Про динамічну задачу двох вільних циліндричних магнітів та її Maple-моделювання
A nonlinear system of ordinal differential equations of the 18-th order is derived, the Cauchy problem is solved, and phase portraits are constructed by means of the Maple-software.
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3257 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про динамічну задачу двох вільних циліндричних магнітів та її Maple-моделювання / Л.В. Григор'єва, В.В. Козоріз, О.В. Козоріз, С.І. Ляшко // Доп. НАН України. — 2007. — № 11. — С. 41-47. — Бібліогр.: 11 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-3257 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Григор'єва, Л.В. Козоріз, В.В. Козоріз, О.В. Ляшко, С.І. 2009-07-06T11:26:22Z 2009-07-06T11:26:22Z 2007 Про динамічну задачу двох вільних циліндричних магнітів та її Maple-моделювання / Л.В. Григор'єва, В.В. Козоріз, О.В. Козоріз, С.І. Ляшко // Доп. НАН України. — 2007. — № 11. — С. 41-47. — Бібліогр.: 11 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3257 531.37:531.396:537.634:537.612.4:519.6 A nonlinear system of ordinal differential equations of the 18-th order is derived, the Cauchy problem is solved, and phase portraits are constructed by means of the Maple-software. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Інформатика та кібернетика Про динамічну задачу двох вільних циліндричних магнітів та її Maple-моделювання Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Про динамічну задачу двох вільних циліндричних магнітів та її Maple-моделювання |
| spellingShingle |
Про динамічну задачу двох вільних циліндричних магнітів та її Maple-моделювання Григор'єва, Л.В. Козоріз, В.В. Козоріз, О.В. Ляшко, С.І. Інформатика та кібернетика |
| title_short |
Про динамічну задачу двох вільних циліндричних магнітів та її Maple-моделювання |
| title_full |
Про динамічну задачу двох вільних циліндричних магнітів та її Maple-моделювання |
| title_fullStr |
Про динамічну задачу двох вільних циліндричних магнітів та її Maple-моделювання |
| title_full_unstemmed |
Про динамічну задачу двох вільних циліндричних магнітів та її Maple-моделювання |
| title_sort |
про динамічну задачу двох вільних циліндричних магнітів та її maple-моделювання |
| author |
Григор'єва, Л.В. Козоріз, В.В. Козоріз, О.В. Ляшко, С.І. |
| author_facet |
Григор'єва, Л.В. Козоріз, В.В. Козоріз, О.В. Ляшко, С.І. |
| topic |
Інформатика та кібернетика |
| topic_facet |
Інформатика та кібернетика |
| publishDate |
2007 |
| language |
Ukrainian |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| description |
A nonlinear system of ordinal differential equations of the 18-th order is derived, the Cauchy problem is solved, and phase portraits are constructed by means of the Maple-software.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3257 |
| citation_txt |
Про динамічну задачу двох вільних циліндричних магнітів та її Maple-моделювання / Л.В. Григор'єва, В.В. Козоріз, О.В. Козоріз, С.І. Ляшко // Доп. НАН України. — 2007. — № 11. — С. 41-47. — Бібліогр.: 11 назв. — укp. |
| work_keys_str_mv |
AT grigorêvalv prodinamíčnuzadačudvohvílʹnihcilíndričnihmagnítívtaíímaplemodelûvannâ AT kozorízvv prodinamíčnuzadačudvohvílʹnihcilíndričnihmagnítívtaíímaplemodelûvannâ AT kozorízov prodinamíčnuzadačudvohvílʹnihcilíndričnihmagnítívtaíímaplemodelûvannâ AT lâškosí prodinamíčnuzadačudvohvílʹnihcilíndričnihmagnítívtaíímaplemodelûvannâ |
| first_indexed |
2025-11-25T21:05:23Z |
| last_indexed |
2025-11-25T21:05:23Z |
| _version_ |
1850544346306183168 |
| fulltext |
1. Дорофеев А.Л., Казаманов Ю.Г. Электромагнитная дефектоскопия. – Москва: Машиностроение,
1980. – 232 с.
2. Щербинский В. Г., Феоктистов В.А., Полевик В.А. и др. Методы дефектоскопии сварных соедине-
ний. – Москва: Машиностроение, 1987. – 336 с.
3. Колчин А.В. Датчики средств диагностирования машин. – Москва: Машиностроение, 1984. – 120 с.
4. Никитин А.И., Бабушкина Л.В. Решение задачи о вихревых токах в проводящей сфере, располо-
женной в поле накладного преобразователя // Дефектоскопия. – 1988. – № 12. – С. 70–77.
5. Морозов Б.М., Портникова Р. Г., Гончаров Э.Н. и др. Контроль качества продукции машинострое-
ния. – Москва: Изд-во стандартов, 1974. – 448 с.
6. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. – Москва: Высш. шк., 1978. – 528 с.
7. Электротехника / Под ред. проф. В. С. Пантюшина. – Москва: Высш. шк., 1976. – 560 с.
8. Ступель Ф.А. Электромеханические реле. – Харьков: Харьк. гос. ун-т, 1956. – 355 с.
Поступило в редакцию 13.10.2006Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
УДК 531.37:531.396:537.634:537.612.4:519.6
© 2007
Л.В. Григор’єва, В.В. Козорiз, О. В. Козорiз,
член-кореспондент НАН України С. I. Ляшко
Про динамiчну задачу двох вiльних цилiндричних
магнiтiв та її Maple-моделюванння
A nonlinear system of ordinal differential equations of the 18-th order is derived, the Cauchy
problem is solved, and phase portraits are constructed by means of the Maple-software.
Задача двох тiл розглядалася, починаючи з багатьох класичних робiт (див., наприклад,
[4, 5]), без урахування протяжностi тiла у полi центральних сил, коли потенцiальна енергiя
залежить лише вiд вiдстанi. В подальшому, зокрема для задач космiчної механiки [8, 1],
враховувалася протяжнiсть тiла (супутника) введенням його шести степенiв свободи. Цент-
ральний характер гравiтацiйної та електричної взаємодiї, а також iншi параметричнi обме-
ження (наприклад, мализна розмiрiв супутника вiдносно розмiрiв Землi) зумовлюють де-
композицiю динамiчної системи, коли рiвняння, що вiдповiдають за поступальний рух вiль-
ного тiла, та рiвняння обертання тiла навколо його точки не залежать однi вiд одних. Задача
двох тiл у магнiтному полi ускладнена нецентральнiстю магнiтної взаємодiї. Поступальний
рух iстотно впливає на обертальний рух вiльного тiла навколо точки i, навпаки, змiна орiєн-
тацiї викликає значнi змiни в поступальному русi. Першi спроби задачi двох магнiтних тiл
були здiйсненi в роботах I. Е. Тамма [10], який встановив принципову особливiсть магнiт-
них планетарних конфiгурацiй. Ця особливiсть, названа “проблемою 1/R3”, що зводиться
до неможливостi стiйкої магнiтної конфiгурацiї з магнiтною взаємодiєю, дослiджувалася
в роботах В.Л. Гiнзбурга [2] i iнших авторiв.
Пiзнiше, на основi методiв функцiй Ляпунова [6] та теорiї стiйкостi вiдносно частини
змiнних, для деяких планетарних геометричних форм магнiтiв була вперше обгрунтована
можливiсть стiйких планетарних магнiтних конфiгурацiй [3].
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №11 41
Рис. 1. Два вiльнi цилiндричнi магнiти
В загальному випадку задача двох магнiтiв, крiм проблем iнтегрування нелiнiйних сис-
тем високого порядку, ускладнена необхiднiстю визначення магнiтних сил залежно вiд вiд-
носного розмiщення та орiєнтацiї двох магнiтiв.
Нами розглянутий частинний випадок довгих цилiндричних магнiтiв, однорiдно намаг-
нiчених вздовж своїх осей. В класичнiй роботi В. Смайта [9] показано, що магнiтне поле на
осi довгого цилiндра еквiвалентне полю двох однакових за величиною i рiзних за знаком
точкових магнiтних зарядiв на торцях цилiндра (“гантелi”). Цей результат пiдсилено еквiва-
лентнiстю поля не тiльки на осi, а й магнiтної взаємодiї взагалi [3]. Тому взаємодiю довгих
цилiндричних магнiтiв зручно моделювати взаємодiєю точкових зарядiв, розташованих на
магнiтнiй осi кожного магнiту i вiддалених один вiд одного на кiнцеву вiдстань для обох
магнiтiв. Це приводить до формули потенцiальної енергiї магнiтної взаємодiї у виглядi
U = χ2
(
−
1
R1
+
1
R2
+
1
R3
−
1
R4
)
, (1)
де χ — величина заряду.
Якщо Oxyz — нерухомий iнерцiальний тригранник, вiдносно якого розглядається рух
двох вiльних магнiтiв, а O1x
′y′z′ i O2x
′′y′′z′′ — тригранники, зв’язанi з вiльними магнiтами
так, що їх осi направленi вздовж головних центральних осей iнерцiї вiльних тiл (рис. 1), то
в (1) вiдстанi Ri мiж магнiтними зарядами на кiнцях цилiндрiв визначаються з векторних
рiвностей, очевидних з рис. 1:
−→
Ri = −→ρ2 −
−→ρ1 + δi
−→
l2 + (−1)i
−→
l1 , δi = 1, 1,−1,−1, i = 1, 2, . . . , 4, (2)
де −→ρ1 та −→ρ2 — радiуси-вектори центрiв мас цилiндрiв;
−→
l1 та
−→
l2 — вектори з початком в цен-
трах мас цилiндрiв i кiнцем в точках розташування зарядiв.
42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №11
Нехай орiєнтацiю тригранникiв, зв’язаних з вiльними тiлами, вiдносно нерухомої систе-
ми вiдлiку описано кутами Ейлера-Крилова x14, x15, x16 та x24, x25, x26 (x14, x24 — кути
крену, x15, x25 — кути тангажу, x16, x26 — кути ширяння вiдповiдно для першого i другого
цилiндра).
Тодi якщо в (2) врахувати вiдомi матрицi направляючих косинусiв (див., наприклад, [7,
(7.12.1)]), записанi вiдносно кутiв Ейлера–Крилова, вважати довжини цилiндрiв 2l1 = 2l2 =
= 2l та визначити −→ρ1 i −→ρ2 через декартовi координати, матиме мiсце спiввiдношення для
безрозмiрних вiдстаней мiж зарядами ri:
ri =
Ri
l
= [((x2 − x1) + δib31 + (−1)ia31)
2 + ((y2 − y1) + δib32 + (−1)ia32)
2 +
+ ((z2 − z1) + δib33 + (−1)ia33)
2]1/2, i = 1, 2, . . . , 4, (3)
де x1, y1, z1 та x2, y2, z2 — безрозмiрнi декартовi координати (утворенi дiленням декартових
координат центрiв мас цилiндрiв на половину довжини цилiндра l), a3j та b3j (j = 1, 2, 3) —
компоненти матриць направляючих косинусiв:
a31 = sin x15, a32 = − sinx14 cos x15, a33 = cos x14 cos x15,
b31 = sin x25, b32 = − sinx24 cos x25, b33 = cos x24 cos x25.
(4)
Тодi з (1) i (3), (4) безрозмiрну потенцiальну енергiю можна записати у виглядi
u = U
l
χ2
(
−
1
r1
+
1
r2
+
1
r3
−
1
r4
)
. (5)
Для руху центрiв мас системи (точок O1 i O2) можна записати рiвняння другого закону
Ньютона:
mi
d2xi
dt2
= −
χ2
l3w2
∂u
∂xi
, mi
d2yi
dt2
= −
χ2
l3w2
∂u
∂yi
, mi
d2zi
dt2
= −
χ2
l3w2
∂u
∂zi
, (6)
де w — характерна кутова частота; t — безрозмiрний час; xi, yi, zi — безрозмiрнi декартовi
координати центру мас, а mi — маса i-го вiльного тiла.
Враховуючи те, що потенцiальна енергiя (5) залежить лише вiд (x2 − x1), (y2 − y1),
(z2 − z1), маємо:
m1
d2x1
dt2
+ m2
d2x2
dt2
= 0, m1
d2y1
dt2
+ m2
d2y2
dt2
= 0, m1
d2z1
dt2
+ m2
d2z2
dt2
= 0. (7)
У випадку розмiщення точки O у центрi iнерцiї системи
m1x1 + m2x2 = 0, m1y1 + m2y2 = 0, m1z1 + m2z2 = 0. (8)
У подальшому покладаємо маси двох цилiндрiв рiвними i m1 = m2 = m. Якщо
X = x2 − x1, Y = y2 − y1, Z = z2 − z1, (9)
динамiчними змiнними будуть вiдповiдно безрозмiрнi параметри X, Y , Z та xij , i = 1, 2,
j = 4, 5, 6.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №11 43
Тодi можна одержати такi вихiднi рiвняння динамiчної системи двох вiльних магнiтних
цилiндрiв:
d2X
dt2
= −A
∂u
∂X
,
d2Y
dt2
= −A
∂u
∂Y
,
d2Z
dt2
= −A
∂u
∂Z
, (10)
dni1
dt
+ kini3ni2 = −Ai
∂u
∂xi4
,
dni2
dt
− kini3ni1 = −Ai
∂u
∂xi5
,
dni3
dt
= 0, (11)
ni1 = cos xi5 cos xi6
dxi4
dt
+ sinxi6
dxi5
dt
, ni2 = − cos xi5 sin xi6
dxi4
dt
+ cos xi6
dxi5
dt
, (12)
ni3 = sin xi5
dxi4
dt
+
dxi6
dt
, i = 1, 2,
де A = χ2(Ml3w2)−1 — параметр, що позначає вiдношення характерної магнiтної енергiї
до кiнетичної енергiї тiла Ml2w2, а M — зведена маса: M = 1/2m; ki = (Ii3 − Ii1)I
−1
i1 —
параметри, що визначають спiввiдношення мiж головними центральними моментами iнерцiї
вiльних магнiтiв, отриманi з урахуванням їх динамiчної симетрiї (тобто враховано, що Ii1 =
= Ii2), Ii1, Ii3 — центральнi моменти iнерцiї тiла вiдносно осей абсцис i аплiкат i-го цилiндра;
Ai = χ2I−1
i1 — параметри з (11).
Першi три рiвняння (10) є другим законом Ньютона для координат поступального ру-
ху X, Y , Z. Рiвняння (11) є динамiчними рiвняннями Ейлера, що зв’язують проекцiї векто-
рiв кутового прискорення вiльних магнiтiв на зв’язанi з ними осi та головнi моменти маг-
нiтних сил вiдносно тих же осей (див., наприклад, [4, (36.4)]). Останнi шiсть рiвнянь (12) —
кiнематичнi рiвняння Ейлера, записанi для кутiв Ейлера–Крилова, — пов’язують складо-
вi векторiв безрозмiрної кутової швидкостi ni1, ni2, ni3 i-го тiла за напрямками зв’язаних
з ним декартових осей координат та похiднi за часом кутiв Ейлера–Крилова (див., наприк-
лад, [7, (7.16.2)]).
Отримана система нелiнiйних диференцiйних рiвнянь 18-го порядку з урахуванням (3)
i (5) визначає характер динамiчної поведiнки двох вiльних магнiтiв. Вона є громiздкою
i складною для аналiзу. Вiдомi аналiтичнi методи не дозволяють отримати загальний роз-
в’язок.
Застосування чисельних методiв, реалiзованих у комп’ютернiй системi символьної мате-
матики Maple10 [11], дає можливiсть одержати розв’язки для проблеми Кошi i встановити
деякi новi, на наш погляд, властивостi.
Спочатку доцiльно запропонувати Maple-процедури, що дають вираз потенцiальної енер-
гiї системи:
> get_dist_vector := proc(dist_vector)
local i, d:
for i from 1 by 1 while i < 5 do
if i < 3 then d := 1 else d := −1 end if;
dist_vector[i] := ((X(t) + (d ∗ b[3, 1] + (−1)̂ i ∗ a[3, 1]))̂ 2 + (Y(t)+
(d ∗ b[3, 2] + (−1)̂ i ∗ a[3, 2]))̂ 2 + (Z(t) + (d ∗ b[3, 3] + (−1)̂ i ∗ a[3, 3]))̂ 2)̂ (1/2);
end do:
end proc:
> r := Vector[row](4) : get_dist_vector(r) :
> get_potential_energy := proc()
return − 1/r[1] + 1/r[2] + 1/r[3] − 1/r[4]:
end proc:
44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №11
Якщо обмежитися задачею стiйкостi планетарної конфiгурацiї, доцiльно при встанов-
леннi початкових умов задачi Кошi врахувати умову врiвноважування магнiтних сил i вiд-
центрової сили [3, (9.3)], що у введених позначеннях i при X(0) = 2a буде мати вигляд
Ẏ (0) =
√
2Aa
∂u
∂X
∣
∣
∣
∣
0
. (13)
Процедура, що за вхiдними матрицями направляючих косинусiв, вектором вiдстанi, век-
торами кутової швидкостi та початковою умовою для X(0) будує нелiнiйну систему (10)–
(12), виглядає так:
> get_solve := proc(a_Krylov, b_Krylov, R, N1, N2, X_0)
local Omega1, Omega2, Iner1, Iner2, T, u, V, Y_0:
global L, a, b, eq, A1, k1, k2:
a := get_angle_matrix(a_Krylov, false):
b := get_angle_matrix(b_Krylov, false):
V := VectorCalculus:−diff(R, t):
Omega1 := get_rot_veloc_vector(a_Krylov, false):
Omega2 := get_rot_veloc_vector(b_Krylov, false):
Iner1 := Vector[row](3):
Iner2 := Vector[row](3):
T := get_kinetic(V):
u := get_potential_energy():
L := T − u:
A1 := 2*q2/m/l̂ 2:
k1 := q̂ 2/1:
k2 := k1:
Iner1[1] := m*l̂ 2/12:
Iner1[2] := Iner1[1]:
Iner1[3] := m*rr̂ 2/2:
Iner2[1] := Iner1[1]:
Iner2[2] := Iner1[1]:
Iner2[3] := Iner1[3]:
Digits := 5:
Y_0 := evalf(subs(X = X_0, Y(t) = 0, Z(t) = 0, x1(t) = 0, x2(t) = 0, x1s(t) = 0, x2s(t) = 0,
(diff(subs(X(t) = X, u), X))*A1*X_0)̂ (1/2)):
Digits := 10:
eq := Vector[row](nops(R)+nops(a_Krylov)*2+nops(b_Krylov)*2):
get_equations_forw(u, Iner1, Iner2, N1, N2, Omega1, Omega2):
return dsolve(eq[1], eq[2], eq[3], eq[4], eq[5], eq[6], eq[7], eq[8], eq[9], eq[10], eq[11], eq[12],
eq[13], eq[14], eq[15], X(0) = X_0, D(X)(0) = 0, Y(0) = 0, Z(0) = 0, D(Y)(0) = Y_0,
D(Z)(0) = 0, a_Krylov[1](0) = 0, a_Krylov[2](0) = 0, a_Krylov[3](0) = 0,
b_Krylov[1](0) = 0, b_Krylov[2](0) = 0, b_Krylov[3](0) = 0, N1[1](0) = 0, N1[2](0) = 0,
N1[3](0) = 20, N2[1](0) = 0, N2[2](0) = 0, N2[3](0) = 20, X(t), Y(t), Z(t), a_Krylov[1](t),
a_Krylov[2](t), a_Krylov[3](t), b_Krylov[1](t), b_Krylov[2](t), b_Krylov[3](t), N1[1](t),
N1[2](t), N1[3](t), N2[1](t), N2[2](t), N2[3](t), type = numeric, maxfun = 100000):
end proc:
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №11 45
Рис. 2. Змiна радiуса орбiти з часом (а); при малому збуреннi орбiтальної швидкостi (б )
Рис. 3. Графiк розв’язкiв X(t), Y (t)
У випадку високих швидкостей власного обертання вiльних магнiтiв i нульових початко-
вих збурень кутiв Ейлера–Крилова, проекцiй кутових швидкостей i аплiкати, для вибраних
χ = 1, m = 1, l = 10, X(0) = 0,1, а також радiуса цилiндра 0,01 команда
> s := get_solve(a_Krylov, b_Krylov, R, N1, N2, 0.1):
with(plots):
odeplot(s, [t,(X(t)̂ 2+Y(t)̂ 2)̂ (1/2)], t = 0..20, numpoints = 500)
дає графiк змiни радiуса орбiти з часом (рис. 2, а). Графiк вказує на мале вiдхилення вiд
початкового на досить тривалому промiжку часу, а при нехтуваннi накопиченої чисельної
похибки його можна прийняти за пряму.
При наданнi малого збурення швидкостi по ординатi (задане зменшенням точностi при
обчисленнi Ẏ (0) до трьох знакiв) графiк на рис. 2, б вказує на мале обмежене коливання
радiуса.
На рис. 3 показано графiк розв’язкiв для X(t), Y (t), на рис. 4 — фазовий портрет кут
крену першого цилiндра — радiус орбiти при збуреннi аплiкати.
46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №11
Рис. 4. Фазовий портрет кут крену першого цилiндра — радiус орбiти при збуреннi аплiкати
Можна продемонструвати, що при збiльшеннi вiдстанi мiж цилiндричними магнiтами
межi стiйкостi звужуються.
В [3, с. 110] методом функцiй Ляпунова визначено умову стiйкостi планетарної систе-
ми двох цилiндричних магнiтiв. Методи системи символьної математики Maple, як це де-
монструє проведений аналiз, значно розширюють можливостi аналiзу складних нелiнiйних
динамiчних систем високого порядку.
1. Белецкий В. В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. – Москва: Наука,
1965. – 416 с.
2. Гинзбург В.Л. Теория мезона и ядерные силы // Пробл. теорет. физики (Памяти И.Е. Тамма). –
Москва: Наука, 1972. – С. 192–198.
3. Козорез В. В. Динамические системы магнитно взаимодействующих свободных тел. – Киев: Наук.
думка, 1981. – 140 с.
4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. Изд. 3-е. – Москва: Наука, 1973. – 208 с.
5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. Изд. 5-е. – Москва: Наука, 1967. – 460 с.
6. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. – Москва; Ленинград: Гостехиздат, 1950. –
472 с.
7. Парс Л.А. Аналитическая динамика. – Москва: Наука, 1971. – 636 с.
8. Румянцев В. В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части пе-
ременных. – Москва: Наука, 1987. – 256 с.
9. Смайт В. Электростатика и электродинамика. – Москва: Изд-во иностр. лит., 1954. – 604 с.
10. Тамм И.Е. Движение мезона в электромагнитных полях // Докл. АН СССР. – 1940. – 29, № 8/9. –
С. 551–554.
11. www.maplesoft.com.
Надiйшло до редакцiї 07.03.2007Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №11 47
|