Модифицирование формулы амплитуд колебаний якоря электромагнитного вибровозбудителя
New formulas for the amplitude of rotor oscillations of an electromagnetic vibroexciter are deduced with regard for oscillations of an air clearance.
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3298 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Модифицирование формулы амплитуд колебаний якоря электромагнитного вибровозбудителя / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2007. — № 11. — С. 54-59. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-3298 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-32982025-02-09T16:53:40Z Модифицирование формулы амплитуд колебаний якоря электромагнитного вибровозбудителя Божко, А.Е. Механіка New formulas for the amplitude of rotor oscillations of an electromagnetic vibroexciter are deduced with regard for oscillations of an air clearance. 2007 Article Модифицирование формулы амплитуд колебаний якоря электромагнитного вибровозбудителя / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2007. — № 11. — С. 54-59. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3298 621.318.001.21 ru application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Божко, А.Е. Модифицирование формулы амплитуд колебаний якоря электромагнитного вибровозбудителя |
| description |
New formulas for the amplitude of rotor oscillations of an electromagnetic vibroexciter are deduced with regard for oscillations of an air clearance. |
| format |
Article |
| author |
Божко, А.Е. |
| author_facet |
Божко, А.Е. |
| author_sort |
Божко, А.Е. |
| title |
Модифицирование формулы амплитуд колебаний якоря электромагнитного вибровозбудителя |
| title_short |
Модифицирование формулы амплитуд колебаний якоря электромагнитного вибровозбудителя |
| title_full |
Модифицирование формулы амплитуд колебаний якоря электромагнитного вибровозбудителя |
| title_fullStr |
Модифицирование формулы амплитуд колебаний якоря электромагнитного вибровозбудителя |
| title_full_unstemmed |
Модифицирование формулы амплитуд колебаний якоря электромагнитного вибровозбудителя |
| title_sort |
модифицирование формулы амплитуд колебаний якоря электромагнитного вибровозбудителя |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3298 |
| citation_txt |
Модифицирование формулы амплитуд колебаний якоря электромагнитного вибровозбудителя / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2007. — № 11. — С. 54-59. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT božkoae modificirovanieformulyamplitudkolebanijâkorâélektromagnitnogovibrovozbuditelâ |
| first_indexed |
2025-11-28T04:28:37Z |
| last_indexed |
2025-11-28T04:28:37Z |
| _version_ |
1850006963694338048 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
11 • 2007
МЕХАНIКА
УДК 621.318.001.21
© 2007
Член-корреспондент НАН Украины А.Е. Божко
Модифицирование формулы амплитуд колебаний якоря
электромагнитного вибровозбудителя
New formulas for the amplitude of rotor oscillations of an electromagnetic vibroexciter are
deduced with regard for oscillations of an air clearance.
Электромагнитные вибровозбудители (ЭМВ) в своей структуре имеют электрическую, маг-
нитную и механическую части [1]. Механическая часть ЭМВ представляет собой коле-
бательную систему (КС) с одной степенью свободы и при наличии реактивной массы —
КС с двумя степенями свободы. Электромагнитномеханическая схема ЭМВ изображена на
рис. 1, где М — магнитопровод; Я — якорь; РМ — реактивная масса; О — электрическая
обмотка; U — задающее напряжение; δ — воздушный зазор; ПЯ, ПР — пружины; ДЯ, ДР —
демпферы; К — корпус; Фн — фундамент; xя, xр — перемещения якоря и РМ соответствен-
но; i — электрический ток.
Дифференциальные уравнения ЭМВ имеют вид
mяẍя + bяẋя + сяxя = F + bяẋp + cяxр;
mрẍр + (bя + bр)ẋp + (ся + ср)xр = bяẋя + cяxя;
U = ri + L
di
dt
; Wℓ =
1
2
Li2;
F =
dWℓ
dδx
=
i2L
2δx
=
U2
2δxω2L
при ωL ≫ r,
ẋ =
dx
dt
, ẍ =
d2x
dt2
,
(1)
где mя, mp — массы Я и РМ соответственно; bя, bp, cя, cp — коэффициенты диссипации
и жесткости соответственно; r — резистор О; L — индуктивность О; I — электрический
ток в О; We — электрическая энергия ЭМВ; t — время; δx — воздушный зазор с учетом
колебаний якоря; ω — круговая частота (ω = 2πf , f — частота, Гц).
54 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №11
Рис. 1
Вначале рассмотрим ЭМВ без РМ. В этом случае ПЯ и ДЯ опираются на корпус К
и здесь присутствуют только xя, ẋя, ẍя, т. е. в ЭМВ КС с одной степенью свободы. Извест-
но [2], что в такой КС амплитуда колебаний
xяa =
Fa
mя
√
(4ω2 − ω2
0я
)2 +
(
2bя
mя
ω
)2
, (2)
где ω0я — собственная частота колебаний якоря.
Однако если использовать F из (1) в виде выражений FU =
U2
2δxω2L
или Fi =
i2L
2δx
,
в которых δx зависит от перемещения xя, то формула (2) будет изменена. Покажем это
изменение.
Напряжение U = Ua sin ωt, а ток i = Ia sin(ωt−ϕ), где ϕ = arctg
ωL
r
. При ωL ≫ r ϕ ≈
π
2
и i = Ia cos ωt. Поэтому
FU =
U2
a (sin ωt)2
2δxω2L
=
U2
a
4δxω2L
(1 − cos 2ωt),
Fi =
I2
a cos2 ωt
2δx
=
I2
aL
4δx
(1 + cos 2ωt).
(3)
Как видно из (3), тяговые усилия FU и Fi состоят из постоянных составляющих
U2
a
4δxω2L
,
I2
aL
4δx
соответственно и переменных составляющих
−U2
a
4δxω2L
cos 2ωt,
I2
aL
4δx
cos 2ωt соответствен-
но. Вот почему в (2) фигурирует частота 2ω.
На основании первого уравнения в (1) постоянные составляющие равны
xя01 =
U2
a
4δxω2Lся
, xя02 =
I2
aL
4δxся
.
Заметим, что F1 — это тяговое усилие при ЭМВ с источником напряжения на входе
обмотки О, а F2 — с источником тока. Составляющие xя01 и xя02 направлены в сторону
полюсов М, т. е. притягивают Я к М и поэтому начальный воздушный зазор δ уменьшается
и становится соответственно равным δx01 = δ − xя01 или δx02 = δ − xя02.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №11 55
Переменные составляющие тяговых усилий FU и Fi создают колебания xяU , xяi в зазорах
δx01 и δx02 соответственно. В этом случае воздушный зазор δx изменяется по закону
δx01 = δ − xя01 ∓ xяa1 cos 2ωt,
δx02 = δ − xя02 ± xяa2 cos 2ω.
}
(4)
В (4) xяa1 и xяa2 выражаются соотношением (2) при условии соответствия F = FU или
F = Fi. Подставим в (2) FU и Fi, а также δx1 и δx2 соответственно. Тогда имеем
xяa1 =
U2
a
4ω2L(δx01 ∓ xяa1)mя
√
(4ω2 − ω2
0
)2 +
(
2bя
mя
ω
)2
,
xяa2 =
I2
aL
4(δx02 ± xяa2)mя
√
(4ω2 − ω2
0
)2 +
(
2bя
mя
ω
)2
.
(5)
Далее последовательно рассмотрим первое, а затем второе уравнения в (6). Выразим
эти уравнения в сокращенном виде
xяa1 =
U2
a
A(δx01 ∓ xяа1)
, xяa2 =
I2
aL
B(δx02 ± xяa2)
,
А = 4ω2L(δx01 ∓ xяа1)mя
√
(4ω2 − ω2
0
)2 +
(
2bя
mя
ω
)2
; B =
A
ω2L2
.
(6)
Из (6) получим
∓x2
яa1 + δx01xяa1 −
U2
a
A
= 0,
±x2
яa2 + δx02xяa2 −
I2
a
B
= 0.
(7)
Как видно из (7), эти уравнения являются квадратными относительно xяa1 и xяa2 соо-
тветственно. Их решения следующие (будем брать знак “−” перед x2
яak, k = 1, 2):
xяa1(1,2)
=
δx01
2
±
√
(
δx01
2
)2
−
U2
a
A
, (8)
xяa2(1,2)
=
δx02
2
±
√
(
δx02
2
)2
−
I2
a
B
. (9)
Заметим, что xяa1 и xяa2 не должны быть большее δx01 и δx02 соответственно. В против-
ном случае будут удары якоря о полюса магнитопровода и, в конечном итоге, магнитопровод
и якорь могут иметь поломки. А это означает, что в (8) и (9)
xяa1 =
δx01
2
+
√
(
δx01
2
)2
−
U2
a
A
,
xяa2 =
δx02
2
+
√
(
δx02
2
)2
−
I2
a
B
.
(10)
56 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №11
Для наглядности (10) подставим в них значения А и В
xяa1 =
δx01
2
+
√
√
√
√
√
√
(
δx01
2
)2
−
U2
a
4mя
√
(4ω2 − ω2
0
)2 +
(
2bя
mя
ω
)2
, (11)
xяa2 =
δx02
2
+
√
√
√
√
√
√
(
δx02
2
)2
−
I2
a
4mя
√
(4ω2 − ω2
0
)2 +
(
2bя
mя
ω
)2
. (12)
Результаты (11) и (12) отличаются от известных результатов для колебательных систем,
благодаря влиянию перемещений якоря на начальный воздушный зазор δx.
Рассмотрим ЭМВ с реактивной массой РМ. Как видно из первого уравнения (2), тяговые
усилия, действующие на якорь, в этом случае будут FUp = FU + bяẋрU + cяxpU и Fip = Fi +
+ bяẋрi + cяxpi. Амплитуды колебаний xpaU и xpai соответственно равны
xpaU =
bяẋa1 + сяxa1
mр
√
(4ω2 − ω2
0p)
2 +
(
bя+bp
mp
2ω
)2
, (13)
xpai =
bяẋa2 + сяxa2
mр
√
(4ω2 − ω2
0p)
2 +
(
bя+bp
mp
2ω
)2
. (14)
Пользуясь (2), имеем
xяak =
Fak
mя
√
(4ω2 − ω2
0я
)2 +
(
2bя
mя
ω
)2
, k = Up, ip. (15)
Подставляя в (15) FUp, Fip и обозначая mя
√
(4ω2 − ω2
0я
)2 +
(
2bя
mя
ω
)2
= Д, получаем
xяaUp =
U2
a
(bx01 ∓ xяaUp)A
+
2bяωxрaU + cяxpaU
Д
, (16)
xяaip =
I2
a
(bx02 ± xяaip)A
+
2bяωxрai + cяxpai
Д
, (17)
откуда
∓x2
яaUp + δx01xяaUp −
U2
a
A
−
(2bяω + cя)xрaU
Д
= 0,
±x2
яaip + δx02xяaip −
I2
a
B
−
(2bяω + cя)xрai
Д
= 0.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №11 57
Так же, как и в (7), перед x2
яaUp и x2
яaip будем брать знак “−”. Решение этих квадратных
уравнений имеет вид
xяaUp(1,2)
=
δx01
2
±
√
(
δx01
2
)2
−
U2
a
A
−
(2bяω + cя)xpaU
Д
, (18)
xяaip(1,2)
=
δx02
2
±
√
(
δx02
2
)2
−
I2
a
A
−
(2bяω + cя)xpai
Д
. (19)
Вследствие того, что xяaUp и xяaip не должны быть больше δx01 и δx02 соответственно,
в этих выражениях радикалы должны быть со знаком “+”. Как видно из (18) и (19), ампли-
туды xяaUp и xяaip зависят от амплитуд колебаний РМ. Если в (16), (17) использовать (13)
и (14) соответственно, то выражения xяaUp и xяaip будут иметь еще более сложные формы.
Рассмотрим эти зависимости.
Введем обозначение
C = mp
√
(4ω2 − ω2
0p)
2 +
(
2
bя + bp
m
ω
)2
.
С учетом всех обозначений
xяaUp =
FU + 2bяωxpaU + cяxpaU
Д
, (20)
xяaip =
Fi + 2bяωxpai + cяxpai
Д
. (21)
Подставляя в (20) и (21) соответственно (13) и (14), получим
xяaUp =
FU
Д
+
(2bяω + ся)
2xяaUp
ДС
,
xяaip =
Fi
Д
+
(2bяω + ся)
2xяaip
ДС
.
(22)
Введем в (22) выражения для FU и Fi соответственно
xяaUp =
U2
a
4ω2LД(δx01 ± xяaUp)
+
(2bяω + ся)
2xяaUp
ДС
,
xяaip =
I2
a
4Д(δx02 ± xяaip)
+
(2bяω + ся)
2xяaip
ДС
,
откуда получаем
±αx2
яaUp − βUxяaUp −
U2
a
4ω2LД
= 0, (23)
±αx2
яaip − βixяaip −
I2
a
4Д
= 0, (24)
где α = 1 +
(2bяω + ся)
2
ДС
; βU =
δx01
ДС
(2bяω + ся)
2; βi =
δx02
ДС
(2bяω + ся)
2.
58 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №11
Решение квадратных уравнений (23), (24) следующие (будем как и раньше брать знак
“−” перед x2
яaUp и x2
яaip):
xяaUp =
(
−βU ±
√
β2
U −
U2
aα
ω2LД
)
1
2α
, (25)
xяaip =
(
−βi ±
√
β2
i −
I2
aα
Д
)
1
2α
. (26)
Выражения (25), (26) включают в себя все параметры и величины системы ЭМВ с РМ.
Правда, после подстановки в них значений Д, С, α, βU , βI будет видна громоздкость ре-
шения. Более простые решения могут быть, если справедливо пренебречь в ЭМВ силами
сопротивления, которые образуются трением пружин о воздух. В этом случае bя ≈ 0, bp ≈ 0
и тогда
xяaUp =
δx01
2
±
√
(
δx01
2
)2
−
U2
a
4C1ZUω2L
, (27)
xяaip =
δx02
2
±
√
(
δx02
2
)2
−
I2
a
4C1Zi
, (28)
где C1 = mя(4ω
2 − ω2
0я); ZU = 1 −
Cя
4С1ω2LE
; Zi = 1 −
Cя
4С1E
; E = mp(4ω
2 − ω2
0p).
xяaUp и xяaip будем учитывать таким образом, чтобы xяaUp 6 δ0x1 и xяaip 6 δ0x2.
Выражения (25), (26), (27), (28) позволяют определить амплитуды колебаний якоря
с учетом параметров реактивной массы.
Таким образом, полученные выражения (11), (12), (18), (19), (25), (26), (27), (28) вносят
новизну в анализ динамики ЭМВ и позволяют более точно осуществлять расчет ЭМВ.
1. Вибрации в технике. В 6-ти т. / Под ред. Э.Э. Лавенделла. – Москва: Машиностроение, 1981. – Т. 4. –
510 с.
2. Божко А.Е., Голуб Н.М. Динамико-энергетические связи колебательных систем. – Киев: Наук. дум-
ка, 1980. – 188 с.
Поступило в редакцию 11.12.2006Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №11 59
|