Локально узагальнено радикальні групи з обмеженнями на деякі ранги
A group G is said to be generalized radical if G has an ascending series of normal subroups
 whose factors are locally nilpotent or locally finite. Classes of locally generalized radical groups
 with finite Hirsch–Zajcev rank have been studied, and the relation of Hirsch–Zajcev rank to...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3228 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Локально узагальнено радикальні групи з обмеженнями на деякі ранги / М.Р. Діксон, Л.А. Курдаченко, М.В. Поляков // Доповіді Національної академії наук України. — 2007. — № 11. — С. 12-17. — Бібліогр.: 12 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859988013339115520 |
|---|---|
| author | Діксон, М.Р. Курдаченко, Л.А. Поляков, М.В. |
| author_facet | Діксон, М.Р. Курдаченко, Л.А. Поляков, М.В. |
| citation_txt | Локально узагальнено радикальні групи з обмеженнями на деякі ранги / М.Р. Діксон, Л.А. Курдаченко, М.В. Поляков // Доповіді Національної академії наук України. — 2007. — № 11. — С. 12-17. — Бібліогр.: 12 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | A group G is said to be generalized radical if G has an ascending series of normal subroups
whose factors are locally nilpotent or locally finite. Classes of locally generalized radical groups
with finite Hirsch–Zajcev rank have been studied, and the relation of Hirsch–Zajcev rank to the
other ranks is given.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:29:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
5. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимация. – Москва: Мир, 1980. – 608 с.
6. Slater L. Confluent hypergeometric functions. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1960. – 287 p.
7. Wright E.M. On the coefflicient of power series having exponential singularities // J. Lond. Math. Soc. –
1938. – 8. – P. 71–79.
8. Wright E.M. On asymptotic expansions of generalized Bessel function // Proc. Lond. Math. Soc. – 1935. –
38. – P. 257–270.
9. Virchenko N.O. On some generalizations of the functions of hypergeometric type // Fractional Calculus
and Appl. Anal. – 1999. – 2, No 3. – P. 233–244.
10. Вiрченко Н.О. Узагальненi спецiальнi функцiї та їх застосування // “Наук. вiстi” НТУУ “КПI”. –
2006. – № 4(48). – С. 42–49.
11. Virchenko N.O., Kalla S. L., Zamel F. Fl. Some results on a generalized hypergeometric function //
Integral transforms and special function. – 2001. – 12, No 1. – P. 89–100.
12. Virchenko N. On a generalized Laguerre’s function and its applications // Fractional Calculus and Appl.
Anal. – 1999. – 2, No 4. – P. 529–536.
Надiйшло до редакцiї 15.03.2007НТУ України “Київський полiтехнiчний iнститут”
УДК 512.544
© 2007
М. Р. Дiксон, Л.А. Курдаченко, М. В. Поляков
Локально узагальнено радикальнi групи
з обмеженнями на деякi ранги
(Представлено академiком НАН України В.В. Пилипенком)
A group G is said to be generalized radical if G has an ascending series of normal subroups
whose factors are locally nilpotent or locally finite. Classes of locally generalized radical groups
with finite Hirsch–Zajcev rank have been studied, and the relation of Hirsch–Zajcev rank to the
other ranks is given.
Група G має скiнченний спецiальний ранг r(G) = r, якщо кожна її скiнченно породжена
пiдгрупа може бути породжена не бiльше нiж r елементами i r є найменшим числом з цiєю
властивiстю. Це поняття було введено для довiльних груп А. I. Мальцевим [1], а для абе-
левих груп — X. Прюфером. Тому цей ранг називають також рангом Мальцева–Прюфера.
Вивчення груп скiнченного спецiального рангу, а також iнших рангiв групи (вони також
будуть розглядатись у цiй роботi) є важливою частиною теорiї нескiнченних груп. Одними
з найбiльш загальних результатiв для радикальних груп є результати Р. Бера та Г. Хай-
некена [2], якi довели, наприклад, що радикальна група, усi абелевi пiдгрупи якої мають
скiнченний спецiальний ранг, сама має скiнченний спецiальний ранг. Приклад, що був побу-
дований Ю. I. Мерзляковим [3] свiдчить про те, що цей результат не може бути розширений
на довiльнi локально розв’язнi групи. Разом з тим Ю. I. Мерзляков довiв [4], що якщо спе-
цiальнi ранги абелевих пiдгруп локально розв’язної групи обмеженi в сукупностi, то сама
група має скiнченний спецiальний ранг.
Будемо говорити, що група G має скiнченний ранг Хiрша–Зайцева rhz(G) = r, якщо G
має субнормальну систему, цiлком впорядковану за зростанням, в якiй точно r факторiв
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №11
є нескiнченними циклiчними, а всi iншi фактори — перiодичнi. Кожне ущiльнення такої сис-
теми має точно r нескiнченних циклiчних факторiв. Оскiльки кожнi двi субнормальнi систе-
ми мають iзоморфнi ущiльнення за узагальненою теоремою Шрейєра, ранг Хiрша–Зайцева
не залежить вiд вибору системи, тобто вiн є iнварiантом групи. Для майже полiциклiчних
груп використовується термiн число Хiрша, оскiльки К.А. Хiрш вивчав це поняття для
майже полiциклiчних груп. Для локально майже полiциклiчних груп це поняття введено
Д. I. Зайцевим у роботi [5], а у загальнiй формi Д. I. Зайцев формулює його в роботi [6]. Слiд
вiдзначити, що у визначеннi Д. I. Зайцева мова йде про скiнченний субнормальний ряд, так
що наше визначення є деяким узагальненням його визначення.
У данiй роботi розглянемо деякi результати про групи скiнченного рангу Хiрша–Зайцева,
а також зв’язки цього рангу з iншими рангами груп, означення яких ми зараз нагадаємо.
Якщо G — група, то через t(G) позначимо максимальну нормальну перiодичну пiдгру-
пу G. Якщо A — абелева група, то визначимо 0-ранг або ранг без скруту r0(A) групи A за
правилом r0(A) = dimQ(A⊗ZQ). Абелева група A тодi i тiльки тодi має скiнченний 0-ранг r,
коли A/t(A) є iзоморфною до пiдгрупи прямої суми r копiй адитивної групи рацiональних
чисел Q. Також вiдзначимо, що r0(A) є точно Z-ранг Z-модуля A/t(A).
Нехай p — просте число, будемо говорити, що група G має скiнченний секцiйний p-ранг
rp(G) = r, якщо кожна елементарна абелева p-секцiя групи G є скiнченною та має порядок
не бiльший нiж pr i iснує така елементарна абелева p-секцiя K/L, що |K/L| = pr.
За аналогiєю будемо говорити, що група G має скiнченний секцiйний 0-ранг r0(G) = r,
якщо для кожної абелевої секцiї без скруту U/V групи G має мiсце r0(U/V ) 6 r та iснує
абелева секцiя без скруту A/B, для якої r0(A/B) = r.
Цi поняття для розв’язних груп були введенi А. I. Мальцевим [7] та Д. Робiнсоном [8, 6.1].
Треба вiдзначити, що якщо група G має скiнченний секцiйний p-ранг для деякого прос-
того числа p, то вона має скiнченний секцiйний 0-ранг. Для абелевих груп секцiйний 0-ранг
та ранг Хiрша–Зайцева збiгаються. Для розв’язних груп скiнченнiсть секцiйного 0-рангу
є еквiвалентною до скiнченностi рангу Хiрша–Зайцева. Приклад Ю. I. Мерзлякова, про
який згадувалось вище, показує, що iснує локально розв’язна група, що має скiнченний
секцiйний 0-ранг але нескiнченний ранг Хiрша–Зайцева.
Нехай A — абелева група без скруту скiнченного 0-рангу i T — перiодична група ав-
томорфiзмiв A. Тодi T є скiнченною. Бiльше того, якщо r0(A) = r, то iснує така функцiя
f1 : N → N, що |T | 6 f1(r).
Нехай Mn — множина всiх неiзоморфних скiнченних груп, порядок яких не перевищує n,
та нехай Un = {Aut(G)|G ∈ Mn}. Тодi множина Un є скiнченною, i кожен її елемент
є скiнченним. Тому iснує такий елемент D ∈ Un, що |D| є найбiльшим. Покладемо a(n) =
= |D|. Маємо a(n) 6 n!.
Якщо G — розв’язна група, то через s(G) позначимо клас розв’язностi групи G.
Нехай G — скiнченна розв’язна група i |G| = n = pk1
1 · · · pkm
m . Покладемо d(n) = k1 +
+ · · · + km. Тодi маємо s(G) 6 d(|G|). Також d(n) 6 log2 n.
Теорема 1. Нехай G — група, що має субнормальну систему
〈1〉 = H0 ⊳ H1 ⊳ · · · ⊳ Hα ⊳ Hα+1 ⊳ · · · ⊳ Hγ = G, (1)
впорядковану за зростанням, в якiй r факторiв є нескiнченними циклiчними, а всi iншi —
локально скiнченнi. Тодi G має такий ряд нормальних пiдгруп T 6 L 6 K 6 S 6 G, що T —
локально скiнченна, L/T є нiльпотентною та не має скруту, K/L — абелева скiнченно
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №11 13
породжена група без скруту, G/K — скiнченна, S/K — розв’язна. Бiльше того, iснують
такi функцiї f2, f3 : N → N, що |G/K| 6 f2(r) та s(S) 6 f3(r).
Для функцiй, що тут виникають, можна отримати такi значення. Для функцiї f маємо
f2(r) = (a(f1(r))
r(f1(r))
2(r+1)r . За класичною теоремою Мальцева [7] iснує така функцiя
µ : N → N, що будь-яка незвiдна розв’язна пiдгрупа GLr(Q) мiстить у собi нормальну
абелеву пiдгрупу скiнченного iндексу, який не перевищує µ(r). Звiдси можна отримати,
що s(S) 6 r + d(µ(r)). Вiдмiтимо, що µ(r) 6 r!(r2a(r2))r (див., напр., [9, с. 45]), так що
f3(r) = r + d(r!(r2a(r2))r) 6 r + log2(d(r!(r2a(r2))r).
Група називається узагальнено радикальною, якщо вона має зростаючий ряд нормаль-
них пiдгруп, фактори якого або локально нiльпотентнi, або локально скiнченнi.
Наслiдок 1. Нехай G — локально узагальнено радикальна група. Якщо G має скiн-
ченний ранг Хiрша–Зайцева, що дорiвнює r, то G має такий ряд нормальних пiдгруп
T 6 L 6 K 6 S 6 G, що T — локально скiнченна, L/T є нiльпотентною та не має скруту,
K/L — абелева скiнченно породжена група без скруту, G/K — скiнченна, S/K — розв’язна.
Бiльше того, iснують такi функцiї f2, f3 : N → N, що |G/K| 6 f2(r) та s(S) 6 f3(r).
Наслiдок 2. Нехай G — локально узагальнено радикальна група i T — максимальна
нормальна перiодична пiдгрупа G. Якщо G має скiнченний ранг Хiрша–Зайцева, що до-
рiвнює r, то G/T має скiнченний спецiальний ранг. Бiльше того, iснують такi функцiї
f4 : N → N, що r(G) 6 f4(r) та r(G) 6 f4(r).
Тут f4(r) = r + f2(r).
Наслiдок 3. Нехай G — локально майже розв’язна група. Якщо G має скiнченний ранг
Хiрша–Зайцева, що дорiвнює r, то G має такий ряд нормальних пiдгруп T 6 L 6 K 6 S 6
6 G, що T — локально скiнченна, L/T є нiльпотентною та не має скруту, K/L — абелева
скiнченно породжена група без скруту, G/K — скiнченна, S/K — розв’язна. Бiльше того,
iснують такi функцiї f2, f3 : N → N, що |G/K| 6 f2(r) та s(S) 6 f3(r).
Це твердження є узагальненням леми 2.12 статтi [10].
Теорема 2. Нехай G — узагальнено радикальна група, для якої t(G) = 〈1〉.
(i) Якщо кожна абелева пiдгрупа G має скiнченний ранг Хiрша–Зайцева, то G має
скiнченний спецiальний ранг. Зокрема, ранги Хiрша–Зайцева всiх абелевих пiдгруп групи G
обмеженi в сукупностi.
(ii) Якщо ранги Хiрша–Зайцева всiх абелевих пiдгруп групи G є скiнченнi i не перевищу-
ють числа r, то G має скiнченний ранг Хiрша–Зайцева. Бiльше того, iснує така функцiя
f5 : N → N, що rhz(G) 6 f5(r).
Тут f5(r) = r(r + 1).
Будемо говорити, що група G має скiнченний абелевий пiдгруповий ранг, якщо кожна
абелева пiдгрупа G має скiнченний секцiйний p-ранг для кожного простого числа p та для
p = 0. Будемо говорити, що група G має скiнченний абелевий секцiйний ранг, якщо кожна
абелева секцiя групи G має скiнченний секцiйний p-ранг для кожного простого числа p та
для p = 0. Р. Бер та Г. Хайнекен показали [2], що радикальна група скiнченного абелевого
пiдгрупового рангу має i скiнченний абелевий секцiйний ранг i у цьому випадку G/t(G)
є розв’язною групою типу A4 за класифiкацiєю А. I. Мальцева [7]. Наведений нижче ре-
зультат узагальнює теорему 1.1 роботи [11].
Теорема 3. Нехай G — скiнченно породжена узагальнено радикальна группа. Як-
що G має скiнченний абелевий пiдгруповий ранг, то G є мiнiмаксною та майже роз-
в’язною.
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №11
Теорема 4. Нехай G — група, кожна скiнченно породжена пiдгрупа якої є узагальнено
радикальною групою скiнченного абелевого пiдгрупового рангу. Якщо iснує таке натуральне
число r, що rhz(A) 6 r для кожної абелевої пiдгрупи А, то:
(i) G має скiнченний ранг Хiрша–Зайцева, що не перевищує f5(r);
(ii) G/t(G) є майже розв’язною групою скiнченного спецiального рангу, який не пере-
вищує f4(f5(r)).
Наслiдок 1. Нехай G — група, кожна скiнченно породжена пiдгрупа якої є узагальнено
радикальною групою скiнченного абелевого пiдгрупового рангу. Якщо для деякого простого
числа p iснує таке натуральне число r, що кожна абелева пiдгрупа групи G має скiнченний
секцiйний p-ранг, що не перевищує r, то G має скiнченний ранг Хiрша–Зайцева, що не
перевищує f5(r(r + 3)/2). Бiльше того, силовськi p-пiдгрупи G є чернiковськими i мають
спецiальний ранг, який не перевищує f7(r).
Тут f7(r) = (r(5r + 1)/2).
Наслiдок 2. Нехай G — група скiнченного абелевого пiдгрупового рангу. Припустимо
також, що iснує таке натуральне число r, що rhz(A) 6 r для кожної абелевої пiдгрупи.
Тодi еквiвалентними є такi твердження:
(i) G є локально узагальнено радикальною групою;
(ii) G є майже гiперабелевою групою;
(iii) G є майже локально розв’язною групою.
Наведений нижче наслiдок узагальнює результат роботи Д. Робiнсона [12], де вiн був
отриманий для груп, що мають скiнченний субнормальний ряд з абелевими або локально
скiнченними факторами.
Наслiдок 3. Нехай G — локально узагальнено радикальна група. Якщо G має скiнчен-
ний спецiальний ранг, то G має скiнченний ранг Хiрша–Зайцева. Бiльше того, rhz(A) 6
6 r(G).
Теорема 5. Нехай G — локально узагальнено радикальна група. Якщо кожна скiнчен-
но породжена пiдгрупа G має скiнченний секцiйний p-ранг, що не перевищує r, де p — або
просте число, або p = 0, то G має такий ряд нормальних пiдгруп T 6 L 6 K 6 S 6 G,
що T — локально скiнченна, L/T є нiльпотентною та не має скруту, K/L — абелева скiн-
ченно породжена група без скруту, G/K — скiнченна, S/K — розв’язна. Зокрема, G має
скiнченний ранг Хiрша–Зайцева, що не перевищує (r(r+3/2). Бiльше того, якщо p — прос-
те число, то силовськi p-пiдгрупи G є чернiковськими i мають спецiальний ранг, який не
перевищує f7(r).
Теорема 6. Нехай G — узагальнено радикальна локально мiнiмаксна група. Якщо кож-
на абелева пiдгрупа G має скiнченний секцiйний 0-ранг, що не перевищує r, то G має
скiнченний ранг Хiрша–Зайцева.
Наслiдок 1. Нехай G — узагальнено радикальна локально мiнiмаксна група. Якщо
iснує таке просте число p, що кожна абелева пiдгрупа G має скiнченний секцiйний p-ранг,
що не перевищує r, то G має скiнченний секцiйний p-ранг.
Ми вже вiдзначали вище, що в роботi [2] була доведена скiнченнiсть абелевого секцiйного
рангу радикальної групи, що має скiнченний абелевий пiдгруповий ранг. Наведений нижче
наслiдок дає деяке розширення цього результату.
Наслiдок 2. Нехай G — локально узагальнено радикальна група. Якщо iснує таке
натуральне число r, що кожна абелева пiдгрупа G має скiнченний секцiйний 0-ранг, який
не перевищує числа r, i для кожного простого числа p секцiйний p-ранг кожної абелевої
пiдгрупи є скiнченним, то G має скiнченний абелевий секцiйний ранг.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №11 15
Як ми показали вище, усi виникаючi тут числовi функцiї fj(n) (за винятком функцiї
f4(n)) визначаються через функцiю f1(n). Було розроблено комп’ютерну програму для пiд-
рахунку границь для значень функцiї f1(n). Вiдзначимо, що зростання цiєї функцiї є до-
сить швидким. Наприклад, f1(3) 6 2f1(2); f1(4) 6 240f1(3); f1(5) 6 2f1(4); f1(6) 6 504f1(5);
f1(7) 6 14f1(6); f1(8) 6 480f1(7); f1(9) 6 2f1(8); f1(10) 6 264f1(9). Тому, мабуть, є кращим
показати границi для значень p-компонентiв функцiї f1(n). Нехай n — натуральне число,
p — його простий дiльник та n = pkt, де (p, t) = 1. Визначимо функцiю dp(n) за правилом
dp(n) = k.
У таблицях наведено деякi границi для первiсних значень функцiї dp(f1(n)).
Функцiя d2(f1(n))
n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
d2(f1(n)) 4 5 9 10 13 14 19 20 23 24 28 29 32 33 39 40 43 44 48 49
n 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
d2(f1(n)) 52 53 58 59 62 63 67 68 71 72 79 80 83 84 88 89 92 93 98
Функцiя d3(f1(n))
n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
d3(f1(n)) 1 1 2 2 4 4 5 5 6 6 8 8 9 9 10 10 13 13 14 14
n 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
d3(f1(n)) 15 15 17 17 18 18 19 19 21 21 22 22 23 23 26 26 27 27 28
Функцiя d5(f1(n))
n 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
d5(f1(n)) 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 6 6 6
n 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
d5(f1(n)) 6 7 7 7 7 8 8 8 8 9 9 9 9 10 10 10 10 12
Функцiя d7(f1(n))
n 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
d7(f1(n)) 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3
n 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
d7(f1(n)) 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6
1. Мальцев А.И. О группах конечного ранга // Мат. сб. – 1948. – 22, № 2. – С. 351–352.
2. Baer R., Heineken H. Radical groups of finite abelian subgroup rank // Ill. J. Math. – 1972. – 16. –
P. 533–580.
3. Мерзляков Ю.И. О локально разрешимых группах конечного ранга // Алгебра и логика. – 1969. –
8, № 6. – С. 686–690.
4. Мерзляков Ю.И. О локально разрешимых группах конечного ранга // Там же. – 1964. – 3, № 2. –
С. 5–16.
5. Зайцев Д.И. О группах с дополняемыми нормальными подгруппами // Там же. – 1975. – 14, № 1. –
С. 5–14.
6. Зайцев Д.И. Произведения абелевых групп // Там же. – 1980. – 19, № 2. – С. 150–172.
7. Мальцев А.И. О некоторых классах бесконечных разрешимых групп // Мат. сб. – 1951. – 28, № 3. –
С. 567–588.
8. Robinson D. J. S. Infinite soluble and nilpotent groups. – London: Queen Mary college, Mathematics Notes,
1968. – 210 p.
9. Wehrfritz B. A.F. Infinite linear groups. – Berlin: Springer, 1973. – 204 p.
10. Franciosi S., de Giovanni F., Kurdachenko L.A. The Schur property and groups with uniform conjugace
classes // J. Algebra. – 1995. – 174. – P. 823–847.
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №11
11. Robinson D. J. S. On the cohomology of soluble groups of finite rank // J. Pure and Appl. Algebra. –
1975. – 6. – P. 155–164.
12. Robinson D. J. S. Soluble products of nilpotent groups // J. Algebra. – 1986. – 98. – P. 183–196.
Надiйшло до редакцiї 05.03.2007Днiпропетровський нацiональний унiверситет
УДК 517.925
© 2007
I. I. Король, член-кореспондент НАН України М. О. Перестюк
Iснування i наближена побудова розв’язкiв крайових
задач
A new numerical-analytic method for investigating the boundary-value problems for nonlinear
differential systems is suggested.
Серед методiв iнтегрування крайових задач широко вiдомим є чисельно-аналiтичний метод
А.М. Самойленка [1]. Зокрема, вiн застосовується до знаходження розв’язкiв рiвняння
dx
dt
= F (t, x),
якi задовольняють рiзного роду додатковi умови. Однiєю з умов, якi накладаються на функ-
цiю f(t, x), є умова малостi константи Лiпшiца [2]. Непокращувану оцiнку для неї знайдено
в [3]. У даному повiдомленнi пропонується пiдхiд до розв’язання поставленої в [2] задачi
про знаходження аналогiчних оцiнок у випадку, коли компонентами матрицi Лiпшiца є не-
вiд’ємнi iнтегровнi функцiї. При цьому умова малостi матрицi Лiпшiца накладається не на
всю функцiю F (t, x), а тiльки на її нелiнiйну частину f(t, x).
Розглянемо систему диференцiальних рiвнянь з видiленою лiнiйною частиною
dx
dt
= A(t)x + f(t, x) (1)
та лiнiйними функцiональними обмеженнями
ℓx = α, (2)
де t ∈ [a, b], x : [a, b] → D ⊂ R
n, f : [a, b] × D → R
n, A(t) = (Aij(t))
n
i,j=1, A(t) ∈ C[a, b], ℓ —
лiнiйний вектор-функцiонал, ℓ : C([a, b], Rn) → R
n, α ∈ R
n — сталий вектор.
Згiдно з теоремою Ф. Рiсса [4], завжди можна вказати неперервну злiва матричнозначну
функцiю C(t) обмеженої варiацiї таку, що лiнiйний функцiонал можна зобразити за допо-
могою iнтеграла Рiмана–Стiлтєса, а отже, можемо записати крайовi умови (2) у виглядi
b∫
a
[dC(t)]x(t) = α. (3)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №11 17
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-3228 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:29:37Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Діксон, М.Р. Курдаченко, Л.А. Поляков, М.В. 2009-07-06T10:27:17Z 2009-07-06T10:27:17Z 2007 Локально узагальнено радикальні групи з обмеженнями на деякі ранги / М.Р. Діксон, Л.А. Курдаченко, М.В. Поляков // Доповіді Національної академії наук України. — 2007. — № 11. — С. 12-17. — Бібліогр.: 12 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3228 512.544 A group G is said to be generalized radical if G has an ascending series of normal subroups
 whose factors are locally nilpotent or locally finite. Classes of locally generalized radical groups
 with finite Hirsch–Zajcev rank have been studied, and the relation of Hirsch–Zajcev rank to the
 other ranks is given. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Локально узагальнено радикальні групи з обмеженнями на деякі ранги Article published earlier |
| spellingShingle | Локально узагальнено радикальні групи з обмеженнями на деякі ранги Діксон, М.Р. Курдаченко, Л.А. Поляков, М.В. Математика |
| title | Локально узагальнено радикальні групи з обмеженнями на деякі ранги |
| title_full | Локально узагальнено радикальні групи з обмеженнями на деякі ранги |
| title_fullStr | Локально узагальнено радикальні групи з обмеженнями на деякі ранги |
| title_full_unstemmed | Локально узагальнено радикальні групи з обмеженнями на деякі ранги |
| title_short | Локально узагальнено радикальні групи з обмеженнями на деякі ранги |
| title_sort | локально узагальнено радикальні групи з обмеженнями на деякі ранги |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3228 |
| work_keys_str_mv | AT díksonmr lokalʹnouzagalʹnenoradikalʹnígrupizobmežennâminadeâkírangi AT kurdačenkola lokalʹnouzagalʹnenoradikalʹnígrupizobmežennâminadeâkírangi AT polâkovmv lokalʹnouzagalʹnenoradikalʹnígrupizobmežennâminadeâkírangi |