Элементы прикладной теории электромагнитных дефектоскопов
A theory for single- and three-legged electromagnetic transformers (indicators of cracks in a control material) is given.
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3245 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Элементы прикладной теории электромагнитных дефектоскопов / А.Е. Божко, О.Ф. Полищук // Доп. НАН України. — 2007. — № 11. — С. 34-41. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859824259934715904 |
|---|---|
| author | Божко, А.Е. Полищук, О.Ф. |
| author_facet | Божко, А.Е. Полищук, О.Ф. |
| citation_txt | Элементы прикладной теории электромагнитных дефектоскопов / А.Е. Божко, О.Ф. Полищук // Доп. НАН України. — 2007. — № 11. — С. 34-41. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | A theory for single- and three-legged electromagnetic transformers (indicators of cracks in a control material) is given.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:28:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
11 • 2007
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
УДК 621.3(075)
© 2007
Член-корреспондент НАН Украины А.Е. Божко, О. Ф. Полищук
Элементы прикладной теории электромагнитных
дефектоскопов
A theory for single- and three-legged electromagnetic transformers (indicators of cracks in a
control material) is given.
Создание приборов для обнаружения трещин, раковин в материалах различных объектов
(корпуса нефте-, бензоцистерн, ракет, двигателей, самолетов, судов и т. д.) является важной
народнохозяйственной задачей, позволяющей своевременно устранить дефекты, которые
могут вызвать опасные ситуации, доходящие до чрезвычайных происшествий [1–3]. С на-
учно-технической точки зрения такие приборы-дефектоскопы разрабатываются на основе
нетривиальных методов, базирующихся на сложных электромагнитных процессах. Опубли-
кованные работы по дефектоскопии, например [1–5], недостаточно отражают конкретные
физические преобразования, формирующие конечный результат дефектоскопии. В дефек-
тоскопических приборах в основном используются электромагнитные принципы [1, 4]. Эти
приборы состоят из измерительного электромагнитного преобразователя (датчика) и ре-
гистрирующей полупроводниковой в микроэлементном исполнении части (вторичного при-
бора). В Институте проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины раз-
работан ряд электромагнитных дефектоскопов (индикаторов трещин), которые внедрены
в промышленность Украины. Эти приборы созданы на основе разработанной авторами при-
кладной теории, фрагменты которой представлены в данной работе.
Главным элементом любого дефектоскопа является первичный преобразователь. Кон-
струкция преобразователя определяется задачами контроля и формой контролируемого
объекта. Наиболее универсальными являются накладные преобразователи “карандашного”
типа и преобразователи с Ш-образным ферритовым сердечником. Последний позволяет
расширить зону контроля, а также обнаружить подповерхностные дефекты, что не обеспе-
чивает “карандашный” (одностержневой) преобразователь.
Рассмотрим последовательно эти преобразователи. Схема одностержневого преобразо-
вателя изображена на рис. 1: а — преобразователь и контролируемый материал без трещи-
ны; б — преобразователь и материал с трещиной; в — контролируемый материал и контуры
в нем вихревых токов iвихр, а также пространственная диаграмма основного магнитного по-
тока Φ1 и магнитного потока Φвихр, образованного вихревыми токами iвихр.
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №11
Рис. 1
Рассмотрим более детально процессы, происходящие при контроле материала без тре-
щины (см. рис. 1, а) и с трещиной (см. рис. 1, б ). На рис. 1, а изображены следующие
элементы и физические величины: C — ферритовый стержень; Г — генератор переменного
тока высотой частоты (f = 30 ÷ 50 кГц); И — измерительная часть дефектоскопа; w1 —
генераторная обмотка с числом витков w1; w2, w3 — измерительные обмотки с числом ви-
тков w2, w3 соответственно (обычно w2 = w3); КМ — контролируемый металл; U1, U2,
U3 — напряжения на соответствующих обмотках; Uвх — входное напряжение измерителя
И; U0 — напряжение уставки; Φ1, Φ′
1, Φ′′
1, Φ′
2, Φ′′
2, Φ′
3, Φ′′
3, Φвихр — магнитные потоки; i1 —
ток в обмотке w1; iвихр — вихревой ток в КМ.
Точками на обмотках изображены начала навивки провода обмотки. Как видно из
рис. 1, а, измерительные обмотки w2 и w3 соединены встречно (дифференциальный ме-
тод). Поэтому |Uвх| = |U3 − U2|. При этом заметим U3 6= U2, так как через них проходят
разные магнитные потоки. А это значит, что при отсутствии в КМ трещины Uвх > 0.
Для того чтобы на выходе измерителя (И) при КМ без трещины сигнал равнялся нулю,
необходимо величину |U3 − U2| = ∆U скомпенсировать напряжением уставки нуля U0. Ра-
бота одностержневого преобразователя следующая. От генератора Г в обмотку w1 идет ток
i1 = I1a sin(ωt − ϕ), где I 1a — амплитуда; ω — круговая частота [ω = 2πf , f — частота
(50 кГц)]; t — время; ϕ — угол сдвига между U1 и i1. Этот ток в соответствии с законом
полного тока [6] наводит в сердечнике C магнитный поток Φ1.
Как видно из рис. 1, а, Φ1 = Φ′
1 + Φ′′
1 + Φ′
2 + Φ′′
2 + Φ′
3 + Φ′′
3 −
∑
Φвихр, где
∑
Φвихр —
суммарный вихревой магнитный поток. Магнитные потоки Φ′
2, Φ′′
2 и Φ′
3, Φ′′
3 наводятся в сер-
дечнике C в результате дополнительного к i1 действия токов i2 и i3 в этих обмотках. В ре-
зультате прохождения потока Φ1 через КМ без трещины в КМ возникают вихревые токи
iвихр =
Eвихр
RКМ
=
−1
RКМ
dΦ1
dt
, где Eвихр — ЭДС индукции; RКМ — активное сопротивление
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №11 35
КМ. На основании закона полного тока вихревые токи iвихр создают магнитный поток
Φвихр, направленный навстречу Φ1 (см. рис. 1, в). В результате витки обмоток w1, w2, w3
будут пересекаться встречными потоками Φ′
вихр, Φ′′
вихр, Φ′′′
вихр. Причем через обмотку w2 бу-
дут проходить Φ′
вихр +Φ′′
вихр +Φ′′′
вихр, через обмотку w1 — Φ′′
вихр +Φ′′′
вихр, через обмотку w2 —
Φ′′′
вихр. Отсюда видно, что для обмотки w3 противоположный магнитный поток Φвихр наи-
больший, а для обмотки w2 — наименьший, но от тока i1 магнитный поток Φ1 для обмотки
w3 наибольший, а для обмотки w2 — Φ′
2 + Φ′′
2 — наименьший.
Дифференциальные уравнения одностержневого преобразователя имеют вид
U1 = r1i1 + L1
di1
dt
− M12
di2
dt
+ M13
di3
dt
,
r2i2 + L2
di2
dt
− M21
di1
dt
− M23
di3
dt
= 0,
r3i3 + L3
di3
dt
+ M31
di1
dt
− M32
di2
dt
,
(1)
где r1, r2, r3, L1, L2, L3 — активные сопротивления и индуктивности обмоток w1, w2, w3;
M12 = M21; M13 = M31; M23 = M32 — взаимоиндуктивных; i1, i2, i3 — токи в обмотках w1,
w2, w3 соответственно; знаки при взаимоиндуктивности ЭДС определяются соответствием
начал навивки провода в обмотках.
Магнитные потоки в системе следующие:
Φ3 = Φ1 = Φ′
1 + Φ′′
1 + Φ′
2 + Φ′′
2 + Φ′
3 + Φ′′
3 − Φ′
вихр1 − Φ′′
вихр1 − Φ′
вихр2 −
− Φ′′
вихр2 − Φ′
вихр3 − Φ′′
вихр3;
Φ11 = Φ′
1 + Φ′′
1 + Φ′
2 + Φ′′
2 − Φ′
вихр1 − Φ′′
вихр1 − Φ′
вихр2 − Φ′′
вихр2;
Φ2 = Φ′
2 + Φ′′
2 − Φ′
вихр2 − Φ′′
вихр2.
(2)
В (1) L2di2/dt = U2, L3di3/dt = U3, являющиеся выходными напряжениями на обмотках
w2 и w3 соответственно. Связь потоков Φ3, Φ11, Φ2 с токами i1, i2, i3 определяется законом
полного тока [6] Φ = iwG, где i, w — ток и число витков обмотки; G — магнитная прово-
димость; G = µ0S/δ; µ0 — магнитная проницаемость воздуха; S — площадь поперечного
сечения сердечника; δ — воздушная магнитосиловая линия (зазор) для потока Φ. Каждый
переменный магнитный поток в (2) создает в обмотках w1, w2, w3 соответствующие ЭДС
индукции, определяемые выражением
Ek = −wk
dΦk
dt
, (3)
где k — индексы при магнитных потоках в (2). А это значит, что ∆U = |U3−U2| формируется
всеми Ek с учетом (1), (2), (3).
Вихревые магнитные потоки Φвихр образуется следующим образом. Основные перемен-
ные магнитные потоки Φ′
1, Φ′′
1, Φ′
2, Φ′′
2, Φ′
3, Φ′′
3 в КМ создают ЭДС индукции в соответствии
с формулой (3), но здесь wk = 1, т. е. число витков равно единице. Эти ЭДС индукции Eвихрk
в соответствии с законом Ома [6, 7] создают вихревые токи iвихрk = Eвихрk/RКМ, где RКМ —
активное сопротивление материала КМ. Токи iвихрk в свою очередь в силу закона полного
тока наводят в системе преобразователя (стержень и контролируемый материал) магнитные
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №11
потоки Φkвихр (см. рис. 1, в), направленные при отсутствии в КМ трещин навстречу основ-
ным магнитным потокам. Продифференцированные по времени разности основных вихре-
вых магнитных потоков с учетом сомножителей в виде числа витков обмоток w2, w3 и есть
U2 и U3. В принципе, одностержневой электромагнитный преобразователь представляет
собой трансформатор с воздушным зазором δ = l, где l — длина сердечника C. От выходно-
го напряжения U1 генератора Г в обмотки w2, w3 трансформируются напряжения U2 и U3.
В их трансформирование включается действие вихревых потоков Φkвихр. Приблизительный
(практически верный) расчет площади поперечного сечения сердечника, магнитной инду-
кции насыщения материала сердечника BS , числа витков w1, w2, w3 может быть основан на
выражении U1 = w1dΦ11/dt или U1dt = w1dΦ11, которое в представлении в конечных разно-
стях имеет вид U1∆t = w1∆Φ11. В последнем выражении за ∆t примем половину периода
переменного напряжения T/2 = 1/(2f ), а за ∆Φ11 — двойное изменение магнитного потока
насыщения ΦS при перемагничивании сердечника C. При этом ∆Φ11 = ∆BS = 2BSS, где
BS — магнитная индукция магнитного насыщения материала сердечника.
На основании такого решения получаем U1 = 4fBSw1S. Используя тот факт, что U1 =
= Ua1 sinωt, а не прямоугольные импульсы, введем в формулу для U1 коэффициент формы
kф = 1,11 и тогда имеем
U1 = 4,44fBSw1S. (4)
Формула (4), по сути, это формула первичного напряжения трансформатора. Далее
рассмотрим схему рис. 1, б. Здесь в материале КМ имеется трещина, на гранях которой
создаются вихревые токи i′вихр, i′′вихр, магнитные потоки от которых Φ′
вихр, Φ′′
вихр направлены
по отношению основного потока Φ1 не противоположно, а под углом 90◦ по отношению
к граням трещины. Проекция вихревых потоков, противоположная Φ1,
Φвихр = Φ′
вихр cos α1 = Φ′′
вихр cos α2,
где α1, α2 — углы между направлением потоков Φ′
вихр, Φ′′
вихр и линией потока Φ1 в сер-
дечнике C соответственно. Если грани трещины расположены параллельно оси сердечника
(линии Φ1 в сердечнике), то α1 = α2 = π/2 и Φвихр = 0. Из такого рассуждения видно, что
трещины уменьшают своими потоками Φ′
вихр, Φ′′
вихр противодействие основными потокам,
созданным током i1, а это означает, что U2, U3 имеют другие значения, чем без наличия
в КМ трещины, и соответственно ∆U = (U3 − U2) будет также другими, т. е. ∆U 6= Uy,
что, в свою очередь, ∆U − Uy = UC2 вызывает после усиления в измерительной части
сигнализацию о наличии в КМ трещины.
Рассмотрим Ш-образный преобразователь, собранный из ферритового сердечника с тре-
мя обмотками. Схема такого датчика изображена на рис. 2, где 1 — Ш-образный магни-
топровод; 2 — обмотка возбуждения, намотанная на центральный стержень магнитопрово-
да 1 ; на два крайних стержня — две измерительные обмотки 3 и 4, включенные встречно;
Φk, k = 1, 3, — основные магнитные потоки (Φ2 = Φ1 + Φ3); Φвихрk, k = 1, 3, — магнитные
потоки от вихревых токов; КМ — контролируемый материал; UΓ, U3, U4, Uвх — напряжения;
iвихpk, k = 1, 3, — вихревые токи; И — измеритель.
Такой датчик, как показали экспериментальные исследования, имеет ряд оригиналь-
ных свойств. Он может быть сбалансирован на расстоянии до 5 мм от контролируемой
поверхности (КМ), что дает возможность контролировать дефекты под толстым слоем изо-
лирующего материала, т. е. подповерхностные дефекты. Данный преобразователь обладает
повышенной чувствительностью.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №11 37
Рис. 2
В Ш-образном преобразователе |Uвх| = |U3 − U4|, UΓ = UaΓ sin ωt, частота f = ω/(2π) >
> 30 кГц. Работа этого датчика аналогична функционированию трансформатора [7]. В ва-
рианте, изображенном на рис. 2, в КМ трещины нет. В этом случае магнитные потоки Φk
и Φвихpk, k = 1, 3, направлены встречно и поэтому U3 = U4 и Uвх = 0, т. е. при отсут-
ствии трещины на вход измерителя И сигнал не поступает. Порядок исследования этого
преобразователя базируется на следующих предположениях:
а) число витков обмоток 3, 4 одинаковое (w3 = w4);
б) Sср = 2S3 = 2S4 — площади поперечного сечения среднего (Sср) и крайних (S3, S4)
сердечников;
в) между Ш-образным сердечником и КМ может быть зазор δ (диэлектрическая про-
кладка толщиной δ). В этом случае магнитный поток, наведенный от тока iΓ = UΓ/z2,
где z2 =
[
√
r2
2
+ (ωL2)2
]
−1
— полное сопротивление электрической цепи обмотки 2 ; r2,
L2 — резистор и индуктивность этой обмотки соответственно (при r2 ≪ ωL2 iΓ =
= −UaΓ/(ωL2) cos ωt). Φ2 = iΓw2Gср, где w2 — число витков обмотки 2 ; Gср — магнитная
проводимость для магнитного потока Φ2, определяемая выражением
Gср =
G2G3
G2 + G3
+
G2G4
G2 + G4
,
где G2, G3, G4 — магнитные проводимости по каждому стержню магнитопровода 1. По-
скольку магнитопровод симметричен, то G3 = G4 = G и Gср = 2G2G/(G2 + G). В свою
очередь, G2 = µ0Sср/δ, G = µ0S/δ, S = S3 = S4. Так как Sср = 2S, то Gср =
4
3
µ0
S
δ
, где µ0 —
магнитная проницаемость воздуха. Если δ = 0, то Gср =
4
3
µ
S
l
, где µ — магнитная проница-
емость материала КМ; l — средняя длина периметра половины магниторпровода. Так как
имеется полная симметрия 1, то магнитные потоки Φ1 = Φ3 = Φ2/2 и так как w3 = w4, то
без учета вихревых токов U3 = w3dΦ1/dt = U4 = w4dΦ3/dt и поэтому |U3 − U4| = 0. При
38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №11
Рис. 3
прохождении магнитных потоков Φ1, Φ2, Φ3 через металлический КМ в последнем возника-
ют ЭДС индукции Ek = −dΦk/dt, k = 1, 3 (считаем, что число витков в КМ wM = 1). Эти
ЭДС создают вихревые токи iвихpk = Ek/rM , k = 1, 3, где rM — активное сопротивление ма-
териала (КМ). Эти вихревые токи, в свою очередь, в соответствии с законом полного тока
создают свои вихревые магнитные потоки Φвихрk = iвихрkGвk, k = 1, 3, где Gвk — магнит-
ные проводимости для Φвихрk. Без трещины в КМ Φвихpk, k = 1, 3, направлены навстречу
основным магнитным потокам Φk, k = 1, 3, соответственно. Тогда U3 = w3
d
dt
(Φ1 − Φвихp1);
U4 = w4
d
dt
(Φ2 − Φвихp3).
Так как Φ1 = Φ2 и Φвихр1 = Φвихр3, то Uвх = |U3 − U4| = 0, т. е. измеритель И не выдает
на выходе информации о наличии трещины.
Далее рассмотрим случай наличия трещины в КМ. Заметим, что Ш-образный датчик
перемещаем по поверхности КМ слева направо. Тогда вначале трещина в КМ находится
под стержнем 4. При этом картина наведенных в КМ вихревых токов и сопутствующих им
магнитных потоков в пространстве сердечника 4 будет изменена по сравнению со случаем
отсутствия в КМ трещины (см. рис. 3).
Из рис. 3 видно, что при наличии трещины или раковины в КМ магнитный поток Φ3
расщепляется на Φ′
3 иФ′′
3; Φ′
3 проходит через КМ с площадью S4−SТР, а Φ′′
3 — через площадь
STP . Причем для Φ′
3 при δ = 0 магнитная проницаемость µ определяется магнитной прони-
цаемостью КМ. Если КМ является не ферромагнетиком, то его магнитная проницаемость
будет µ0. Для Φ′′
3 магнитная проницаемость µ0. Потоки Φ′
3 и Φ′′
3 формируют в КМ соо-
тветствующие ЭДС индукции E′
3вихр
= dΦ′
3/dt, E′′
3вихр = dΦ′′
3/dt, E3
′′′
вихр = dΦ′′′
3 /dt, которые
создают в КМ вихревые токи i′вихр3, i′′вихр3, i′′′вихр3, равные по закону Ома ikвихр = Ek
3вихр/rM ,
k = ′,′′ ,′′′. Эти вихревые токи наводят в пространстве сердечника 4 и КМ вихревые по-
токи Φk
3вихр = ikвихр3G
k
3 , k = ′,′′ ,′′′, где Gk
3 — магнитные проводимости для потоков Φk
3вихр,
k = ′,′′ ,′′′. Магнитный поток Φ′
3вихр направлен навстречу Φ′
3, а Φ′′
3вихр
, Φ′′′
3вихр
— перпендику-
лярно токам i′′вихр3, i′′′вихр3 соответственно или перпендикулярно граням трещины так, что
вертикальные проекции Φ′′
3вихр
, Φ′′′
3вихр
направлены навстречу Φ′′
3 соответственно. В данном
случае эти проекции вихревых токов Φ′′
3вихр.пр.
= Φ′′′
3вихр
cos α, Φ′′′
3вихр.пр.
= Φ′′′
3вихр
cos β, где α
и β — углы между направлением Φ′′
3вихр
, Φ′′′
3вихр
и Φ′
3. Так как Φ′′
3вихр.пр.
, Φ′′′
3вихр.пр.
меньше
Φ′′
3вихр
, Φ′′′
3вихр
соответственно, то встречное действие вихревых магнитных потоков в сер-
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №11 39
дечнике 4 уменьшается, что, в свою очередь, увеличивает величину напряжения U4. А это
означает, что |Uвх| = |U3−U4| > 0 и этот сигнал, проходя через усилитель в измерителе (И)
дает информацию о наличии трещины в КМ. Следует заметить, что если КМ ферромаг-
нитный, то между магнитопроводом 1 (рис. 3) и КМ возникает тяговое усилие F , которое
притягивает датчик к КМ. Эта F затрудняет продвижение датчика по КМ. В связи с этим
целесообразно определить зависимость F от параметров и физических величин в системе
(датчик — КМ) с целью выбора их приемлемых значений. Из рис. 2 видим, что под каждым
стержнем (2, 3, 4 ) создается свое тяговое усилие Fk, k = 2, 4. Для расчета общего тягового
усилия FΣ представим Ш-образный сердечник в виде двух П-образных сердечников с оди-
наковыми площадями поперечного сечения стержней S. Тогда FΣ = F1Π + F2Π, где FКП,
k = 1, 2, — тяговое усилие под каждым П-образным магнитопроводом.
В соответствии с [8]
F1Π =
Φ2
1
µ0S
; F2Π =
Φ2
3
µ0S
и FΣ =
1
µ0S
(Φ2
1 + Φ2
3).
Пусть в КМ трещины нет. Тогда Φ1 = Φ3 = Φ и
FΣ =
2
µ0S
Φ2 =
Φ2
2
2µ0S
, (5)
где Φ1 + Φ3 = Φ2. В соответствии с законом полного тока [6]
Φ2 = i2w2G2, (6)
где
G2 =
µ0S
4δ
. (7)
Подставляя (6), (7) в (5), получим
FΣ =
µ0S
32
(
i2w2
δ
)2
. (8)
Ток i2 = iΓ =
UΓ
ωL2
, а L2 = w2
2G2 =
µ0Sw2
4δ
. Подставив i2 = iΓ и L2 в (8), получим
FΣ =
1
2µ0S
(
UΓ
ωw2
)2
. (9)
Из выражения (9) видно, что чем выше круговая частота ω = 2πf , тем меньше общее
тяговое усилие FΣ и этим самым уменьшается притяжение Ш-образного магнитопровода
к контролируемому материалу КМ. Уже при f = 20 кГц FΣ допускает без усилий про-
двигать датчик вдоль КМ. Кроме того, увеличение частоты f обеспечивает увеличении
вихревых ЭДС и этим самым повышает чувствительность датчика.
Таким образом, в результате данного исследования выявлены процессы, возникающие
в преобразователях и контролируемом материале без трещины в КМ и с трещиной в нем,
выведены формулы для определения параметров датчиков, выбран диапазон генерируе-
мых частот, а в целом — приведена прикладная теория одностержневого и Ш-образного
электромагнитных преобразователей.
40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №11
1. Дорофеев А.Л., Казаманов Ю.Г. Электромагнитная дефектоскопия. – Москва: Машиностроение,
1980. – 232 с.
2. Щербинский В. Г., Феоктистов В.А., Полевик В.А. и др. Методы дефектоскопии сварных соедине-
ний. – Москва: Машиностроение, 1987. – 336 с.
3. Колчин А.В. Датчики средств диагностирования машин. – Москва: Машиностроение, 1984. – 120 с.
4. Никитин А.И., Бабушкина Л.В. Решение задачи о вихревых токах в проводящей сфере, располо-
женной в поле накладного преобразователя // Дефектоскопия. – 1988. – № 12. – С. 70–77.
5. Морозов Б.М., Портникова Р. Г., Гончаров Э.Н. и др. Контроль качества продукции машинострое-
ния. – Москва: Изд-во стандартов, 1974. – 448 с.
6. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. – Москва: Высш. шк., 1978. – 528 с.
7. Электротехника / Под ред. проф. В. С. Пантюшина. – Москва: Высш. шк., 1976. – 560 с.
8. Ступель Ф.А. Электромеханические реле. – Харьков: Харьк. гос. ун-т, 1956. – 355 с.
Поступило в редакцию 13.10.2006Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
УДК 531.37:531.396:537.634:537.612.4:519.6
© 2007
Л.В. Григор’єва, В.В. Козорiз, О. В. Козорiз,
член-кореспондент НАН України С. I. Ляшко
Про динамiчну задачу двох вiльних цилiндричних
магнiтiв та її Maple-моделюванння
A nonlinear system of ordinal differential equations of the 18-th order is derived, the Cauchy
problem is solved, and phase portraits are constructed by means of the Maple-software.
Задача двох тiл розглядалася, починаючи з багатьох класичних робiт (див., наприклад,
[4, 5]), без урахування протяжностi тiла у полi центральних сил, коли потенцiальна енергiя
залежить лише вiд вiдстанi. В подальшому, зокрема для задач космiчної механiки [8, 1],
враховувалася протяжнiсть тiла (супутника) введенням його шести степенiв свободи. Цент-
ральний характер гравiтацiйної та електричної взаємодiї, а також iншi параметричнi обме-
ження (наприклад, мализна розмiрiв супутника вiдносно розмiрiв Землi) зумовлюють де-
композицiю динамiчної системи, коли рiвняння, що вiдповiдають за поступальний рух вiль-
ного тiла, та рiвняння обертання тiла навколо його точки не залежать однi вiд одних. Задача
двох тiл у магнiтному полi ускладнена нецентральнiстю магнiтної взаємодiї. Поступальний
рух iстотно впливає на обертальний рух вiльного тiла навколо точки i, навпаки, змiна орiєн-
тацiї викликає значнi змiни в поступальному русi. Першi спроби задачi двох магнiтних тiл
були здiйсненi в роботах I. Е. Тамма [10], який встановив принципову особливiсть магнiт-
них планетарних конфiгурацiй. Ця особливiсть, названа “проблемою 1/R3”, що зводиться
до неможливостi стiйкої магнiтної конфiгурацiї з магнiтною взаємодiєю, дослiджувалася
в роботах В.Л. Гiнзбурга [2] i iнших авторiв.
Пiзнiше, на основi методiв функцiй Ляпунова [6] та теорiї стiйкостi вiдносно частини
змiнних, для деяких планетарних геометричних форм магнiтiв була вперше обгрунтована
можливiсть стiйких планетарних магнiтних конфiгурацiй [3].
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №11 41
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-3245 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:28:14Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Божко, А.Е. Полищук, О.Ф. 2009-07-06T11:11:39Z 2009-07-06T11:11:39Z 2007 Элементы прикладной теории электромагнитных дефектоскопов / А.Е. Божко, О.Ф. Полищук // Доп. НАН України. — 2007. — № 11. — С. 34-41. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3245 621.3(075) A theory for single- and three-legged electromagnetic transformers (indicators of cracks in a control material) is given. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Інформатика та кібернетика Элементы прикладной теории электромагнитных дефектоскопов Article published earlier |
| spellingShingle | Элементы прикладной теории электромагнитных дефектоскопов Божко, А.Е. Полищук, О.Ф. Інформатика та кібернетика |
| title | Элементы прикладной теории электромагнитных дефектоскопов |
| title_full | Элементы прикладной теории электромагнитных дефектоскопов |
| title_fullStr | Элементы прикладной теории электромагнитных дефектоскопов |
| title_full_unstemmed | Элементы прикладной теории электромагнитных дефектоскопов |
| title_short | Элементы прикладной теории электромагнитных дефектоскопов |
| title_sort | элементы прикладной теории электромагнитных дефектоскопов |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3245 |
| work_keys_str_mv | AT božkoae élementyprikladnoiteoriiélektromagnitnyhdefektoskopov AT poliŝukof élementyprikladnoiteoriiélektromagnitnyhdefektoskopov |