Особенности признаков и свойств вейвлетов, позволяющие использовать их при анализе волновых процессов в породном массиве
Приведені основні ознаки та властивості вейвлетів, та на їх основі розглянута можливість використання вейвлет – аналізу для дослідження хвильових процесів у породному масиві. Наведені переваги та недоліки вейвлетів. The basic functions and properties wavelets are resulted, and on their basis the...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Геотехническая механика |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут геотехнічної механіки імені М.С. Полякова НАН України
2011
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/33588 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Особенности признаков и свойств вейвлетов, позволяющие использовать их при анализе волновых процессов в породном массиве / М.С. Мачула // Геотехническая механика: Межвед. сб. науч. тр. — Днепропетровск: ИГТМ НАНУ, 2011. — Вип. 95. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-33588 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Мачула, М.С. 2012-05-28T17:55:56Z 2012-05-28T17:55:56Z 2011 Особенности признаков и свойств вейвлетов, позволяющие использовать их при анализе волновых процессов в породном массиве / М.С. Мачула // Геотехническая механика: Межвед. сб. науч. тр. — Днепропетровск: ИГТМ НАНУ, 2011. — Вип. 95. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/33588 622 02(075.8) Приведені основні ознаки та властивості вейвлетів, та на їх основі розглянута можливість використання вейвлет – аналізу для дослідження хвильових процесів у породному масиві. Наведені переваги та недоліки вейвлетів. The basic functions and properties wavelets are resulted, and on their basis the possibility of using wavelet - analysis for the study of wave processes in rock mass is considered. The advantages and disadvantages of wavelets are given. ru Інститут геотехнічної механіки імені М.С. Полякова НАН України Геотехническая механика Особенности признаков и свойств вейвлетов, позволяющие использовать их при анализе волновых процессов в породном массиве Features characters and properties of wavelets makes them useful for analysis of wave processes in rock mass Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Особенности признаков и свойств вейвлетов, позволяющие использовать их при анализе волновых процессов в породном массиве |
| spellingShingle |
Особенности признаков и свойств вейвлетов, позволяющие использовать их при анализе волновых процессов в породном массиве Мачула, М.С. |
| title_short |
Особенности признаков и свойств вейвлетов, позволяющие использовать их при анализе волновых процессов в породном массиве |
| title_full |
Особенности признаков и свойств вейвлетов, позволяющие использовать их при анализе волновых процессов в породном массиве |
| title_fullStr |
Особенности признаков и свойств вейвлетов, позволяющие использовать их при анализе волновых процессов в породном массиве |
| title_full_unstemmed |
Особенности признаков и свойств вейвлетов, позволяющие использовать их при анализе волновых процессов в породном массиве |
| title_sort |
особенности признаков и свойств вейвлетов, позволяющие использовать их при анализе волновых процессов в породном массиве |
| author |
Мачула, М.С. |
| author_facet |
Мачула, М.С. |
| publishDate |
2011 |
| language |
Russian |
| container_title |
Геотехническая механика |
| publisher |
Інститут геотехнічної механіки імені М.С. Полякова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Features characters and properties of wavelets makes them useful for analysis of wave processes in rock mass |
| description |
Приведені основні ознаки та властивості вейвлетів, та на їх основі розглянута можливість використання вейвлет – аналізу для дослідження хвильових процесів у породному
масиві. Наведені переваги та недоліки вейвлетів.
The basic functions and properties wavelets are resulted, and on their basis the possibility of
using wavelet - analysis for the study of wave processes in rock mass is considered. The advantages and disadvantages of wavelets are given.
|
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/33588 |
| citation_txt |
Особенности признаков и свойств вейвлетов, позволяющие использовать их при анализе волновых процессов в породном массиве / М.С. Мачула // Геотехническая механика: Межвед. сб. науч. тр. — Днепропетровск: ИГТМ НАНУ, 2011. — Вип. 95. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT mačulams osobennostipriznakovisvoistvveivletovpozvolâûŝieispolʹzovatʹihprianalizevolnovyhprocessovvporodnommassive AT mačulams featurescharactersandpropertiesofwaveletsmakesthemusefulforanalysisofwaveprocessesinrockmass |
| first_indexed |
2025-11-27T08:03:36Z |
| last_indexed |
2025-11-27T08:03:36Z |
| _version_ |
1850807457138343936 |
| fulltext |
УДК 622 02(075.8)
М.С. Мачула аспирант кафедры СГМ
(ГВУЗ «Национальный горный университет»)
ОСОБЕННОСТИ ПРИЗНАКОВ И СВОЙСТВ ВЕЙВЛЕТОВ,
ПОЗВОЛЯЮЩИЕ ИСПОЛЬЗОВАТЬ ИХ ПРИ АНАЛИЗЕ ВОЛНОВЫХ
ПРОЦЕССОВ В ПОРОДНОМ МАССИВЕ
Приведені основні ознаки та властивості вейвлетів, та на їх основі розглянута можли-
вість використання вейвлет – аналізу для дослідження хвильових процесів у породному
масиві. Наведені переваги та недоліки вейвлетів.
FEATURES CHARACTERS AND PROPERTIES OF WAVELETS
MAKES THEM USEFUL FOR ANALYSIS OF WAVE PROCESSES IN
ROCK MASS
The basic functions and properties wavelets are resulted, and on their basis the possibility of
using wavelet - analysis for the study of wave processes in rock mass is considered. The advan-
tages and disadvantages of wavelets are given.
Актуальность исследований. При проведении подземных горных вырабо-
ток и строительстве подземных сооружений крайне важно иметь информа-
цию о состоянии породного массива, в котором ведутся работы. До начала
ведения горных работ породный массив находится в начальном напряженном
состоянии. Объемные напряжения в нем распределяются неоднородно, что
напрямую связанно с его структурой. Повышенные напряжения и деформа-
ции приурочены к зонам геологических нарушений, трещиноватости, горным
выработкам и т.п. Производство горных работ сопровождается нарушением
начального напряженного состояния, а ведение горных работ в зонах влияния
геологических нарушений всегда вызывает нарушение их ритмичности, тре-
бует применения дополнительных организационно-технических мероприя-
тий, затрат времени и средств на проход нарушенных зон. Поэтому предвари-
тельная информация о геологических нарушениях, с которыми часто связаны
газодинамические проявления, твѐрдых включениях, ложной кровле и почве
пласта, размывах и вздутиях пластов, пустотах, плывунах и распределении
напряжений позволяет применять соответствующие инженерные меры воз-
действия на породную среду, с целью минимизировать ущерб от проведения
выработок. Это касается всех видов горных работ: проведения горных выра-
боток, управления горным давлением, ведения очистных работ, предотвра-
щения газодинамических явлений и т.д.
В связи с этим актуальной задачей является разработка и реализация ме-
тодов прогнозирования напряжѐнно-деформированного состояния породных
массивов и угольных пластов для обоснования геомеханических параметров
ведения горных работ, обеспечивающих их устойчивость в опасных зонах.
Среди геофизических методов, применяемых для прогноза напряженно-
деформированного состояния породного массива, наиболее эффективными
являются акустические методы, поскольку они информативны, технологичны
и позволяют оперативно контролировать напряженное состояние той части
породного массива, которая недоступна для визуальных наблюдений без на-
рушения его сплошности [14]. Это – так называемое зондирование породного
массива, которое заключается в генерировании определенного искусственно-
го сигнала (возможно нормированного) волновой природы в пласт и регист-
рацию вернувшихся сигналов с последующим их анализом, на основе которо-
го будет сделан вывод о состоянии массива. Это – локальные методы скани-
рования, обеспечивающие диагностику только части массива, т.к. свободные
или вынужденные колебания возбуждаются на определенном участке пород-
ного массива.
Источниками искусственного сигнала могут быть шахтные механизмы:
комбайн, отбойный молоток, буровое оборудование, и т.п. Но они имеют
большой недостаток – нестационарность генерируемых акустических сигна-
лов, поскольку они существенно зависят от режима работы оборудования.
Как результат - это осложняет дальнейший анализ информационных сигна-
лов.
Поэтому целью работы является выбор адекватного математического ап-
парата для исследования волновых процессов в неоднородном породном мас-
сиве, содержащем искусственные и естественные полости для прогноза гео-
механических параметров выработок и обеспечения их устойчивости в опас-
ных зонах.
Постановка задачи. Математические преобразования применяются к сиг-
налу для того, чтобы получить о нем какую–то дополнительную информа-
цию, недоступную в исходном виде. Наиболее популярным является преобра-
зование Фурье (ПФ). Кроме него существует и много других часто применяе-
мых преобразований сигнала. Для каждого преобразования можно указать
наиболее подходящую область применения, его достоинства и недостатки, и
вейвлет–преобразование не является исключением.
Вейвлет-анализ является разновидностью спектрального анализа, в кото-
ром роль простых колебаний играют функции особого рода, называемые
вейвлетами. Базисная функция вейвлет – это некоторое "короткое" колебание,
но не только. Понятие частоты спектрального анализа здесь заменено мас-
штабом, и, чтобы перекрыть "короткими волнами" всю временную ось, вве-
ден сдвиг функций во времени. Базис вейвлетов – это функции типа ψ((t-b)/a),
где b - сдвиг, а – масштаб. Функция ψ(t) должна иметь нулевую площадь и,
еще лучше, равными нулю первый, второй и прочие моменты [10].
Вейвлет–преобразование не так хорошо и широко известно, поскольку
применяется сравнительно недавно и его математический аппарат находится
в стадии активной разработки.
Для практического применения важно знать признаки, которыми обяза-
тельно должна обладать функция, чтобы быть вейвлетом.
Локализация. Вейвлет должен быть непрерывным, интегрируемым, иметь
компактный носитель и быть локализованным как во времени (в пространст-
ве), так и по частоте. Если вейвлет в пространстве сужается, то его "средняя"
частота повышается, спектр вейвлета перемещается в область более высоких
частот и расширяется. Этот процесс должен быть линейным – сужение вейв-
лета вдвое должно повышать его "среднюю" частоту и ширину спектра также
вдвое.
Вейвлетную функцию можно считать хорошо локализованной при выпол-
нении условий:
(1)
Автомодельность базиса. Характерным признаком базиса вейвлет–
преобразования является его само подобие. Все вейвлеты данного семейства
ψab(t) имеют то же число осцилляции, что и базисный вейвлет ψ(t) (т.н. мате-
ринский вейвлет), поскольку получены из него посредством масштабных
преобразований и сдвигов [13]. Благодаря этому вейвлет–преобразование с
успехом применяется для анализа фрактальных сигналов.
Нулевое среднее, т.е. выполнение условия для нулевого момента:
(2)
что обеспечивает выделение локальных особенностей сигналов в пределах
вейвлетного носителя на уровне региональных изменений и тренда, нулевое
усиление постоянной составляющей сигналов, нулевое значение частотного
спектра вейвлета при w=0, и локализацию спектра вейвлета в виде полосово-
го фильтра с центром на определенной (доминирующей) частоте w0.
Выражение говорит о том, что график исходной функции
должен быть знакопеременным (осциллировать) вокруг нуля на оси времени
и иметь нулевую площадь, а из этого условия становится понятным выбор на-
звания «вейвлет» – маленькая волна.
Для анализа мелкомасштабных флюктуаций и особенностей высокого по-
рядка, часто для приложений оказывается необходимым, чтобы не только ну-
левой, но и все первые t моментов были равны нулю:
(3)
Такие вейвлеты называются вейвлетами n–го порядка. Они позволяют
анализировать более тонкую (высокочастотную) структуру сигнала, подавляя
медленно изменяющиеся его составляющие.
Ограниченность: Необходимое и достаточное условие:
(4)
т.е. квадрат нормы функции должен быть конечным.
Оценка ограниченности и локализации может выполняться с использова-
нием выражений:
(5)
где ω0 – доминантная частота вейвлета влета. Число n должно быть как
можно больше.
Коэффициенты вейвлет–преобразования содержат комбинированную ин-
формацию об анализирующем вейвлете и анализируемом сигнале. Однако,
вейвлет–анализ позволяет получить и объективную информацию об анализи-
руемом сигнале, т.к. некоторые свойства вейвлет–преобразования не зависят
от выбора анализирующего вейвлета. Независимость от анализатора делает
эти простые свойства преобразования очень важными.
Линейность:
(6)
Отсюда, в частности, следует, что вейвлет–преобразование векторной
функции есть вектор с компонентами, представляющими собой вейвлет–
преобразование каждой из компонент анализируемого вектора в отдельности.
Дифференцирование:
(7)
где = m ≥1. Из этого свойства следует, что проигнорировать,
например, крупномасштабные составляющие и проанализировать особенно-
сти высокого порядка или мелкомасштабные вариации функции можно
дифференцированием нужное число раз либо вейвлета, либо самого сигнала.
Если учесть, что часто сигнал задан цифровым рядом, а анализирующий
вейвлет–формулой, то это свойство весьма полезное.
Инвариантность относительно сдвига: смещение сигнала во временной
области на b0 ведет к сдвигу вейвлет–образа также на b0 :
(8)
Масштабирование (инвариантность относительно растяжения
\сжатия):
(9)
Это свойство позволяет определить наличие и характер особенностей ана-
лизируемой функции [1].
Масштабно–временная локализация. Она обусловлена тем, что элементы
базиса ВП хорошо локализованы и обладают подвижным частотно–
временным окном.
За счет изменения масштаба вейвлеты способны выявлять различие в ха-
рактеристиках на разных шкалах (частотах), а за счет сдвига проанализиро-
вать свойства сигнала в разных точках на всем исследуемом интервале. По-
этому при анализе нестационарных сигналов за счет свойства локальности
вейвлетов получают существенное преимущество перед преобразованием
Фурье, которое дает только глобальные сведения о частотах (масштабах) ана-
лизируемого сигнала, так как используемая при этом система функций (ком-
плексная экспонента или синусы и косинусы) определена на бесконечном ин-
тервале.
На основании изложенного неслучайно многие исследователи называют
вейвлет–анализ «математическим микроскопом». Это название хорошо отра-
жает замечательные свойства метода сохранять хорошее разрешение на раз-
ных масштабах. Параметр сдвига b фиксирует точку фокусировки микроско-
па, масштабный коэффициент a – увеличение, и, наконец, выбором материн-
ского вейвлета ψ определяют оптические качества микроскопа [13]. Способ-
ность этого микроскопа обнаруживать внутреннюю структуру существенно
неоднородного процесса и изучать его локальные свойства продемонстриро-
вана на многих примерах (см., например, [1]).
В завершение краткого обзора вейвлет–преобразований важно будет отме-
тить достоинства и недостатки методов вейвлет–разложений.
1. Вейвлет–разложения обладают почти всеми достоинствами преобразо-
вания Фурье. Исключение составляет диагонализация инвариантно–
временных операторов. Можно сказать, что вейвлет–базисы близки к диаго-
нальным для таких операторов.
2. Преобразование Фурье не дает информации о динамике изменения час-
тотных характеристик во времени. Локальное преобразование Фурье имеет
постоянное разрешение по частоте (по времени) вне зависимости от области
частот (времен), в которых производится исследование. Поэтому, если, на-
пример, в сигнале существенна только высокочастотная составляющая, то
увеличить разрешение можно только изменив параметры метода. Для анализа
нестационарных сигналов с широким спектром частот хорошо подходит ап-
парат непрерывного вейвлет преобразования, не обладающий подобными не-
достатками [9].
3. Для задачи приближения число спектральных коэффициентов вейвлетов
значительно меньше числа спектральных коэффициентов Фурье. Это свойст-
во используется в алгоритмах сжатия данных. Например, при одинаковом
уровне сжатия по алгоритму JPEG и вейвлет–алгоритму, после восстановле-
ния, второй дает гораздо лучшее качество картинки [4].
4. Преимущество вейвлет–преобразования перед, например, преобразова-
нием Габора заключается в том, что оно покрывает фазовую плоскость ячей-
ками одинаковой площади, но разной формы (рис.1). Это позволяет хорошо
локализовать низкочастотные детали сигнала в частотной области (преобла-
дающие гармоники), а высокочастотные – во временной (резкие скачки, пики
и т.п.). Более того, вейвлет–анализ позволяет исследовать поведение фрак-
тальных функций, то есть не имеющих производных ни в одной своей точке.
Рис.1. - Фазовые плоскости оконного быстрого преобразования Фурье и вейвлет–
преобразования
5. В зависимости от выбора функций φ и ψ вейвлет–базисы могут быть
достаточно локализованными как по частоте, так и по времени. Параметр ло-
кализации s (или 2
–j
) играет важную роль как для временной локализации,
так и для выделения определенного масштаба, характеризующего протекание
процесса. Последнее имеет большое значение в тех случаях, когда в процессе
участвуют разномасштабные явления. Чтобы выделить явления с определен-
ным характерным временем протекания, можно рассматривать только те
члены разложения, которые соответствуют нужным значениям s (или 2
–j
) .
6. Вейвлеты предоставляют следующие возможности:
a) одновременного исследования сигнала в разных масштабах;
b) одновременную локализацию изменений сигнала по частоте и времени
лучше, чем, например ОПФ;
c) исследования нестационарных сигналов, одиночных импульсов («спай-
ков»);
d) определения малозаметных изменений сигнала, бифуркаций процессов;
e) адаптивной фильтрации;
f) выбор базиса исходя из свойств сигнала.
7. Одним из недостатков вейвлет анализа является то, что он, в отличии,
например, от оконного преобразования Фурье, мало информативен для ис-
следования стационарных процессов.
8. Вейвлет –преобразования не могут быть использованы для анализа воз-
действия сигналов на линейные цепи.
9. Недостатком теории и реализации вейвлет–разложений является их от-
носительная сложность. Методы вейвлет–разложений базируются на наибо-
лее современных результатах функционального анализа, теории функций и
вычислительной математики [3].
Заключение. Вейвлет - анализ возник при обработке записей сейсмодатчи-
ков в нефтеразведке и с самого начала был ориентирован на локализацию
разномасштабных деталей. Уникальные свойства вейвлетов, вейвлет–
преобразований и быстрые алгоритмы вейвлет–преобразований сделали их
мощным и эффективным инструментом анализа и синтеза сигналов и изо-
бражений различной природы. Как было отмечено, они дают информацию о
динамике изменения частотных характеристик во времени, что делает их
очень удобным инструментом для исследования волновых процессов в неод-
нородном породном массиве. На основании проведенных исследований уста-
новлено, что вейвлет – анализ можно будет использовать для получения ин-
формативных сведений о геологических нарушениях и пустотах в угольных
пластах. И тем самым позволит осуществить соответствующие инженерные
меры воздействия на породный массив.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Астафьева Н.М. Вейвлет–анализ: Основы теории и примеры применения. – Успехи физических наук,
1996, т.166, № 11, 1145–1170 с.
2. Воробьев В.И., Грибунин В.Г. Теория и практика вейвлет–преобразования. – СПб.: Изд–во ВУС, 1999.
– 208 с.
3. Васильева Л.Г., Жилейкин Я.М., Осипше Ю.И.. Преобразования Фурье и вейвлет–
преобразования. Их свойства и применение. – Вычислительные методы и программирование, 2002. ,
Т . 3 .
4. Дремин И.Л. и др. Вейвлеты и их использование. – Успехи физических наук, 2001, т.171, № 5, с465–
501.
5. Дремин И.М.,Иванов О.В., Нечитайло В.А. Практическое применение вейвлет–анализа // Наука про-
изводству, 2000., № 6., 13–15 с.
6. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. – М. : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. –
464 с.
7. Дьяконов В., Абраменкова И. MATLAB. Обработка сигналов и изображений. Специальный справоч-
ник. – СПб.: Питер, 2002. – 608 с.
8. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике. – М.: СОЛОН–Р, 2002. – 448с.
9. Лукаш В.В. Реализация метода непрерывного вейвлет–преобразования для одномерных массивов. –
М., 1999.
10. Новиков Л.В. Основы вейвлет анализа. Учебное пособие. – С-П.: «МОДУС+», 1999. – 152с.
11. Петухов А.П. Введение в теорию базисов всплесков. – СПб.: Изд–во СПбГТУ, 1999. – 132 с.
12. Переберин А.В. О систематизации вейвлет–преобразований. – Вычислительные методы и програм-
мирование, 2002., Т. 2., 15–40 с.
13. Чуи Т.К. Введение в вейвлеты. – М.: Мир, 2001. – 412 с.
14. Яковлев А.Н. Введение в вейвлет–преобразования: Учеб. пособие. – Новосибирск: Изд–во НГТУ,
2003. –104с.
15. Ямщиков В.С. Волновые процессы в массиве горных пород: Учебник для вузов. – М.: Недра, 1984.
271 с.
17. Robi Polikar. Введение в вейвлет–преобразование [пер. с англ. Грибунин В.Г.] \ электронная версия
книги подготовлена фирмой АВТЭКС С.–П.
18. Jacques Lewalle Введение в анализ данных с применением непрерывного вейвлет–преобразования
[пер. с англ. Грибунин В.Г.] \ электронная версия книги подготовлена фирмой АВТЭКС С.–П.
19. http://www.wavelet.org.
20. http://www.mathsoft.com/wavelet.html
21. http://www.math.spbu.ru
http://www.math.spbu.ru/
|