Термопружний стан шаруватих термочутливих тіл обертання за квадратичної залежності коефіцієнтів теплопровідності
Викладено аналітично-числову методику розв’язування одновимірних статичних задач термопружності для шаруватих циліндрів і куль, що знаходяться під дією поверхневих навантажень, за різних способів нагріву з урахуванням квадратичної залежності коефіцієнтів теплопровідності та довільної інших фізико-ме...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
|---|---|
| Datum: | 2010 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
2010
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/31737 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Термопружний стан шаруватих термочутливих тіл обертання за квадратичної залежності коефіцієнтів теплопровідності / Р.М. Кушнір, Ю.Б. Процюк // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2010. — Т. 46, № 1. — С. 7-18. — Бібліогр.: 17 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860238034987909120 |
|---|---|
| author | Кушнір, Р.М. Процюк, Ю.Б. |
| author_facet | Кушнір, Р.М. Процюк, Ю.Б. |
| citation_txt | Термопружний стан шаруватих термочутливих тіл обертання за квадратичної залежності коефіцієнтів теплопровідності / Р.М. Кушнір, Ю.Б. Процюк // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2010. — Т. 46, № 1. — С. 7-18. — Бібліогр.: 17 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| description | Викладено аналітично-числову методику розв’язування одновимірних статичних задач термопружності для шаруватих циліндрів і куль, що знаходяться під дією поверхневих навантажень, за різних способів нагріву з урахуванням квадратичної залежності коефіцієнтів теплопровідності та довільної інших фізико-механічних характеристик від температури. Задачі теплопровідності з використанням побудованих точних розв’язків спеціальних задач зведено, незалежно від кількості шарів, до розв’язування одного або системи двох нелінійних алгебричних рівнянь. Розв’язки задач термопружності отримано шляхом апроксимації неперервних у межах кожного шару коефіцієнтів рівнянь кусково-сталими функціями з подальшим використанням функцій Гріна задач статики для багатошарових циліндрів і куль. Числово проаналізовано температурні поля і термопружний стан у двошарових тілах, зовнішня поверхня яких нагрівається шляхом конвективно-променевого теплообміну, а внутрішня підтримується при сталій температурі.
Предложена аналитико-численная методика решения одномерных статических задач термоупругости для слоистых цилиндра и шара, которые находятся под действием поверхностных нагружений, при разных способах нагрева с учетом квадратичной зависимости коэффициентов теплопроводности и произвольного характера зависимости остальных физико-механических характеристик от температуры. Задачи теплопроводности с использованием построенных точных решений специальных задач сведены, независимо от количества слоев, к решению одного или систем двух нелинейных алгебраических уравнений. Решения задач термопругости получено путем аппроксимации непрерывных в пределах каждого слоя коэффициентов уравнений кусочно-постоянными функциями с последующим использованием функций Грина задач статики для многослойных цилиндра и шара. Численно проанализированы температурные поля и термоупругое состояние двухслойных тел, через внешнюю поверхность которых осуществляется конвективно-лучистый теплообмен, а внутренняя поддерживается при постоянной температуре.
Analytical-numerical method of solving one-dimensional static problems for layered body of revolution (shallow cylinder and sphere) is proposed. They are subjected to the influence of surface loads with different ways of heating. The method takes into account the quadratic dependence of heat conductivity coefficients and arbitrary dependence of other physical and mechanical characteristics on a temperature. Heat conduction problems were reduced to the system of two nonlinear algebraic equations regardless of the number of layers by utilizing exact solutions of the corresponding problems with special boundary conditions. To obtain solutions of thermoelasticity problems, equations coefficients continouos within every layer are approximated by piecewise constant functions and then Green’s functions for static problems for a cylinder and a sphere are used. The numerical analysis of temperatures and thermal stresses in two-layered bodies with convective-radiation heat exchange on the outer surface and a constant temperature on the inner one is carried out.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:26:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2010. – ¹ 1. – Physicochemical Mechanics of Materials
УДК 539.3
ТЕРМОПРУЖНИЙ СТАН ШАРУВАТИХ ТЕРМОЧУТЛИВИХ ТІЛ
ОБЕРТАННЯ ЗА КВАДРАТИЧНОЇ ЗАЛЕЖНОСТІ КОЕФІЦІЄНТІВ
ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ
Р. М. КУШНІР, Ю. Б. ПРОЦЮК
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів
Викладено аналітично-числову методику розв’язування одновимірних статичних за-
дач термопружності для шаруватих циліндрів і куль, що знаходяться під дією повер-
хневих навантажень, за різних способів нагріву з урахуванням квадратичної залеж-
ності коефіцієнтів теплопровідності та довільної інших фізико-механічних характе-
ристик від температури. Задачі теплопровідності з використанням побудованих точ-
них розв’язків спеціальних задач зведено, незалежно від кількості шарів, до розв’я-
зування одного або системи двох нелінійних алгебричних рівнянь. Розв’язки задач
термопружності отримано шляхом апроксимації неперервних у межах кожного ша-
ру коефіцієнтів рівнянь кусково-сталими функціями з подальшим використанням
функцій Гріна задач статики для багатошарових циліндрів і куль. Числово проаналі-
зовано температурні поля і термопружний стан у двошарових тілах, зовнішня повер-
хня яких нагрівається шляхом конвективно-променевого теплообміну, а внутрішня
підтримується при сталій температурі.
Ключові слова: шаруваті циліндр і куля, різні способи нагрівання, температуроза-
лежність характеристик, статичні температурні напруження.
Розв’язанню незв’язаних задач термопружності, в тому числі і з ураху-
ванням термочутливості (залежності фізико-механічних характеристик
(ФМХ) від температури) передує, як відомо, побудова розв’язку відповідних
задач теплопровідності. Під час розв’язування таких нелінійних задач тепло-
провідності [1–7] часто використовують підстановку Кірхгофа, причому для
коефіцієнтів теплопровідності найпоширеніша лінійна залежність від темпе-
ратури. Однак для багатьох матеріалів необхідно враховувати складнішу,
зокрема квадратичну, залежність коефіцієнтів теплопровідності [6, 8, 9 ]. Для
побудови розв’язків задач термопружності термочутливих тіл застосовують,
як і до задач термопружності для тіл із залежними від координати ФМХ, ме-
тоди послідовних наближень, збурень тощо [4, 5, 7, 10, 11].
Нижче, використовуючи відомий підхід [12], виклали аналітично-числову
методику розв’язування одновимірних статичних задач термопружності для
шаруватих тіл обертання (циліндрів або куль), що знаходяться під дією по-
верхневих навантажень, за різних способів нагріву з урахуванням квадратич-
ної залежності коефіцієнтів теплопровідності та довільної інших ФМХ від
температури. Задачі теплопровідності, використовуючи побудовані за допомо-
гою підстановки Кірхгофа і узагальнених функцій точні розв’язки відповідних
рівнянь за спеціальних крайових умов, звели, незалежно від кількості шарів,
до розв’язування одного або системи двох нелінійних алгебричних рівнянь. У
задачах термопружності неперервні в межах кожного шару коефіцієнти рів-
нянь апроксимовано кусково-сталими функціями. Розв’язок задач знайдено
Контактна особа: Р. М. КУШНІР, e-mail: kushnir@iapmm.Lviv.ua
7
за допомогою функцій Гріна задач статики для багатошарових циліндрів і
куль. Числово проаналізовано температурні поля і термопружний стан у дво-
шарових тілах, зовнішня поверхня яких нагрівається шляхом конвективно-про-
меневого теплообміну, а внутрішня підтримується при сталій температурі.
Формулювання задач теплопровідності та їх розв’язування. Розгля-
немо термочутливе ізотропне порожнисте багатошарове тіло обертання (куля
або необмежений циліндр) з відповідними концентрично розташованими
складниками, що ідеально контактують. Кожна з обмежувальних поверхонь
такого тіла може підтримуватися при заданій температурі, нагріватися тепло-
вим потоком або шляхом конвективного чи конвективно-променевого тепло-
обмінів. Вважаємо, що коефіцієнти теплопровідності матеріалу шарів квадра-
тично залежать від температури:
, (1) ( ) ( )( ) 2
0 0( ) ( ) (1 )i ii
t i it t tλ = λ Λ = λ + β + µit
де ,( )
0 , , consti
i iλ β µ = 1,i = n ; n – кількість складників. Обмежень на характер
залежностей інших ФМХ не накладаємо. Для знаходження одновимірного
стаціонарного температурного поля використовуємо систему рівнянь
( ) ( ) 0k i ik
t ik
dtd r t
dr dr
⎡ λ⎢⎣ ⎦
⎤ =⎥ , (2)
умови контакту на поверхнях поділу
1, 0
j
j k jk r r
t t+ =
⎡ ⎤− =⎣ ⎦ ,
1,( 1) ( )
1,( ) ( ) 0=⎥
j
j k jkj j
t j k t jk
r r
dt dt
t t
dr dr
++
+
=
⎡ ⎤
λ − λ⎢
⎣ ⎦
( 1, 1j n= − ) (3)
і крайові умови
0
1
1 1 1 1( ) ( ) 0k
k k
r r
dt
a t lb t
dr =
⎡ ⎤+ =⎢ ⎥⎣ ⎦
, ( ) ( ) 0
n
nk
n nk n nk
r r
dt
a t lb t
dr =
⎡ ⎤+ =⎢⎣ ⎦⎥
. (4)
Тут – безрозмірна координата; r 0 0r R l= , i i l=r R ; 0R – внутрішній радіус
тіл; iR – зовнішній радіус i-го складника; l – характерний лінійний розмір;
– для циліндра та кулі відповідно; функції , (1,2k = ( )ma t ( )mb t 1,m n= ) виби-
раємо відповідно до способу нагріву.
Для розв’язання задач (2)–(4) використаємо підхід [12], згідно з яким не-
обхідно знайти спочатку точні розв’язки відповідних допоміжних задач. Тут
такими задачами є системи рівнянь (2) з квадратичними залежностями коефі-
цієнтів теплопровідності від температури за умов контакту (3) і крайових умов
(1) 1
1 0( ) k
t k
dt
t lq
dr
λ = − 0r r, = ; n ct t= , nr r= . (5)
Розв’язок цих допоміжних задач знаходимо способом, який охоплює:
1. Лінеаризацію вихідних систем рівнянь. Застосувавши до (1) підста-
новки Кірхгофа
( )
( )
00
1 ( )
it
i
i ti dθ = λ ζ ζ
λ
∫ , (6)
8
дістанемо такі системи рівнянь:
( )
0 0,ik ikdd r
dr dr
θ⎛ ⎞λ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
1,i = n . (7)
2. Формулювання умов контакту і крайових умов для змінних Кірхго-
фа. З (1), (6) для j-го складника отримаємо:
3 2
3 2
j j
j j jt t t
µ β
+ + = jθ
( )j j j jF+ +θ − θ = θ jr
. (8)
Звідси з урахуванням рівності температур на поверхнях поділу одержимо
першу умову контакту для змінних Кірхгофа:
при r1 1 = , (9)
де
3 2
1 1 1 1 1 1
1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2j
j j
j j j j j j j j j jr r r r r r
F t t+ + + + + + += 1
= =
θ = µ − µ θ + β −β θ . (10)
Друга умова контакту з урахуванням (1), (6) матиме вигляд
1( 1) ( )
0 0 0jj jd d
dr dr
++ θ θ
λ − λ j = . (11)
Застосовуючи підстановку Кірхгофа до крайових умов (5), одержуємо:
1
0
d Q
dr
θ
= − , 0r r= ; n cθ = θ , nr r= , (12)
де 0
0 (1)
0
lq
Q =
λ
, 2 32 3c c n c n ct t tθ = +β + µ .
3. Відшукання обернених залежностей ti = ti(θi). Виконаємо у рівнянні
(8) заміну змінних:
2
i
i i
i
t y
β
= −
µ
. (13)
У результаті одержимо:
, (14) 3 0i i i iy p y q+ + =
де
2
2
3 3
4
i
i
ii
p
β
=− +
µµ
;
3
3 2
3 3
4 2
i i
i
ii i
q
β β
i= − −
µµ µ
θ . (15)
Відомо, що коли
3 2
0
3 2
i i
i
p q
Q ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + >⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
, то кубічне рівняння (14) має
один дійсний корінь або три – у протилежному випадку. Якщо для нього
існує єдиний дійсний корінь, то визначатимемо його за формулою Кардано:
i iy A Bi= + , (16)
де
3
2
i
i i
q
A Q= − + ; 3
2
i
i i
q
B Q= − − .
9
Якщо ж воно має три дійсні корені , то їх знаходитимемо за
тригонометричними формулами Вієта:
1 2 3, ,i i iy y y
1 2 cos
3 3
i i
i
p
y
− φ⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
, 2
22 cos
3 3 3
i i
i
p
y
− φ π⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
, 3
22 cos
3 3 3
i i
i
p
y
− φ π⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
, (17)
де 31arccos 27
2i i iq p⎛ ⎞φ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
Покажемо, що в інтервалі температур (T1i, T2i), в якому задана залежність
(1), може знаходитись не більше одного кореня рівняння (8). Розіб’ємо число-
ву пряму ti на проміжки монотонності лівої частини рівняння (8) (оскільки
рівняння кубічне, то їх буде не більше трьох). Очевидно, що на кожному з цих
проміжків може знаходитись лише один корінь рівняння (8). Так як функції
Λi(ti) є похідні за ti від лівої частини рівняння (8) і згідно з фізичним змістом
( ) 0i itΛ > , (18),
то розглядатимемо лише проміжки, де є зростання. Проміжки спадання не пе-
ретинаються з інтервалом (T1i, T2i) , бо там нерівність (18) не виконується, ос-
кільки похідна від спадної функції від’ємна. Тому, якщо в інтервалі (T1i, T2i)
існує корінь, то він буде тут єдиним.
4. Перехід до одного рівняння з узагальненими похідними на змінну
Кірхгофа. Введемо у розгляд функції
,
1
1 1
1
( ) ( ) ( ) ( )
n
j j
j
r r r S r
−
+
=
⎡ ⎤θ = θ + θ − θ −⎣ ⎦∑ jr
S r r , (19)
1
(1) ( 1) ( )
0 0 0 0
1
( ) ( ) ( )
n
j j
j
j
r
−
+
=
λ = λ + λ − λ −∑
де – функція Гевісайда, і замінимо системи рівнянь (7) одним
рівнянням з класичними похідними, які позначатимемо надалі символом
1, 0
( )
0, 0
x
S x
x
>⎧
= ⎨ <⎩
d
dr
:
0 ( ) 0kd dr r
dr dr
⎡ ⎤θ
λ =⎢
⎣ ⎦
⎥ . (20)
Диференціюючи в узагальненому сенсі [14] перше співвідношення (19) і
домножуючи отриманий вираз на , знаходимо: 0 ( )kr rλ
1
0 0 1 0
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
j
n
k k k
j j r r
j
d dr r r r r r r r
dr dr
−
+ =
=
θ θ
λ = λ + θ − θ λ δ −∑ j .
Диференціюючи далі в узагальненому сенсі отриману рівність, матимемо:
1 1( 1) ( )
0 0 0 0
1
( ) ( ) ( )
j
n j jj jk k k k
j
j r r
d dd d d dr r r r r r r r
dr dr dr drdr dr
− ++
= =
θ θ⎛ ⎞⎡ ⎤θ θ⎡ ⎤λ = λ + λ − λ δ −⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠
∑ +
1
1 0
1
( ) ( ) (
j
n
k
j j jr rj
d r r r r
dr
−
+ ==
)⎡ ⎤+ θ − θ λ δ −⎣ ⎦∑ . (21)
10
Підставивши в (20) вираз для класичної похідної, отриманий з (21) з ура-
хуванням умов контакту (9) та (11), дістанемо рівняння
1
0 1 0
1
( ) ( ) ( ) ( )
j
n
k
j j jr rj
d d dr r F r r r r
dr dr dr
−
+ ==
θ⎡ ⎤ k⎡ ⎤λ = θ λ δ −⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
∑ , (22)
яке має такий самий вигляд, як і для лінійної залежності коефіцієнтів тепло-
провідності від температури [15]. Відмінність лише у тому, що у (22) інший
вираз для 1( )
j
j j r r
F + =
θ , 1, 1j n= − .
5. Побудову розв’язку задачі для рівняння (22). Інтегруючи двічі рівнян-
ня (22), отримуємо:
1
1 1
1
( ) ( ) ( )
j
n
j j j kr rj
F S r r C f r
−
+ ==
2Cθ = θ − + +∑ , (23)
де
(1) (1)1
0 0
1 ( 1) ( )
1 0 0
( ) ln ln ( )
n
jj j
jj
rf r r S r r
r
−
+
=
⎛ ⎞λ λ
⎜ ⎟= + − −
⎜ ⎟λ λ⎝ ⎠
∑ – для циліндра;
(1) (1)1
0 0
2 ( 1) ( )
1 0 0
1 1 1( ) ( )
n
jj j
jj
f r S
r r r
−
+
=
⎛ ⎞⎛ ⎞λ λ
⎜ ⎟= − − − − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟λ λ ⎝ ⎠⎝ ⎠
∑ r r – для кулі.
Підставивши у (23) вирази для сталих інтегрування , які визначені
з крайових умов (12), одержимо:
1 2,C C
1
0 0 1
1
( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )
j
n
k
c k k n j j jr rj
r Q r f r f r F S r
−
+ ==
θ = θ − − − θ −∑ r . (24)
Для знаходження значень 1( )
j
j j r r
F + =
θ ( 1, 1j n= − ) надамо в (24) аргументу
функції послідовно значень ( )rθ 1 0nr r −= + , 2 0nr r −= + , . . . , 1 0r r= + . Тоді:
, 1 0 0 1( ) [ ( ) ( )k
n n c k n k nr Q r f r f− −θ = θ − − ]r
1
1 2 0 0 2 1( ) [ ( ) ( )] ( )
n
k
n n c k n k n n n r rr Q r f r f r F
−
− − − − =θ = θ − − − θ ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1 0 0 1
1
( ) [ ( ) ( )] ( )
j
n
k
i i c k i k n j j r rj i
r Q r f r f r F
−
+ + == +
θ = θ − − − θ∑ , 3i n= − , 4n − , . . . , 1. (25)
Використовуючи перше співвідношення (25), визначаємо за однією з
формул (16), (17), якщо , i n= 1nr r −= , той корінь кубічного рівняння, за якого
значення
1
( )
n
n n r rt
−=θ , обчислене за формулою (13), попадає в інтервал (T1i, T2i).
Маючи це значення, на основі (10) знаходимо
1
1( )
n
n n r rF
−
− =θ . Використовую-
чи далі друге співвідношення (25), аналогічно знаходимо
2
2 1( )
n
n n r rF
−
− − =θ .
Продовжуючи цей процес, знайдемо решту значень на межах поділу. З ураху-
ванням цих значень у межах кожного шару змінні Кірхгофа на основі (24) ви-
значимо так:
11
1
0 0 1( ) [ ( ) ( )] ( )
j
n
k
i c k k n j j r rj i
r Q r f r f r F
−
+ ==
θ = θ − − − θ∑ . (26)
Перехід від змінних Кірхгофа (26) до температури з інтервалу (T1i, T2i)
здійснюємо за формулами (13), де – корінь кубічного рівняння, який визна-
чаємо за однією з формул (16), (17).
iy
Таким чином, точні розв’язки допоміжних задач знайдено. Вони будуть
розв’язками і вихідних задач, якщо значення теплового потоку q0 і температу-
ри tc зовнішньої поверхні будуть такі, які зумовить задана теплова дія. Ці зна-
чення обчислимо із систем двох нелінійних алгебричних рівнянь
1 1 0 0
0 1 1 0 0(1)
1 0 0
[ ( , , )]
[ ( , , )]
[ ( , , )]
k c
k c
t k c
a t q t r
q b t q t r
t q t r
=
λ
, 0
0( )
( )
( )
( )
k
n c
n cn
n t c
r a t
q b t
r t
⎛ ⎞
=⎜ ⎟
λ⎝ ⎠
, (27)
які отримаємо після підстановки знайдених точних розв’язків у крайові умо-
ви (4). Якщо теплову дію описує одна з крайових умов (5), то розв’язок вихід-
них задач зведемо до розв’язання одного з рівнянь (27).
Постава та побудова розв’язку задач термопружності. Для визначення
температурних напружень у тілах, які знаходяться під дією поверхневих на-
вантажень, використаємо залежності
( ) ( ) ( ) ( ) *( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
1 ( ) 1 2 ( )
k k k k k
k k
r k k
du r u E r rc r k
dr rr r
⎡ ⎤ν Φ
σ = + −⎢ ⎥
− ν − ν⎢ ⎥⎣ ⎦
,
1( ) ( ) ( ) ( ) *( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) 1 ( ) ( )( )
1 ( ) 1 ( ) 1 2 ( )
kk k k k k
k k
k k
r du u E r rc r
dr rr r
−
ϕ
⎡ ⎤⎛ ⎞ν Φ⎢ ⎥σ = + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥− ν − ν − ν⎝ ⎠⎣ ⎦
k r
, (28)
де переміщення u (k) = u (k)(r) задовольняє рівняння рівноваги для неоднорідних
тіл із кусково-неперервними коефіцієнтами
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) *( )
( ) ( )
( )( ) ( )
1 ( )
1 2 ( ) 1 ( )( ) ( )
1 ( ) 1 2 ( )
k k k
k k
k
k k k k
k k
k k
d du d r uc r k c r
dr dr dr rr
r du u d E rkc r r
r dr r drr r
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ν
+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥
− ν⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎛ ⎞ ⎡− ν
+ − =⎜ ⎟
⎤
Φ⎢ ⎥⎜ ⎟− ν − ν⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦
(29)
і крайові умови
, ( )( )
0 01( ) kk
r rσ = −σ ( )( )
0( ) kk
r n nrσ = −σ . (30)
Тут
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )[1 ( )]( )
[1 ( )][1 2 ( )]
k k
k
k k
E r rc r
r r
− ν
=
+ ν − ν
; , , – кусково-непе-
рервні функції, які в межах i-го складника збігаються відповідно з
( ) ( )kE r ( ) ( )k rν *( ) ( )k rΦ
( ) ( )k
iE r =
( )( )k
i iE t= , , ( ) ( )( ) ( )k k
ii ir tν = ν
( ) ( )
*( )
0
( ) ( )
k
it r
k
tii r dΦ = α ζ ζ∫ ; ( )( )k
i iE t , ,
– модулі пружності, коефіцієнти Пуассона та лінійного теплового розширен-
ня i-го шару.
( )( )k
i itν (( )k
ti itα
Задачу (29), (30) розв’язуємо аналогічно [12]. Апроксимуючи неперервні
функції ( ) ( )k
iE r , кусково-сталими, прийдемо до задач термопружності ( ) ( )k
i rν
12
для багатошарових циліндра та кулі з
1
n
j
j
N n
=
= ∑ складниками, в яких від тем-
ператури залежать лише коефіцієнти лінійного теплового розширення (nj –
кількість частин, на які поділений j-й шар n-шарового циліндра та кулі). Роз-
в’язки їх отримаємо з використанням праці [16]. Температурні переміщення
та напруження в p-му шарі N-шарових циліндра (із закріпленими торцями) та
кулі визначаємо за формулами
, , ( ) ( ) ( )k tk yk
p p pu u u= + ( ) ( ) ( )k tk y
rp rp rpσ = σ + σ ( ) ( ) ( )k tk ykk
p p pϕ ϕ ϕσ + σσ = . (31)
Тут
( )1
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2 1 1 2( ) ( )
1 1( ) ( ) ( )
12
kk
pk k k ktk k
p pp p p pk k
pk N
ru r S r S
rq Q r
+ ν⎡ ⎤= ϕ + ϕ +⎣ ⎦ − ν
V r ,
( ) ( )21
( ) ( )( ) 0 01
2 1( ) ( ) ( )
1
1( ) ( )
2
k
k
q k kk
k kqyk n
p pp pk k
p kpN N
rru r r
r qcQ r c−
⎡ ⎤⎛ ⎞ σ σ⎢ ⎥= ϕ − ϕ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
0
kr ; (32)
( ) ( )
( 1) ( ) ( 1) ( )( ) ( )
2 1 1 2( ) ( ) 2
1( ) ( ) ( )
12 k
k k
p pk k k ktk k
rp pp p p pk kq
pk N
c kE
g r S g r S V r
rq Q r
⎡ ⎤σ = + −⎣ ⎦ − ν
,
( )2
( 1) ( ) ( 1) ( )( ) 0
2 01 1 0( ) ( )
1
1 1( ) ( )
2
k kq q k
p pk k k kyk
rp p pk k
p kN N
r cr
g r g r
rr q rQ c−
n
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥σ = σ − σ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
,
1( ) ( )2
( 2) ( ) ( 2) ( )( ) 0
2 01 1 0( ) ( ) ( )
1
1 1( ) ( )
21
k k
k q qk k
p pk k k kyk
p
p
p p nk k k
p kpN N
c rr
g r g r
rr q rQ c
−
ϕ
−
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ν ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟σ = σ − σ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟− ν ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦
,
1( ) ( )
( 2) ( ) ( 2) ( )( )
2 1 1 2( ) ( )
( )
( ) *( )
( ) 2
( ) ( )
12
1 ( ) ( )
1
k
kk k
p p k k k kk
p p p p pk kq
pk N
k
p k k
p pk
p
c
g r S g r S
q Q r
E
V r r
r
−
ϕ
⎛ ⎞ν ⎡ ⎤⎜ ⎟σ = + +⎣ ⎦⎜ ⎟− ν⎝ ⎠
⎡ ⎤+ −Φ⎢ ⎥− ν ⎣ ⎦
, 1,p N= , (33)
де
2
1( ) ( ) ( )
1 1 1( )
kk qq
pk k k
p p p
p p
rrr M M
r r
−+ −
⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜ ⎟ϕ = +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠r
;
1 1( ) ( ) ( )
2 2 2 2( )
kk
qq
p pk k k
p p p
p
r r
r M M
r r
− −+ −
⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜ ⎟ϕ = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
r
;
1 1( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2 2 2( )
kk
qq
p pkm k kk k
mp mpp p p
p
r r
g r d M d M
r r
− −+ −− +
⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
r
,
2
1( ) ( ) ( )( ) ( )
1 1 1( )
kk qq
pkm k kk k
mp mpp p p
p p
rrg r d M d M
r rr
−+ −+ −
⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1,2m, = ;
;
1
( ) 1 *( )( ) ( )
p
r
k k k k
p
r
V r r d
−
−= ρ Φ ρ ρ ; 2 3 2q = ; ∫ 1 1q =
13
; ( )
111 2 ( )k
k k kM q q± = β∓ ( ) ( 0) ( 1)( ) ( )
1 11 1 1( )( ) ( )k k kk k
p k p p cpp p pM r q K r K±
− −− −= Φ ± ±Φ , 2,p N= ;
; ; ( )( ) ( 2) ( 1) ( 4) ( 3)
, , , ,2
k k k k k
kN k kNN p N p N p N ppM q± = κ + β κ ± κ + β κ ( ) ( 1) ( 0)( ) ( )k k k
N kN NN N NQ r= Φ +β Φ r
( ) 2
1 1 01 ( ) ( 1) ( )( ) kkm qm m
k k k k kr q q r r q⎡ ⎤Φ = −β + − + β⎣ ⎦ ,
, ( 0) ( ) ( 1) ( )( )
1 11 1 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )k km k kmkm
p p pp p p pr r f r r f− −− −Φ = Φ +Φ r
( )( ) 21 ( ) ( )
11
1( ) ( 1) ( )
2
kkm qm k m k
k k p k p ppf r q q K q K r r−
−
⎡ ⎤= + + − −⎢ ⎥⎣ ⎦
,
( ) 21 ( )
12
1( ) 1 ( 1) ( )
2
kkm qm k m
k cp ppf r q K r r−
−
⎡ ⎤= − −⎣ ⎦ , 0,1m = ;
, ( 1) ( 0) ( 1) ( 0) ( 2)
, 1 1, 2( ) ( )k k k k k
N NN p N N p N Nf r f r− −κ = κ + κ 1, p
1, p
1, p
1, p
, ( 2) ( 1) ( 1) ( 1) ( 2)
, 1 1, 2( ) ( )k k k k k
N NN p N N p N Nf r f r− −κ = κ + κ
, ( 3) ( 0) ( 3) ( 0) ( 4)
, 1 1, 2( ) ( )k k k k k
N NN p N N p N Nf r f r− −κ = κ + κ
; ( 4) ( 1) ( 3) ( 1) ( 4)
, 1 1, 2( ) ( )k k k k k
N NN p N N p N Nf r f r− −κ = κ + κ
( 1) ( 0)
11, 1,1( )k k
pp p pf r ++ +κ = , ( 2) ( 1)
11, 1,1( )k k
pp p pf r ++ +κ = ,
, ( 3) ( 0)
11, 1,2 ( )k k
pp p pf r ++ +κ = ( 4) ( 1)
11, 1,2 ( )k k
pp p pf r ++ +κ = , p N< ;
, ( 1) ( 4)
, , 1k k
N N N Nκ = κ = ( 2) ( 3)
, , 0k k
N N N Nκ = κ = ;
( )1
( ) ( ) ( ) ( )
1 1( )
1
( )
kp jk k k
jjp jp jk
j p
c
S M P J
c
−
+
=
= ∑ k r ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
12 2 2
1
( ) ( ) (k
n
k k k kq k
j j j p ppj jp j
j p
S r r M P J r M J− −
−
= +
= − −∑ )k
p r ;
( )
1( ) kk q
j pjpP r r −= ;
( )
( ) 1 ( )
( )
1
( ) ( )
1
k
pk k
p pk
p
J r r V r−+ ν
=
− ν
k ;
( ) ( )
, 1
k k
p cp k p kpK K −= β −β ,
( )
1( )
( )
k
pk
cp k
p
c
K
c
−= ,
( ) ( )
( )
( ) ( )
(1 )
(1 )(1 2 )
k k
p pk
p k k
p p
E − ν
=
+ ν − ν
c ;
(2)
2 (2)
5 1
2
1
p
p
p
ν −
β =
− ν
,
(2)
(2)
1 (2)
1 2
2
1
p
p
p
d − − ν
=
− ν
,
(2)
(2)
1 (2)
1
1
p
p
p
d + + ν
=
− ν
,
(2)
(2)
2 (2)
2 1p
p
p
d − ν −
=
ν
,
(2)
(2)
2 (2)
1 p
p
p
d + + ν
=
ν
;
(1)
1 (1)1
p
p
p
ν
β =
− ν
, (1)
(1)
1
1
mp
p
d + =
− ν
,
(1)
(1) 1
(1)
1 2
( 1)
1
pm
mp
p
d − + − ν
= −
− ν
;
( ) ( ) *( )k k
p pE E r= , ( ) ( ) *( )k k
p prν = ν , *
1p p pr r r− < < .
14
Числові приклади. У двошарових циліндрі та кулі, ФМХ першого шару
яких відповідають молібдену, а другого – вольфраму, досліджували температу-
ру та напруження *
(1)
1(0) (0)t cE t
ββ
β −
σ
σ =
α
( ,rβ = ϕ ) за крайових умов
0
1k cr rt t−= = , ( ) 4 4( ) ( )( ) ( ( ) ) 0
n
n nk
t nk n nk nk c n nk c
r r
dt
t l t t t l t t
dr
+ +
=
⎡ ⎤λ + α − + γ −⎢ ⎥⎣ ⎦
=
при ; ; ; W/(m2⋅°С); 0 0,25r = 1 0,5r = 2 1,0r = ( ) (100000 2 )n t tα = + 20ct
− = °С;
°С; γ = W/(m2⋅°С4). Температурні залежності ФМХ матеріалів
вибрали у вигляді
1900ct
+ = 81,67 10n
−⋅
t− W/(m⋅°С ),
Pa,
(1) 4 7 2( ) (142,984 577,203 10 169,266 10 )t t t−λ = − ⋅ + ⋅
11 8 2 3
1( ) (3,22 10 0,41 10 990,61 4,93 )E t t t t= ⋅ − ⋅ + − 6
1( ) (5,19 10t t −α = ⋅ +
11,91 10 3,696 10 3,857 10t t− − −+ ⋅ − ⋅ + ⋅ 1
)°С9 14 2 7 3t − , 4
1 0,337 0,96410 t−ν = + −
t
17
2 ( ) (4,572 10 1,152 10 6,064 10 1,41 10 )t t t t t− − − −α = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ 1
,
W/(m⋅°С), Pa,
°С
6 2 10 30,112 10 0,35 10t t− −− ⋅ + ⋅ (2) 4 7 2( ) (160,42 721,31 10 232,28 10 )t t t− −λ = − ⋅ + ⋅
11 8 2 3
2 ( ) (4,04 10 0,45 10 18599,27 10,4 )E t t t t= ⋅ − ⋅ + −
6 11 13 2 3 − ,
, для отримання яких ви-
користали табличні дані [17] і метод найменших квадратів.
4 8 2
2 0,256 0,273 10 0,525 10 0,535 10t t− −ν = + ⋅ + ⋅ − ⋅ 11 3t−
Досліджували також термопруж-
ний стан за лінійних залежностей кое-
фіцієнтів теплопровідності
W/(m⋅°С),
W/(m⋅°С
) (рис. 1) та сталих, коли в одному ви-
падку вони набували значення квадра-
тичних залежностей при нульовій тем-
пературі, у другому – такі середні зна-
чення: W/(m⋅°С ),
W/(m⋅°С).
(1) ( )t tλ =
4(131,954 221,824 10 )t−= − ⋅
(2) 4( ) (145,278 233,619 10 )t t t−λ = − ⋅
(1) 111,686tλ = (2)
tλ =
123,933=
Система алгебричних рівнянь (27)
має вигляд
1 0 0( , , ) 0k c ct q t r t−− = ,
. 4 4
0 0 ( )( ) ( ) 0k
n c c c n c cq r t t t t t+ +⎡ ⎤− + α − + γ − =⎣ ⎦
Розв’язок отримано методом
Ньютона. Розподіл температури і
напружень за товщиною подано на
рис. 2 і 3. Суцільні лінії – квадратична з
ності, штрихові – лінійна, а штрихпун
провідності (криві 1, 2 побудовані відпові
Рис. 1. Температурні залежності
коефіцієнтів теплопровідності
молібдену і вольфраму.
Fig. 1. Temperature dependence of the heat
conductivity coefficients for molybdenum
and tungsten.
алежність коефіцієнтів теплопровід-
ктирні – сталі коефіцієнтам тепло-
дно для першого і другого випадків).
15
Рис. 2. Зміна температури по товщині двошарових циліндра (а) і кулі (b).
Fig. 2. Temperature distribution across the thickness of two-layered cylinder (а) and a sphere (b).
Рис. 3. Зміна радіальних (а, с) і колових (b, d) напружень по товщині двошарових
циліндра (a, b) і кулі (c, d).
Fig. 3. Radial (а, с) and circular (b, d) stress distribution across the thickness of two-layered
cylinder (a, b) and a sphere (c, d).
Розподіл температур за лінійної і квадратичної залежностей практично од-
наковий, проте відчутна різниця за сталих коефіцієнтів теплопровідності: для
кулі він точніший за їх середніх значень у зовнішній приповерхневій області,
16
поза цією областю, як і для циліндра – за квадратичних залежностей при ну-
льовій температурі. Максимальна різниця на зовнішніх поверхнях.
Радіальні напруження як у циліндрі, так і в кулі у внутрішніх точках розтя-
гувальні і досягають свого максимуму всередині першого шару. У кулі він де-
що ближче до внутрішньої поверхні. За сталих коефіцієнтів теплопровідності
розподіл точніший за їх середніх значень. Колові напруження за лінійної за-
лежності і за сталих коефіцієнтів теплопровідності переходять із розтягуваль-
них на внутрішній поверхні у стискальні на поверхні поділу. За квадратичної
залежності по всій товщині шару вони розтягувальні. На внутрішніх поверх-
нях колові напруження у циліндрі за квадратичних залежностей при нульовій
температурі більші, ніж для інших коефіцієнтів теплопровідності, у кулі за
середніх значень менші, ніж для інших коефіцієнтів теплопровідності. На
зовнішніх поверхнях абсолютні значення колових напружень за квадратич-
них залежностей при нульовій температурі коефіцієнтів теплопровідності
менші, ніж для інших коефіцієнтів.
ВИСНОВКИ
Запропонована методика дає змогу з єдиних позицій будувати ефективні
розв’язки одновимірних статичних задач термопружності для шаруватих куль
і необмежених порожнистих циліндрів за різних способів нагріву з урахуван-
ням квадратичної залежності коефіцієнтів теплопровідності, довільних залеж-
ностей інших ФМХ від температури та поверхневих навантажень.
РЕЗЮМЕ. Предложена аналитико-численная методика решения одномерных стати-
ческих задач термоупругости для слоистых цилиндра и шара, которые находятся под дей-
ствием поверхностных нагружений, при разных способах нагрева с учетом квадратичной
зависимости коэффициентов теплопроводности и произвольного характера зависимости
остальных физико-механических характеристик от температуры. Задачи теплопроводности
с использованием построенных точных решений специальных задач сведены, независимо
от количества слоев, к решению одного или систем двух нелинейных алгебраических
уравнений. Решения задач термопругости получено путем аппроксимации непрерывных в
пределах каждого слоя коэффициентов уравнений кусочно-постоянными функциями с
последующим использованием функций Грина задач статики для многослойных цилинд-
ра и шара. Численно проанализированы температурные поля и термоупругое состояние
двухслойных тел, через внешнюю поверхность которых осуществляется конвективно-лу-
чистый теплообмен, а внутрення поддерживается при постоянной температуре.
SUMMARY. Analytical-numerical method of solving one-dimensional static problems for
layered body of revolution (shallow cylinder and sphere) is proposed. They are subjected to the
influence of surface loads with different ways of heating. The method takes into account the
quadratic dependence of heat conductivity coefficients and arbitrary dependence of other
physical and mechanical characteristics on a temperature. Heat conduction problems were
reduced to the system of two nonlinear algebraic equations regardless of the number of layers by
utilizing exact solutions of the corresponding problems with special boundary conditions. To
obtain solutions of thermoelasticity problems, equations coefficients continouos within every
layer are approximated by piecewise constant functions and then Green’s functions for static
problems for a cylinder and a sphere are used. The numerical analysis of temperatures and
thermal stresses in two-layered bodies with convective-radiation heat exchange on the outer
surface and a constant temperature on the inner one is carried out.
1. Беляев Н. М., Рядно А. А. Методы теории теплопроводности: Уч. пос. для вузов: в 2-х ч.
– М.: Высш. шк., 1982. – Ч. 2. – 304 с.
2. Березовский А. А. Лекции по нелинейным краевым задачам математической физики: в
2-х ч. – К.: Наук. думка, 1976. – Ч. 2. – 292 с.
3. Коздоба Л. А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. – М.: Наука,
1975. – 226 с.
17
4. Коляно Ю. М. Методы теплопроводности и термоупругости неоднородного тела. – К.:
Наук. думка, 1992. – 280 с.
5. Ломакин В. А. Теория упругости неоднородных тел. – М.: Изд-во МГУ, 1976. – 367 с.
6. Постольник Ю. С., Огурцов А. П. Нелінійна прикладна термомеханіка. – К.: НМЦ ВО
МОНУ, 2000. – 280 с.
7. Подстригач Я. С., Коляно Ю. М. Неустановившиеся температурные поля и напряже-
ния в тонких пластинках. – К.: Наук. думка, 1972. – 308 с.
8. Argeso H. and Eraslan A. N. A simple computational model for unified treatment of a class
of plane strain thermoplastic stress problems // Proc. 6th Int. Congress on Thermal Stresses,
Vienna, Austria. – 2005. – 1. – P. 203–206.
9. Ootao Y., Tanigawa O., and Ishimaru O. Optimization of material composition of functiona-
lity graded plate for thermal stress relaxation using a genetic algorithm // J. Thermal Stres-
ses. – 2000. – 23. – P. 257–271.
10. Kushnir R. M., Popovych V. S., and Vovk O. M. The thermoelastic state of a thermosensitive
sphere and space with a spherical cavity subject to complex heat exchange // J. Eng.
Mathematics. – 2008. – 61, № 2–4. – P. 357–369.
11. Obata Y. and Noda N. Steady thermal stresses in hollow circular cylinder and hollow sphere
of a functionally gradient material // J. Thermal Stresses. – 1994. – 17, № 3. – P. 471–487.
12. Кушнір Р. М., Процюк Ю. Б. Термопружний стан шаруватих термочутливих циліндрів
і куль за конвективно-променевого теплообміну // Фіз.-мат. моделювання та інформ.
технології. – 2008. – Вип. 8. – С. 103–112.
13. Кушнір Р. М., Процюк Ю. Б. Температурні поля в шаруватих тілах канонічної форми
за лінійної температурної залежності коефіцієнтів теплопровідності // Машинознав-
ство. – 2009. – № 1. – С. 13–18.
14. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. – М.: Наука, 1979.
– 320 с.
15. Процюк Б. В. Моделювання та визначення з використанням побудованих функцій Грі-
на термопружного стану шаруватих тіл: Автореф. дис. ... д-ра фіз.-мат. наук. – Львів,
2006. – 40 с.
16. Процюк Б. В. Застосування методу функцій Гріна до визначення термопружного стану
шаруватих трансверсально-ізотропних сферичних тіл // Мат. методи та фіз.-мех. поля.
– 2004. – 47, № 3. – С. 95-109.
17. Зиновьев В. Е. Теплофизические свойства металлов при высоких температурах: Справ.
– М.: Металлургия, 1989. – 384 с.
Одержано 14.10.2009
18
УДК 539.3
ТЕРМОПРУЖНИЙ СТАН ШАРУВАТИХ ТЕРМОЧУТЛИВИХ ТІЛ ОБЕРТАННЯ ЗА К
Р. М. КУШНІР, Ю. Б. ПРОЦЮК
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-31737 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0430-6252 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:26:36Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кушнір, Р.М. Процюк, Ю.Б. 2012-03-17T15:33:42Z 2012-03-17T15:33:42Z 2010 Термопружний стан шаруватих термочутливих тіл обертання за квадратичної залежності коефіцієнтів теплопровідності / Р.М. Кушнір, Ю.Б. Процюк // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2010. — Т. 46, № 1. — С. 7-18. — Бібліогр.: 17 назв. — укp. 0430-6252 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/31737 539.3 Викладено аналітично-числову методику розв’язування одновимірних статичних задач термопружності для шаруватих циліндрів і куль, що знаходяться під дією поверхневих навантажень, за різних способів нагріву з урахуванням квадратичної залежності коефіцієнтів теплопровідності та довільної інших фізико-механічних характеристик від температури. Задачі теплопровідності з використанням побудованих точних розв’язків спеціальних задач зведено, незалежно від кількості шарів, до розв’язування одного або системи двох нелінійних алгебричних рівнянь. Розв’язки задач термопружності отримано шляхом апроксимації неперервних у межах кожного шару коефіцієнтів рівнянь кусково-сталими функціями з подальшим використанням функцій Гріна задач статики для багатошарових циліндрів і куль. Числово проаналізовано температурні поля і термопружний стан у двошарових тілах, зовнішня поверхня яких нагрівається шляхом конвективно-променевого теплообміну, а внутрішня підтримується при сталій температурі. Предложена аналитико-численная методика решения одномерных статических задач термоупругости для слоистых цилиндра и шара, которые находятся под действием поверхностных нагружений, при разных способах нагрева с учетом квадратичной зависимости коэффициентов теплопроводности и произвольного характера зависимости остальных физико-механических характеристик от температуры. Задачи теплопроводности с использованием построенных точных решений специальных задач сведены, независимо от количества слоев, к решению одного или систем двух нелинейных алгебраических уравнений. Решения задач термопругости получено путем аппроксимации непрерывных в пределах каждого слоя коэффициентов уравнений кусочно-постоянными функциями с последующим использованием функций Грина задач статики для многослойных цилиндра и шара. Численно проанализированы температурные поля и термоупругое состояние двухслойных тел, через внешнюю поверхность которых осуществляется конвективно-лучистый теплообмен, а внутренняя поддерживается при постоянной температуре. Analytical-numerical method of solving one-dimensional static problems for layered body of revolution (shallow cylinder and sphere) is proposed. They are subjected to the influence of surface loads with different ways of heating. The method takes into account the quadratic dependence of heat conductivity coefficients and arbitrary dependence of other physical and mechanical characteristics on a temperature. Heat conduction problems were reduced to the system of two nonlinear algebraic equations regardless of the number of layers by utilizing exact solutions of the corresponding problems with special boundary conditions. To obtain solutions of thermoelasticity problems, equations coefficients continouos within every layer are approximated by piecewise constant functions and then Green’s functions for static problems for a cylinder and a sphere are used. The numerical analysis of temperatures and thermal stresses in two-layered bodies with convective-radiation heat exchange on the outer surface and a constant temperature on the inner one is carried out. uk Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України Фізико-хімічна механіка матеріалів Термопружний стан шаруватих термочутливих тіл обертання за квадратичної залежності коефіцієнтів теплопровідності Thermoelastic state of layered thermosensitive bodies of revolution with quadratic dependence of heat conductivity coefficients Article published earlier |
| spellingShingle | Термопружний стан шаруватих термочутливих тіл обертання за квадратичної залежності коефіцієнтів теплопровідності Кушнір, Р.М. Процюк, Ю.Б. |
| title | Термопружний стан шаруватих термочутливих тіл обертання за квадратичної залежності коефіцієнтів теплопровідності |
| title_alt | Thermoelastic state of layered thermosensitive bodies of revolution with quadratic dependence of heat conductivity coefficients |
| title_full | Термопружний стан шаруватих термочутливих тіл обертання за квадратичної залежності коефіцієнтів теплопровідності |
| title_fullStr | Термопружний стан шаруватих термочутливих тіл обертання за квадратичної залежності коефіцієнтів теплопровідності |
| title_full_unstemmed | Термопружний стан шаруватих термочутливих тіл обертання за квадратичної залежності коефіцієнтів теплопровідності |
| title_short | Термопружний стан шаруватих термочутливих тіл обертання за квадратичної залежності коефіцієнтів теплопровідності |
| title_sort | термопружний стан шаруватих термочутливих тіл обертання за квадратичної залежності коефіцієнтів теплопровідності |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/31737 |
| work_keys_str_mv | AT kušnírrm termopružniistanšaruvatihtermočutlivihtílobertannâzakvadratičnoízaležnostíkoefícíêntívteploprovídností AT procûkûb termopružniistanšaruvatihtermočutlivihtílobertannâzakvadratičnoízaležnostíkoefícíêntívteploprovídností AT kušnírrm thermoelasticstateoflayeredthermosensitivebodiesofrevolutionwithquadraticdependenceofheatconductivitycoefficients AT procûkûb thermoelasticstateoflayeredthermosensitivebodiesofrevolutionwithquadraticdependenceofheatconductivitycoefficients |