Z 2007 Лагранжово-ейлеровий підхід до розв'язання оберненої задачі конвективної дифузії / С.І. Ляшко, Д.А. Клюшин, В.В. Семенов, К.В. Шевченко // Доп. НАН України. — 2007. — № 10. — С. 38-43. — Бібліогр.: 12 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3160 517.977 We apply the variational strategy of solving inverse problems to identify the power of point sources of contamination in ground water basing on the data observed in control wells. To solve the initial-boundary problem, we use the Lagrangian - Eulerian approach to finite-difference schemes approximating the convection-diffusion equation. Our investigation has shown the effectiveness of the joint variational and Lagrangian - Eulerian approach to solving the inverse problems of identification of point sources of contamination in ground water. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Інформатика та кібернетика Лагранжово-ейлеровий підхід до розв'язання оберненої задачі конвективної дифузії Article published earlier |
| spellingShingle | Лагранжово-ейлеровий підхід до розв'язання оберненої задачі конвективної дифузії Ляшко, С.І. Клюшин, Д.А. Семенов, В.В. Шевченко, К.В. Інформатика та кібернетика |
| title | Лагранжово-ейлеровий підхід до розв'язання оберненої задачі конвективної дифузії |
| title_full | Лагранжово-ейлеровий підхід до розв'язання оберненої задачі конвективної дифузії |
| title_fullStr | Лагранжово-ейлеровий підхід до розв'язання оберненої задачі конвективної дифузії |
| title_full_unstemmed | Лагранжово-ейлеровий підхід до розв'язання оберненої задачі конвективної дифузії |
| title_short | Лагранжово-ейлеровий підхід до розв'язання оберненої задачі конвективної дифузії |
| title_sort | лагранжово-ейлеровий підхід до розв'язання оберненої задачі конвективної дифузії |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3160 |
| work_keys_str_mv | AT lâškosí lagranžovoeileroviipídhíddorozvâzannâobernenoízadačíkonvektivnoídifuzíí AT klûšinda lagranžovoeileroviipídhíddorozvâzannâobernenoízadačíkonvektivnoídifuzíí AT semenovvv lagranžovoeileroviipídhíddorozvâzannâobernenoízadačíkonvektivnoídifuzíí AT ševčenkokv lagranžovoeileroviipídhíddorozvâzannâobernenoízadačíkonvektivnoídifuzíí |