Об одной проблеме минимума со свободной границей
Solvability of a boundary-value problem with the Bernoulli condition on a free boundary is proved. By using the Ritz method, an approximate solution convergent to the exact solution in the metric C is constructed.
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3239 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об одной проблеме минимума со свободной границей / А.И. Шевченко, А.С. Миненко // Доп. НАН України. — 2007. — № 11. — С. 29-33. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-3239 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Шевченко, А.И. Миненко, А.С. 2009-07-06T10:58:30Z 2009-07-06T10:58:30Z 2007 Об одной проблеме минимума со свободной границей / А.И. Шевченко, А.С. Миненко // Доп. НАН України. — 2007. — № 11. — С. 29-33. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3239 517.9 Solvability of a boundary-value problem with the Bernoulli condition on a free boundary is proved. By using the Ritz method, an approximate solution convergent to the exact solution in the metric C is constructed. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Об одной проблеме минимума со свободной границей Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Об одной проблеме минимума со свободной границей |
| spellingShingle |
Об одной проблеме минимума со свободной границей Шевченко, А.И. Миненко, А.С. Математика |
| title_short |
Об одной проблеме минимума со свободной границей |
| title_full |
Об одной проблеме минимума со свободной границей |
| title_fullStr |
Об одной проблеме минимума со свободной границей |
| title_full_unstemmed |
Об одной проблеме минимума со свободной границей |
| title_sort |
об одной проблеме минимума со свободной границей |
| author |
Шевченко, А.И. Миненко, А.С. |
| author_facet |
Шевченко, А.И. Миненко, А.С. |
| topic |
Математика |
| topic_facet |
Математика |
| publishDate |
2007 |
| language |
Russian |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| description |
Solvability of a boundary-value problem with the Bernoulli condition on a free boundary is
proved. By using the Ritz method, an approximate solution convergent to the exact solution in
the metric C is constructed.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3239 |
| citation_txt |
Об одной проблеме минимума со свободной границей / А.И. Шевченко, А.С. Миненко // Доп. НАН України. — 2007. — № 11. — С. 29-33. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT ševčenkoai obodnoiproblememinimumasosvobodnoigranicei AT minenkoas obodnoiproblememinimumasosvobodnoigranicei |
| first_indexed |
2025-11-24T03:18:28Z |
| last_indexed |
2025-11-24T03:18:28Z |
| _version_ |
1850840621537820672 |
| fulltext |
УДК 517.9
© 2007
Член-корреспондент НАН Украины А.И. Шевченко, А. С. Миненко
Об одной проблеме минимума со свободной границей
Solvability of a boundary-value problem with the Bernoulli condition on a free boundary is
proved. By using the Ritz method, an approximate solution convergent to the exact solution in
the metric C is constructed.
1. Постановка задачи потенциального течения. Введем следующие обозначения:
A = (0 6 x 6 a, y = 0), Q1 = (x = 0, 0 6 y 6 c), Q2 = (x = a, 0 6 y 6 b),
где 0 < c < b. Далее, пусть P — дважды непрерывно дифференцируемая, монотонно во-
зрастающая кривая, заданная уравнением y = g(x), 0 6 x 6 a, причем g(0) = c, g(a) = b,
g′(0) = 0, g′(a) = 0. Обозначим D — область, ограниченную отрезком A, кривой P и обра-
зующими Q1 и Q2, а γ — достаточно гладкую кривую без самопересечений, расположенную
в D
⋃
P . При этом одним концом γ является точка (0, c), а другой лежит на образующей Q2,
разбивая ее на две части: верхнюю Q1γ и нижнюю Q2γ , т. е. Q2 = Q1γ
⋃
Q2γ ; Dγ ⊂ D —
область, ограниченная отрезком A, образующими Q1 и Q2γ и кривой γ.
Рассмотрим следующую нелинейную краевую задачу со свободной границей γ. Требу-
ется определить односвязную область Dγ и определенную в ней функцию тока ψ(x, y) по
таким условиям:
ψxx + ψyy = 0, (x, y) ∈ Dγ , (1)
ψ(x, y) = 0, (x, y) ∈ A, (2)
ψx(x, y) = 0, (x, y) ∈ Q1
⋃
Q2γ , (3)
ψ(x, y) = 1, (x, y) ∈ γ, (4)
ψ2
x(x, y) + ψ2
y(x, y) > v2, (x, y) ∈ γ, v = const > 0, (5)
причем на части γ, лежащей внутри D, в (5) всегда должно выполняться равенство.
Задача (1)–(5) возникает при изучении струйных течений жидкости в достаточно удли-
ненной, но конечной части D бесконечно длинного сопла.
2. Вариационная постановка задачи. Рассмотрим функционал с переменной обла-
стью интегрирования
I(ψ,Dγ) =
∫∫
Dγ
(ψ2
x + ψ2
y + v2) dxdy (6)
на множестве R допустимых пар (ψ,Dγ), удовлетворяющих следующим условиям: γ — жор-
данова дуга, расположенная в D
⋃
P , одним концом которой является точка (0, c), а дру-
гим — точка (a, b), причем все точки γ, исключая конец (0, c), расположены выше гори-
зонтали y = c; функция ψ(x, y) непрерывна в замыкании области Dγ , равна единице на γ,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №11 29
нулю на отрезке A и имеет непрерывно дифференцируемые производные в Dγ , при этом
I(ψ,Dγ) < ∞.
Перейдем теперь к описанию симметризации области Dγ относительно осей координат
по Штейнеру [1]. Определим симметризацию области Dγ относительно оси. Для этого до-
полним Ω = Π \Dγ , где Π = {0 6 x 6 a, 0 6 y 6 b} областью, симметричной относительно
оси y. Просимметризируем ее относительно этой оси и правую половину полученной области
обозначим Ω∗. Тогда D∗
y = Π \ Ω∗ есть результат симметризации области Dγ относительно
оси y.
Симметризацию области Dγ относительно оси x определим так. Дополним Ω областью,
симметричной относительно прямой y = b. Просимметризируем ее относительно этой пря-
мой и нижнюю половину полученной области обозначим G∗. В результате этой симметри-
зации получим новую область D∗
y = Π \ G∗, являющуюся результатом симметризации Dγ
относительно оси x. Справедлива лемма о симметризации ([1], лемма 1.4).
Лемма. Пусть ψ(x, y) — решение задачи (1)–(4) в области Dγ , а ψ∗(x, y) — решение
этой задачи в области D∗ со свободной границей γ∗, полученной из Dγ при помощи сим-
метризации относительно осей координат. Тогда I(ψ∗,D∗) 6 I(ψ,Dγ), причем ψ∗
y(x, y) >
> 0 в D∗, a γ∗ может быть задана уравнением
x = x(t), y = y(t), 0 6 t 6 T,
где x(t), y(t) — неубывающие функции при t ∈ [0, T ].
Используя вариационную природу задачи (1)–(5), лемму о симметризации и метод внут-
ренних вариаций Шиффера [1], доказывается теорема.
Теорема 1. Пусть P — дважды непрерывно дифференцируемая, монотонно возраста-
ющая кривая, заданная уравнением y = g(x), g = 0, 0 6 x 6 a, g(0) = c, g(a) = b, g′(0) = 0,
g′(a) = 0, и пусть выполнены условия:
vc < 1,
a
c
a
∫
0
√
1 + g2
xdx
< v.
Тогда существует пара (ψ, γ), являющаяся классическим решением задачи (1)–(5). При
этом пара (ψ, γ) удовлетворяет следующим условиям: γ — монотонно возрастающая ду-
га, аналитическая в окрестности каждой своей внутренней точки, лежащей внутри D
и ψy > 0 в Dγ .
Справедлива также теорема.
Теорема 2 ([2], теорема 1). Пусть выполнены условия
vb < 1, v
a2
∫
a1
√
1 + g2
xdx+
a− a2
b
>
a− a1
c
,
и пусть g(x) ∈ C2[0, a], g(x) = c при x ∈ [0, a1], g(x) = b при x ∈ [a2, a], где a1 < a2, и, кроме
того, g(x) — монотонно возрастающая кривая при x ∈ [0, a]. Тогда существует пара (ψ, γ),
являющаяся решением задачи (1)–(5) и удовлетворяющая следующим условиям: ψ(x, y) —
функция, непрерывная в Gγ, непрерывно дифференцируемая в Gγ, ψy(x, y) > 0, в Gγ ; γ —
монотонно возрастающая кривая, аналитическая в окрестности каждой своей точки,
лежащей внутри G.
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №11
3. Вихревое течение со свободной границей. Изучается вихревое течение жидкости
в достаточно длинной области в случае двух геометрических переменных, когда интенсив-
ность вихря характеризуется величиной ω = const > 0. Требуется определить односвязную
область Dγ и определенную в ней функцию тока ψ(x, y), удовлетворяющую уравнению
ψxx + ψyy = ω, (x, y) ∈ Dγ (7)
и условиям (2)–(5).
Теорема 3. Пусть P — дважды непрерывно дифференцируемая, монотонно возраста-
ющая кривая, заданная уравнением y = g(x), 0 6 x 6 a, g(0) = c, g(a) = b, причем
g′(0) = 0, g′(a) = 0, и пусть выполнены условия:
v <
1
c
+
ω
2
c,
ωmesD +
(
1 − ω
2
c2
)
a
c
a
∫
0
√
1 + g2
xdx
< v.
Тогда существует пара (ψ, γ), являющаяся классическим решением задачи (1)–(5). При
этом пара (ψ, γ) удовлетворяет таким условиям: γ — монотонно возрастающая дуга, анали-
тическая в окрестности каждой своей внутренней точки, лежащей внутри D, и ψy > 0 в Dγ .
Теорема существования в осесимметрическом случае изложена в [3] для v = const и для
аналитической функции v = v(x, y) в [4].
4. Построение приближений Ритца. Согласно известной методике Фридрихса [1],
представим функционал (6) в виде
I1(z) =
∫∫
∆
[(
zx +
gx
g
z
)2
+
1
g2
+ v2z2
ϕ
]
g
zϕ
dxdϕ (8)
где ∆ = (0 < x < a, 0 < ϕ < 1), ϕ(x, z) = ψ(x, zg(x)), а z(x, ϕ) — решение уравнения
ϕ(x, z) − ϕ = 0. Функционал (8) будем минимизировать на множествах
D1
z = {z : z ∈ C1(∆), z(a1, 1) = 1, z(x, 0) = 0, min
(x,ϕ)∈∆
zϕ > 0}
или
D2
z = {z : z ∈ C1(∆), z(a1, 1) = 1, z(a2, 1) = 1, z(x, 0) = 0, min
(x,ϕ)∈∆
zϕ > 0}.
Здесь множество D1
z используется в случае теоремы 1, а D2
z — для теоремы 2.
Будем минимизировать функционал (7) на множествах при помощи сумм
zn(x, ϕ; akj(g)) = zn(x, ϕ; g) = zn(x, ϕ) =
m
∑
k=1
mk
∑
j=0
akj(g)x
jϕk, sup
16k6m
(k +mk) = n.
Выделим в пространстве Er коэффициентов akj область допустимости D1
r и D2
r , где
r =
m
∑
k=1
(mk + 1), D1
r = E0
r
⋂
G+
r , E0
r :
m
∑
k=1
mk
∑
j=0
akja
j
1 − 1 = 0,
G+
r =
{
akj : min
(x,ϕ)∈∆
znϕ(x, ϕ) > 0
}
, D2
r = E1
r
⋂
G+
r , E1
r :
m
∑
k=1
mk
∑
j=0
akja
j
2 − 1 = 0.
(9)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №11 31
Неизвестные коэффициенты akj ∈ D1
r и множитель Лагранжа λ определяются из не-
линейной системы Ритца:
∂I2(akj)
∂apq
+ λaq
1 = 0, q = 0, 1, 2, . . . ,mp, p = 1, 2, . . . ,m,
m
∑
k=1
mk
∑
j=0
akja
j
1 − 1 = 0, I2(akj) = I1
(
m
∑
k=1
mk
∑
j=0
akjx
jϕk
)
.
(10)
Аналогичным образом строится система Ритца в случае множества D2
r .
В работе [2] доказана сходимость приближений Ритца к точному решению z0(x, ϕ),
соответствующему классическому решению (ψ, γ) задач (1)–(5) (в случае множества D1
z)
или (2)–(5), (7) (для множества D2
z) по норме в C(∆) и W 1
2 (∆). Построение приближений
Ритца для вихревого течения в осесимметрическом случае изложено в [3].
5. Построение первого приближения. Рассмотрим следующее приближение:
z1(x, ϕ) = (α+ βx2)/g(x), где α и β — коэффициенты, подлежащие определению, а (x, ϕ) ∈
∈ ∆. Учитывая, что z1(0, 1) = 1, a z1 ∈ Dz, находим α = c. Далее, подставляя выражение
для z1(x, ϕ) в функционал (8), после интегрирования получаем
I1(z1) =
4
3
β
[
a−
√
c
β
arctg a
√
β
c
]
+
1√
cβ
arctg a
√
β
c
+ v2ac+
1
3
v2βa3.
Неизвестный коэффициент β найдем из условия dI1(z1)/dβ = 0. Решим это уравнение,
считая параметр a достаточно большим. Тогда получим
β =
c
a2
1
c2
− v2
2v2 +
2
3a2
+
1
c2
+O
(
1
a2
)
.
Заметим, что в силу теоремы 1 всегда cv < 1. Таким образом, построив приближение
z1(x, ϕ), можно записать уравнение свободной границы y(x, 1) = g(x)z1(x, 1) и вычислить
“ширину струи” при x = a, что имеет практический интерес при исследовании струйных
течений.
6. Оптимальное управление свободной границей. Обозначим U — множество
допустимых управлений, элементами которого являются функции y = g(x) (0 6 x 6 a),
удовлетворяющие условиям теоремы 1. Очевидно, что коэффициенты Ритца akj , определя-
емые при решении системы (10), будут теперь зависеть от элемента g ∈ U , т. е. akj = akj(g).
Далее, пусть γ0 — заданная допустимая кривая. Введем в рассмотрение функционал
F (g) =
a
∫
0
[y(x; g) − y0(x)]
2dx, g ∈ U,
где γ0 : y = y0(x), γ(g) : y = y(x; g), x ∈ [0; a]. Задача состоит в нахождении элемента g ∈
∈ U (оптимальное управление), доставляющего наименьшее значение функционалу F (g) на
множестве U . В терминах функции z(x, ϕ; g) этот функционал имеет вид
F (g) =
a
∫
0
[g(x) · z(x, 1; g) − y0(x)]
2dx. (11)
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №11
Здесь γ(g) : y = g(x) · z(x, 1; g). Допустим, что U не только замкнутое, но и компактное
множество. Например, если имеются две функции g1(x) и g2(x), удовлетворяющие условиям
теоремы 1 и такие, что g′1(x) > g′2(x) при x ∈ [0; a], то в качестве U можно взять множество
вида:
U = U(ε) = {gε(x) : gε(x) = g1(x) + ε(g2(x) − g1(x)), 0 6 ε 6 1, 0 6 x 6 a}.
Множество U по теореме Арцела компактно в C[0, a], так как оно равномерно ограниче-
но и равностепенно непрерывно. Выбирая теперь минимизирующую относительно функ-
ционала F (g) последовательность gn ∈ U , заметим, что в силу [2] функционал (11) будет
непрерывным по g.
Теорема 4. Пусть множество U является замкнутым и компактным. Тогда сущест-
вует управление g∗ ∈ U доставляющее наименьшее значение функционалу (11) на мно-
жестве U для каждого конечномерного приближения, основанного на методе Ритца.
Замечание. В работах [5, 6] вариационный подход был использован при исследовании
теплофизической задачи типа Стефана.
1. Миненко А.С. Вариационные задачи со свободной границей. – Киев: Наук. думка, 2005. – 341 с.
2. Миненко А.С. О минимизации одного интегрального функционала методом Ритца // Укр. мат.
журн. – 2006. – 58, № 10. – С. 1385–1394.
3. Миненко А.С. Осесимметричное течение со свободной границей // Там же. – 1995. – 47, № 4. –
С. 477–488.
4. Миненко А.С. Аналитичность свободной границы в одной задаче осесимметричного течения // Там
же. – 1998. – 50, № 2. – С. 1692–1700.
5. Данилюк И.И., Миненко А.С. О методе Ритца в одной нелинейной задаче со свободной границей //
Докл. АН УССР. Сер. А. – 1978. – № 4. – С. 291–294.
6. Миненко А.С. Об одной теплофизической задаче со свободной границей // Там же. – 1979. – № 6. –
С. 413–416.
Поступило в редакцию 17.04.2007Институт проблем искусственного интеллекта
НАН Украины, Донецк
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №11 33
|