Слабо плоские границы в метрических пространствах
It has been shown that the domains with the so-called weakly flat boundaries are locally pathwise
 connected at the boundary points. On this base, the far-reaching generalization and strengtheni-
 ng of the well-known Gehring–Martio theorem (1985) on a homeomorphic extension to the&am...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3235 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Слабо плоские границы в метрических пространствах / В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов // Доп. НАН України. — 2007. — № 11. — С. 23-28. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860004649553100800 |
|---|---|
| author | Рязанов, В.И. Салимов, Р.Р. |
| author_facet | Рязанов, В.И. Салимов, Р.Р. |
| citation_txt | Слабо плоские границы в метрических пространствах / В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов // Доп. НАН України. — 2007. — № 11. — С. 23-28. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | It has been shown that the domains with the so-called weakly flat boundaries are locally pathwise
connected at the boundary points. On this base, the far-reaching generalization and strengtheni-
ng of the well-known Gehring–Martio theorem (1985) on a homeomorphic extension to the
boundary of quasiconformal mappings between quasiextremal distance domains in Rn, n > 2,
are obtained. The domains with weakly flat boundaries form a new widest type of domains, vast
classes of topological mappings between which admit a homeomorphic extension to the boundary.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:38:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
© 2007
В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов
Слабо плоские границы в метрических пространствах
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины П.М. Тамразовым)
It has been shown that the domains with the so-called weakly flat boundaries are locally pathwise
connected at the boundary points. On this base, the far-reaching generalization and strengtheni-
ng of the well-known Gehring–Martio theorem (1985) on a homeomorphic extension to the
boundary of quasiconformal mappings between quasiextremal distance domains in R
n, n > 2,
are obtained. The domains with weakly flat boundaries form a new widest type of domains, vast
classes of topological mappings between which admit a homeomorphic extension to the boundary.
Работа посвящена изучению топологии границ областей и исследованию на этой основе гра-
ничного поведения конформных и квазиконформных отображений и их обобщений в метри-
ческих пространствах с мерами. Основным геометрическим методом в квазиконформной те-
ории является метод модулей, который с успехом работает и в метрических пространствах.
Особое значение в современной теории отображений приобретают модули с весом, которые
были введены П.М. Тамразовым в [1] (см. также [2]).
Следующая концепция была предложена профессором Олли Мартио (см., напр., [3]
и [4, 5]). Пусть G и G′ — области в R
n, n > 2, и пусть Q : G → [1,∞] — измеримая функция.
Гомеоморфизм f : G → G′ называется Q-гомеоморфизмом, если
M(fΓ) 6
∫
G
Q(x) · ρn(x) dm(x) (1)
для любого семейства Γ путей в G и любой допустимой функции ρ семейства Γ. Эта концеп-
ция является естественным обобщением геометрического определения квазиконформного
отображения по Вяйсяля [6, см. 13.1, 34.6]. Инфимум по всем допустимым ρ выражения
справа в (1) называется модулем Γ с весом Q.
Напомним, что борелева функция ρ : R
n → [0,∞] называется допустимой для семейства
кривых Γ в R
n, пишут ρ ∈ admΓ, если
∫
γ
ρ ds > 1 (2)
для всех γ ∈ Γ. Модуль семейства кривых Γ определяется равенством
M(Γ) = inf
ρ∈adm Γ
∫
G
ρn(x) dm(x), (3)
где m — мера Лебега в R
n.
Проблема локального и граничного поведения Q-гомеоморфизмов изучалась в R
n в слу-
чае Q ∈ BMO (ограниченного среднего колебания) в работах [3–7], а в случае Q ∈ FMO
(конечного среднего колебания) и в других случаях — в работах [4, 5].
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №11 23
В дальнейшем (X, d, µ) обозначает пространство X с метрикой d и локально конечной
борелевой мерой µ. Областью в X будем называть открытое множество, любые две то-
чки которого можно связать непрерывной кривой. Пусть G и G′ — области с конечными
хаусдорфовыми размерностями α и α′
> 1 в пространствах (X, d, µ) и (X ′, d′, µ′) и пусть
Q : G → [0,∞] — измеримая функция.
Гомеоморфизм f : G → G′ будем называть Q-гомеоморфизмом, если
M(fΓ) 6
∫
G
Q(x) · ρα(x) dµ(x) (4)
для любого семейства Γ путей в G и любой допустимой функции ρ для Γ.
Модуль семейства кривых Γ в пространстве (X, d, µ) задаем равенством
M(Γ) = inf
ρ∈adm Γ
∫
G
ρα(x) dµ(x), (5)
где допустимые функции для Γ, по-прежнему, определяются условием вида (2). В случае
пространства (X ′, d′, µ′) в (5) берем хаусдорфову размерность α′ ∈ [1,∞) области G′.
Напомним также, что пространство (X, d, µ) называется α-регулярным по Альфорсу,
если существует постоянная C > 1 такая, что
C−1rα
6 µ(Br) 6 Crα (6)
для всех шаров Br в X радиуса r < diam X. Как известно, α-регулярные пространства
имеют хаусдорфову размерность α (см., напр., [8, c. 61]).
Будем говорить, что пространство (X, d, µ) — α-регулярно сверху в точке x0 ∈ X, если
существует постоянная C > 0 такая, что
µ(B(x0, r)) 6 Crα (7)
для всех шаров B(x0, r) с центром в точке x0 ∈ X радиуса r < r0. Будем также говорить, что
пространство (X, d, µ) — α-регулярно сверху, если условие (7) выполнено в каждой точке.
Топологическое пространство называется связным, если его нельзя разбить на два непу-
стых открытых множества. Компактные связные пространства называются континуумами.
Топологическое пространство T будем называть линейно связным, если любые две точки x1
и x2 можно соединить непрерывным путем γ : [0, 1] → T , γ(0) = x1 и γ(1) = x2. Областью
в T будем называть открытое линейно связное множество (см. [9]). Говорим, что область G
локально линейно связна в точке x0 ∈ ∂G, если для любой окрестности U точки x0 найдется
окрестность V ⊆ U точки x0 такая, что V
⋂
G линейно связно. Если A, B и C — множества
в T , то ∆(A,B,C) обозначает множество всех кривых γ, которые соединяют A и B в C.
1. Cлабо плоские границы. Здесь G — область конечной хаусдорфовой размерности
α > 1 в пространстве (X, d, µ) с метрикой d и локально конечной борелевской мерой µ.
Приведенные ниже определения сильной достижимости и слабой плоскости в точках
границы сформулированы в терминах модулей и являются обобщением соответствующих
понятий, введенных в R
n, n > 2 (см. [3], ср. их также со свойствами P1 и P2 по Вяйсяля
в [6] и квазиконформной достижимостью и плоскостью по Някки в [10]).
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №11
Будем говорить, что граница области G сильно достижима в точке x0 ∈ ∂G, если для
любой окрестности U точки x0 найдется компакт E ⊂ G, окрестность V ⊂ U точки x0
и число δ > 0 такие, что
M(∆(E,F ;G)) > δ
для любого континуума F в G, пересекающего ∂U и ∂V .
Будем также говорить, что граница ∂G слабо плоская в точке x0 ∈ ∂G, если для любого
числа P > 0 и окрестности U точки x0 найдется ее окрестность V ⊂ U такая, что
M(∆(E,F ;G)) > P (8)
для любых континуумов E и F , пересекающих ∂U и ∂V .
Граница ∂G называется сильно достижимой и слабо плоской, если соответствующие
свойства имеют место в каждой точке границы.
Предложение 1. Если ∂G слабо плоская в точке x0 ∈ ∂G, то ∂G сильно достижима
из G в точке x0.
Лемма 1. Если ∂G слабо плоская в точке x0 ∈ ∂G, то G локально линейно связна в x0.
Следствие 1. Области со слабо плоскими границами в пространствах (X, d, µ) ло-
кально линейно связны во всех граничных точках.
2. О конечном среднем колебании относительно меры. Пусть G — область в про-
странстве (X, d, µ). Аналогично [4] (ср. также [11]), будем говорить, что функция ϕ : G → R
имеет конечное среднее колебание в точке x0 ∈ G, сокр. ϕ ∈ FMO(x0), если
lim
ε→0
−
∫
G(x0,ε)
|ϕ(x) − ϕε|dµ(x) < ∞, (9)
где
ϕε = −
∫
G(x0,ε)
ϕ(x)dµ(x) =
1
µ(G(x0, ε))
∫
G(x0,ε)
ϕ(x) dµ(x) —
среднее значение функции ϕ(x) по G(x0, ε) = {x ∈ G : d(x, x0) < ε} относительно меры µ.
Здесь условие (9) включает предположение, что ϕ интегрируема относительно меры µ
в окрестности точки x0.
Пpeдлoжeниe 2. Если для некоторого набора чисел ϕε ∈ R, ε ∈ (0, ε0],
lim
ε→0
−
∫
G(x0,ε)
|ϕ(x) − ϕε|dµ(x) < ∞, (10)
то ϕ ∈ FMO(x0).
Следствие 2. В частности, если
lim
ε→0
−
∫
G(x0,ε)
|ϕ(x)|dµ(x) < ∞, (11)
то ϕ ∈ FMO(x0).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №11 25
Варианты следующей леммы были сначала доказаны для BMO функций и внутренних
точек области G в R
n при n = 2 и n > 3 соответственно в [7] и [3], а затем для граничных
точек G в R
n, n > 2, с условием удвоения меры и FMO функций — в [4].
Лемма 2. Пусть G — область в пространстве (X, d, µ) α-регулярном сверху c α > 2
в точке x0 ∈ G и
µ(G
⋂
B(x0, 2r)) 6 γ · logα−2 1
r
· µ(G
⋂
B(x0, r)), ∀r ∈ (0, r0). (12)
Тогда для любой неотрицательной функции ϕ : G → R класса FMO(x0)
∫
G∩A(ε,ε0)
ϕ(x)dµ(x)
(
d(x, x0) log
1
d(x, x0)
)α = O
(
log log
1
ε
)
(13)
при ε → 0 и некотором ε0 ∈ (0, δ0), где δ0 = min(e−e, d0), d0 = sup
x∈G
d(x, x0),
A(ε, ε0) = {x ∈ X : ε < d(x, x0) < ε0}.
Отметим, что условие (12) слабее условия удвоения меры
µ(G
⋂
B(x0, 2r)) 6 γ · µ(G
⋂
B(x0, r)), ∀r ∈ (0, r0), (14)
которое использовалось ранее в контексте R
n, n > 2 в работе [4].
3. О непрерывном продолжении на границу. В дальнейшем (X, d, µ) и (X ′, d′, µ′) —
пространства c метриками d и d′ и локально конечными борелевскими мерами µ и µ′, а G
и G′ — области конечной хаусдорфовой размерности α и α′
> 1 в (X, d) и (X ′, d′) соответ-
ственно.
Теорема 1. Пусть G — локально линейно связна в точке x0 ∈ ∂G, G′ — компакт и ∂G′
сильно достижима. Если измеримая функция Q : G → [0,∞] удовлетворяет условию
∫
G(x0,ε,ε0)
Q(x)dµ(x)
d(x, x0)α
= o
([
log
1
ε
]α)
(15)
при ε → 0, где G(x0, ε, ε0) = {x ∈ G : ε < d(x, x0) < ε0}, для ε0 < d(x0) = sup
x∈G
d(x, x0), то
любой Q-гомеоморфизм f : G → G′ продолжим в точку x0 по непрерывности в (X ′, d′).
Следствие 3. В частности, заключение теоремы 1 остается в силе, если сходится
сингулярный интеграл
∫
Q(x)dµ(x)
d(x, x0)α
(16)
в окрестности точки x0 в смысле главного значения.
Здесь подразумевается, что Q продолжена нулем вне G.
Теорема 2. Пусть X α-регулярно сверху в точке x0 ∈ ∂G, α > 2, где G локально
линейно связна и удовлетворяет условию (12), а G′ компактно и ∂G′ сильно достижима.
Если Q ∈ FMO(x0), то любой Q-гомеоморфизм f : G → G′ продолжим в точку x0 по
непрерывности в (X ′, d′).
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №11
Следствие 4. В частности, если
lim
ε→0
−
∫
G(x0,ε)
Q(x) dµ(x) < ∞, (17)
где G(x0, ε) = {x ∈ G : d(x, x0) < ε}, то любой Q-гомеоморфизм f : G → G′ продолжим
в точку x0 по непрерывности в (X ′, d′).
Теорема 3. Пусть G локально линейно связна во всех своих граничных точках и G —
компакт, G′ имеет слабо плоскую границу, а f : G → G′ — Q-гомеоморфизм с Q ∈ L1
µ(G).
Тогда обратный гомеоморфизм g = f−1 : G′ → G допускает непрерывное продолжение
g : G′ → G.
4. О гомеоморфном продолжении на границу. Комбинируя результаты предыду-
щих секций, получаем следующие теоремы.
Теорема 4. Пусть G и G′ имеют слабо плоские границы, а G и G′ — компакты и пусть
Q : G → [0,∞] — функция класса L1
µ(G) с
∫
G(x0,ε,ε0)
Q(x)dµ(x)
d(x, x0)α
= o
([
log
1
ε
]α)
(18)
в каждой точке x0 ∈ ∂G, где G(x0, ε, ε0) = {x ∈ G : ε < d(x, x0) < ε0}, ε0 = ε(x0) <
< d(x0) = sup
x∈G
d(x, x0). Тогда любой Q-гомеоморфизм f : G → G′ допускает продолжение
до гомеоморфизма f : G → G′.
Следствие 5. В частности, заключение теоремы 4 имеет место, если сингулярный
интеграл
∫
Q(x)dµ(x)
d(x, x0)α
(19)
сходится в смысле главного значения во всех граничных точках.
Как и ранее, здесь подразумевается, что Q продолжена нулем вне G.
Теорема 5. Пусть G — область в α-регулярном сверху пространстве (X, d, µ), α > 2,
которая локально линейно связна и удовлетворяет условию (12) во всех граничных точках,
G′ — область в пространстве (X ′, d′, µ′) со слабо плоской границей, а G и G′ — компакты.
Если Q имеет конечное среднее колебание во всех граничных точках, то любой Q — го-
меоморфизм f : G → G′ продолжим до гомеоморфизма f : G → G′.
Следствие 6. В частности, заключение теоремы 5 имеет место, если
lim
ε→0
−
∫
G(x0,ε)
Q(x)dµ(x) < ∞ ∀x0 ∈ ∂G, (20)
где G(x0, ε) = {x ∈ G : d(x, x0) < ε}.
По аналогии с определением Вяйсяля [6, 13.1], гомеоморфизм f : G → G′ будем называть
K-квазиконформным, K ∈ [1,∞], если
K−1M(Γ) 6 M(fΓ) 6 KM(Γ) (21)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №11 27
для любого семейства кривых Γ в G. Гомеоморфизм f : G → G′ называем квазиконформ-
ным, если f является K-квазиконформным для некоторого K ∈ [1,∞), т. е. если искажение
модулей семейств кривых при отображении f ограничено.
Теорема 6. Пусть G имеет слабо плоскую границу, а G′ локально линейно связна
в граничных точках и G′ — компакт. Тогда любое квазиконформное отображение f : G →
→ G′ допускает непрерывное продолжение на границу f : G → G′.
Следствие 7. Если G и G′ — области со слабо плоскими границами и компактными
замыканиями G и G′, то любое квазиконформное отображение f : G → G′ допускает го-
меоморфное продолжение f : G → G′.
Приведенные теоремы являются далеко идущим обобщением и усилением хорошо из-
вестного результата Геринга–Мартио о гомеоморфном продолжении на границу квазикон-
формных отображений между областями квазиэкстремальной длины в R
n, n > 2 (см. [12],
ср. также [3, 10]). Полученные результаты применимы на римановых многообразиях, в про-
странствах Левнера и, в частности, группах Карно и Гейзенберга (см., напр., [8, 13, 14]).
1. Тамразов П.М. Модули и экстремальные метрики в неориентируемых и скрученных римановых мно-
гообразиях // Укр. мат. журн. – 1998. – 50, № 10. – С. 1388–1398.
2. Ohtsuka M. Extremal length and precise functions. – Tokyo: Gakkotosho Co., Ltd., 2003. – 343 p.
3. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On Q-homeomorphisms // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1.
Math. – 2005. – 30. – P. 49–69.
4. Ignat’ev A., Ryazanov V. Finite mean oscillation in the mapping theory // Ukr. Math. Bull. – 2005. – 2,
No 3. – P. 403–424.
5. Ignat’ev A., Ryazanov V. To the theory of the boundary behavior of space mappings // Ibid. – 2006. – 3,
No 2. – P. 189–201.
6. Väisälä J. Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings // Lecture Notes in Math. 229. – Berlin:
Springer, 1971. – 144 p.
7. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. BMO-quasiconformal mappings // J. Anal. Math. – 2001. – 83. –
P. 1–20.
8. Heinonen J. Lectures on analysis on metric spaces. – New York: Springer, 2001. – 140 p.
9. Куратовский К. Топология. T. 2. – Москва: Мир, 1969. – 124 p.
10. Näkki R. Boundary behavior of quasiconformal mappings in n-space // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1.
Math. – 1970. – 484. – P. 1–50.
11. Heinonen J., Kilpelainen T., Martio O. Nonlinear potential theory of degenerate elliptic equations. – New
York: Clarendon Press, 1993. – 363 p.
12. Gehring F.W., Martio O. Quasiextremal distance domains and extension of quasiconformal mappings //
J. Anal. Math. – 1985. – 24. – P. 181–206.
13. Водопьянов С.К. Отображения с ограниченным искажением и конечным искажением на группах
Карно // Сиб. мат. журн. – 1999. – 40, № 4. – С. 764–804.
14. Koranyi A., Reimann H. Foundations for the theory of quasiconformal mappings on the Heisenberg group //
Adv. Math. – 1995. – 111, No 1. – P. 1–87.
Поступило в редакцию 02.04.2007Институт прикладной математики
и механики НАН Украины, Донецк
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №11
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-3235 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:38:14Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Рязанов, В.И. Салимов, Р.Р. 2009-07-06T10:48:43Z 2009-07-06T10:48:43Z 2007 Слабо плоские границы в метрических пространствах / В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов // Доп. НАН України. — 2007. — № 11. — С. 23-28. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3235 517.5 It has been shown that the domains with the so-called weakly flat boundaries are locally pathwise
 connected at the boundary points. On this base, the far-reaching generalization and strengtheni-
 ng of the well-known Gehring–Martio theorem (1985) on a homeomorphic extension to the
 boundary of quasiconformal mappings between quasiextremal distance domains in Rn, n > 2,
 are obtained. The domains with weakly flat boundaries form a new widest type of domains, vast
 classes of topological mappings between which admit a homeomorphic extension to the boundary. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Слабо плоские границы в метрических пространствах Article published earlier |
| spellingShingle | Слабо плоские границы в метрических пространствах Рязанов, В.И. Салимов, Р.Р. Математика |
| title | Слабо плоские границы в метрических пространствах |
| title_full | Слабо плоские границы в метрических пространствах |
| title_fullStr | Слабо плоские границы в метрических пространствах |
| title_full_unstemmed | Слабо плоские границы в метрических пространствах |
| title_short | Слабо плоские границы в метрических пространствах |
| title_sort | слабо плоские границы в метрических пространствах |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3235 |
| work_keys_str_mv | AT râzanovvi slaboploskiegranicyvmetričeskihprostranstvah AT salimovrr slaboploskiegranicyvmetričeskihprostranstvah |